【与名师对话】2015新课标A版数学理一轮复习课时作业：8-5 Word版含解析]

课时作业(五十二)

一、选择题

1．(2013·石家庄质检(二))中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为2

2，则该椭圆的方程为( )

A.x 216＋y 2

12＝1 B.x 212＋y 2

8＝1 C.x 212＋y 2

4＝1

D.x 28＋y 2

4＝1

解析：因为焦距为4，所以c ＝2，离心率e ＝c a ＝2a ＝2

2，∴a ＝22，b 2＝a 2－c 2＝4，故选D.

答案：D

2．(2013·泉州质检)已知椭圆C 的上、下顶点分别为B 1、B 2，左、右焦点分别为F 1、F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则此椭圆的离心率e 等于( )

A.13

B.12

C.22

D.32

解析：四边形B 1F 1B 2F 2为正方形，则b ＝c ，∴e ＝2

2，选C. 答案：C

3．(2013·江西红色六校第二次联考)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a

2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )

A.12

B.23

C.34

D.45

解析：由题可得如图．

|F 1F 2|＝2c ＝|PF 2|，∠PF 2Q ＝60°，∴|F 2Q |＝c ，∴2c ＝3

2a ，∴e ＝c a ＝3

4，故选C.

答案：C

4．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

解析：点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|P A |＝|PN |.又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．

答案：B

5．(2013·西安质检)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2

3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )

A ．2

B ．3

C ．6

D ．8

解析：由题意得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，

则y 20＝3? ??

??1－x 2

04(－2≤x 0≤2)，OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 2

＝x 2

0＋x 0＋3? ??

??1－x 2

04＝14(x 0＋2)2＋2，

当x 0＝2时，OP →·FP →

取得最大值为6. 答案：C

6．(2013·内江市第二次模拟)过椭圆C ：x 25＋y 2＝1的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于点M ，若MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，则λ1＋λ2＝( )

A ．10

B ．5

C ．－5

D ．－10 解析：

特殊地，当直线l 斜率为0时，为x 轴，则A 、B 、M 坐标分别为(5，0)、(－5，0)、(0,0)．

MA →＝(5，0)，AF →＝(2－5，0)，MB →＝(－5，0)，BF →

＝(2＋5，0)．

∴λ1＝－(25＋5)，λ2＝25－5，∴λ1＋λ2＝－10，选D. 答案：D

二、填空题

7．(2013·浙江金华十校高三模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >0，

b >0)的右焦点为F (3,0)，且点? ??

??

－3，322在椭圆C 上，则椭圆C 的标准方程为________．

解析：由已知椭圆的右焦点为F (3,0)，故c ＝3，则b 2＝a 2－9，

即x 2a 2＋y 2a 2－9＝1，代入点?

????

－3，

322，可求得a 2＝18，b 2＝9. 答案：x 218＋y 2

9＝1

8．(2013·河北唐山第二次模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 216＋y 2

12＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2为直角三角形，则△PF 1F 2的面积等于________．

解析：

c ＝2，b ＝23，由b >c 得∠P 不能为直角，故△PF 1F 2为直角三角形，只能∠F 1或∠F 2为直角，若∠F 2为直角则F 2(2,0)得P (2,3)

∴S △PF 1P 2＝4×3×12＝6. 答案：6

9．椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．

解析：不妨设|F 1F 2|＝1， ∵直线MF 2的倾斜角为120°， ∴∠MF 2F 1＝60°.

∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3，2c ＝|F 1F 2|＝1.

∴e ＝c

a ＝2－ 3. 答案：2－ 3 三、解答题

10．根据下列条件求椭圆的标准方程：

(1)已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为435和2

35，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；

(2)经过两点A (0,2)和B ? ??

??

12，3.

解：(1)设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2

b 2＝1，

则由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴a ＝ 5. 在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中令x ＝±c 得|y |＝b 2

a 在方程y 2a 2＋x 2

b 2＝1中令y ＝±

c 得|x |＝b 2a 依题意并结合图形知b 2a ＝23 5.∴b 2

＝103. 即椭圆的标准方程为 x 25＋3y 210＝1或y 25＋3x 2

10＝1.

(2)设经过两点A (0,2)，B ? ??

??

12，3的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2＝

1(m >0，n >0，m ≠n )，代入A 、B 得

??? 4n ＝1

1

4m ＋3n ＝1

????

m ＝1n ＝14

，

∴所求椭圆方程为x 2＋y

24＝1.

