文科数学立体几何证明(答案)

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立体几何证明题

1、已知ABC ?中90ACB ∠=，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥，求证：AD ⊥面SBC ．

2．已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底

ABCD

对角线的交点。 求证：（１）1//C O 面11AB D ；（2）1AC ⊥面11AB D ．

3.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示，墩的上半部分是正四棱锥P －EFGH ，下半部分是长方体ABCD －EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图。

（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图； （2）求该安全标识墩的体积； （3）证明：直线BD ⊥平面PEG 。

S

D

C

B

A

D 1O

D

B

A

C 1

B 1

A 1

C

2

4．如下的三个图中，左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和侧视图分别是中间和右边的平面图（单位：cm ）。

（Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

（Ⅲ）在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ．

参考答案

三、解答题：

3．解：(1)侧视图同正视图，如右图所示。 ………………3分 （２）该安全标识墩的体积为：P EFGH ABCD EFGH V V V --==

221

406040203200032000640003

=??+?=+=()2cm ………7分 （３）如图，连结EG ，HF 及BD ，EG 与HF 相交于O ，连结PO 。 ………………8分 由正四棱锥的性质可知，PO ⊥平面EFGH ………………9分 PO HF ∴⊥ ………………10分 又EG HF ⊥ HF ∴⊥平面PEG ………………11分 又HF BD // BD ∴⊥平面PEG ………………12分 4．解：（Ⅰ）如图 ………………3分

（Ⅱ）所求多面体体积

V V V =-长方体正三棱锥1144622232??

=??-???? ???

2284(cm )3=．………………7分 （Ⅲ）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中，

连结AD '，则AD BC ''∥． ………………9分 因为E G ，分别为AA '，A D ''中点，

（俯视图）

（正视图）

（侧视图）

E D A

C F G B '

C '

D '

C D

E F

G

A '

B '

C '

D '

3

所以AD EG '∥， ………………10分 从而EG BC '∥． ………………11分

又BC '?平面EFG ，所以BC '∥面EFG ． …………………………………12分 1．证明：

90ACB ∠= BC AC ∴⊥ ………………2分

又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ ………………4分 而A SA AC = BC ∴⊥面SAC ………………7分

BC AD ∴⊥

………………9分

又,SC AD SC

BC C ⊥=， AD ∴⊥面SBC

………………12分

2．证明：（1）连结11AC ，设11111AC B D O =，连结1AO ………………1分

1111ABCD A BC D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ………………2分

1//AC AC ∴且 11AC AC =

………………3分

又1,O O 分别是11,AC AC 的中点，1//O C AO ∴且11O

C AO = ………………4分 11AOC O ∴是平行四边形

………………5分

111//,C O AO AO ∴?面11AB D ，1C O ?面11AB D ,

………………7分 ∴1//C O 面11AB D

………………8分

（2）1CC ⊥面1111A B C D 11!C C B D

∴⊥ ………………9分 又

1111AC B D ⊥， 1111B D A C C ∴⊥面 111A C B D ⊥即 ………………10分

同理可证11AC AB ⊥

………………11分

又11

11D B AB B = ∴1

AC ⊥面11AB D ………………12分