三角形重心的一个向量性质的另证及推广

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

内心、外心、重心、垂心 1、内心 (1)定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 (2)三角形的内心的性质 ①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 ②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r ③s= (r是内切圆半径) 2 ④在Rt△ ABC中，/ C=90 , r=(a+b-c)/2 . ⑤/BOC = 90 +Z A/2 / BOA = 90+/C/2 / AOC = 90+/B/2 2、外心 (1)定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)。 (2)三角形的外心的性质 ①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 ③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合

④OA=OB=OC=R ⑤/ B0C=2 BAC / AOB=Z ACB / C0A=2 CBA ⑥S A ABC二abc/4R 3、重心 (1)三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。 (2)三角形的重心的性质 ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 ②重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。 ③重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。 ④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3) ；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：( Z1+Z2+Z3) /3 ⑤重心和三角形 3 个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 4、垂心 (1)定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。 (2)三角形的垂心的性质 ①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 ②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 ③垂心0关于三边的对称点，均在△ ABC的外接圆上

三角形的中心及其性质

三角形的中心及其性質學習階段：三學習範疇：度量、圖形與空間範疇學習單位：以演繹法學習幾何基本能力： KS3-MS9-3 識別三角形的中線、垂直平分線、高線及角平分線簡介： 1. 教師派發「三角形的中心及其性質」工作紙。 2. 學生利用Java 檔案 “ABC2.html ”及“Centres.html ”去完成工作紙。（此檔案需與其他所有檔案放於同一folder 內才可執行，電腦亦需安裝了Java 軟體。） 3. 學生利用檔案 “ABC2.html ”，在Java 的互動幾何的環境中，透過特別設計的工具簡便地分別作出三角形的中線、角平分線、高線及垂直平分線，從而認識這些線的共點性質。 4. 學生再利用檔案 “Centres.html ”，透過拖拉頂點到不同的位置，認識形心將以2：1這個比將各中線分成兩份。 5. 學生再使用「圓」工具（）及特別設計的工具，在各個中心點嘗試構作外接圓及內切圓，從而認識外心和內心分別是外接圓及內切圓的中心。

學習單位：以演繹法學習幾何– 「三角形的中心及其性質」工作紙三角形的中心及其性質開啟檔案“ABC2.html ”，可看到以下畫面：畫面顯示的 ABC ，它的三個頂點A 、B 、C 可被隨意拖拉到不同的位置。題一：三角形的三條中線 1. 點選「中線」工具（），再依次點選A 、B 、C 三點，構作中線AD （圖1）。 2. 再依次點選B 、C 、A 及C 、A 、B ，構作中線BE 及CF 。 3. 拖拉三個頂點A 、B 、C ，觀察三條中線的變化，回答以下問題： (a) 三條中線是否相交於同一點？是? 否? (b) 若三條中線相交於同一點，這交點是否一定會在三角形之內？是? 否? (c) 若否，在甚麼情況下這交點會在三角形之外？圖1

三角形重心性质定理题教案资料

三角形重心性质定理 1．三角形重心性质定理课本原题（人教八年级《数学》下册习题19.2第16题）在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？（提示：作BO中点M，CO的中点N。连接ED、EM、MN、ND）分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习《重心》）。这道习题要证明的结论是三角形重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。证法1：（根据课本上的提示证明）（点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。）（点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。） 2.三角形重心性质定理的应用 ⑴求线段长例1如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC 于点E，若BC=6cm，则GE= cm。解： ⑵求面积例2在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积。解：

练习：1.如图5，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心，如果AG=6，那么线段DG= 。 2.如图6，在△ABC 中，G 是重心，点D 是BC 的中点，若△ABC 的面积为6cm 2，则△CGD 的面积为。巧用中线的性质解题我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题. 一、巧算式子的值例1 在数学活动中，小明为了求23411112222++++…12n +的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求 23411112222++++ (12) n +的值. 解析：从图中可以看出大三角形的面积为1，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222++++…12n +12 n +表示：组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是23411112222++++ (12) n +112n =-. 【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算. 二、求图形的面积例2 如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.

