2013版高考数学一轮复习 1.1集合精品学案

2013版高考数学一轮复习精品学案：第一章《集合与常用逻辑用语》

〖知识特点〗

1、集合是高中数学的起始章节，主要是强调其工具性和应用性。另外，由于Venn图的利用，数形结合思想的应用也很广泛。

2、常用逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具，以考查四种命题、逻辑联结词和全称命题、特称命题的否定为主，属容易题目。

3、集合与常用逻辑用语与其他知识的联系也非常密切，常以本章知识为工具考查函数、方程、三角、解析几何、立体几何中的知识点。

〖重点关注〗

1、集合的概念、集合间的关系及运算是高考重点考查的内容，正确理解概念是解决此类问题的关键。

2、对命题及充要条件这部分内容，重点关注两个方面内容：一是命题的四种形式及原命题与逆否命题的等价；二是充要条件的判定。

3、全称命题、特称命题的否定也是高考考查的重点，正确理解两种命题的否定形式是解决此类问题的关键。

4、本章内容为补集思想、正难则反思想提供了理论依据，同时也应注意这两种思想的应用。〖地位与作用〗

“集合与常用逻辑用语”这一章主要是讲述集合的初步知识与常用逻辑用语知识两部分，集合的初步知识是现行高中数学教科书中原来就有的内容。这部分内容主要包括集合的有关概念、集合的表示、集合的基本关系及集合的基本运算。常用逻辑用语知识则是新增内容，这部分主要是介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”，四种命题及其相互关系，全称量词和存在量词及含有它们的命题以及充要条件等有关知识。

集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要基础，一方面，许多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计等，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用，因此在历年高考中都有考查集合问题的题目。一是考查集合的有关概念，集合之间的关系，集合的运算等；二是考查集合的工具性，主要考查集合语言的应用，集合思想的应用。

逻辑是研究思维形式及规律的一门基础学科，学习数学，需要全面理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用。更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分。

常用逻辑用语是每年高考的必考内容，其中量词是新课标新增的内容，是考查的重点。高考对本部分的考查主要有两个方面：一是全称量词与存在量词、全称命题与特称命题，一般以选择题形式出现，考查两种命题的否定命题的写法，是高考的热点；二是充要条件的推理判断以及四种命题的相互关系问题等，这些内容大多是以其他数学知识为载体，具有较强的综合性。一般在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。

第一节集合

【高考新动向】

一、考纲点击

1、了解集合的含义，元素与集合的属于关系；

2、能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；

3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

4、在具体情境中，了解全集与空集的含义；

5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

6、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

7、能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算。

二、热点难点提示

1.集合的运算是高考考查的重点.

2.常与函数、方程、不等式交汇，考查学生借助Venn图、数轴等工具解决集合的运算问题的能力，要求学生具备数形结合的思想意识.

3.以选择题、填空题的形式考查，属容易题.

【考纲全景透析】

1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合

a∈；若b不是集合A的元素，记（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A

b?

作A

（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；

（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R

2．集合的基本关系：

（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作A?B A?）；

（或B

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A?B且B?A，则称A等于B，记作A=B；若A?B且A≠B，则称A是B的真子集，记作 A B；

（2）简单性质：1）A?A；2）Φ?A；3）若A?B，B?C，则A?C；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；

（3）集合的基本关系以列表的形式表示如下：

3．全集与补集：

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； （2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}

|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S

C )=A ；2）

S

C S=Φ，

Φ

S C =S

4．交集与并集：

（1）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。交集}|{B x A x x B A ∈∈=?且

（2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。}

|{B x A x x B A ∈∈=?或并集

注意：①求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并

集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法 ②集合的基本运算以列表的形式表示如下：

5．集合的简单性质：

（1）;,,A B B A A A A A ?=?Φ=Φ?=? （2）;,A B B A A A ?=?=Φ? （3）);()(B A B A ???

