弹性力学平面问题求解的哈密顿体系
哈密顿系统一些保结构算法的构造和分析
哈密顿系统一些保结构算法的构造和分析一切真实的,耗散可忽略不计的物理过程都可以用哈密顿系统进行描述.哈密顿系统有两个最重要的性质,一个是辛结构,另一个就是能量守恒.正确计算哈密顿系统非常重要.近年来,能够保持哈密顿系统辛结构或能量的保结构方法已经得到了很大的发展.本文讨论哈密顿系统一些保结构算法的构造和分析,主要研究成果如下：I.近几年,人们构造了等离子物理中洛伦兹力系统的保结构格式,比如保体积格式和保辛格式.然而这些格式都不能保持系统能量.我们把洛伦兹力系统写为一个非典则的哈密顿系统,然后利用Boole离散线积分方法进行求解,得到洛伦兹力系统的一个新的格式.该方法可以保持系统哈密顿能量达到机器精度.II.我们研究如何利用二,三和四阶AVF方法求解哈密顿偏微分方程.对非线性薛定谔方程,空间用Fourier拟谱方法半离散,时间用三个AVF方法进行离散,得到该方程三个不同精度的AVF格式.我们用数值实验验证了这三个格式的精度和保能量守恒特性.III.基于根树和B-级数理论,我们给出了5阶树的带入规则的具体公式.利用新得到的带入规则,我们把二阶AVF方法提高到高阶精度,给出了一个新的AVF方法.我们证明了,新方法具有6阶精度,并且可以保持哈密顿系统能量.我们利用六阶AVF方法求解非线性哈密顿系统,并测试了其精度和能量守恒特性.IV.在哈密顿偏微分方程保结构算法框架下,我们研究了基于系统弱形式的空间离散方法.首先,空间用有限元法或谱元法对偏微分方程进行半离散,把得到的常微分方程组写成一个哈密顿系统.然后,我们用一个保结构方法对这个常微分哈密顿系统进行求解,得到一个全离散保结构格式.我们用这个方法对一维非线性薛定谔(NLS)方程进行求解,其中空间用Legendre谱元法,时间用AVF 方法,得到一个新的保能量方法.同样对一维NLS方程,我们在空间用Galerkin
弹性力学的平面问题解法
弹性力学的平面问题解法 发表时间：2018-10-22T13:37:54.003Z 来源：《防护工程》2018年第14期作者：朱曼丽 [导读] 文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段 朱曼丽 哈尔滨铁道职业技术学院黑龙江哈尔滨 150000 摘要：本文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段、方法，体会弹性力学的魅力，并为其它力学学科的学习打下基础。着眼于弹性力学求解方法中一些方法，通过其在平面问题中的应用来介绍几种方法的研究思路，研究方法以及优缺点。弹性力学作为固体力学的一个重要分支，它的研究对象是板、壳、实体以及单根杆件,它是研究弹性固体由于受外力作用，边界约束或者温度改变及其他一种或多种外界条件作用下产生的应力、应变和位移。它的研究对象是板、壳、实体以及单根杆件。 关键词：弹性力学；平面问题；解法 前言：弹性力学是材料力学问题的精确解，是结构力学，塑性力学等力学学科的基础，其广泛应用于土木工程、航空航天工程及机械工程等多个学科领域。并且随着科学技术手段的进步，电子计算机得以应用到弹性力学的计算分析中，这极大地促进了弹性力学问题的分析计算更加深入，促使了有限单元法得以实现。本文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段、方法，体会弹性力学的魅力，并为其它力学学科的学习打下坚实的基础。 1 问题解法 1.1解析法 解析法是根据研究对象在结构中的静力平衡条件，几何关系和物理关系建立边界条件，平衡微分方程，几何方程和物理方程，并以此求解应力分量，应变分量和位移分量的一种平面问题的精确解法。按求解时的基本未知量选取不同可分为按位移求解的位移法和按应力求解的应力法。第一个位移法：以位移为基本未知量时的基本方程如下： 位移边界条件如下 从上面的公式可以看出位移法求解平面问题时的基本未知量只有两个，与应力法的三个基本未知量相比求解简单很多，并且不但能求解位移边界条件，还能求解应力边界条件与混合边界条件。第二个应力法：应力法以应力分量作为基本未知量，由此平面问题的平衡微分方程，几何方程，物理方程以及边界条件经过推导可变为如下形式： 基本方程： 应力边界条件： 值得注意的是按应力求解时边界条件应全部为应力边界条件。