三角形重心的应用

三角形重心的应用南昌县渡头中学邓淑刚教学目的：1、了解三角形重心的概念，掌握重心的性质并能加以应用。 2、了解并掌握“一题多解法”证明思路。教学重、难点：三角形重心的性质及其应用。教学过程：一、三角形重心性质定理课本原题（人教八年级《数学》下册习题19.2第16题）在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？（提示：作BO中点M，CO的中点N。连接ED、EM、MN、ND）分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习《重心》）。这道习题要证明的结论是三角形重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。证法1：（根据课本上的提示证明）取GA、GB中点M、N，连接MN、ND、DE、EM。（如图1） ∵MN是△GAB的中位线，∴MN∥AB，MN=1 2AB 又ED是△ACB的中位线，∴DE∥AB，DE=1 2AB ∴DE∥MN，DE=MN，四边形MNDE是平行四边形∴GM=GD，又AM=MG，则AG=2GD

同理可证：CG=2GF ，BG=2GE 点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。证法2：延长BE 至F ，使GF=GB ，连接FC 。 ∵G 是BF 的中点，D 是BC 的中点 ∴GD 是△BFC 的中位线，GD ∥FC ，GD= 12 FC 由GD ∥FC ，AE=CE ，易证△AEG ≌△CEF ∴AG=FC ，即GD= 12 AG 点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。证法3：取EC 中点M ，连DM ，利用平行线分线段成比例及E 是AC 中点可证得相同的结论。（证明过程略）二、三角形重心性质定理的应用 ⑴求线段长例1 如图3所示，在Rt △ABC 中，∠A=30°，点D 是斜边AB 的中点，当G 是Rt △ABC 的重心，GE ⊥AC 于点E ，若BC=6cm ，则GE= cm 。解：Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=6 ∴AB=BC=12， D 是斜边AB 的中点，∴CD= 12 AB=6 G 是Rt △ABC 的重心，∴CG=23 CD=4 由CD=AD ，∠A=30°，∠GCE=30°

三角形重心、外心、垂心、内心性质

三角形重心性质定理 1三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。 2重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 3重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 4重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 5在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为 ((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标： (Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 6重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 7重心是三角形内到三边距离之积最大的点。三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。三角形的外心的性质 1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合 4.OA=OB=OC=R 5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 6.S△ABC=abc/4R 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。三角形的内心的性质 1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 3.r=2S/(a+b+c) 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径) 三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。三角形的垂心的性质 1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上 4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF 5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。 7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC 8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。 9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质70409

三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1．O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心，则 AB C AOB AOC BOC S 31 S S S ????= ==故=++; 1()3 PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心. 2．O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3．O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 OC OB OA ==) 若O 是ABC ?的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ?的充要条件是 ( ( ( =?=?=-? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? ，O 是 ABC ?内心的充要条件也可以是c b a =++ 。若O 是ABC ?的内心，则 c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r 是ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； (一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 OA OP + +=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：因为是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r 与AC u u u r 方向上的单位向量分别为21e e 和，又

三角形重心性质的向量表示及其推广

三角形重心的性质的向量表示与推广及其应用吴家华（四川省遂宁中学校 629000）摘要本文给出了三角形重心性质的一个向量表示并进行了推广，同时介绍了它们的简单应用. 关键词三角形、重心、向量、推广我们知道，三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与到对边中点的距离的比为1:2，即重心到顶点的距离等于该中线长的三分之二. 重心的这一性质如果我们用向量来表示的话，则有下列结论：定理1 设G 为ABC ?的重心，则)(31AC AB AG +=；反之也成立. 证明：设BC 的中点为D ，则)(21AC AB AD +=. ∵G 为ABC ?的重心，∴AD AG 32=. ∴)(31)(213232AC AB AC AB AD AG +=+?==. 故)(3 1AC AB AG +=. 反之，若)(3 1AC AB AG +=，则AC AB AG +=3，即 0)()(=-+-+AC AG AB AG AG ，0=++CG BG AG ， ∴0=++GC GB GA ,故G 为ABC ?的重心. 定理1 得证. 笔者在解题研究中，尝试把重心G 改为ABC ?所在平面内的任意一点，发现定理1可以推广为下列一般形式：定理 2 设分别过ABC ?的两个顶点C B ,的直线相交于一点P ，且分别交对边所在直线于点M N ,. 若AB AM λ=，AC AN μ=，则 AC AB AP λμ λμλμμλ--+--=1)1(1)1(. 证明：如图1所示，设MC t MP =，NB s NP =，则 M p N B C A

