考研数学二历年真题2003-2016(无答案考生练习版)

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）若时，与是等价无穷小，则a= .

（2）设函数y=f(x)由方程所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 . （3）的麦克劳林公式中项的系数是__________.

（4）设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围

成的图形的面积为__________.

（5）设为3维列向量，是的转置. 若，则

= .

（6）设三阶方阵A,B 满足，其中E 为三阶单位矩阵，若，则________.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设均为非负数列，且,,,则必有

(A) 对任意n 成立. (B) 对任意n 成立.

(C) 极限不存在. (D) 极限不存在. [ ]

（2）设, 则极限等于 (A) . (B) .

(C) . (D) . [ ]

（3）已知是微分方程的解，则的表达式为 （A ） (B)

0→x 1)1(4

12--ax x x sin 4

ln 2y x xy =+x

y 2=n

x )0(>=a e a θ

ρθπ2αT

αα????

??????----=111111111T ααααT E B A B A =--2

????

?

?????-=102020101A B =}{},{},{n n n c b a 0lim =∞

→n n a 1lim =∞

→n n b ∞=∞

→n n c lim n n b a

→lim n n n c b ∞

→lim dx x x a n n n

n n +=?+-12

3101

n n na ∞→lim 1)1(2

3++e 1)1(2

31-+-e 1)1(2

3

1++-e 1)1(2

3-+e x x y ln =

)(y

x

x y y ?+=')(y x ?.2y -.2

y

(C) (D) [ ]

（4）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点.

(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.

(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ] y

（5）设则

(A) (B)

(C) (D) [ ] （6）设向量组I ：可由向量组II ：线性表示，则 (A) 当时，向量组II 必线性相关. (B) 当时，向量组II 必线性相关.

(C) 当时，向量组I 必线性相关. (D) 当时，向量组I 必线性相关. [ ]

三、（本题满分10分）设函数问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？

.22y

x -.22

y x ),(+∞-∞0

1x dx x

02tan .121>>I I .121I I >>.112>>I I .112I I >>r ααα,,,21 s βββ,,,21 s r s r ,

0,0,0,4sin

1,6,arcsin )

1ln()(2

3>=

?

?

???

--+-+=x x x x

x ax x e x x ax x f ax

四、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程所确定，求

五、（本题满分9分）计算不定积分

六、（本题满分12分）

设函数y=y(x)在内具有二阶导数，且是y=y(x)的反函数.

(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解.

)1(,21ln 2112>??

???=+=?+t du u e y t x t u

.9

22=x dx y d .)

1(2

32

arctan dx x xe x ?

+),(+∞-∞)(,0y x x y =≠'0))(sin (32

2=++dy dx x y dy

x d 2

3

)0(,0)0(='=y y

七、（本题满分12分）讨论曲线与的交点个数.

八、（本题满分12分）

设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.

(1) 求曲线 y=f(x)的方程；

(2) 已知曲线y=sinx 在上的弧长为，试用表示曲线y=f(x)的弧长s.

九、（本题满分10分）

有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面

圆的半径为2 m.根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.

(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与之间的关系式；

(2) 求曲线的方程.

(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) k x y +=ln 4x x y 4ln 4+=)2

1

,22(

],0[πl l )0)((≥=y y x ?min /33m min /2

m π)(y ?)(y x ?=

十、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且若极限

存在，证明：

(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点，使

； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中相异的点，使

十一、（本题满分10分）

若矩阵相似于对角阵，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使

十二、（本题满分8分）

已知平面上三条不同直线的方程分别为

，，.

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为

.0)(>'x f a

x a x f a

x --+

→)

2(lim ξ)

(2)(2

2ξξ

f dx

x f a b b

a

=

-?

ξη?-=-'b

a dx x f a

a b f .)(2))((2

2

ξξη????

?

?????=60028022a A Λ.1

Λ=-AP P :1l 032=++c by ax :2l 032=++a cy bx :3l 032=++b ay cx .0=++c b a

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题

一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）

（1）设, 则的间断点为 .