对于位移边界条件，虽然在局部边界上可用圣维南定理转化为应力边界条件，但此时得到的解答已不是精确解，同时上述推导过程是基于平面应力问题的，对于平面应变问题应把弹性常数作相应调整。 1.2 数值解法 弹性力学平面问题的解法虽然针对某些问题来说可以得到精确解，但是其不适合实际工程中复杂问题的计算。相反的，数值分析方法虽然只是对实际问题的近似解答，但其求解时的过程清晰，步骤明确，便于编程，并且工程上常有安全系数的保证，因此近似解与不会对实际工程造成太大影响。从而使数值分析方法在工程问题中得到大量应用。数值分析方法有以下三种：差分法：用差分方程替代平衡微分方程，将求解微分方程变为求解代数方程，简化了计算。变分法：变分法其实是一种能量法，以外力所做的功及弹性体的应变势能来建立弹性力学的求解方程。其中基本未知量为弹性体的虚位移，运用的基本原理为虚位移原理和最小势能原理。有限单元法：在力学模型上进行近似将弹性体简化为有限个单元体，且各单元体之间仅在有限个结点处交铰结而成的结构物。然后进行单元分析，形成单元刚度矩
弹性力学试卷及答案
一、概念题（32分） 1、 如图所示三角形截面水坝，其右侧受重度为的水压力作用，左侧为 自由面。试列出下述问题的边界条件 解：1）右边界（x=0） 1 1 2）左边界（x=ytg ） 1 1 由： 2 2 2、何谓逆解法和半逆解法。 答：1. 所谓逆解法，就是先设定各种形式、满足相容方程的应力函 数，利用公式求出应力分量，然后根据应力边界条件考察在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知设定的应力函数可以解决什么问题。 4 2. 所谓半逆解法，就是针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状与受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数，然后考察该应力函数是否满足相容方程，以及原来假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，就可得到正确解答；如果某一方面不能满足，就需要另作假设，重新考察。 4 3、已知一点的应力状态，试求主应力的大小及其作用的方向。 200,0,400x y xy MPa MPa σστ===- 解：根据公式2 12 2 2 2 x y x y xy σσσσστσ+-??=+ ?? ? 2 和公式11tan x xy σσ ατ-= ，求出主应力和主应力方向： 2 ()220002000512.321400312.3222MPa σσ+-=+-=-?? ??? 2 512200tan 0.7808,3757'11400 αα-==-=-o 2 4、最小势能原理等价于 以位移表示的平衡微分 （3） 方程和 应力 （3） 边界条件，选择位移函数仅需满足 位移 （2） 边界条件。 二、图示悬臂梁，长度为l , 高度为h ，l >>h ，在梁上边界受均布荷载。 试检验应力函数 523322ΦAy Bx y Cy Dx Ex y =++++ 能否成为此问题的解，如果可以，试求出应力分量。（20分） y y y n x 000y x x xy x σγτ=-===() () cos ,cos cos ,cos()2sin l n x m n y βπββ====+=-() () () () x y l m x xy s s l m xy y s s f f σττσ+=+=??? ??( ) ()()()cos sin 0cos sin 0x xy s s xy y s s σβτβτβσβ-=+=??? ??
哈密顿系统的数学建模与动力学分析.
1 引言 Hamilton动力系统理论有着悠久而丰富的历史，它本身是Lagrange力学的升华与推广，从数学角度看又是一门内容精深的相空间几何学，如辛几何、辛拓扑等都源于此.近几十年来，随着纯数学理论的不断发展与计算机的普遍应用，Hamilton动力系统理论又成为当今非线性科学中极其活跃而富有魅力的研究领域.由于这类系统广泛存在于数理科学、生命科学以及社会科学的各个领域，特别是天体力学、等离子物理、航天科学以及生物工程中的很多模型都以Hamilton系统的形式出现，因此该领域的研究多年来长盛不衰.本文利用Hamilton原理推导出了Hamilton系统的正则方程.最后利用Hamilton正则方程给出一个具体物理实例的数学模型并对其进行动态模拟仿真.