t t t t +-=-+=+=+=)1()(t t +-=)1(λ. s s s s +-=-+=+=+=)1()(s s +-=)1(μ. ∵与不共线， ∴???=-=-t s s t )1()1(μλ??? ????--=--=?λμμλλμλμ1)1(1)1(s t . 故λμ λμλμμλ--+--=1)1(1)1(. 定理2得证. 显然，定理2的结论是建立在ABC ?的基础上的，那么，我们在应用定理2解决问题时就需要一个三角形作依托，也就是说，我们解决问题的关键在于这个三角形的选择. 因此，我们不妨把定理中的这个ABC ?叫做基底三角形（注意，顶点C B A ,,按逆时针顺序），简称为“基三角”. 笔者在教学和解题实践中发现，上述三角形重心性质的向量表示及其推广在解决平面向量和平面几何问题中具有较广泛的应用.下面举例说明之. 例1.如图2所示，在ABC ?中，E D ,分别为AC AB ,的中点，CD 与BE 交于点F ，设a AB =，b AC =，b n a m AF +=，若向量),(n m =，则=||（） .A 32 .B 32 .C 65 .D 3 4 图2 解：由已知可知，F 为ABC ?的重心，则由定理1可得：3131)(31+=+= .

三角形的重心的性质

三角形的重心的性质 1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)。三角形的外心的性质 1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合 4.OA=OB=OC=R 5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 6.S△ABC=abc/4R 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。三角形的内心的性质 1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心

2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 3.r=2S/(a+b+c) 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 5.∠BOC = 90 °+∠A/2∠BOA = 90 °+∠C/2∠AOC = 90 °+∠B/2 6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径) 三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。三角形的垂心的性质 1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上 4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF 5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。 7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC 8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。 9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质

向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。重心：厶ABC中、每条边上所对应的中线的交点；垂心：ABC中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：UABC中、每个角的角平分线的交点(内切圆的圆心)；外心：.IABC中、每条边上所对应的中垂线的交点(外接圆的圆心) 一、重心1、O 是. ABC 的重心= OA OB 0C = 0 若0是ABC 的重心，贝「BOC = ：AOC = ：AOB =?：ABC 故OA OB 0C = 0, 3 1 PG (PA PB PC) = G 为- ABC 的重心. 3 2、P是厶ABC所在平面内任一点上是厶ABC的重心u PC). 3 证明： PG 二PA AG 二PB BG = PC CG 二3PG 二(AG BG CG) (PA PB PC) ?/ 6是厶ABC的重心 ??? GA GB GC = 0 二AG BG CG = 0，即3PG 二PA PB PC 1 由此可得PG =-(PA PB PC).(反之亦然(证略)) 3 3、已知O是平面上一定点，A, B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP =OA ? ■ (AB AC)，‘(0, *)，则P的轨迹一定通过△ ABC的重心. 例1若O为ABC内一点，OA ? OB ? OC = 0 ，则O是ABC的( ) A.内心心 B .外心 D .重心 C .垂

1、O 是：ABC 的垂心=OA.OB =OB?OC =OA?OC 若O是.：ABC （非直角三角形）的垂心，贝U 故tan AOA tan BOB tanCOC = 0 2、H是面内任一点，HA HB二HB HC二HC HAu点H是厶ABC的垂心. 由HA HB 二HB HC = HB （HC - HA）二0= HB AC 二0= HB _ AC, 同理HC_AB , HA_BC.故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（证略））3、P是厶ABC 所在平面上一点，若PA P^PB P^PC PA，贝U P是厶ABC的垂心. ??—-------------------------------------------------------------------- ?l ---------- ■] 由PA PB 二PB PC，得PB （PA -PC 0，即FB CA = 0 ,所以PB 丄CA .同理可证PC丄AB，PA丄BC . ??? P是厶ABC的垂心.如图1. B 图1 4、已知O是平面上一定点，A, B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ---------- —* —K . ——- OP=OA + h |一A--------- 十一，扎w（0,+血），则动点P的轨迹一定通过 J AB|cos B |AC|COS C △ ABC的垂心. 例2 P是厶ABC所在平面上一点，若PA卩B = PB卩PC PA，贝U P是厶ABC 的（） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

