2012年北京市海淀区高三一模理科数学含答案纯word版

2012年北京市海淀区高三一模

数 学（理科）

2012.04

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{}1A x x =

>，{}B x x m =<，且A B =

R ，那么m 的值可以是

（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 （2）在等比数列{}n a 中，14358a a a a ==，，则7a =

（A ）

116

（B ）

18 （C ）14

（D ）

1

2

（3）在极坐标系中，过点3(2,

)2

π

且平行于极轴的直线的极坐标方程是 （A ）sin 2ρθ=- （B ）cos 2ρθ=- （C ）sin 2ρθ= （D ）cos 2ρθ=

（4）已知向量=(1)=(1)x x ，a b ，，-，若2-a b 与b 垂直，则=a

（A

（B

（C ）2 （D ）4 （5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是

（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

（6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是

（A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）48

（7）已知函数2,1,

()1,

1,x ax x f x ax x ?-+≤=?->? 若1212,,x x x x ?∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则

实数a 的取值范围是

（A ）2a < （B ）2a > （C ）22a -<< （D ）2a >或2a <- （8）在正方体''''ABCD A B C D -中，若点P （异于点B ）是

棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45°的点P 的个数为

（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）6

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数

2i

1i

a +-在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a = . （10）过双曲线22

1916

x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程

是 . （11）若1tan 2α=

，则cos(2)απ

2

+= . （12）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品

需求弹性

EQ

EP

大于1（其中'EQ Q P EP Q =-，'Q 是Q 的导数）

，则商品价格P 的取值范围是 .

（13）如图，以ABC ?的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交

BC 于点E ，EF AB ^于点F ，3AF BF =，22BE EC ==，

那么CDE D= ，CD = .

（14）已知函数1,,

()0,,

x f x x ì???=í

????R Q Q e则 （ⅰ）(())f f x = ； （ⅱ）给出下列三个命题：

F

E

D

C

B

A

A'

B'

C'

D'A

B

C

D

①函数()f x 是偶函数； ②存在(1,2,3)i x i ?R ，使得以点(,())(1,2,3)i i x f x i =为顶点的三角形是等腰直角三角

形；

③存在(1,2,3,4)i x i

?R ，使得以点(,())(1,2,3,4)i i x f x i =为顶点的四边形为菱形.

其中，所有真命题的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）

在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ， C 成等差数列.

（Ⅰ）若b =

3a =，求c 的值；

（Ⅱ）设sin sin t A C =，求t 的最大值.

(16)（本小题满分14分）

在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ^

，

4,2AB AD CD ===，PA ^平面A B C D ，

4PA =.

（Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；

（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC

，求PQ

PB

的值．

(17)（本小题满分13分）

某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，

[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].

（Ⅰ）求直方图中x 的值；

（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；

P

D

C

B

A

（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为

X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每

名学生上学所需时间少于20分钟的概率）

(18)（本小题满分13分）

已知函数21

()e

()(0)kx

f x x x k k

-=+-<.

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于2

3e -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.

(19)（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -， P 为

椭圆G 的上顶点，且1

45PFO ∠=?. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；

（Ⅱ）已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，

直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所示.

（ⅰ）证明：120m m +=;

（ⅱ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值.

(20)（本小题满分14分）

对于集合M ，定义函数1,,

()1,.

M x M f x x M -∈?=?

??对于两个集合M ，N ，定义集合

{()()1}M N M N x f x f x ?=?=-. 已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =.

（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ?；

（Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ?+?的最小值；

（Ⅲ）有多少个集合对（P ，Q ），满足,P Q A B ? ，且()()P A Q B A B ???=?？

海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学（理科）

参考答案及评分标准 2012．04

一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）2 （10）43200x y --= （11）4

5

-

（12）(10,20)

（13）60°

（14）1 ①③ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为,,A B C 成等差数列， 所以2B A C =+. 因为A B C ++=π， 所以3

B π

=. ………………………………………2分

因为b =

3a =，2222cos b a c ac B =+-，

所以2

340c c --=. ………………………………………5分

所以4c =或1c =-（舍去）. ………………………………………6分

（Ⅱ）因为23

A C +=

π， 所以

2sin sin()3

t A A π

=-

1

sin sin )2

A A A =+

11cos22()22

A A -=

+

11sin(2)426

A π

=

+-. ………………………………………10分 因为203A π

<<，

所以72666

A πππ

-<-<.

所以当262A ππ-=，即3

A π=时，t 有最大值3

4.

………………………………………13分

(16)（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明： 因为AB //CD ，CD ?平面PAB ，AB ?平面PAB ，

所以CD //平面PAB . ………………………………………2分 因为CD ?平面PCD ，平面PAB 平面PCD m =，

所以CD //m . ………………………………………4分 （Ⅱ）证明：因为AP ^平面ABCD ，AB AD ^，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，

则(4,0,0)B ，(0,0,4)P

，D

，(2,C .

………………………………………5分

所以

(4,BD =-

，(2,AC =

， (0,0,4)AP =

，

所以(4)2000BD AC ?=-?+?=

，

(4)00040BD AP ?=-?++?=

.

所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥.

因为 AP AC A = ，AC ?平面PAC ，

PA ?平面PAC ，

所以 BD ⊥平面PAC .

