高数学习资料(讲义及全部重点)(六)

第六章 定积分应用

6.1定积分的微小元素法(详请见合一肥工业大学编写的高等数学上册267页)

6．2平面图形的面积

一直角坐标的情形

定理1：由两条连续曲线)(),(21x f y x f y ==, )()(21x f x f ≤以及直线x=a,x=b 所围平面图形的面积为：

dx x f x f A b

a

?-=))()((12

证明：有微小元素法：dx x f x f dA ))()((12==,则

?-=b

a

dx x f x f A )]()([12

注意：

1． 从几何意义容易看出??

-=

b

a

b

a

dx x f dx x f A )()(12

2． 若无)()(21x f x f ≤这一条件，则面积?-=

b

a

dx x f x f

A |)()(|12

3． 同理，曲线),(),(21y g x y g x ==与y=c,y=d 所围区域的面积为

?-=d

c

dy y g y g A )]()([12，其中)()(21y g y g ≤

例1：求抛物线3x 4x y 2

-+-=及其点)3,0(-和)0,3(处的切线

所围成图形的面积

解：4x 2y K +-='=

在)3,0(-点处，4K 1=，切线方程

3x 4y -= 在)0,3(点处，2K 2

-=，切线方程

6x 2y +-=

??

?+-=-=6

x 2y 3x 4y 得交点??

?

??3,

23 []

d x x x

x S ?-+---=

230

2

)34(34

[]

d x x x

x ?

-+--+-+32

32

)34(62

??

+-+=3

2

32230

2

)96(dx x x dx x

4

98989=+=

定理

2：若平面曲线由参数方程给出，

))((),(21t t t t y t x ≤≤==ψφ且)(),(t t ψφ在[21,t t ]连续，

0)(>'t φ，则曲线与x=a,x=b 以及x 轴所围的曲边梯形的面积为： ??'==b

a

t t dt t t dx x f A 2

1

)(|)(||)(|φψ

例1． 求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost) (a>0)的一拱与x 轴所为的面

积

解

：

2

2220

20

3)c 1(])s i

()[cos 1(a dt t a dt t t a t a A ππ

π

=-='--=?

?

二极坐标的情形

定理3：设曲线)(θφ=r 且 )(θφ在[βα,]上连续，非负παβ2≤-则有曲线)(θφ=r 与射线βθαθ==,所围区域（称为曲边扇形）

的面积为：

θθφβαd A ?=

)(2

12

证明：又微小元素法[θθθd +,]上的面积微元是：

θθφd dA )(2

12

=，所以θθφβαd A ?=

)(2

12

例1、 求双纽线θ2cos 2

2a r =所围的平面图形的面积。 解：4

54

3,44

,02cos ,02

π

θπ

πθπ

θ≤

≤≤

≤-≥≥ r 又由图形的对称性以及公式有：

244

2442|2sin 21

2cos 212a a d a A ===--?π

πππθθθ

例2、求由曲线θ=γθ=γ2cos ,

sin 22所围图形公共部分

的面积

解：两曲线的交点???

? ??π??

?

? ?

?π65,22,

6,22 (

)

???

????

?θθ+θθ=??

ππ

π6

046

2

d 2cos 21

d sin 2212S =θθ-?

π

d )2cos 1(60

+?

ππθθ46

d 2cos

2

1362sin 2

12sin 2146

6

0--π=

θ

+???

???θ-θ=πππ

6．3体积

一． 平行截面面积为已知的立体体积

定理一：设V 是位于[a,b]间的一空间立体，A(x)（b x a ≤≤）是截面积的函数，且在[a,b]上连续，则立体V 的体积为?

=

b

a

dx x A V )(

证明：在[x,x+dx]上的体积微元是dV=A(x)dx,则体积为：

?=b

a

dx x A V )(

例1：求由圆柱面222222,a z x a y x =+=+所围立体的体积 解：由于对称性，我们只要求第一卦限立体体积，过x 点（a x ≤≤0）且垂直于x 轴的平面与该立体的截面为边长为22x a -的正方形，则

22)(x a x A -=

30320223

16|)31(8)(8a x x a dx x a V a a =-=-=?