2 预备知识 2.1 状态空间的基本概念 1）状态 任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，系统在0t 时刻的状态是0t 时刻的一种信息量，它与此后的输入一起惟一地确定系统在0t t ≥时的行为. 2）状态变量 状态变量是一个完全表征系统时间域行为的的最小内部变量组. 3）状态向量 设系统有n 个状态变量，用()()()12,, ,n x t x t x t 表示，而且把这些状态变量看做向量 ()x t 的分量，则向量()x t 称为状态向量，记为 ()()()()12,, ,T n x t x t x t x t =????. 4）状态空间 以状态变量()()()12,,,n x t x t x t 为轴的n 维实向量空间称为状态空间. 5）状态方程 描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）称为系统的状态方程，它表征了输入对内部状态的变换过程，其一般形式为： ()()(),,x t f x t u t t =???? 其中，t 是时间变量，()u t 是输入变量. 6）输出方程 描述系统输出量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，它表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变换，是一个变化过程.输出方程的一
弹性力学复习思考问题
弹性力学各章复习思考题及应掌握内容 第一章绪言 1．何谓体力和面力? 它们的因次和方向如何? 2，标出物体内某点P的应力状态，即正六面体上正应力和剪应力．何谓正面和负面? 正负面上应力如何确定正负号? 3．写出六个应力分量和应变分量的符号，何谓剪应变?正负号如何确定? 4．弹性力学中的基本假定是什么?其含义是什么? 第二章平面问题的基本理论 1．平面应力问题和平面应变问题的条件和特点是什么?试举例说明之． 2．标出作用在微元体上的应力分量，写出平面问题中的平衡微分方程，其实质是什么? 3．平面问题的几何方程有几个?如何表示?其实质是什么? 4。写出平面应力问题的物理方程，如何求出平面应变问题的物理方程? 5．弹性力学问题分为几类边界条件? 应力边界条件和位移边界条件是如何表示的?当边界垂直于某一坐标轴时其应力边界条件如何简化? 6．何谓圣维南原理?试用矩形板中心受拉的受力情况加以说明之．7．试说明解答弹性力学问题按基本未知量划分的三种基本方法，其中哪种方法最常用?按应力求解平面问题的基本思路是什么? 8．形变协调方程(应变相容方程)如何表示?如不满足时会出观什么现象? 9．在平面应力问题中，用应力表示的相容方程如何表示？在常体力情况下应力相容方程如何简化? 10．在平面应力问题中，用应力求解，，是利用 (1)平衡微分方程 (二个)(2)应力相容方程(一个)（3）边界条件及位移单植条件 求出． 11．应力函数(x，y)表示的相容方程是什么?其成立的条件是什么? 12．如何由应力函数求得应力分量? 13．按应力求解平面问题时的步骤如何？ 第三章平面问题的直角坐标解答
1．何谓逆解法，何谓半逆解法?试举例说明． 2．逆解法，半送解法求解平面应力问题时的计算步骤。 3．用逆解法求平面问题时常用多项式，其中最常用的有—次式，二次式和三次多项式． 4．一次多项式有什么特点? 5。二次多项式，三次多项式能解决哪些重要的实际问题? 6．如何应用逆解法求出矩形纯弯曲时的应力分量和位移分量? 7。如何应用半逆解法求出简支梁受均布荷栽时的应力分曼?其结果与材抖力学所得结果有何异同． 8．如何应用因次分析法求解锲形体受重力和液压力时的应力分量? 第四章平面问题的极坐标解答 1．极坐标中的平衡微分方程，物理方程和几何方程． 2．极坐标中的应力函数与相客方程如何导出． 3．轴对称问题的特点是什么?轴对称应力和轴对称位移公式如何计算? 4．如何求出圆环或圆筒受均布压力作用下的应力分量? 5．何为位移的单值条件?如何用于圆环受均布压力的问题? 6．在解圆孔的孔边应力集中时作了哪些假定?如何求解带孔矩形板在四边受拉荷栽作用下的应力分量? 7．如何求解锲形体在锲顶受集中力时的应力分量? 8．如何求解半平面体在边界上受法向集中力时的应力和位移? 第六章用有限单元法解平面问题 1．有限元法解平面问题时分为哪三个主要过程?如何将连续弹性体变换为离散结构单元分析和整体分析的主要任务是什么? 2．何谓结点力{ } 和结点荷载{F} ，两者有何关系? 3．三角形的位移模式是怎样确定的? 它必须满足那三个条件? 4．何谓形函数Ni(i，j，m)，它有何特性? 5．何谓形函数矩阵[N]，它表示什么关系? 6．名词解释：单元刚度矩阵[k]；整体刚度矩阵[K]；应力转换矩阵[S]；弹性矩阵[D];几何矩阵[B]；虚功方程． 7．如何由虚功方程导出单元的刚度矩阵?
