2013届高考数学(文)二轮复习专题《三角函数的图象与性质》

2013届高考数学（文）二轮复习专题

三角函数的图象与性质

A 级

1．(2012·石家庄一模)下列函数中，周期为π且在????0，π

2上是减函数的是( ) A ．y ＝sin ????x ＋π

4 B ．y ＝cos ????x ＋π

4 C ．y ＝sin 2x

D ．y ＝cos 2x

解析： 因为y ＝cos 2x 的周期T ＝2π

2＝π，而2x ∈[0，π]，

所以y ＝cos 2x 在????0，π

2上为减函数，故选D. 答案： D

2．(2012·山东卷)函数y ＝2sin ????

π x 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1

D ．－1－ 3

解析： ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，

∴sin ????π6x －π3∈????－3

2，1∴y ∈[－3，2]， ∴y max ＋y min ＝2－ 3. 答案： A

3．已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ???π7，b ＝f ???π6，c ＝f ???π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A ．a ＜b ＜c

B ．c ＜a ＜b

C ．b ＜a ＜c

D ．b ＜c ＜a

解析： f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ????x ＋π

3， 因为函数f (x )在????0，π

6上单调递增， 所以f ????π7＜f ????

π6，

而c ＝f ????π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f (0)＜f ????π7， 所以c ＜a ＜b . 答案： B

4．将函数y ＝sin ωx (ω＞0)的图象向左平移π

6个单位长度，平移后的图象如图所示，则

平移后的图象所对应函数的解析式是( )

A ．y ＝sin ????x ＋π6

B ．y ＝sin ????x －π

6 C ．y ＝sin ?

???2x ＋π3 D ．y ＝sin ?

???2x －π3 解析： 将函数y ＝sin ωx (ω＞0)的图象向左平移π

6

个单位长度，平

移后的图象所对应的解析式为y ＝sin ω????x ＋π6，由图象知，ω????7π12＋π6＝3π

2，所以ω＝2.故选C.

答案： C

5．函数y ＝sin(ωx ＋φ)????ω＞0且|φ|＜π2在区间????π6，2π

3上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )

A.1

2 B.22 C.32

D.6＋2

4

解析： 函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1， 由该函数在区间????

π6，2π3上单调递减， 且函数值从1减小到－1， 可知2π3－π6＝π

2为半周期，

则周期为π，ω＝2πT ＝2π

π＝2，

此时原函数式为y ＝sin(2x ＋φ)，

又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象过点????π6，1，代入可得φ＝π6， 因此函数为y ＝sin ????2x ＋π

6， 令x ＝0，可得y ＝1

2，故选A.

答案： A

6．(2011·新课标全国卷)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π

2)的最小正周

期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )

A ．f (x )在???

?0，π

2单调递减 B ．f (x )在????

π4，3π4单调递减

C ．f (x )在???

?0，π

2单调递增 D ．f (x )在????

π4，3π4单调递增

解析： ∵f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ) ＝2sin ?

???ωx ＋φ＋π4， 又∵f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ????2x ＋φ＋π

4. 由f (x )＝f (－x )知f (x )是偶函数， 因此φ＋π4＝k π＋π

2

(k ∈Z )．

又|φ|＜π2，∴φ＝π

4

，∴f (x )＝2cos 2x .

由0＜2x ＜π知0＜x ＜π

2时，f (x )单调递减，故选A.

答案： A

7．已知函数f (x )＝?????

2cos π3x ，x ≤2 000，

x －12，x ＞2 000，则f [f (2 012)]＝________.

解析： ∵2 012＞2 000， ∴f [f (2 012)]＝f (2 000)． f (2 000)＝2cos 2 000π3＝2cos 2π

3

＝2cos ????π－π3＝－1. 答案： －1

8．已知函数f (x )＝2sin ????ωx ＋π

6与g (x )＝cos(3x ＋φ)＋2的图象的对称轴完全相同．若x ∈???

?0，π

9，则f (x )的最大值、最小值分别为________、________. 解析： 由函数f (x )＝2sin ????ωx ＋π

6与g (x )＝cos(3x ＋φ)＋2的图象的对称轴完全相同，得ω＝3.

所以f (x )＝2sin ?

???3x ＋π

6. 因为x ∈????0，π9，所以3x ＋π6∈????π6，π2. 所以f (x )＝2sin ?

???ωx ＋π

6∈[1,2]． 由三角函数的图象，知f (x )的最大值为f ????

π9＝2，f (x )的最小值为f (0)＝1. 答案： 2 1

9．函数y ＝tan ωx (ω>0)与直线y ＝a 相交于A 、B 两点，且|AB |最小值为π，则函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx 的单调增区间是________．

解析： 由函数y ＝tan ωx (ω>0)图象可知，函数的最小正周期为π，则ω＝1， 故f (x )＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin ????x －π

6的单调增区间满足： 2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )?2k π－π3≤x ≤2k π＋2π

3(k ∈Z )．

答案： ?

