《正比例函数》教学设计及教学后记

《正比例函数》教学设计及教学后记

一、课前系统部分

根据课程标准对这一节的要求:

对于正比例函数，《课标(2011版)》的要求是“理解”，即学生能描述正比例函数的意义，知道正比例函数是根据函数的解析式来定义的，知道函数解析式中各字母的意义以及对自变量系数的限制条件为k≠0；能画出正比例函数的图象，根据正比例函数的图象和表达式y=kx(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图象的变化情况，并通过观察图象的变化情况归纳出正比例函数的增减性．正比例函数是特殊的一次函数，而一次函数是初中学生所接触到的第一种基本而重要的初等函数，因此研究正比例函数的意义、图象、性质的思路和方法，对研究一般性的一次函数乃至今后进一步研究其他类型的函数具有奠基和启示作用，应予以足够的重视．教学正比例函数意义时，教师要结合具体的实例，引导学生先写出函数解析式，归纳出它们具有的共同特征，抽象出一般形式y=kx(k≠0)，结合第二学段曾经学习过的正比例关系，得出正比例函数的定义．教学正比例函数图象画法时，应要求学生先用19．1节中所掌握的描点法画出一定数量的正比例函数图象后，引导归纳出这些图象的相同点和不同点，概括出一般性的规律，再用两点法画正比例函数的图象．正比例函数的增减性，是通过观察函数图象的升降来发现结论的，这是一种直观的发现方法，这种方法将数量关系直观化、形象化，从而可以数形结合起来研究问题，体现了函数图象的作用．学生对这种方法初次接触，有一个适应的过程，起始阶段只要学生能结合图象对这个性质有所认识即可．经过一段时间的学习，引导学生不断积累经验，逐步学会正确观察图象，理解图象上点的坐标所反映的数量间的对应关系，理解整个图象所反映出的函数的变化趋势，同时在学生可以接受的前提下，也可以在直观认识的基础上加以适当的式子证明，从数形两个方面加深对性质的理解．

(二)教材分析

1.认识正比例函数的意义，掌握正比例函数解析式的特点及正确的表示方法.

2.理解正比例函数图象性质及特点．

3.在学习了函数的基础上进一步学习研究正比例函数.

4.正比例函数是一次函数的特殊形式，为下一课时学习一次函数做好准备.

(三）学情分析

1.通过前面的学习，掌握了函数的不同表示方法，知道各自优缺点，能够按具体情况选用适当方法．

2.对学生来说函数表示方法的正确应用比较困难．

3.学生认知障碍点：正比例函数图象的性质特点．

(四)教学目标

1.知识与技能：．认识正比例函数的意义，掌握正比例函数解析式特点．

2.过程与方法：学生通过动手操作画图象观察概括出正比例函数图象的性质。学生在探究合作中交流，体验知识的形成过程。

3.能利用所学知识解决相关实际问题．

4.为以后学习一次函数奠定了基础．

5、情感态度与价值观：通过教师的主导作用，提高学生的合作学习效率，让学生体会合作学习的好处。

教学重点：

1．理解正比例函数意义及解析式特点．

2．掌握正比例函数图象的性质特点．

3．能根据要求完成转化，解决问题．

教学难点：正比例函数图象性质特点的掌握．

（五）教学策略

1、坚持探究式教学，充分发挥学生学习的主观能动性，面向全体、因材施教，加强学法指导，使学生在合作中学会学习，学会认知，为他们的终身学习奠定基础。

2、适当地辅以电脑多媒体技术，演示运动变化规律、揭示事物本质特征；提供典型现象和过程，供学生作为分析、思考、探究、发现的对象，以帮助学生理解原理，并掌握分析和解决问题的步骤和方法；同时注意将现代信息技术和传统教学媒体有机结合，以实现教学最优化，从而提高教与学的质量。

（六）教学用具

电子白板，PPT课件

二、教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

1.板书问题：

一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环．4个月零1周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．

（1）．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？（2）．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？

（3）．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？

2.请同学们先讨论解答上诉问题

3.提问学生并和学生一起讨论分析答案

（预设学生行为：讨论并得出问题的答案： (1) 25600÷（30×4+7）≈200（km）(2) y=200x（0≤x≤127） (3) y=200×45=9000（km））

（设计意图：从生活实际问题入手，用以前学过的函数表示方法引入新课，学生有一种亲切感，更能提高本节课的学习兴趣.）

Ⅱ．导入新课

引入新课:

以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．

类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．

[活动一]

1.首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？

（1）圆的周长L随半径r的大小变化而变化．

（2）铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．（3）每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化.