………………………………………9分

（Ⅲ）解：设

PQ

PB λ=（其中01λ＃），(,,)Qxyz ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ.

所以 PQ PB λ= .

所以 (,,4)(4,0,4)x y z λ-=-

.

所以 4,0,44,x y z λλì=???

=í??=-+???即(4,0,44)Q λλ-+.

所以

(42,44)CQ λλ=---+

. ………………………………………11分

由（Ⅱ）知平面PAC

的一个法向量为(4,BD =-

.

………………………………………12分

因为 sin cos ,CQ BD

CQ BD CQ BD

θ×=<>=×

，

所以

=

. 解得 7

[0,1]12λ=∈. 所以 712

PQ PB =

. ………………………………………14分

(17)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由直方图可得：

200.025200.0065200.0032201x ?+?+?+??=.

所以 0.0125x =. ………………………………………2分

（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：

0.0032200.12??=， ………………………………………4分

因为6000.1272?=，

所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.

………………………………………6分

（Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，4. ………………………………………7分

由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为

14

， 4

381(0)4256P X ??=== ???, 3

141327(1)C 4464P X ????=== ???????,

2

2

24

1327(2)C 44128P X ????=== ? ?????,3

34133(3)C 4464

P X ????=== ? ?????, 4

11(4)4256P X ??

=== ???

.

所以的分布列为：

812727310123412566412864256EX =?+?+?+?+?=.（或1

414

EX =?=）

所以X 的数学期望为1. ………………………………………13分

(18)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R . 221

'()e

()e (21)e [(2)2]kx

kx kx f x k x x x kx k x k

---=-+-++=-+-+，

即 '()e

(2)(1)(0)kx

f x kx x k -=--+<. ………………………………………2分

令'()0f x =，解得：1x =-或2

x k

=

. 当2k =-时，22

'()2e (1)0x

f x x =+≥，故()f x 的单调递增区间是(,)-? . ………………………………………3分 当20k -<<时，

()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：

所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)k

-∞和(1,)-+∞，单调递减区间是(,1)k

-.

………………………………………5分

当2k <-时，

()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：

所以，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和2(,)k +∞，单调递减区间是2(1,)k

-.

………………………………………7分

（Ⅱ）当1k =-时，()f x 的极大值等于2

3e -. 理由如下：

当2k =-时，()f x 无极大值.

当20k -<<时，()f x 的极大值为2

2241

()e (

)f k

k k

-=+， ………………………………………8分

令2

2

2

41e (

)3e k k

--+=，即2413,k k += 解得 1k =-或43k =（舍）.

………………………………………9分

当2k <-时，()f x 的极大值为e (1)k

f k

-=-.

………………………………………10分

因为 2

e e k

-<，11

02

k <-

<， 所以 2

e 1e 2

k k --<.

因为

2

21e 3e 2

--<， 所以 ()f x 的极大值不可能等于2

3e -. ………………………………………12分 综上所述，当1k =-时，()f x 的极大值等于2

3e -.

………………………………………13分

(19)（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：设椭圆G 的标准方程为22

221(0)x y a b a b +=>>.

因为1(1,0)F -，1

45PFO ∠=?， 所以1b c ==.

所以 2222a b c =+=. ………………………………………2分

所以 椭圆G 的标准方程为2

212

x y +=. ………………………………………3分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .

（ⅰ）证明：由122

,1.2

y kx m x y =+???+=??消去y 得：222

11(12)4220k x km x m +++-=. 则22

18(21)0k m ?=-+>，

11222

11224,1222.12km x x k

m x x k ?+=-??+?-?=?+?

………………………………………5分 所以

||AB =

=

=

=

同理

||CD =. ………………………………………7分

因为 ||||AB CD =,

所以

=因为 12m m ≠，

所以 120m m +=. ………………………………………9分 （ⅱ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线,AB CD 间的距离为d ,则

d =

.

因为 120m m +=， 所以

d =

………………………………………10分

所以

||S AB d =?=

222

1121k m m -++=≤=

（或S ==≤ 所以 当2

2

1212k m +=时， 四边形ABCD 的面积S

取得最大值为 ………………………………………13分

(20)（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ?=.

………………………………………3分

（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,C X ，①若a C ?且a X ?，则

(({})()C a r d C X a C a r d C X ?=?- ；②若

a C ?且

a X

?，则

(({}

)C

a r

d C X a C a r d

C

X

?=?+

. 所以 要使()()Card X A Card X B ?+?的值最小，2，4，8一定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不影响()()Card X A Card X B ?+?的值；集合X 不能含有A B 之外的元素.

所以 当X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ?+?取到最小值4. ………………………………………8分 （Ⅲ）因为 {()()1}A B A B x f x f x ?=?=-，

所以 A B B A ?=?.

由定义可知：()()()A B A B f x f x f x ?=?.

所以 对任意元素x ，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ???=?=??， ()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ???=?=??. 所以 ()()()()A B C A B C f x f x ????=. 所以 ()()A B C A B C ??=??.

由 ()()P A Q B A B ???=?知：()()P Q A B A B ???=?. 所以 ()()()()()P Q A B A B A B A B ?????=???. 所以 P Q ???=?. 所以 P Q ?=?，即P Q =. 因为 ,P Q A B ? ，

所以 满足题意的集合对（P ，Q ）的个数为72128=.

………………………………………14分