第4讲 直线、平面平行的判定及其性质

第4讲直线、平面平行的判定及其性质

1．下面命题中正确的是()．

①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；

②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；

③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；

④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④

2．平面α∥平面β，a?α，b?β，则直线a，b的位置关系是()．

A．平行B．相交C．异面D．平行或异面

3．在空间中，下列命题正确的是()．

A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a?β，b?β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a?α，则a∥β

4．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()．

A．m∥n，m⊥α?n⊥αB．α∥β，m?α，n?β?m∥n

C．m⊥α，m⊥n?n∥αD．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．

考向一直线与平面平行的判定与性质

【例1】?如图，

在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．

求证：PB∥平面ACM.

P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.

考向二平面与平面平行的判定与性质

【例2】?如图，

在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．

求证：平面MNP∥平面A1C1B；

在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EF A1∥平面BCHG.

考向三线面平行中的探索问题

【例3】?如图所示，

在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

在四棱锥P ABCD中，底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、P A的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

【示例】?如图，

在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB ＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.

(1)证明：AA1⊥BD；

(2)证明：CC1∥平面A1BD.

【试一试】

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．

(1)求证：FH∥平面EDB；

(2)求证：AC⊥平面EDB；

(3)求四面体BDEF的体积．

第4讲直线、平面平行的判定及其性质

【2013年高考会这样考】

1．考查空间直线与平面平行，面面平行的判定及其性质．

2．以解答题的形式考查线面的平行关系．

3．考查空间中平行关系的探索性问题．

【复习指导】

1．熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程中叙述的步骤要完整，避免因条件书写不全而失分．

2．学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”．

基础梳理

1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．

2．直线和平面平行的判定

(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；

(2)判定定理：a?α，b?α，且a∥b?a∥α；

(3)其他判定方法：α∥β；a?α?a∥β.

3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝l?a∥l.

4．两个平面平行的判定

(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；

(2)判定定理：a?α，b?α，a∩b＝M，a∥β，b∥β?α∥β；

(3)推论：a∩b＝M，a，b?α，a′∩b′＝M′，a′，b′?β，a∥a′，b∥b′?α∥β.

5．两个平面平行的性质定理

(1)α∥β，a?α?a∥β；

(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b?a∥b.

6．与垂直相关的平行的判定

(1)a⊥α，b⊥α?a∥b；

(2)a⊥α，a⊥β?α∥β.

一个关系

平行问题的转化关系：

两个防范

(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．

(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．

双基自测

1．下面命题中正确的是()．

①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；

②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；

③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；

④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④

解析①②中两个平面可以相交，③是两个平面平行的定义，④是两个平面平行的判定定理．答案 D

2．平面α∥平面β，a?α，b?β，则直线a，b的位置关系是()．

A．平行B．相交C．异面D．平行或异面

答案 D

3．在空间中，下列命题正确的是()．

A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a?β，b?β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a?α，则a∥β

解析若a∥α，b∥a，则b∥α或b?α，故A错误；由面面平行的判定定理知，B错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或b?β，故C错误．答案 D

4．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()．

A．m∥n，m⊥α?n⊥αB．α∥β，m?α，n?β?m∥n

C．m⊥α，m⊥n?n∥αD．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β

解析选项A中，如图①，n∥m，m⊥α?n⊥α一定成立，A正确；选项B中，如图②，α∥β，m?α，n?β?m与n互为异面直线，∴B不正确；选项C中，如图③，m⊥α，m⊥n?n?α，∴C不正确；选项D中，如图④，m?α，n?α，m∥β，n∥β?α与β相交，∴D不正确.

答案 A

5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．

解析如图．

连接AC、BD交于O点，连结OE，因为OE∥BD1，而OE?平面ACE，BD1?平面ACE，所以BD1∥平面ACE. 答案平行

考向一直线与平面平行的判定与性质

【例1】?如图，

在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为AC 的中点，M 为PD 的中点．

求证：PB ∥平面ACM .

[审题视点] 连接MO ，证明PB ∥MO 即可．

证明 连接BD ，MO .在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ?平面ACM ，MO ?平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .

利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判

断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线． 【训练1】 如图，若

P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PCE .

证明 取PC 的中点M ，连接ME 、MF ， 则FM ∥CD 且FM ＝1

2CD .