（4）B B A B A A B A B A =???=???;； （5）

S

C （A ∩B ）=（

S

C A ）∪（

S

C B ），

S

C （A ∪B ）=（

S

C A ）∩（

S

C B ）。

【热点难点全析】 一、集合的基本概念

1、相关链接

（1）由元素与集合的关系，可以分析集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性。

（2）在解决集合的概念的问题时，要注意养成自学使用符号的意识和能力，运用集合的观点分析、处理实际问题。

（3）集合的表示方法：有列举法、描述法和Venn 图，在解题时要根据题目选择合适的方法。 注：①要特别注意集合中的元素所代表的特征。

如：A={y|y=x2+2},B={(x,y)|y=x2+2}.其中A 表示数集，B 表示二次函数y=x2+2的图象上所有点组成的集合，二者不能混淆。

②注意集合中元素的互异性

对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性. ③常见集合的意义

2、例题解析

例1． (1)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b|a ∈P ,b ∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q 中元素的个数是( )

(A)9 (B)8 (C)7 (D)6

(2)已知-3∈A={a-2，2a2+5a ，12}，则a=______.

【解题指导】(1)从P+Q 的定义入手，可列表求出a+b 的值.

(2)-3是A 中的元素，说明A 中的三个元素有一个等于-3，可分类讨论. 解析：(1)选B.根据新定义将a+b 的值列表如下：

由集合中元素的互异性知P+Q中有8个元素，故选B.

(2)∵-3∈A,∴a-2=-3或2a2+5a=-3，

∴a=-1或

. =-

3 a

2

当a=-1时，a-2=2a2+5a=-3,不合题意;

当

.

=-

3

a

2时，A={

-

7

2，-3，12},符合题意,

故

. =-

3 a

2

答案：

. =-

3 a

2

例2．集合

{}

0,2,

A a

=

,

{}2

1,

B a

=

,若

{}

0,1,2,4,16

A B=

,则a的值

为( ) A.0 B.1 C.2 D.4

答案 D

解析∵

{}

0,2,

A a

=

,

{}2

1,

B a

=

,

{}

0,1,2,4,16

A B=

∴

216

4

a

a

?=

?

=

?∴4

a=,故选D.

例3．下列集合中表示同一集合的是（C ）

A．M = {(3，2)}，N = {(2，3)} B．M = {(x，y)|x + y = 1}，N = {y|x +y = 1} C．M = {4，5}，N = {5，4} D．M = {1，2}，N = {(1，2)}

答案：C

解析：由集合中元素的特征（确定性、无序性、唯一性）即得。

二、集合间的基本关系和运算

1、相关链接

（1）子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，刚其子集个数为2n，真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.

（2）全集是一个相对概念，一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集，是我们为研究集合关系临时选定的一个集合.

（3）集合A与其补集的区别与联系:两者没有相同的元素,两者的所有元素合在一起,就是全集.

（4）集合的基本运算包括交集、并集和补集.在解题时要注意Venn 图及补集思想的应用。 （5）集合的简单性质：

①;,,A B B A A A A A ?=?Φ=Φ?=?

②;,A B B A A A ?=?=Φ?，A A φ?=，A A B ??，B A B ? ③);()(B A B A ???

④B B A B A A B A B A =???=???;； ⑤

S

C （A ∩B ）=（

S

C A ）∪（

S

C B ），

S

C （A ∪B ）=（

S

C A ）∩（S

C B ）。

⑥,,A B B C ???若则A C ；若A B ，B C ，则A

C

（6）方法指导：

①解决集合相等问题的一般思路

若两个集合相等,首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等,有几种情况等,然后列方程组求解,要注意挖掘题目中的隐含条件. ②判断两集合关系的常用方法：

<1>化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系； <2>用列举法表示各集合，从元素中寻找关系.

③集合运算的常用方法

<1>集合元素离散时借助Venn 图运算；

<2>集合元素连续时借助数轴运算，借助数轴运算时应注意端点值的取舍.

