湖南省张家界市2015-2016学年上学期高二理科数学期末联考试题与答案

张家界市2015年普通高中二年级第一学期期末联考

数学试题卷(理科)

考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（60分）和第Ⅱ卷（90分）两部分，考试内容为必修3与选修2-1、选修2-2全部内容，共4页．考试时量120分钟，满分150分．考生必须在答题卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题５分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置．

1．抛物线22

y x

=的焦点坐标为

A．

1

(,0)

2

B．

1

(,0)

2

-C．(1,0)D．(1,0)

-

2．某学院,,

A B C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采

用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知该学院A专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取的学生人数为

A．30 B．40 C．50 D．60

3．复数

5

2i

-+

的共轭复数是

A．2i+B．2i

-+C．2i

--

4．下列命题中，是真命题的是

A．3

,

x R x x

?∈≥

B．2

,12

x R x x

?∈+<

使

C．0,

xy x y

?>+

有≥

D．,,sin()sin sin

x y R x y x y

?∈+=+

使

5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=

A．22B．46

C．94 D．10

6.若2

9

T

x dx=

?,则常数T的值是

A．1 B．3

C．4 D．6

7．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

A．

1

3

B．

1

2

C．

2

3

D．

3

4

（5题）

8．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为

检测结果的频率分布直方图. 根据标准， 产品长度在区间[20，25)上为一等品， 在区间[15，20)和[25，30)上为二等品， 在区间[10，15)和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是

A ．0.09

B ．0.20

C ．0.25

D ．0.45

9．如图，在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 为A C ''的中点， 则异面直线CE 与BD 所成的角为

A ．6π

B ．4π

C ．3π

D ．2

π

10．若曲线21y x ax =-+在点(0,1)P 处的切线方程为10x y -+=，则实数a 的值为

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2 11．已知,,A B P 是双曲线22

221x y a b

-=上不同的三点，且,A B 两点的连线经过坐标原点，

若直线,PA PB 的斜率乘积2

3

PA PB k k ?=，则该双曲线的离心率为

A ．

B

C D

12．在等比数列{}n a 中，181,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =--???-，

()f x '为()f x 的导函数，则(0)f '等于

A ． 0

B ．62

C ．82

D ．122

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上． 13．在区间[]1,2-上随机取一个数x ，则[]0,1x ∈的概率为 . 14．函数()ln f x x x =-的单调递减区间为 .

15．与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率5

4e =的双曲线方程是 .

16．对于n N +∈，将n 表示1210012122222k k k k k n a a a a a ---=?+?+?+???+?+?，当0

i =时1i a =，当1i k ≤≤时，i a 为0或1. 记)(n I 为上述表示中i a 为0的个数，例如：0210112,4120202=?=?+?+?，故(1)0,(4)2I I ==.

则（1）(10)I = ； （2）63

()1

2I n n ==∑ ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）

命题p ：22

126x y a a

-=--是双曲线的方程；命题q ：函数()(5)x f x a =-在R 上为增

函数.若p q p q ∨∧为真，为假，求实数a 的取值范围． 18．（本小题满分12分）

为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下图：

（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并

估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)； （2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1x ，2x ，估计12x x -的值.

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB 垂直于AD 和BC ，侧棱SA ABCD ⊥底面，且2,1SA AB BC AD ====． （1）求四棱锥S ABCD -的体积；

（2）求面SCD 与面SAB 所成二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足121

,2(2)3n n n

a S a n S =-+

+=≥． （1）计算1234,,,S S S S 的值；

（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想.

21．（本小题满分12分）

已知函数2()ln ()f x x x a =+-，a 为常数．

（1）若当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值，并求出()f x 的单调区间； （2）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明()f x 的所有极值之和大于ln 2

e .

22．（本小题满分12分）

如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆222

2

:

1(0)x y E a b a b =>>+

，其中

2

b =

，过椭圆E 内点(1,1)P 的两条直线分别与椭圆交于点,A C 和,B D ，且满

足AP PC λ= ，BP PD λ=

，其中λ为正常数． 当点C 恰为椭圆的右顶点时，对应

的57

λ=.

（1）求椭圆E 的离心率； （2）求a 与b 的值；

（3）当λ变化时，直线AB 的斜率AB k 是否为定值？若是，

请求出此定值；若不是，请说明理由.

张家界市2015年普通高中二年级第一学期期末联考

数学参考答案(理科)

一、选择题：本大题共12小题，每小题５分，共60分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题５分，共20分．

13．3

1

14． ),1(+∞或[)+∞,1 15．

191622=-y x 16．(1)2；(2)364 （注：16题第一问2分，第二问3分）

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：(2)(6)0,26p a a a --><<若为真，由得；

2' 51,4q a a -><若为真，由得

4'

又命题p 、q 一真一假， 5' 46p q a <若真假，则≤ ； 7' 2p q a ≤若假真，则 9' 246a a a <故的取值范围是≤或≤ 01'

18．解：（1）设甲校高三年级学生总人数为n 1'

由题意知30

n

＝0.05，解得n ＝600 3'

样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5 4'

据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－530

＝5

6 6'

（2）设甲、乙两校样本平均数分别为1x '2

x 7' 根据样本茎叶图可知

30(1

x '－2x ')＝301x '－302x ' ＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92 ＝15

因此1

x '－2x '＝0.5 01' 故21x x -的估计值为0.5分 21'

19．解：（1）112

22232

S ABCD V -+=???= 4'

（2）,,,,A AD AB AS x y z 如图以为原点，所在线为轴建立空间直角坐标系

(0,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(1,0,0),(0,0,2)A B C D S 6'

平面SAB 的法向量 1(1,0,0)n =

7'

又(2,2,2),(1,0,2)SC SD =-=-

8'

2222(,,)SCD n x y z =

设平面的法向量,

22222

2220

20x y z x z +-=??-=?则

2(2,1,1)n =-

取 01'

1212

cos n n SAB SCD n n θθ?=== 设平面与所成的二面角为，则

20．解：（1）11121

,23n n n n

S a S S S S -==-++=-

得12342345

,,,3456

S S S S =-=-=-=- 4'

（2） 1

2

n n S n +=-+猜想 6'

证明：①当12

1,3

n S ==-时，显然成立 7'

②假设当1

2

k k n k S k +==-+时，结论成立，即 8'

由已知：111

1

2,k k k a S S +++=++ 11k k k a S S ++=-又 1

1

2k k S S ++=-从而， 01'

112

.23

k k k S S k ++∴=-=-++ 1n k =+即时结论也成立． 11' 综合①②可知，猜想正确． 21'

21'