11．(2013·安徽示范高中摸底考试)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足BF 1→＝F 1F

2→

，AB ⊥AF 2.

(1)求椭圆C 的离心率；

(2)D 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，D 到直线l ：x －3y －3＝0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C 的方程．

解：(1)设B (x 0,0)，由F 2(c,0)，A (0，b )， 知AF 2→＝(c ，－b )，AB →

＝(x 0，－b )

∵AF 2→⊥AB →，∴cx 0＋b 2＝0，x 0＝－b

2c ，

由BF 1→＝F 1F 2→知F 1为BF 2中点，故－b 2

c ＋c ＝－2c ∴b 2

＝3c 2

＝a 2

－c 2

，即a 2

＝4c 2

，故椭圆C 的离心率e ＝1

2

(2)由(1)知c a ＝12，得c ＝1

2a ，于是F 2? ????12a ，0，B ? ????－32a ，0， △ABF 的外接圆圆心为F 1? ??

??

－12a ，0，半径r ＝a ， D 到直线l ：x －3y －3＝0的最大距离等于2a ，所以圆心到直线的距离为a ，

所以

????

??

－12a －32

＝a ，解得a ＝2，∴c ＝1，b ＝3，

所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2

3＝1.

12．(2013·保定市第一次模拟)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 、N 分别为其短轴的两个端点，且四边形MF 1NF 2的周长为4，设过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AB |＝43.

(1)求|AF 2|·|BF 2|的最大值；

(2)若直线l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积．

解：(1)因为四边形MF 1NF 2为菱形，又其周长为4，故a ＝1 由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4a ＝4，又因为|AB |＝43， 所以|AF 2|＋|BF 2|＝8

3，

所以|AF 2|·|BF 2|≤?

??

??|AF 2|＋|BF 2|22＝16

9 当且仅当|AF 2|＝|BF 2|＝4

3时，等号成立．

(此时AB ⊥x 轴，故可得A 点坐标为?

????－33，23，代入椭圆E 的方

程x 2＋y 2

b 2＝1得b ＝63<1，即当且仅当b ＝63时，|AF 2|＝|BF 2|＝4

3)

所以|AF 2|·|BF 2|的最大值为16

9.

(2)因为直线l 的倾斜角为45°，所以可设l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝

1－b 2

由(1)知椭圆E 的方程为x 2＋y

2

b 2＝1

所以，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点坐标满足方程组

???

y ＝x ＋c x 2＋y 2

b 2＝1

化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 2

1＋b 2

因为直线l 的斜率为1，所以|AB |＝

1＋k 2|x 1－x 2|

即43＝2|x 1－x 2|，所以8

9＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2

89＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2

)(1＋b 2)，得b 2

＝12，b ＝22

所以c ＝22，l 的方程为：y ＝x ＋2

2 F 2到l 的距离d ＝1.

所以S △ABC ＝12|AB |×1＝12×43×1＝2

3. [热点预测]

13．(2013·贵州省六校第一次联考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2

＝1的左、右焦点．

(1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1→·PF 2→＝－54，求点P 的坐标；

(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．

解：(1)a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)． 设P (x ，y )(x >0，y >0)．则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )(3－x ，－y )

＝x 2＋y 2－3＝－54，又x

2

4＋y 2＝1，

联立?????

x 2＋y 2＝74

x 2

4＋y 2＝1

，解得???

x 2

＝1

y 2＝34????

x ＝1y ＝3

2

，P ?

????

1，32.

(2)显然x ＝0不满足题设条件．可设l 的方程为y ＝kx ＋2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

联立???

x 2

4＋y 2＝1y ＝kx ＋2

?x 2＋4(kx ＋2)2＝4

?(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0 ∴x 1x 2＝121＋4k 2，x 1＋x 2＝－16k

1＋4k 2

由Δ＝(16k )2－4·(1＋4k 2)·12>0

16k 2

－3(1＋4k 2

)>0,4k 2

－3>0，得k 2

>34.①

又∠AOB 为锐角?cos ∠AOB >0?OA →·OB →

>0， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2>0

又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4

＝(1＋k 2

)·12

1＋4k 2＋2k ·? ??

??－16k 1＋4k 2＋4 ＝12(1＋k 2)1＋4k 2－2k ·16k

1＋4k 2＋4＝4(4－k 2)1＋4k 2>0

∴－14

<4. ②

综合①②可知34

??

32，2.