2、例题解析

例1：(1)(2011·山东高考)设集合M={x|x2+x-6<0}, N={x|1≤x ≤3},则M ∩N=( ) (A)［1，2) (B)［1，2］ (C)(2，3］ (D)［2，3］ (2)(2011·湖南高考)设全集U=M ∪N={1，2，3，4，5}，M ∩U N

e={2，4}，则N=( )

(A){1，2，3} (B){1，3，5} (C){1，4，5} (D){2，3，4}

(3)(2011·辽宁高考)已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩I M

e=?，则

M ∪N=( )

(A)M (B)N (C)I (D)?

【解题指导】(1)化简集合M ，借助数轴求解. (2)借助于Venn 图知

?U N M ，

e从而

.

=U

U

M N N 痧

(3)借助于Venn 图寻找集合M ，N 的关系. 解析:(1)选A.∵M={x|-3

∴?∴==U

U

U N M M N N 24 痧

又

{}.

=∴=U N N U N 135 ，，，e

(3)选A.如图，∵N ∩

I M

e=?,∴N ?M ，∴M ∪

N=M.

例2： 已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A ∩B ≠φ，则实数a 的取值范围为（ ）．

分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答．

解：由题知可解得A={y|y>a2+1或y

由???≥+≤4

12

2

a a ，得???-≤≥≤332a a a 或

∴3-≤a 或23≤≤a .

即A ∩B ＝φ时a 的范围为3-≤a 或23≤≤a .而A ∩B ≠φ时a 的范围显然是其补集,从而所求范围为{

}3

32|<<-

>a a a 或.

注：（1）一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”． （2）解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论思想的应用。空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解。

三、集合与其他知识的综合应用 例1： (本小题满分13分) 已知集合

}

,,,,{321n a a a a A =，其中

)

2,1(>≤≤∈n n i R a i ，)(A l 表示和

)

1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数．

（Ⅰ）设集合}8,6,4,2{=P ，}16,8,4,2{=Q ，分别求)(P l 和)(Q l ；

（Ⅱ）若集合}2,,8,4,2{n

A =，求证：

2

)

1()(-=

n n A l ；

（Ⅲ）)(A l 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 解：（Ⅰ）由,1486,1284,1064,1082,862,642=+=+=+=+=+=+ 得5)(=P l .

由,24168,20164,1284,18162,1082,642=+=+=+=+=+=+ 得6)(=Q l .--------------------5分

（Ⅱ）证明：因为)

1(n j i a a j i ≤<≤+最多有2

)

1(2

-=

n n C n 个值，所以

.

2

)

1()(-≤

n n A l

又集合}

2,,8,4,2{n

A =，

任取

),

1,1(,n l k n j i a a a a l k j i ≤<≤≤<≤++

当l j ≠时,不妨设l j <，则l

k l j j j i

a a a a a a +<≤=<++1

22，

即

l

k j i a a a a +≠+.

当k i l j ≠=,时，l

k j i a a a a +≠+.

因此，当且仅当l j k i ==,时， l k j i a a a a +=+.

即所有

)

1(n j i a a j i ≤<≤+的值两两不同，

所以

.

2

)

1()(-=

n n A l ---------------9分

（Ⅲ） )(A l 存在最小值，且最小值为32-n ． 不妨设

,

321n a a a a <<<< 可得

,

1213121n n n n a a a a a a a a a a +<<+<+<<+<+-

所以

)

1(n j i a a j i ≤<≤+中至少有32-n 个不同的数，即.32)(-≥n A l 事实上，设n

a a a a ,,,,321 成等差数列，

考虑

)

1(n j i a a j i ≤<≤+，根据等差数列的性质，

当n j i ≤+时，1

1-++=+j i j i a a a a ； 当n j i >+时，n n j i j i a a a a +=+-+；

因此每个和

)

1(n j i a a j i ≤<≤+等于

)

2(1n k a a k ≤≤+中的一个，或者等于

)

12(-≤≤+n l a a n l 中的一个.