对数哈密顿方法及其应用
对数哈密顿方法及其应用 天体力学数值方法作为天体力学的重要领域之一在辛算法的提出后得到长足发展,辛算法保持哈密顿系统辛结构且计算过程中系统没有能量和角动量的长期误差累积。辛算法适用于哈密顿系统的长期定性演化研究同时也具有数值精度不高、显辛算法要求固定步长的不足。 通常积分计算天体紧密交汇问题或大偏心率轨道运动都需缩短步长来克服天体受引力过大而剧增的加速度,直接变步长将丢失辛算法保持辛结构的优势,考虑时间变换的思路,原时间变量取变步长而新的时间变量仍为固定步长,则既能调节步长又能保持辛算法固有优势。本文的主要内容为构造针对不同哈密顿系统的对数哈密顿算法及论证其在具有更高的数值精度和保证获得有效的混沌判别结果方面的优势。 针对不同的哈密顿系统结构构造不同形式的时间变换辛算法。对于可分解为分别只含状态量广义动量和广义坐标的动能部分和势能部分的哈密顿函数,可构造取时间变换函数为形式不同但等价的两个函数得到显式对数哈密顿方法,其中时间变换作用于哈密顿函数,本文构造了由三个二阶蛙跳算子构成的显式对数哈密顿Yoshida四阶方法。 对于动能部分具有广义动量和广义坐标的交叉项而势能部分仅含位置变量的系统构造显隐式混合对数哈密顿方法,对于动能部分应用隐式中点法。而对于更一般的系统则构造隐式对数哈密顿方法。 隐式方法具有更广泛的应用但也由于算法构造中包括迭代需耗费更多的计算机时间降低计算效率。本文详细论证了显式对数哈密顿方法在应用于牛顿圆型限制性三体问题及相对论圆型限制性三体问题时较于非时间变换辛算法更具数
值精度优势。 且在前一系统的精度优势独立于轨道偏心率的变化。对于后一系统这一现象未能发生但数值精度也明显优越于常规辛算法。 特别对于高偏心率轨道,非时间变换算法得到的虚假的混沌判别指标,如Lyapunov指标和快速Lyapunov指数(FLI)。而通过对数哈密顿方法则可获得可靠地定性分析结果,彻底地解决后牛顿圆型限制性三体问题的高偏心率轨道Lyapunov指数的过度估计和FLI快速增大的问题。 在得到论证后本文应用对数哈密顿方法讨论了动力学参数两主天体间距离的变化对动力学系统有序和混沌转化的影响。本文通过数值模拟验证了对数哈密顿方法具有更高的数值精度及可得到可靠的定性研究成果的优势。 适用于定性研究和定量计算高偏心率问题,为天体力学研究开拓了新思路。在实际的天体紧密交汇处的动力学演化提供反映动力学实质的积分工具。
耗散动力学系统的广义哈密顿形式及其应用
耗散动力学系统的广义哈密顿形式及其应用经典力学中所研究大部分系统不是保守系统,所以很难将这类系统表示为经典的哈密顿力学形式(偶数维)以及与此等效的拉格朗日力学形形式或最小作用量变分原理形式。由于这几种数学形式是数值计算方法中辛几何算法的的基础和现代物理学的基础,所以极大地限制了辛几何算法在耗散系统的数值模拟领域的应用以及耗散系统的量子化等理论物理领域中的应用。 耗散动力学系统长时间跟踪问题是当前非线性力学研究领域的难点之一。对于低维耗散动力学系统,可以用各种半解析方法(小参数法,摄动法)求解。 即便如此,对于长时间跟踪,也存在所谓久期项问题(由方法本身的误差累积导致)。对于高维耗散动力系统,直接应用解析方法显然是十分困难的。 因此多采用数值方法求解该类问题。但是不同的数值方法求解的结果可能会有较大偏差,甚至相差甚远,而且大部分问题是缺乏判断其算法偏差量的参考标准的。 所以为这类问题挑选或者创立公认可行的数值积分方法,成为一个问题。我国著名学者冯康先生提出并研究了在保守系统领域的这类问题,给出了辛几何算法的思想并系统的表述构造辛差分格式的一般方法,指出了原有差分格式中的适于长时间跟踪的格式。 钟万勰先生发展了这种思想,进一步提出了时间有限元和精细积分的的思想,并对耗散动力学系统引入辛算法作了尝试。本文的最初的目的是在转子稳定性分析等耗散动力学问题中使用辛数值积分方法(或者说利用辛几何算法的思想找到合适的算法)。 为达到此目的研究了耗散系统和保守系统的一种特殊关系,在此基础上用相
应的保守系统的数值解替代原耗散系统,即将辛数值方法应用求解相应的保守系统来得到所要研究系统的数值解。在这种关系的基础上,借鉴流体力学的广义哈密顿方程和最小作用量变分原理,将耗散系统表示成一种无穷维广义哈密顿系统,相应地带来一种新型的最小作用量变分原理。 可以将冯康文献中广义哈密顿系统辛算法的思想应用于求解这个特殊的无穷维哈密顿系统。上述最小作用量变分原理,可以和路径积分量子力学形式结合,应用于量子力学领域。 以上工作的主要创新点可以归纳如下：1.发现了耗散力学系统和某一保守力学系统相曲线重合原理：对于一个耗散力学系统和它一个初始条件,对应于不同时间区段一定存在一族保守力学系统,这族保守力学系统和耗散力学系统有且仅有一条共同的相曲线；这族保守系统的哈密顿量就是前述耗散力学系统的总能。对于非保守的振动问题来说,这个保守系统就是一个非线性保守力学系统,其中的保守力在某一初始条件下和非保守振子系统的阻尼力和恢复力之和相等,那么其在相空间运动轨迹必然相同。 在此基础上,引入了无穷维广义哈密顿格式来表示耗散力学系统,在其中定义了一个新的哈密顿量,并且引入了新的泊松括号,这个格式类似于表示等离子问题和理想流体的广义哈密顿格式。在这里把耗散力学系统看作是相空间内一种特殊流体(内部无压力),初始条件看作是物质坐标,上述轨迹重合的保守力学系统的哈密顿量看作是哈密顿量密度。 对应于经典的哈密顿变分原理,这个广义哈密顿格式等效于一个新的变分原理。在这个变分原理中作用量为相空间的某一区域中所有微元的作用量之和。 2.从创新点1出发本文研究了有阻尼振动问题的中心差分格式,发现中心差