（2）设函数由参数方程确定, 则曲线向上凸的取值范围为____..

（3）_____.. （4）设函数由方程确定, 则______. （5）微分方程满足的特解为_______.

（6）设矩阵, 矩阵满足, 其中为的伴随矩阵, 是单位矩阵, 则

______-.

二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选

项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把时的无穷小量, , 排列起来, 使排在后面的是

前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是

（A ）（B ）

（C ）（D ）

（8）设, 则

（A ）是的极值点, 但不是曲线的拐点. （B ）不是的极值点, 但是曲线的拐点. （C ）是的极值点, 且是曲线的拐点. （D ）不是的极值点, 也不是曲线的拐点.

（9）等于

（A ）. （B ）.

（C ）. （D ）

（10）设函数连续, 且, 则存在, 使得

（A ）在内单调增加. （B ）在内单调减小. （C ）对任意的有.

（D ）对任意的有.

（11）微分方程的特解形式可设为

2(1)()lim

1

n n x

f x nx →∞-=+()f x x =()y x 33

31

31

x t t y t t ?=++??=-+??()y y x =

x 1+∞=?(,)z z x y =232x z

z e

y -=+3z z x y ??+=??3

()20y x dx xdy +-=165

x y ==210120001A ?? ?= ? ???

B 2ABA BA E **

=+A *A E B =0x +

→2

cos x

t dt α=

?20

tan x β=

?

30

t dt γ=?

,,.αβγ,,.αγβ,,.βαγ,,.βγα[]()(1)f x x x =-0x =()f x (0,0)()y f x =0x =()f x (0,0)()y f x =0x =()f x (0,0)()y f x =0x =()f x (0,0)()y f x =[

]lim n →∞

2

21ln xdx ?2

1

2ln xdx ?2

1

2

ln(1)x dx +?2

2

1ln

(1)x dx

+?[]()f x (0)0f '>0δ>()f x (0,)δ()f x (,0)δ-(0,)x δ∈()(0)f x f >(,0)x δ∈-()(0)f x f >[]2

1sin y y x x ''+=++

（B ）. （C ）. （D ）

（12）设函数连续, 区域, 则

等于

（A ）

. （B ）.

（C ）. （D ）

（13）设是3阶方阵, 将的第1列与第2列交换得, 再把的第2列加到第3列得, 则满足的可逆矩阵为

（A ）. （B ）.

（C ）. （D ）.

（14）设,为满足的任意两个非零矩阵, 则必有

（A ）的列向量组线性相关,的行向量组线性相关. （B ）的列向量组线性相关,的列向量组线性相关. （C ）的行向量组线性相关,的行向量组线性相关.

（D ）的行向量组线性相关,的列向量组线性相关.

三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）

（15）（本题满分10分）

求极限.

（16）（本题满分10分）

设函数在（）上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足

, 其中为常数.

(Ⅰ)写出在上的表达式; (Ⅱ)问为何值时, 在处可导.

2

(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++2

sin y ax bx c A x *=+++2cos y ax bx c A x

*=+++[]()f u {}

22

(,)2D x y x y y =+≤()D

f xy dxdy

??1

1()dx f xy dy -?

?2

00

2()dy f xy dx ??2sin 200

(sin cos )d f r dr π

θθθθ??

2sin 20

(sin cos )d f r rdr

π

θθθθ??

[]A A B B C AQ C =Q 010100101?? ? ? ???010101001?? ? ? ???

010100011?? ? ? ???011100001?? ?

? ???

[

]A B 0AB =A B A B A B A B []3

012cos lim 13x x x x

→??+??-?? ???????

()f x ,-∞+∞[0,2]2

()(4)f x x x =-x ()(2)f x k f x =+k ()f x [2,0]-k ()f x 0x =

（17）（本题满分11分） 设,(Ⅰ)证明是以为周期的周期函数;(Ⅱ)求的值域.

（18）（本题满分12分）

曲线与直线及围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体,

其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为.

(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)计算极限.

（19）（本题满分12分）设, 证明.