???2k π－π3，2k π＋2π

3(k ∈Z ) 10．已知函数f (x )＝4cos x ·sin ????x ＋π

6＋a 的最大值为2. (1)求a 的值及f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．

解析： (1)f (x )＝4cos x ·sin ????x ＋π6＋a ＝4cos x ·????32sin x ＋12cos x ＋a ＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＋1＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ?

???2x ＋π

6＋1＋a . ∴当sin ????2x ＋π

6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ， 又f (x )的最大值为2， ∴3＋a ＝2，即a ＝－1. f (x )的最小正周期为T ＝2π

2＝π.

(2)由(1)，得f (x )＝2sin ????2x ＋π6， ∴－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π

2＋2k π，k ∈Z ，

得－2π3＋2k π≤2x ≤π

3＋2k π，k ∈Z .

∴－π3＋k π≤x ≤π

6

＋k π，k ∈Z .

∴f (x )的单调递增区间为???

?－π3＋k π，π

6＋k π，k ∈Z . 11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π

2)的图象在y 轴上的截距为1，它在

y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)．

(1)求f (x )的解析式；

(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的1

3(纵坐标不变)，然后再将所得图象向

x 轴正方向平移π

3

个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．写出函数y ＝g (x )的解析式并用列表作图

的方法画出y ＝g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．

解析： (1)由已知，易得A ＝2.

T 2＝(x 0＋3π)－x 0＝3π，解得T ＝6π，∴ω＝13. 把(0,1)代入解析式y ＝2sin ????x 3＋φ，得2sin φ＝1. 又|φ|＜π2，解得φ＝π6.

∴y ＝2sin ????x 3＋π6.

(2)压缩后的函数解析式为y ＝2sin ????x ＋π6，再平移，得g (x )＝2sin ????x －π3＋π6＝2sin ???

?x －π6.

B 级

1．已知函数①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22sin x cos x ，则下列结论正确的是( ) A ．两个函数的图象均关于点????－π

4，0成中心对称图形 B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π

4成轴对称图形

C ．两个函数在区间????－π4，π

4上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同

解析： 由于y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ????x ＋π

4. y ＝22sin x cos x ＝2sin 2x .对于A 、B 选项．

当x ＝－π

4

时，y ＝2sin ????x ＋π4＝0.y ＝2sin 2x ＝－2， 因此函数y ＝sin x ＋cos x 的图象关于点????－π4，0成中心对称图形、不关于直线x ＝－π

4成轴对称图形．

函数y ＝22sin x cos x 的图象不关于点????－π4，0成中心对称图形，关于直线x ＝－π4成轴对称图形，故A 、B 选项均不正确；对于C 选项，结合图象可知，这两个函数在区间????－π4，π

4上都是单调递增函数，因此C 正确；对于D 选项，函数y ＝2sin ????x ＋π

4的最小正周期是2π，y ＝2sin 2x 的最小正周期是π，D 不正确．综上所述，选C.

答案： C

2．对于函数f (x )＝sin x ，g (x )＝cos x ，h (x )＝x ＋π

3，有如下四个命题：

①f (x )－g (x )的最大值为2；

②f [h (x )]在区间????－π

2，0上是增函数； ③g [f (x )]是最小正周期为2π的周期函数；

④将f (x )的图象向右平移π

2个单位长度可得g (x )的图象．

其中真命题的序号是________．

解析： f (x )－g (x )＝sin x －cos x ＝2sin ????x －π4≤2，故①正确；当x ∈????－π

2，0时，x ＋π

3∈???

?－π6，π3，函数f [h (x )]＝sin ????x ＋π3在????－π6，π3上为增函数，故②正确；函数g [f (x )]＝cos(sin x )的最小正周期为π，故③错误；将f (x )的图象向左平移π2个单位长度可得g (x )的图象，

故④错误．

答案： ①②

3．(2012·湖北黄石质量检测)已知函数f (x )＝2sin ????x －π3 cos ????x －π3＋23cos 2???

?x －π

3－ 3. (1)求函数f (x )的最大值及取得最大值时相应的x 的值；

(2)若函数y ＝f (2x )－a 在区间???0，π

4上恰有两个零点x 1，x 2，求tan(x 1＋x 2)的值． 解析： (1)f (x )＝sin ????2x －2π3＋3????1＋cos ????2x －2π

3－ 3 ＝sin ????2x －2π3＋3cos ????2x －2π3＝2sin ????2x －π

3. ∴函数f (x )的最大值为2，此时2x －π3＝π

2＋2k π，k ∈Z ，

即x ＝5π

12

＋k π，k ∈Z .

(2)f (2x )＝2sin ????4x －π3， 令t ＝4x －π

3，∵x ∈????0，π4， ∴t ∈???

?－π3，2π

3， 设t 1，t 2是函数y ＝2sin t －a 的两个相应零点

?

???即t 1＝4x 1－π3，t 2＝4x 2－π3，

由函数y ＝2sin t 的图象性质知t 1＋t 2＝π， 即4x 1－π3＋4x 2－π

3＝π，

∴x 1＋x 2＝π4＋π

6，

tan(x 1＋x 2)＝tan ????

π4＋π6 ＝tan π4＋tan π6

1－tan π4×tan

π

6＝

1＋

33

1－33

＝2＋ 3.