《弹性力学》试题参考答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟） 一、填空题（每小题4分） 1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D =?? 2?的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩 M 。 4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数?在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力 的矩 。 5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,=+i j ij X σ ，)(2 1,,i j j i ij u u +=ε。 二、简述题（每小题6分） 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数?的分离变量形式。 题二（2）图 （a ）???=++= )(),(),(222θθ??f r r cy bxy ax y x （b ）???=+++= )(),(),(3 3223θθ??f r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试 求薄板面积的改变量S ?。 题二（3）图
哈密顿原理
§7-4 哈密顿原理 人们为了追求自然规律的统一、 和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律. 牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架. 哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架. 哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义. 一、变分法简介 1. 函数的变分. 自变量为x 的函数表示为)(x y y =. 函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化. 函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起
的. 这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ. 与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下: )()0,(),(* x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成 ()()()x x y x y y εηε=?=0,,δ* 在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动. q t d d →函数的微分. 在曲线I 附近, 存在 着许多相邻曲线, 这些曲 线都满足力学系统的约束 条件, 称为可能运动曲线, 它们的方程表示为 ()()()t t q t q εηε+=0,,* 在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ, ()()()t t q t q q εηεδ=?=0,,*
约束Hamilton系统的稳定性研究
约束Hamilton 系统的稳定性研究 郑明亮1) 傅景礼 2) 1)(浙江理工大学 机械设计与控制学院 杭州 310018） 2)(浙江理工大学 理学院 杭州 310018） 摘要：本文给出了一种约束Hamilton 系统的稳定性判断方法。首先，提出将因系统奇异性导致的内在限制方程看作是非完整约束方程，采用Routh 方法导出了约束Hamilton 系统的运动正则方程。其次，将约束Hamilton 系统转化成力学梯度系统，给出转化微分方程表示的条件和表达形式；接着，根据梯度系统的性质结合李雅普诺夫的一次近似理论直接来判定约束Hamilton 系统的平衡位置稳定性。最后，举例说明结果的应用。 关键词：约束Hamilton 系统；梯度系统；李雅普诺夫；稳定性 PACS:45.10.Hj,02.30.Hq 1引言 力学系统的运动稳定性在数学、力学、航空、航海、航天、新技术和高技术中得到广泛应用，发挥了越来越大的作用[1]。关于稳定性的问题Lyapunov 首先给出了稳定性的严格数学定义，并提出一种研究运动稳定性的直接方法。Bottema [2]研究了在·ГAO Ⅱ?意义下，各种力学系统平衡位置的稳定性判断方法。Risito [3]和 Laloy [4]总结了保守系统和耗散系统的平衡和运动稳定性，得到线性、齐次、定常非完整系统平衡位置稳定与不稳定的一些更特殊的结果。我国著名力学专家梅凤翔[5]系统地论述了约束力学系统的运动稳定性问题。朱海平 [6]研究了非完整系统的稳定性。傅景礼等[7-8]研究了相对论性和转动相对论性Birkhoff 系统的平衡稳定性。Zhang [9]利用Noether 守恒量构造了Lyapunov 函数，研究了广义Birkhoff 系统的运动稳定性。姜文安等[10]研究了广义Hamilton 系统的运动稳定性。Cheng [11]研究了系统参数对带附加广义力项的约束力学系统运动稳定性的影响。 在Legendre 变换下，奇异Lagrange 系统在过渡到相空间用Hamilton 正则变量描述时,其正则变量之间存在固有约束，称之为约束Hamilton 系统[12]。机械工程和数学物理上许多重要的动力系统是约束Hamilton 系统，如非树形多体机器人系统动力学模型一般为微分/代数方程组形式[13]、光的横移现象和量子电动力学[14]等。