（20）（本题满分11分）

某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

注 表示千克,表示千米/小时. 2

()sin x x

f x t dt π

+

=?()f x π()f x 2

x x e e y -+=0,(0)x x t t ==>0y =x ()V t ()S t x t =()F t ()()

S t V t ()lim ()t S t F t →+∞2

e a b e <<<222

4

ln ln ()b a b a e ->

-9000kg 700/km h 6

6.010k =?kg /km h

（21）（本题满分10分）设,其中具有连续二阶偏导数,求.

（22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组

试问取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.

（23）（本题满分9分）

设矩阵的特征方程有一个二重根, 求的值, 并讨论是否可相似对角化.

2

2

(,)xy

z f x y e =-f 2,,z z z x y x y

???????12341234

12341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,

a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=??++++=??

++++=??++++=?a 12314315a -??

?

-- ? ???

a A

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设x x y )sin 1(+=，则π

=x dy

= .

（2）曲线x

x y 2

3)

1(+=

的斜渐近线方程为.

（3）

=--?1

2

2

1)2(x

x

xdx

.

（4）微分方程x x y y x ln 2=+'满足9

1

)1(-

=y 的解为. （5）当0→x 时，2

)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= . （6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵

),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，

如果1=A ，那么=B .

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数n n

n x

x f 31lim )(+=∞

→，则f(x)在),(+∞-∞内

(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.

(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]

（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N”，则必有

(A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.

(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.

(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ]

（9）设函数y=y(x)由参数方程???+=+=)

1ln(,

22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是

(A)

32ln 81+. (B) 32ln 8

1

+-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ ]

（10）设区域}0,0,4),{(2

2≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则

=+

+??

σd y f x f y f b x f a D

)

()()()(

(A) πab . (B)

π2ab . (C) π)(b a +. (D) π2

b a + . [ ]

(A) 222

2y u x u ??-=??. （B ）2222y

u x u ??=??. (C) 222y

u y x u ??=???. (D)

222x u y x u ??=???. [ ] （12）设函数

,11)(1

-=

-x x

e

x f 则

(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.

(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.

(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]

（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是

(A)

01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ]

（14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, *

*,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则 [ ]

(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*

B . (C) 交换*

A 的第1列与第2列得*

B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*

B -. 三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim

??--→x x

x dt

t x f x dt

t f t x

（16）（本题满分11分）

如图，1C 和2C 分别是)1(2

1

x e y +=

和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所

围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ?=

（17）（本题满分11分）

在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分?

'''+3

2.)()(dx x f x x

（18）（本题满分12分）

用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10

='

===x x y y

的特解.

（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：

（I ）存在),1,0(∈ξ使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f

（20）（本题满分10分）

已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14

),{(2

2

≤+=y x y x D 上的

最大值和最小值.

（21）（本题满分9分）

计算二重积分σd y x

??-+122

，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .

（22）（本题满分9分）

确定常数a,使向量组,

),1,1(1T a =α,)1,,1(2T a =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,

)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.

（23）（本题满分9分）

已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵???

?

?

?????=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程

组Ax=0的通解.

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

三、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.

（1）曲线的水平渐近线方程为

（2）设函数在处连续，则.

（3）广义积分

.

（4）微分方程的通解是

（5）设函数由方程确定，则

（6）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则

=B .

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为

在点处对应的增量与微分，若，则[ ]

(A) . (B) .

(C) . (D) .

（8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则

是

（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数

（C ）在间断的奇函数 （D ）在间断的偶函数. [ ]

（9）设函数可微，，则等于 （A ）. （B ） （C ）

（D ） [ ]

（10）函数满足的一个微分方程是

（A ） （B ）

（C ）

（D ） [ ]

（11）设为连续函数，则等于

（Ａ）. （B ）.

(C)

. (D)

. [ ]

（12）设均为可微函数，且，已知是在约束条件

下的

4sin 52cos x x

y x x

+=

-

2

301sin d

,0

(),0

x t t x f x x a x ?≠?=??=??