三角形外心内心重心垂心与向量性质

三角形的“四心” 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。ABC ?的重心一般用字母O 表示。性质： 1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。 2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即 AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.向量性质：若点O 为ABC ?所在的平面内一点，满足 AC OA OC CB OC OB BA OB OA ?+=?+=?+)()()(，则点O 为ABC ?的外心。二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC ?的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质： 1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 2.三角形的面积＝?2 1三角形的周长?内切圆的半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量)||||( AC AC AB AB AP +=λ，则动点P 的轨迹过ABC ?的内心。

三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。ABC ?的重心一般用字母H 表示。性质： 1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。 2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ?所在的平面内一点，满足 OA OC OC OB OB OA ?=?=?，则点O 为ABC ?的垂心。结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足2 22222AB OC CA OB BC OA +=+=+，则点O 为ABC ?的垂心。四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC ?的重心一般用字母 G 表示。性质： 1.顶点与重心G 的连线必平分对边。 2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2 倍。即GF GC GE GB GD GA 2,2,2=== 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即3 ,3C B A G C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(3 1PC PB PA PG ++= 。

第十四章三角形重心的性质及应用答

第十四章三角形重心的性质及应用习题A 1．易知2EF PQ HG EF BP GC BC AC AB BC BC BC ++=++=，则2EF PQ HG BC CA AB ===，故O 为ABC △的重心． 2．先证BD AE CF ==，再由△BMP ∽△BCF ，得 MP BM CF BC ==，同理PN BD = ， MN AE MP PN MN ==． 3．易知G 到BC 的距离等于ABC △内切圆的半径r ，则BC 边上的高为3r ，再利用面积法证明． 4．证明△ODG 与ABC △的重心重合． 5．由3AM =，4BM =，5CM =，有222AM BM CM +=，知两中线AD ，BE 垂直．于是 3 182 ABC S AM BM =??=△． 6．连BE ，CF ，并延长相交于M ，则M 为AD 的中点．由E ，F 分别是ABD △和△ACD 的重心，则 13ME MF MB MC ==．于是EF BC ∥，EG BD ∥．从而13MG ME DM MB ==，2 3 DG BE DM BM ==， 1 3MG DM =， 23 DG DM =， 14 33 AG AM MG DM DM DM =+=+=，故 24 1233 DG GA DM DM ==∶∶∶． 7．由题设及梯形的中位线性质及三角形重心性质，推知所有这些直线都经过ABC △的重心，即共点于重心．习题B 1．设G 为ABC △的重心，连DE 并延长到H 使EH DE =，连HC ，HF ，则以三条中线AD ， BE ，CF 围成的三角形就是△HCF ．当22BC a =，22CA b =，22AB c =成等差数列时，若 ABC △为正三角形，易证ABC HCF △∽△．若a b c ≥≥，有CF =， BE =，AD =2222a c b +=分别代入以上三式，得 CF ，BE ，AD ，从而CF BE AD a b c =∶∶∶∶，故有ABC △∽△HCF ．反之，若有ABC △∽△HCF ，当ABC △中a b c ≥≥时，△HCF 中CF BE AD ≥≥，且2()ABC HCF S S CF a =△△∶∶．据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积伯 34 ”，有2234CF a =∶∶，即222223422a CF a b c ==+-，故22a c += 22b ． 2．分两种情况讨论．①若G ，I 两点重合，易断ABC △为正三角形，此时0AGI BGI CGI S S S ===△△△，结论显然成立．②若G ，I 两点互异，过G ，I 作直线l ．若l 通过ABC △的一个顶点，易推知ABC △为等腰三角形，此时AGI S △，BGI S △，CGI S △中一个为