但是，关于约束Hamilton 系统的稳定性研究一直鲜有报道。如果一个力学系统能够成为梯度系统，那么就可用梯度系统的特性来研究力学系统的性质, 特别是运动稳定性质[15]。本文研究仅含第二类约束的约束Hamilton 系统的稳定性，将其转化成梯度系统，直接利用Lyapunov 定理来研究其平衡稳定性。 2约束Hamilton 系统的正则方程 设力学系统的位形由n 个广义坐标),...,1(n s q s =来确定，系统的Lagrange 函数为 ),,(q q t L ，广义动量为),...,1(n s q L p s s =??= ，设L 的Hess 矩阵?? ???????k s q q L 2的秩为n r <。 引入系统的Hamilton 函数为),(1q p,t L q p H n i i i -=∑= ，将奇异Lagrange 系统描述过渡到Hamilton 系统描述时，在相空间中正则变量之间存在代数约束方程： ),...,1(,0),(r n j t j -==Φq p, (1)
最新弹性力学复习重点+试题及答案【整理版】
弹性力学2005 期末考试复习资料一、简答题1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？ 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？ 试作简要说明。 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和 混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。如何确定它们的正负号？ 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：σx、σy、σz、τxy、τyz、、τzx。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。 答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定：（1）假定物体是连续的。 （2）假定物体是完全弹性的。 （3）假定物体是均匀的。 （4）假定物体是各向同性的。 （5）假定位移和变形是微小的。 符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5．什么叫平面应力问题？什么叫平面应变问题？各举一个工程中的实例。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。 平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6．在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑？各方面反映的是那些变量间的关系？ 答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方 面主要反映的是形变分量与应力分量之间的关系，也就是平 面问题中的物理方程。
哈密顿原理
牛顿质点动力学 1 牛顿第二定律 dt d p f 从三个方面来应用： 全局性研究：对称性、守恒律、稳定性； 局部研究：平均值、动量定理、动能定理； 瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性； 2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题； 3 从动力学观点上升到能量的观点。 哈密顿原理、保守力及其势 4 五大类典型模型 概括： 一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）； 二种建模方法：动力学方法、能量法； 三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部） 求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时）； 四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）； 五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模
式） 哈密顿原理、对称性和稳定性 1.拉格朗日函数和哈密顿量 拉格朗日函数L 对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量),,(t q q L i i 来描述，其中i q 是广义坐标，=i q dt dq i /是广义速度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有φθ,两个，其中?θcos sin R x =，θ?θcos ,sin sin R z b R y ==；一般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。 在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势能之差；U T L -= 哈密顿量H 物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述，在保守力作用下，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和 ),,(t p q H i i =U T +（i=1，2…s ） 其中)(/i i q L p ??=是广义动量，哈密顿量是广义坐标和广义动量的函数，在直角坐标下对于质点运动的广义动量可