二． 旋转体的体积

旋转体是一种特殊的空间立体，它是一条平面图形饶平面一直线l 旋转一周所得，特别地，直线为x 轴，一般地，设旋转体由曲线y=f(x),x=a,x=b,以及x 轴所围的曲边梯形饶x 轴旋转一周所得的一个立体，用垂直于x 轴的平面去截立体得到截面面积为A(x)=)(2

x f π,则旋转体的体积为：dx x f

V b

a

?=

)(2

π

例1例3、过点)0,1(P 作抛物线2x y -=的切线，求该切线

与抛物线2x y -=及x 轴所围平面图形绕x 轴旋转而成的旋转

体体积

解：设切点为)2x ,

x (00-

切线方程)1x (2

x 21

y 0--=

切点在切线上， ∴

)1x (2

x 21

2x 000--=

-

3x 0= ，

∴切线方程：)1x (2

1

y -=

??π

=-π--π=3

1

322x 6

dx )2x (dx )1x (41V 6．4平面曲线的弧唱 一直角坐标系

定理1：设y=f(x)在[a,b]上连续，且有一阶连续导数，则 y=f(x) 在[a,b]上的弧长为

dx f S b

a

?

'+=2][1这由弧微分很容易推导出来。

例1．曲线()

2x 1ln y -=相应于2

1

x 0≤≤的一段 解：1. 2x

1x 2y --=

'

2

22

x

1x 1y 1-+=

'

+

dx x

1x 1s 210

2

2?

-+=

dx x 11x 111210

?

??? ?

?

-+++-=

2

1

x

1x 1ln 21-++-

=

3ln 2

1

+-=

二参数方程的情形

当曲线以参数方程 ()

()?

??==t y y t x x βα≤≤t 给出时要求t 由

βα变化到时的曲线弧长。由弧微分容易知道：

dt t t S ?

'+'=βα

ψφ22)]([)]([

例1．摆线???-=-=t

sin t y t

cos 1x π2t 0≤≤的一拱

3.()()dt t y t x S ?

'+'=π20

22

()()dt

t t ?

-+=π20

22cos 1sin

?=

π

20

dt 2

t sin 2

?=π

20

dt 2

t sin 2

π

20

2t cos 4??? ??

-=8=

三极坐标的情形

定理3：若曲线的极坐标方程为)(θφ=r ,那么相应于βθαθ==,的一段弧长为：

θθθβ

α

d r r S ?

'+=)()(22

例1：心形线()θcos 1a r +=的全长 ()0a >

()θ

θsin a r -='，

θθθθθπd a d a a ds ?

+=-++=20

22cos 22]sin [)]cos 1([

=8a πθ

0|2

sin

=8a

(3) ()θr r = βθα≤≤

6．5功，压力

例子1.一锥形水池,池口直径20m,深15m,池中盛满瞒水,求将全部池水抽到池口外所做的功.

解:如图建立坐标系,以x 为积分变量,变化区间为[0,15],重中任意取一子区间,考虑深度[x,x+dx]的一层水量T ?抽到池口处所做的功

W ?,当dx 很小时,抽出T ?中的每一体积水所做的功为x T ?

而T ?的体积约=dx x 2)]15(15

10

[

-π dx x x dW 2)]15(1510

[-=π

ππ1875)]15(15

10

[1502=-=?dx x x W (吨米)

例2.边长为a 和b(a>b)的矩形薄片斜置欲液体中,薄片长边a 与液面平行位于深为h 处,而薄片与液面成α角,已知液体的密度为ρ,求薄片所受的压力

解:取x 为积分变量,变化区间为[h,h+bsin α]从中取[x,x+dx]知道面

积元素α

sin dx

a

dS = 压力元素αρsi n dx

xa

dP =

,则

)sin 2

1(sin 1sin sin sin αραραραα

b h ab xdx a dx xa P b h h b h h

+===??

++