又∵AE ∥CD 且AE ＝1

2CD ， ∴FM 綉AE ，即四边形AFME 是平行四边形． ∴AF ∥ME ，又∵AF ?平面PCE ，EM ?平面PCE ， ∴AF ∥平面PCE .

考向二 平面与平面平行的判定与性质

【例2】?如图，

在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为所在边的中点．

求证：平面MNP∥平面A1C1B；

[审题视点] 证明MN∥A1B，MP∥C1B.

证明连接D1C，则MN为△DD1C的中位线，∴MN∥D1C.

又∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B.同理，MP∥C1B.

而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，A1B，C1B在平面A1C1B内．∴平面MNP∥平面A1C1B.

证明面面平行的方法有：

(1)面面平行的定义；

(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

【训练2】如图，

在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EF A1∥平面BCHG.

证明(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．

(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，

∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.

∵A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，

∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG. ∴A1E∥平面BCHG.

∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.

考向三线面平行中的探索问题

【例3】?如图所示，

在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

[审题视点] 取AB、BB1的中点分别为E、F，证明平面DEF∥平面AB1C1即可．解存在点E，且E为AB的中点．

下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.

∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1. B1C1与AB1是相交直线，

∴平面DEF∥平面AB1C1. 而DE?平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.

解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．

【训练3】如图，

在四棱锥P ABCD中，底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、P A的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

解在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.

证明如下：如图，取PD 的中点E ，连接NE ，EC ，AE ， 因为N ，E 分别为P A ，PD 的中点，所以NE 綉1

2AD .

又在平行四边形ABCD 中，CM 綉1

2AD .所以NE 綉MC ，即四边形MCEN 是平行四边形．所以NM 綉EC .

又EC ?平面ACE ，NM ?平面ACE ，所以MN ∥平面ACE ， 即在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE .

规范解答13——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题 【问题研究】 高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几何知识，考查判定定理、性质定理等内容，难度为中低档题目.

【解决方案】 利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征，尤其注意对正棱柱、正棱锥等特殊几何体性质的灵活运用，进行空间线面关系的相互转化.

【示例】?如图，

在四棱台ABCDA 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°. (1)证明：AA 1⊥BD ； (2)证明：CC 1∥平面A 1BD .

第(1)问转化为证明BD 垂直A 1A 所在平面；第(2)问在平面A 1BD 内寻

找一条线与CC 1平行．

[解答示范] 证明 (1)因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ?平面ABCD ，

所以D 1D ⊥BD .(1分) 又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，

在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos 60°＝3AD 2，所以AD 2＋BD 2＝AB 2， 因此AD ⊥BD .(4分) 又AD ∩D 1D ＝D ， 所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1?平面ADD 1A 1， 故AA 1⊥BD .(6分)

(2)如图，连结AC ，A 1C 1， 设AC ∩BD ＝E ，连结EA 1， 因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以EC ＝1

2

AC .(8分)

由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，所以四边形A 1ECC 1为平行四边形，(10分) 因此CC 1∥EA 1. 又因为EA 1?平面A 1BD ， CC 1?平面A 1BD ， 所以CC 1∥平面A 1BD .(12分)

证明线面关系不能仅仅考虑线面关系的判定和性质，更要注意对几何

体的几何特征的灵活应用．证明的依据是空间线面关系的判定定理和性质定理．另外根据几何体的数据，通过计算也可得到线线垂直的关系，所以要注意对几何体中的数据的正确利用． 【试一试】

如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点． (1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求四面体BDEF 的体积．

[尝试解答] (1)证明 设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点．连EG ，GH ，由于H 为BC 的中点，故GH 綉12AB . 又EF 綉1

2AB ，∴EF 綉GH . ∴四边形EFHG 为平行四边形．

∴EG ∥FH ，而EG ?平面EDB ，∴FH ∥平面EDB .

(2)证明 由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC . 又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC . 而EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC ，∴EF ⊥FH .

∴AB ⊥FH .又BF ＝FC ，H 为BC 的中点， ∴FH ⊥BC .∴FH ⊥平面ABCD . ∴FH ⊥AC .又FH ∥EG ，∴AC ⊥EG . 又AC ⊥BD ，EG ∩BD ＝G ，∴AC ⊥平面EDB . (3)解 ∵EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，∴BF ⊥平面CDEF . ∴BF 为四面体BDEF 的高．又BC ＝AB ＝2，∴BF ＝FC ＝ 2. V B －DEF ＝13×12×1×2×2＝13.