所以对这样的32)(,-=n A l A ,所以)(A l 的最小值为32-n . ---------------13分

例2：（本小题满分12分）已知集合{}

2

120A x x x =--<，集合

{}0

822

>-+=x x x B ，

集合

{}

2

2

430,0C x

x ax a a =-+<≠，

（Ⅰ）求

()

R A C B ； （Ⅱ）若)(B A C ?，试确定实数a 的取值范围.

解答：（Ⅰ）依题意得：{}{34,4

A x x

B x x =-<<=<-或

}

2x >，

()(3,2]

R A C B =- ………4分

（Ⅱ）∴

{}

24A B x x =<< ①若0a =，则

{}2

0C x x =<=?

不满足()

C

A B ? ∴0a ≠ …6分

②若0a >，则{}3C x a x a =<<，由()C A B ? 得

24

2343a a a ≤??≤≤?

≥? ……………………8分

③若0a <，则{}3C x a x a =<<，由()

C A B ? 得32

4a a a ≤??∈??

≥?

…………………10分

综上，实数a

的取值范围为42

3

a ≤≤ ………………12分

【高考零距离】

1. （2012·湖南高考理科·Ｔ1）设集合M={-1,0,1}，N={x|x2≤x}，则M ∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,1}

【解题指南】 求出集合函数N 中所含有的元素，再与集合M 求交集。

【解析】选B. 由2

…x x 得

20x x -…，(1)0x x -…，01x 剟所以N={}

01x x

剟，所以

M I N={0,1}故选B

2. （2012·北京高考理科·Ｔ1）已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} ，B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0}， 则

A ∩B=（ ）

（A ） （-∞，-1）

（B ） （-1，-2

3） （C ）（-2

3,3）

（D ） (3,+∞)

【解题指南】通过解不等式先求出A 、B 两个集合，再取交集。

【解析】选D 集合A=

2

{|}

3x x >-，{|13}B x x x =<->或，所以{|3}A B x x => 。 3. （2012·广东高考理科·Ｔ2）设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则U C M =

A ．U

B ．{1,3,5}

C ．{3,5,6}

D ．{2,4,6} 【解题指南】掌握补集的定义：{|,}

U M x x U x M =∈?且e本题易解。

【解析】选C.

{3,5,6}

U M =e.

4. （2012·江苏高考数学科·Ｔ1）已知集合

{}{}

1,2,4,2,4,6A B ==，则A B =

【解题指南】从集合的并集的概念角度处理。 【解析】{1,2,4,6}= A B 答案：{1,2,4,6}

5．（2011·新课标全国文科·Ｔ1）已知集合

{}{}0,1,2,3,4,1,3,5,,

M N P M N === 则P 的

子集共有( )

A ．2个 B.4个 C.6个 D.8个

【思路点拨】确定M N 的元素个数n ，子集个数为2n

.

【精讲精析】选B 由已知得{1,3}P M N = ＝，∴P 的子集有2

24＝个.

6．（2011·福建卷文科·Ｔ12）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k 丨n ∈Z}，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论： ①2 011∈[1] ②-3∈[3]；

③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];

④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a -b ∈[0]”. 其中，正确结论的个数是（ ）

（A ）.1 （B ）.2 （C ）.3 （D ）.4

【思路点拨】根据题目中所给的“类”的概念，对逐个选项进行判断，从中找出正确的. 【精讲精析】选C. 对于①：201154021=?+，2011[1],∴∈故①正确；

对于②：-35-1+2?

＝（），-3[2]∴∈，故②不正确； 对于③: 整数集Z

[]50Z ∴=被除，所得余数共分为五类.[][][][]

1234

,故③正确；对于④：若整数,a b 属于同一类，则

1212125,5,5(5)5()5a n k b n k a b n k n k n n n

=+=+∴-=+-+=-=，

[]

0a b ∴-∈，若[0],-55,5a b a b n a b n a b -===+则，即故与被除的余数为同一个数

a b ∴与属于同一类，,a b 所以"整数属于同一类"的充要条件是“[]0"a b -∈，故④正确，∴正

确结论的个数是3.