（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）

的变化而变化．

（答案:（1）．根据圆的周长公式可得：L=2r ． （2）．依据密度公式p=

v

m

可得：m=7．8V ． （3）．据题意可知： h=0．5n ． (4)．据题意可知：T=-2t ．）

（意图：从生活实际问题入手，用以前学过的函数表示方法引入新课，学生有一种亲切感，更能提高本节课的学习兴趣）

2.我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x 的形式一样．

一般地，?形如y=?kx?（k?是常数，?k?≠0?）的函数，?叫做正比例函数（proportional func-tion ），其中k 叫做比例系数．

3.我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？

画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．

（1）.y=2x （2）.y=-2x

①函数y=2x

画出图象如图（1）．

②y=-2x 的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：

画出图象如图（2）．

（讨论并找出以上函数表达式的共同特征）

③．两个图象的共同点：都是经过原点的直线．

不同点：函数y=2x 的图象从左向右呈上升状态，即随着x 的增大y 也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x 的图象从左向右呈下降状态，即随x 增大y 反而减小；?经过第二、四象限．

（提高归纳知识的能力） 尝试练习：

在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较．

1.y=x 21

2.y=-x

21

（自己列表并画出函数图像，训练函数图像的画法）

[活动二]

1、比较两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=x

21

?的图象从左向右上升，经过三、一象限，即随x 增大y 也增大；函数y=-

x

21

?的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x 增大y 反而减小．

（观察上述函数图像找出两个函数图像的相同点和不同点，训练识图能力）

2、总结归纳：

正比例函数解析式与图象特征之间的规律：

正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线．?当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，?图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．

正是由于正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条直线，?我们可以称它为直线y=kx ．

经过原点与点（1，k ）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，?怎样画最简单？为什么？ 3、结论：

经过原点与点（1，k ）的直线是函数y=kx 的图象． 画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k ）．因为两点可以确定一条直线． Ⅲ．随堂练习

用你认为最简单的方法画出下列函数图象： 1．y=

x 2

3

2．y=-3x

(学生在课堂上完成上述练习并总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律)

(意图：提高分析问题解决问题的能力)

小结

本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．

（学生活动：利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系，完成由图象到关系式的转化）（意图：进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理．）

Ⅴ．课后作业

1、习题11．2─1、

2、6题．

2、《课堂感悟与探究》

（对所学知识进一步熟悉并在应用在进一步巩固）

教学后记

第一次涉及到一个具体的函数的学习和研究，要把研究函数的方法步骤和知识结构让学生体会到，因此，本课的教与学的活动，要学生有比较清醒的方案意识。

课堂引言我就提出：“有了函数意义和函数的图象认识，我们有能力开始具体的函数的研究了，按照从简单到复杂的认知规律，今天我们研究的函数是最简单和最常见的，从实际问题入手，我们来看以下引例”，接着从四个具体的函数实例进行观察、归纳和总结，得出正比例函数的定义，结合定义写出一些正比例函数、进行判断，利用定义给出含字母的函数解析式是正比例函数，求字母的值。

研究函数的方法是结合和利用函数的图象，因此，引导学生画出具体的一些正比例函数的图象（分工比赛，资源共享，合作研究），有学生画出的众多的函数图象进行提升，得出图象的形状特征、位置情况、变化趋势，做到真正是学生自己探究得到了图象和性质，性质的叙述必须与图形相联系，这是数形结合的基础。

本课的时间不是太紧的，在知识内容上，老教材中有两个变量成正比例的说法，由于训练题中少不了还有类似的应用，因此，我们也一样介绍了这一说法，在后面的应用中，要让学生体会成正比例和正比例函数的区别联系，在小学里，我们学过：“两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。且一种量随着另一种量的增大而增大。如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系，我们就称这两个变量成正比例。用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用以下关系式表示： y/x=k(一定)。正比例关系两种相关联的量的变化规律：同时扩大，同时缩小，比值不变”。正比例函数是：“形如y=kx的函数（k为常数，k≠0）”。两者揭示的两个变量之间的数量关系实质是一样的，成正比例“比值一定”，则两个变量不能取零，在y=kx中自变量x和函数y的值可以为零。另外，小学里没有学习负数，因此学生的印象是：两个变量成正比例，则“同时扩大，同时缩小，比值不变”，而正比例函数y=kx中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小。再有，两个变量成正比例，这两个变量可以是一个字母，也可以是一个整体，如y＋3与3x－1成正比例，当x＝1时，y＝3，求y与x的函数关系式，此时y 不是x的正比例函数。