黑龙江省哈六中2014年高二数学下学期期末考试(理)试题

哈六中2013-2014学年高二下学期期末考试

数学（文）试题

京翰高考网试题（https://www.360docs.net/doc/e33102290.html, ）

考试时间：120分钟 满分：150分

一、选择题：（每题5分共60分） 1．设全集为R ，集合2

{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A

C B =( )

.(3,0)A - .(3,1]B -- .(3,1)C -- .(3,3)D -

2．若“01x <<”是“()()20x a x a --+≤????”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )

.A (][),01,-∞+∞ .B ()1,0- .C []1,0- .D ()(),10,-∞-+∞

3．执行如右下图所示的程序框图，若输出i 的值为2，则输入x 的最大值是( )

.A 5 .B 6 .C 11 .D 22

4．若直线的参数方程为12()24x t

t y t

=+??

=-?为参数，则直线的斜率为( )

.

A 12 .

B 1

2

- .C 2 .D 2- 5．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为()0p p ≠，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围是( )

.A 70,12?? ??? .B 10,2?? ??? .C 7,112?? ??? .D 1,12?? ???

6．已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )

.A (),0-∞ .B ()0,1 .C 10,2??

???

.D ()0,+∞

7．如右图，设抛物线21y x =-+的顶点为A ，与x 轴正半轴的交点为B ，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M ，随机往M 内投一点P ， 则点P 落在AOB ?内的概率是( )

.

A 56 .

B 45 .

C 34 .

D 23

8．已知函数3

2

()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是

.A ()2,+∞ .B ()1,+∞ .C (),2-∞- .D (),1-∞-

9. 在极坐标系中,直线1

cos 2

ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点,则AOB ∠的大小为 （ ）

.

A 3

2π .

B 65π

.C 2π .D 3

π

10．哈六中15届高二有840名学生, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按

1,2,

,840随机编号, 则抽取的42人中,编号落入区间[]481,720的人数为（ ）

.A 11 .B 12

.C 13

.D 14

11．下列值等于1的定积分是（ ）

.A ?

.

B dx x )(11

+?

.C dx ?

2

2

1

.D dx ?1021

12.设D 是函数()y f x =定义域内的一个子区间，若存在0x D ∈，使00()f x x =-，则称0x 是()f x 的一个“开心点”，也称()f x 在区间D 上存在开心点.若函数23

()222

f x ax x a =---

在区间

33,2?

?--???

?上存在开心点，则实数a 的取值范围是（ ） .A (,0)-∞ .B 1,04??-???? .C 3,014??-???? .D 3

1,144??--????

二、填空题（每题5分共20分）

13. 已知集合}|{2x y y M ==，}2|{2

2=+=y x y N ，则N M 。 14. 函数()2ln f x x x =-的单调递减区间是 。

15.下列四个命题中，真命题的序号有 .（写出所有真命题的序号） ①若,,a b c R ∈，则“22ac bc >”是“a b >”成立的充分不必要条件； ②命题 “x R ?∈使得210x x ++<”的否定是 “x R ?∈均有210x x ++≥”； ③命题“若||2x ≥，则2x ≥或2x ≤”的否命题是“若||2x <，则22x -<<”； ④函数3

()ln 2

f x x x =+-在区间(1,2)上有且仅有一个零点.

16．已知函数x x x f ln )(=，当012>>x x 时，给出下列几个结论：

①0)]()([)(2121<-?-x f x f x x ；②1221)()(x x f x x f +<+；③)()(2112x f x x f x ?x 时，)(2)()(122211x f x x f x x f x >?+?.

其中正确的是 （将所有你认为正确的序号填在横线上）． 三、解答题

17.设a R ∈,函数2

()22f x ax x a =--，若()0f x >的解集为A ，{12},B x x =<<

,A

B =?求实数a 的取值范围（10分）

18.某高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，授予10分降分资格；考核为优秀， 授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为

23、23、1

2

，他们考核所得的等级相互独立．（12分） (1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；

(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

19．在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>,已知过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为

:2 4x y ?

=-+??

?

?=-+??

（t 为参数）,直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点． (1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；

(2)若,,PM MN PN 成等比数列,求a 的值．

20．已知函数2

3

ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于x y 2

1

=

.（12分） （1）求a 的值；

（2）求函数)(x f 的单调区间与极值.

21.某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计(满分150分)，其中

120分(含120分)以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：（12分）

男生 女生 (1)根据以上两个直方图完成下面的2×2列联表：

(2)根据(1)中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？

(注：

()

()()()()

2

2n ad bc K a b c d a c b d -=

++++，其中n a b c d =+++) (3)若从成绩在[]130,140的学生中任取2人，求取到的2人中至少有1名女生的概率．

22．已知函数2

1()ln ,()(1)(1),()()()2

f x x a x

g x a x a H x f x g x =

+=+≠-=-。

（12分） (1)若()f x 的单调减区间是()0,1,求实数a 的值;

(2)若函数(),()f x g x 在区间[]1,2上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围； (3),αβ是函数()H x 的两个极值点,(],1,e αββ<∈。求证：对任意的[]12,,x x αβ∈，不等式

12()()1H x H x -<恒成立．

高二（理科）数学答案

一、选择题：（每题5分共60分）

综上22a -≤≤--------------------------------------------------------------2分 18. (1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.

则事件A 、B 、C 是相互独立事件，事件A B C 与事件E 是对立事件，于是 P(E)＝1－P(A B C )＝1－(1－23)(1－23)(1－12)＝17

18

.----------------------4分

(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60. P(ξ＝30)＝P(A B C )＝(1－

23)(1－23)(1－12)＝118

， P(ξ＝40)＝P(A B C )＋P(A B C )＋P(A B C)＝5

18，

P(ξ＝50)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P(A BC)＝8

18

，

P(ξ

＝60)＝P(ABC)＝4

18

.

∴E(ξ)＝30×

118＋40×518＋50×818＋60×418＝1453

. ----------------------8分

20. （1）对

()f x 求导得()2114a f x x x '=

--，由()f x 在点()()1,1f 处切线垂直于直线1

2

y x =

知()32,4f x a '=--=-解得54

a =；-------------------------------------------4分

（2）由（1）知53

()ln 442

x f x x x =+--，则()22215145,444x x f x x x x --'=--=

令()0f x '=，解得1x =-或5x =.因1x =-不在()f x 的定义域()0,+∞内，故舍去.

当()0,5x ∈时，()0,f x '<故()f x 在()0,5内为减函数；----------------------------2分

当()5,x ∈+∞时，()0,f x '>故()f x 在()5,+∞内为增函数；-------------------------2分 由此知函数()f x 在5x =时取得极小值()5ln 5f =-.--------------------------------4分

------------------------------4分

(2)由(1)中表格的数据知， K 2

＝

()

2

50132071020302723

??-????≈4.844.

∵K 2

≈4.844≥3.841，∴有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系．----------4分 （3）所求事件的概率P ＝

3

5

.--------------------------------------------------------4分