7．（2011·福建卷文科·Ｔ1）若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M ∩N 等于( ) (A).｛0，1｝ (B).｛-1，0，1｝ (C).｛0，1，2｝ (D).｛-1，0，1，2｝

【思路点拨】直接取集合M 和集合N 的公共元素，即可得M N .

【精讲精析】选A. {-1,0,1}N {0,1,2}{0,1}.M M N ∴ ＝，＝，

＝

【考点提升训练】

一、选择题(每小题6分，共36分)

1.(预测题)设全集U=R ，A={x|x(x-2)<0},B={x|y=ln(1-x)}，则A ∩(eUB)是( ) (A)(-2，1) (B)(1，2) (C)(-2，1］ (D)［1，2)

2.（2012?龙岩模拟）集合A ＝{1

2

x |y x = },B={y|y=log2x,x>0},则A ∩B 等于（ ）

(A)R (B)? (C)[0,+∞) (D)(0,+∞)

3.(2012·蚌埠模拟)已知集合M={x|y=，集合N={y|y=x2-2x+1,x ∈R},则M ∩N=( )

(A){x|x ≤2} (B){x|x ≥2}

(C){x|0≤x ≤2} (D)?

4.设集合A={x||x-a|<1,x ∈R},B={x|1

5.（2012·三明模拟)已知集合A={x|(x2+ax+b)(x-1)=0},集合B 满足条件A ∩B ＝{1,2}，若U=R 且A ∩(eUB)={3},则a+b=（ ）

(A)-1 (B)1 (C)3 (D)11 6.集合S ?{1,2,3,4,5},且满足“若a ∈S ，则6-a ∈S ”，这样的非空集合S 共有 ( ) (A)5个 (B)7个 (C)15个 (D)31个

二、填空题(每小题6分，共18分)

7.(2012·安庆模拟)设集合A={5，log2(a+3)}，集合B={a,b}，若A ∩B={2}，则A ∪B=_______. 8.已知集合A={x|x ≤a},B={x|1≤x ≤2},且A ∪eRB=R,则实数a 的取值范围是________. 9.已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},且A ∩B=A ∪B ，则a=_______. 三、解答题(每小题15分，共30分)

10.（易错题）已知集合A={-4，2a-1，a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a 的值. (1)9∈(A ∩B); (2){9}=A ∩B.

11.(2012·天水模拟)已知集合A={x|a-1

【探究创新】

(16分)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x2-(2m+1)x+2m<0}.

(1)当m<1

2时，化简集合B；

(2)若A∪B=A，求实数m的取值范围；

(3)若eRA∩B中只有一个整数，求实数m的取值范围. 答案解析

1.【解析】选D.由x(x-2)<0得0

∴A={x|0

由1-x>0得x<1，∴B={x|x<1},

∴eUB={x|x≥1},

∴A∩(eUB)={x|1≤x<2}.

2.【解析】选C.A={

1

2

x|y x

=}={x|x≥0}=[0,+∞),B={y|y=log2x,x∈(0,+∞)}=R,∴A∩B=[0,+∞).

3.【解析】选C.由2-x≥0得x≤2，∴M={x|x≤2},

∵y=x2-2x+1=(x-1)2≥0.

∴N={y|y≥0},∴M∩N={x|0≤x≤2}.

4.【解析】选C.由|x-a|<1得a-1

5.【解析】选B.由题意知A={1,2,3}，即2，3是方程x2+ax+b=0的两根，

∴b=2×3=6,a=-(2+3)=-5,∴a+b=1.

6.【解析】选B.若满足条件,则单元素的集合为{3};两个元素的集合为{1,5}，{2,4};三个元素的集合为{1,3,5},{2,3,4};四个元素的集合为{1,2,4,5}；五个元素的集合为{1,2,3,4,5}，共有7个.

7.【解析】∵A∩B={2},∴2∈A,则log2(a+3)=2.

∴a=1,∴b=2.∴A={5,2},B={1,2}.

∴A∪B={1,2,5}.