弹性力学部分简答题
1、 简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。 在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。 在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。 2、简述弹性力学的研究方法。 答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。 3、弹性力学中应力如何表示正负如何规定 答：弹性力学中正应力用σ表示，并加上一个下标字母，表明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用τ表示，并加上两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。对应的应力分量只有x σ，y σ，xy τ。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化，对应的位移分量只有u 和v 5、简述圣维南原理。 ！ 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。 6、简述按应力求解平面问题时的逆解法。 答：所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数；并由应力分量与应力函数之间的关系求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
哈密顿系统中混沌的几何判据
哈密顿系统中混沌的几何判据 【摘要】：用几何方法研究哈密顿系统的混沌是近二十年来出现的新领域。本论文研究了几类典型的哈密顿系统,并给出了一系列哈密顿系统混沌的几何判据,揭示了哈密顿系统内在的几何性质与其混沌行为的本质联系。第二章我们推广了L.Horwitz等人在2007年提出的判断混沌的几何方法,使得该方法不仅适用于标准哈密顿系统,还适用于势能与动量弱耦合的情况。提出了平均不稳定比(MUR)的概念,并对Dicke模型的经典系统做了计算。推广的方法MUR不仅和Poincare 截面方法的结果吻合得很好,而且在数值稳定性上优于人们熟知的最大李雅普诺夫指数方法。第三章主要研究了二维哈密顿系统势能面、等势线与混沌之间的关系。我们发现势能面的凹陷区域是稳定区域,凸起区域和既不凸也不凹的区域都是不稳定的。另外还证明了如果系统的等势线有凹向平衡点的部分,系统将是不稳定的。以此为依据我们提出了判断二维哈密顿系统混沌的平均凸指标(MCI)和凹比率(CR)。我们对典型的混沌模型进行数值计算后,发现MCI、CR和Poincare截面、L.Horwitz等人的新几何方法的数值结果完全一致。MCI和CR直观简洁,为混沌的几何研究方法提供了新观点和新内容。第四章研究了Dicke模型中混沌与几何相位之间的联系。当光场和原子的耦合强度增大至临界点时,Dicke系统的能级间距概率分布从泊松分布变为Wigner分布,而Wigner分布被视为量子混沌的标志,这说明Dicke量子系统在临界点开始出现量子混沌；与Dicke量子系统对
应的经典系统在临界点也从规则运动变为混沌运动。在临界点处Dicke量子系统基态的几何相位即Berry相位也发生了剧烈的变化。我们引入了几何相位阶数的概念,Dicke系统几何相位的阶数在临界点从有限值跃变为∞。我们把Dicke量子系统基态几何相位阶数的跃变作为量子混沌出现的标志。【关键词】：哈密顿系统混沌量子混沌几何方法几何相位 【学位授予单位】：山西大学 【学位级别】：博士 【学位授予年份】：2011 【分类号】：O415.5 【目录】：中文摘要8-10ABSTRACT10-12第一章绪论12-341.1混沌研究简史12-141.2混沌的基本特征14-171.3哈密顿系统中的混沌17-241.3.1哈密顿力学17-201.3.2KAM定理20-241.4混沌研究的常用方法24-31参考文献31-34第二章混沌研究的几何方法34-502.1混沌研究的几何方法34-372.2混沌的新几何判断方法37-422.3推广的新几何判断方法42-462.4小结46-47参考文献47-50第三章二维哈密顿系统中的势能面、等势线与混沌50-683.1二维哈密顿系统的不稳定判据50-523.2二维哈密顿系统中的势能面与混沌52-573.3二维哈密顿系统中的等势线与混沌57-653.4小结65-66参考文献66-68第四章混
随机哈密顿系统的变分积分子与生成函数
随机哈密顿系统的变分积分子与生成函数 哈密顿系统具有辛结构，冯康院士等提出了保持这种结构的辛几何算法。变分积分子和生成函数是两种系统性构造辛算法的方法，前者基于确定性系统的作用积分和欧拉-拉格朗日方程，以及一个辛映射的等价形式，后者基于此等价形式和一系列等价的坐标变换，以及哈密顿-雅可比偏微分方程及其近似解。 对于随机系统，Milstein等根据辛结构的保持提出随机哈密顿系统的定义，并给出一些随机辛方法。这些方法主要是将确定性系统的辛方法进行适当调整，使之符合随机系统数值方法相容性及可实现性的要求。相对于确定性系统，随机辛算法的研究尚处于起步阶段，特别是对随机变分积分子和生成函数的探讨在文献中还未见到。 受非保守系哈密顿及拉格朗日方程形式的启发，我们从假定白噪声为影响系统的非保守力出发，构造出随机哈密顿系统的拉格朗日方程和作用积分，证明了随机哈密顿原理，在此基础上，并基于一个随机辛方法的等价形式，提出了随机变分积分子理论。经等价坐标变换，找到三种类型的随机生成函数，并推导了随机哈密顿-雅可比偏微分方程，找到了一种近似求解随机哈密顿-雅可比偏微分方程的方法，从而使利用随机生成函数构造随机辛算法成为可能，并且可以在理论上控制算法的收敛阶。对文献中一些已有的辛算法，我们给出了其生成函数，并将带可加噪声哈密顿系统的随机辛Runge-Kutta方法扩展为应用于一般随机哈密顿系统的辛Runge-Kutta方法，给出了它的三种类型的生成函数。理论分析及数值实验表明，随机变分积分子及生成函数是系统性构造随机辛格式的有效方法，这些构造出的辛格式具有长时间保持随机系统原有结构的优越特性。 关键词:随机哈密顿系统，辛结构，变分积分子，生成函数
