江西省信丰中学高三数学 三角法与向量法解平面几何题复习试题

第八讲三角法与向量法解平面几何题

相关知识：在中,R为外接圆半径,为内切圆半径,,则

1,正弦定理:,

2,余弦定理:,,. 3,射影定理:,,.

4,面积:

= =（海伦公式）

.

A类例题

例1．在ΔABC中，已知b=asinC ,c=asin(900-B)，试判断ΔABC的形状。

例1．解由条件c = asin(900 - B) = acosB =

.

ΔABC是等腰直角三角形。

例2．（1）在△ABC中，已知cosA =，sinB =，则cosC的值为（）A．B．C．D．

例2．解∵C = (A + B),∴cosC = c os(A + B),又∵A (0, ),∴sinA = ,而sinB =

显然sinA > sinB ,∴A > B , ∵A为锐角, ∴B必为锐角, ∴cosB =

∴cosC = cos(A + B) = sinAsinB cosAcosB =.选A.

说明△ABC中,sinA > sinB A > B . 根据这一充要条件可判定B必为锐角。

（2）在Rt△ABC中，C＝90°，A＝θ，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，

当θ为时，的值最小。

解答由题意，R＝，r＝．（其中a、b、c为Rt△ABC的三条边长，c为斜边长）∴＝＝＝．

∵ sin（α＋）≤1，∴≥＝＋1．

当且仅当θ＝时，的最小值为＋1。

例3 在△ABC中，＝，求证：B、A、C成等差数列。

例3证明由条件得＝．∵sin（A＋B）＝sinC，

∴sin（A－B）＝sinC－sinB，∴sinB＝sin（A＋B）－sin（A－B）＝2cosAsinB．

∵sinB≠0，∴cosA＝，A＝60°．∴B、A、C成等差数列。

例4 ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为，若

，求角C的大小。

例4解由=cosB，故B=，A＋C=.

由正弦定理有：，

又sinA=sin(-C)=，于是

sinC=cosC，tanC=1, C=。

情景再现

1 △ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B. 2．ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且

（1）求的值

（2）设，求的值

3 已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+.

（1）若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y的最小值. B类例题

例5 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，∠ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．

（１）用a，表示S1和S2；

（２）当a固定，变化时，求取最小值时的角。

例5解（1）

设正方形边长为，则

（2）当固定，变化时，

令，用导数知识可以证明：函数在是减函数，于是当时，取最小值，此时。

例6如图，A、B是一矩OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°,OE=1,EF=，

设∠AOE=α.

（1）写出△AOB的面积关于α的函数关系式f(α);

（2）写出函数f(x)的取值范围。

例6解：（1）∵OE=1，EF=

∴∠EOF=60°

当α∈[0，15°]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，

且AE=tanα,BE=tan(45°+α)

∴f(α)=S△AOB=*tan(45°+α)－tanα+

==

当a∈（15°,45°]时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=，OB=

∴=S△AOB=OA·OB·sin45°=··sin45°=

综上得：f(α)=

（2）由（1）得：当α∈[0，]时

f(α)= ∈[,－1]

且当α=0时，f(α)min=；α=时，f(α)max=－1；

当α∈时,－≤2α－≤，f（α）=∈[－,]

且当α=时，f(α) min=－；当α=时，f(α) max=所以f(x) ∈[,]。