答案:{1，2，5}

8.【解析】∵eRB=(-∞，1)∪(2，+∞)且A∪eRB=R，∴{x|1≤x≤2}?A，

∴a≥2.

答案：［2，+∞)

9.【解题指南】解答本题有两个关键点：一是A∩B=A∪B?A=B;二是由A=B，列方程组求a,b 的值.

【解析】由A∩B=A∪B知A=B，∴

2

a2a

b b

a b

=

?

?

=

?

?≠

?或

2

a b

b2a

a b

?=

?

=

?

?≠

?

解得

a0

b1

=

?

?

=

?或

1

a

4

1

b

2

?

=

??

?

?=

??，∴a=0或a=

1

4.

答案：0或1 4

10.【解析】(1)∵9∈(A∩B),∴9∈A且9∈B,

∴2a-1=9或a2=9,

∴a=5或a=-3或a=3,

经检验a=5或a=-3符合题意.

∴a=5或a=-3.

(2)∵{9}=A∩B，∴9∈A且9∈B，

由(1)知a=5或a=-3

当a=-3时，A={-4，-7，9}，B={-8，4，9}，

此时A∩B={9},

当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},

此时A∩B={-4，9},不合题意.

综上知a=-3.

【变式备选】已知全集S={1，3，x3+3x2+2x},A={1,|2x-1|}，如果eSA={0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x,若不存在,请说明理由.

【解析】∵eSA={0},∴0∈S,0?A,

∴x3+3x2+2x=0,

解得x=0或x=-1，或x=-2.

当x=0时，|2x-1|=1不合题意；

当x=-1时，|2x-1|=3∈S，符合题意;

当x=-2时，|2x-1|=5?S,不合题意.

综上知，存在实数x=-1符合题意.

11.【解析】∵A∩B=?,

(1)当A=?时，有2a+1≤a-1?a≤-2;

(2)当A≠?时，有2a+1>a-1?a>-2.

又∵A∩B=?，则有2a+1≤0或a-1≥1?

a≤- 1

2或a≥2,∴-2

1

2或a≥2,

由以上可知a≤- 1

2或a≥2.

【方法技巧】集合问题求解技巧

(1)解答集合问题,首先要正确理解集合的有关概念,特别是集合中元素的三个特性,对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重视图示法

的作用,通过数形结合直观解决问题.

(2)注意?的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如A?B,则有A=?或A≠?两种可能,此时应分类讨论.

【探究创新】

【解析】∵不等式x2-(2m+1)x+2m<0?(x-1)(x-2m)<0.

(1)当m<1

2时，2m<1,∴集合B={x|2m

(2)若A∪B=A,则B?A,∵A={x|-1≤x≤2},

①当m<1

2时,B={x|2m

-1

2≤m<

1

2;

②当m=1

2时,B=?,有B?A成立;

③当m>1

2时,B={x|1

1

2

综上所述，所求m的取值范围是-1

2≤m≤1.

(3)∵A={x|-1≤x≤2}, ∴eRA={x|x<-1或x>2},

①当m<1

2时,B={x|2m

-3

2≤m<-1;

②当m=1

2时,不符合题意;

③当m>1

2时,B={x|1

3

2

综上知,m 的取值范围是-32≤m<-1或3

2

【思维总结】

集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。

1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如∈、?、?、、=、

R C A

、∪，∩等等；

2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn 图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn 图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）； 3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。

① 区别∈与、与?、a 与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A ?B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ

③若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n

2，所有真子集的个

数是n 2－1, 所有非空真子集的个数是22-n

④区分集合中元素的形式：

如}12|{2

++==x x y x A ；

}

12|{2

++==x x y y B ；

}

12|),{(2

++==x x y y x C ；

}

12|{2

++==x x x x D ；

}

,,12|),{(2

Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；

}

12|)',{(2

++==x x y y x F ；

}

,12|{2

x y

z x x y z G =

++==

⑤空集是指不含任何元素的集合。}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 ⑥符号“

?

∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；

?”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。符号“,