弹性力学的半逆解法
弹性力学的半逆解法研究 指导老师：刘平 姓名：曹天阁 班级：研13 学号：M13746
弹性力学的半逆解法研究 姓名：曹天阁学号：M13746 摘要:利用应力平衡方程和相容方程的特点，根据问题的应力边界条件以应力分量的函数表达式作为试函数求解弹性力学问题。这种方法简化了计算过程。本文推荐用剪应力函数求解问题较为容易。 关键词:弹性力学;解析法;应力函数 THE SEMI- REVERSE METHOD TO SOLVE PROBLEMS OF THE ELASTICITY Abstract:Stress component functions are used to solve the problems of elasticity based on the equilibrium equations and stress compatible equation according to boundary conditions。Shear stress function is recom2mended to solve the elasticity problems。 Key words:elasticity;analysis method;stress function 半逆解法是圣维南于1856 年提出来的，它是求解弹性力学问题十分重要的方法，在弹性力学中占有极重要的地位。半逆解法通常根据问题的应力边界条件以及结构的受力特点凑合出某应力分量的待定函数式，再根据假设的该应力分量函数式通过积分求出应力函数<从而求得各应力分量[1]。这种方法较为有效，但通过解平衡方程求应力函数<时要做消元运算，升高了微分方程的阶数，以至于运算过于复杂，很有改进的必要。 实际上，按应力求解时只要各应力分量满足平衡方程、应力相容方程和边界条件，则是问题的解。可以看出，在不考虑体积力的情况下各应力分量均取为常量是可以满足所有方程的。为此，我们可以在假设某一应力分量，利用平衡方程求出其余的应力分量后再代入相容方程求解。这样，由于未经过消元运算，所以方程的阶数较低，可以大大简化运算。如果所设函数不是问题的解，还可以通过放松边界条件，进而求出一组近似解[2]。由平衡方程可以看出，通过假设剪应力函数而用平衡方程求出其余应力分量较方便。 图1 受均布载荷的简支梁
弹性力学教学大纲
《弹性力学》课程教学大纲 课程代码：2010136 课程名称：弹性力学／Elastic Mechanics 课程类型：专业选修课（任选） 学时学分：32/2 适用专业：土木工程、勘查技术与工程、地球物理专业等 开课部门：防灾工程系 一、课程的地位、目的和任务 本课程是土木工程本科专业的一门专业选修课。本课程的教学目的，是使学生在理论力学、材料力学等课程的基础上进一步掌握弹性力学的基本概念、基本原理和基本方法，了解弹性体简单的计算方法和有关解答，提高分析问题和计算问题的能力。为学习有关专业课奠定初步的弹性力学基础。 二、课程与相关课程的联系与分工 本课程的先修课为高等数学、理论力学和材料力学等，后续课为土木工程、勘查技术与工程、地球物理等本科相关专业的专业课。理论力学研究质点或刚体在外力作用下的平衡和机械运动的一般力学规律，不涉及物体的形变与内力；材料力学研究杆件在外力作用下的位移、形变和应力分布，校核它们是否具有所需的强度和刚度；而弹性力学研究弹性体（如板壳、实体结构等）在外力作用下位移、形变和应力分布，可以解决材料力学无法解决的很多问题，并对杆状结果进行精确分析，以及验算材料力学结果的适用范围和精度。与材料力学相比，弹性力学的研究对象更为普遍，研究方法更为严密，计算结果更为精确，应用范围更为广泛。 三、教学内容与基本要求 第一章绪论 1.教学内容 弹性力学的研究对象、研究方法和基本假定。体力、面力、应力、应变和位移的基本概念及其记号和正负规定。 第一节弹性力学的内容
第二节弹性力学中的几个基本概念 第三节弹性力学中的基本假定 2.重点难点 重点：体力、面力、应力、应变和位移的正负规定 难点：应力正方向的确定。 3.基本要求 了解弹性力学的基本假定，理解体力、面力、应力、应变和位移的基本概念，掌握各种力的记号和正负号规定。 第二章平面问题的基本理论 1.教学内容 平面应力问题和平面应变问题的基本特点。平面问题的基本方程。应力边界条件和位移边界条件，圣维南原理及其应用。按应力求解平面问题，相容方程和位移单值条件。应力函数的引用。 第一节平面应力问题与平面应变问题 第二节平衡微分方程 第三节平面问题中一点的应力状态 第四节几何方程刚体位移 第五节物理方程 第六节边界条件 第七节圣维南原理及其应用 第八节按位移求解平面问题 第九节按应力求解平面问题相容方程 第十节常体力情况下的简化应力函数 2.重点难点 重点：平面模型，如何求解平面问题。 难点：如何抽象平面模型。边界条件。 3.基本要求 了解弹性力学解题思路。理解平面应力问题和平面应变问题的基本特点。掌握平面问题的基本方程、应力边界条件和位移边界条件的建立、圣维南原理及其应用、按应力求解平面问题、相容方程和位移单值条件。