三角形的重心垂心内心外心附三角函数的图象与性质练习题及答案

一、三角形重心定理二、三角形外心定理三、三角形垂心定理四、三角形内心定理五、三角形旁心定理有关三角形五心的诗歌三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。垂心的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 1

三角形重心性质定理

三角形重心性质定理 1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解

题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的重要方法之一。 6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。 7、反证法：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结

三角形重心垂心外心内心性质

重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心; 垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心; 外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心; 内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心; 中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。旁心三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心。旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。若设O为△ABC的旁心,用向量表示则有aOA=bOB+cOC 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2、每个三角形都有三个旁心。三角形“五心歌” 三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．(性质解释：三角形中线在三角形内部交与一点（重心），且该交点到顶点距离是到对边中点长度的2倍) 垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清. 内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，

此圆圆心称“内心”如此定义理当然．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为“外心”，用它可作外接圆． “内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．三角形中线在三角形内部交与一点（重心），且该交点到顶点距离是到对边中点长度的2倍。三角形中线平分三角形面积。 2.三角形的内角平分线交与三角形内部一点（内心）。 3.三角形的三条高线也交与一点（垂心），当三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时，三条高的交点分别在三角形的内部、直角顶点、三角形的外部。 4.N边形内角和定理：（N-2）*180度 5.正N边形每个内角为1/N*(N-2)*180度 6.任意多边形的外角和都等于360度 7.N边形的对角线共有1/2*(N*(N-3)) 重心的几条性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为 ((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。例1 连接DI1、DI2、AI2、CI1 ∵∠BAD=∠ACD ∴∠DAI2=∠BAD/2=∠ACD/2=∠DCI1 又∵∠I2DA=∠CDI1=45°，∠I1DI2=90° ∴△ADI2∽△CDI1 ∴DI2/DI1=DA/DC 又∵∠I1DI2=∠ADC=90° ∴△I1DI2∽△CDA ∴∠I2I1D=∠ACB=∠BAD ∴A、E、I1、D四点共圆。 ∴∠AEF=∠ADI1=45°，∠AFE=45° ∴△AEF是等腰直角三角形即：AE=AF

三角形重心垂心外心内心相关性质介绍

三角形的“五心” 所谓三角形的“五心”是指三角形的重心、垂心、外心、旁心及内心。当三角形是正三角形时，重心、垂心、外心及内心重合为一点，统称为三角形的中心。一、三角形的外心（1个）定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。ABC ?的外心一般用字母O 表示。性质： 1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。 2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠2 1,21,21 4.直角三角形的外心在斜边中点。二、三角形的内心（1个）定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC ?的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质： 1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 2. CE CD BD BF AF AE ===,, 3. 三角形的面积＝?2 1三角形的周长?内切圆的半w 径．； =++CD BF AE 三角形的周长的一半。 4.,2190A BIC ∠+ =∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2 190 。

三、三角形的旁心（3个）定义：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。性质： 1. 旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。即，到三边距离相等。 2. 三角形有三个旁心。这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等 3. 与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫旁心。四、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫垂心。ABC ?的垂心一般用字母H 表示。直角三角形的垂心在直角顶点上。性质： 1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。 2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。五、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC ?的重心一般用字母G 表示。性质： 1.顶点与重心G 的连线必平分对边。 2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

三角形重心性质

芹池中学“导学、合作、展示、提升”课堂教学模式学案九年级数学科主备：陈海宇备课时间：2012年月日总第课时上课时间：2012年月日课题：三角形重心性质个性备课及反思组长签字：学习目标：（知道学什么？） 1、了解三角形重心的概念，掌握重心的性质并能加以应用。 2、了解并握“同一法”证明思路。课后反思 2、重心的性质：三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线的3 1。思考三：对于性质我们还可以怎样理解？证明三角形的中线分三角形面积为六块个块面积相同 △ABC ， D 为AB 中点 E 为BC 中点 F 为AC 中点，O 为重心从本结论你还可以明白重心的什么性质呢？三、达标检测 1、已知，△ABC 中，∠C=900 ，G 是三角形的重心，，AB=8，求：① GC 的长； ② 过点G 的直线MN ∥AB ，交AC 于M ，BC 于N ，求MN 的长。 N M G C A B 2、已知，△ABC 中，G 是三角形的重心，AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，求BG 的长。 G B C A 学后记：（在反思中成长，在反思中进步！）重点、难点：(知道怎样学！)三角形重心的性质及其应用。一、课前热身：（新知识，早知道！） 1、什么是三角形的中位线？和三角形中位线性质定理？ 2、自学课本P58拓展，了解什么叫三角形的重心？我们还学过三角形内心和外心与重心有什么区别？二、探究新知思考一：已知，如图，BE 、CF 是△ABC 的中线，并相交于G ，求证： GB GE =GC GF =2 1 G F E A B C 思考二：假如AD 是△ABC 的BC 边上的中线，那么G 点是否在AD 上？ D G F E A B C 归纳结论： 1、定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。