0x =a

=220d (1)x x

x +∞

=+?(1)

y x y x

-'=()y y x =1e y y x =-0

d d x y x

==2112A ??

= ?-??

E B 2BA B E =+()y f x =()0,()0f x f x '''>>x ?x 0x d y y ?与()f x 0x 0x ?>0d y y <

()d x f t t ?

0x =0x =()g x 1()

()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===(1)g ln 31-ln 3 1.--ln 2 1.--ln 2 1.-212e e

e x

x

x y C C x -=++23e .x

y y y x '''--=23e .x

y y y '''--=23e .x

y y y x '''+-=23e .x y y y '''+-=(,)f x y 140

d (cos ,sin )d f r r r r π

θθθ?

?0

(,)d x x f x y y 0

(,)d x f x y y 0

(,)d y

y f x y x 0

(,)d y f x y x (,)(,)f x y x y ?与(,)0y x y ?'≠00(,)x y (,)f x y (,)0x y ?=

(B) 若，则. (C) 若，则.

(D) 若，则. （13）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是 [ ]

(B) 若线性相关，则线性相关. (C) 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关.

(D) 若线性无关，则线性无关.

（14）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，

则

（Ａ）. （Ｂ）.

（Ｃ）. （Ｄ）. ［ ］ 三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）

试确定的值，使得，其中是当时比高阶的无穷小.

（16）（本题满分10分）求.

（17）（本题满分10分）设区域，计算二重积分 00(,)0x f x y '=00(,)0y f x y '≠00(,)0x f x y '≠00(,)0y f x y '=00(,)0x f x y '≠00(,)0y f x y '≠12,,,s ααα n A m n ?12,,,s ααα 12,,,s A A A ααα 12,,,s ααα 12,,,s A A A ααα 12,,,s ααα 12,,,s A A A ααα 12,,,s ααα 12,,,s A A A ααα A A B B 1-C 110010001P ?? ?

= ? ???

1C P AP -=1

C PAP -=T C P AP =T

C PAP =,,A B C 2

3

e (1)1()x

Bx Cx Ax o x ++=++3

()o x 0x →3

x arcsin e d e x

x

x ?{

}

22

(,)1,0D x y x y x =+≤≥221d d .1D

xy

x y x y +++??

（18）（本题满分12分）设数列满足

（Ⅰ）证明存在，并求该极限；（Ⅱ）计算.

（19）（本题满分10分） 证明：当时，

.

（20）（本题满分12分）

设函数在内具有二阶导数，且满足等式.

（I ）验证； （II ）若，求函数的表达式.

{}n x 110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<== lim n n x →∞2

1

1lim n x n n n x x +→∞

?? ???

0a b π<<++()f u (0,)

+∞z f =22220z z

x y

??+=??()

()0f u f u u

'''+

=(1)0,(1)1f f '==()f u

（21）（本题满分12分）

已知曲线L 的方程（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点引L 的切线，求切点，并写出切线的方程；（III ）求此切线与L （对应于的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.

（22）（本题满分9分）

已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵的秩；

（Ⅱ）求的值及方程组的通解.

（23）（本题满分9分）

设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.

(Ⅰ) 求的特征值与特征向量；

(Ⅱ) 求正交矩阵和对角矩阵,使得.

22

1,

(0)4x t t y t t

?=+≥?=-?(1,0)-00(,)x y 0x x ≤1234123412

341435131

x x x x x x x x ax x x bx +++=-??

++-=-??+++=?A ()2r A =,a b A ()()T

T

121,2,1,0,1,1αα=--=-0Ax =A Q ΛT

Q AQ =Λ

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当

（A ）

（B ）

C

（D ）

[ ]

（2）函数在上的第一类间断点是 [ ]

（A ）0 （B ）1 （C ）（D ）

（3）如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、

下半圆周，在区间的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设，则下列结论正确的是：

（A ） (B) （C ）（D ） [ ]

（4）设函数在处连续，下列命题错误的是：

（A ）若存在，则（B ）若存在，则 .