三角形各种心的性质归纳

三角形各种心的性质研究一、基础知识三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心．三角形的心是三角形的重要几何点．在数学竞赛中，有关三角形的心的几何问题是竞赛的热点问题，因此，我们对三角形的心的几何性质做概括归纳，对有关的证明方法和解题技巧做深入探讨． 1．重心：设G 是ABC ?的重心，AG 的延长线交BC 于D ，则，DC BD =)1(，（ 2）3:2:=AD AG ；（3）4222 222 BC AC AB AD -+=，（4）3 ABC GBC S S ??=． 2.外心：设⊙O （R ）是ABC ?的外接圆，BC OD ⊥于D 交⊙O 于E ，则（1）R OC OB OA ===；（2）A BOC ∠=∠2或)180(20 A ∠-；（3）DC BD =⌒BE =⌒EC ；（4）C B A R R abc S ABC sin sin sin 24==?（正弦定理） 3.内心：设ABC ?的内心圆⊙I （)r 切边AB 于P ，AI 的延长线交外接圆于D ，则（1）A BIC ∠+?=∠2 1 90; (2)a c b a a c b A r AP -++=-+= ∠=)(21221cot ；(3)DC DI DB ==；(4)2 ) (c b a r S ABC ++= ?; 4.垂心：设H G O ,,分别是ABC ?的外心，重心，垂心，BC OD ⊥于D ，AH 的延长线交外接圆于1H ，则，（1） OD AH 2=；（2）H 与1H 关于BC 成轴对称；（3）⊙=BCH ⊙ABC ；（4）,,,H G O 三点共线，且2:1:=GH OG ； 5．旁心：设ABC ?在A ∠内的旁切圆⊙1I （)1r 与AB 的延长线切于1P ，则，（1）A C BI ∠-=∠2 1 9001；（2）2211c b a A ctg r AP ++=∠=；（3）21c b a BP -+=；（4）2 1 C B AI ∠=∠；（5）2)(1a c b r S AB C -+=? 6．三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系在△ABC 中，内切圆⊙O 分别与三边相切于点K M ,L ，BC 边上的帝切圆⊙a O 与BC 边切于点H ，且分别与AB 边和AC 这的延长线相切于点Q 、点P ．设三边BC 、CA 、AB 分别为c b a ,,，C B A ∠∠∠,,分别为γβα,,， )(2 1 c b a p ++= ，内切圆半径为r ，旁切圆半径分别为c b a r r r ,,，外接圆半径为R ，三角形面积为?S ，则有如下关系式：（1）p AP =，a p AK -=，c b LH -=；（2）a p rp r a -=；（3）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半；（4）))((1 c p b p r r a --= ；（5）c b a r r r r 1111--=；（6）2 tan 2 tan γ β ?=r r a 7．界心如果三角形一边上的一点和这边对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线，那么就称这一点为三角形的周界中点．其中三角形的周界是指由三角形的三边所组成的围．由于三角形的任意两边之和大于第三边，可知三角形任一边上的周界中点必介于这边两端点之间．三角形的顶点与其对边的周界中点的连线，叫三角形的周界中线（有时也称周界中线所在直线为三角形的周界中线）．三角形的周界中线交于一点．定义：称三角形的周界中线的交点为三角形的界心．二、例题分析例1．设△ABC 的外接圆O 的半径为R ，内心为I ，?=∠60B ，C A ∠<∠，A ∠的外角平分线交圆O 于E ， M