（C ）若存在，则（D ）若存在，则.

[ ] （5）曲线的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ]

（6）设函数在上具有二阶导数，且，令，则下列结论正确的是：

(A) 若，则必收敛. (B) 若，则必发散

(C) 若，则必收敛. (D) 若，则必发散. [ ] （7）二元函数在点处可微的一个充要条件是[ ] （A ）

.

（B ）.

0x +

→1-ln 11-1(e e)tan ()e e x x x

f x x +=??- ???

[],ππ-x =2π-2

π

()y f x =[][]3,2,2,3--[][]

2,0,0,2-0

()()d x

F x f t t =

?

3(3)(2)4F F =-

-5

(3)(2)4F F =3(3)(2)4F F =5

(3)(2)4

F F =--()f x 0x =0()lim

x f x x →(0)0f =0()()lim x f x f x x

→+-(0)0f =0()lim x f x x →(0)0f '=0()()

lim x f x f x x

→--(0)0f '=()1

ln 1e x y x

=

++()f x (0,)+∞()0f x ''>()n u f n =12u u >{}n u 12u u >{}n u 12u u <{}n u 12u u <{}n u (,)f x y ()0,0()

[](,)0,0lim

(,)(0,0)0x y f x y f →-=(,0)(0,0)(0,)(0,0)

lim

0,lim 0f x f f y f --==且

（C ）

.

（D ）.

（8）设函数连续，则二次积分等于

（A ）（B ） （C ）

（D ）

（9）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是 线性相关，则

(A)

(B)

(C) .

(D) . [ ]

（10）设矩阵，则与

(A) 合同且相似（B ）合同，但不相似.

(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11） __________. （12）曲线上对应于的点处的法线斜率为_________.

（13）设函数，则________. （14）二阶常系数非齐次微分方程的通解为________.

（15）设是二元可微函数，，则 __________.

（16）设矩阵，则的秩为 . 三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）(本题满分10分)设是区间上单调、可导的函数，且满足，其

中是的反函数，求.

(

(,)0,0lim

0x y →=0

lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y x y f x f f y f →→????''''-=-=?

?

?

?

且(,)f x y 1

sin 2

d (,)d x

x f x y y π

π??

1

arcsin d (,)d y y f x y x π

π+?

?

10

arcsin d (,)d y y f x y x π

π-??

1

arcsin 0

2

d (,)d y

y f x y x ππ

+?

?1arcsin 0

2

d (,)d y

y f x y x ππ

-??123,,ααα122331,,αααααα---122331,,αααααα+++1223312,2,2αααααα---1223312,2,2αααααα+++211100121,010112000A B --???? ? ?

=--= ? ? ? ?--????

A B 30arctan sin lim

x x x

x

→-=2cos cos 1sin x t t y t

?=+?=+?4t π

=123

y x =

+()

(0)n y =2432e x

y y y '''-+=y =(,)f u v ,y x z f x y ??=

???

z z

x y x y ??-=??0

1000

01000010

00

0A ?? ?

?= ? ???

3

A ()f x 0,4π??????

()1

00cos sin ()d d sin cos f x x t t f t t t t t t --=+??1

f -f ()f x

（18）（本题满分11分） 设是位于曲线下方、轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域绕轴旋转一周所成

旋转体的体积；（Ⅱ）当为何值时，最小？并求此最小值.

（19）（本题满分10分）求微分方程满足初始条件的特解.

（20）（本题满分11分）已知函数具有二阶导数，且，函数由方程所确定，

设

，求

.

（21）(本题满分11分)设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，

，证明：存在，使得.

D 2(1,0)x

a

y a x -

=

>≤<+∞x D x ()V a a ()V a 2

()y x y y ''''+=(1)(1)1y y '==()f u (0)1f '=()y y x =1

e 1y y x --=()ln sin z

f y x =-200

2

d d ,

d d x x z z x

x ==(),()f x g x []

,a b (,)a b ()(),()()f a g a f b g b ==(,)a b ξ∈()()f g ξξ''''=