立体几何中三角形的四心问题

高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题四 立体几何 第一讲 空间几何体课时作业 文

2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题四立体几何第 一讲空间几何体课时作业文 1.如图为一个几何体的侧视图和俯视图，则它的正视图为( ) 解析：根据题中侧视图和俯视图的形状，判断出该几何体是在一个正方体的上表面上放置一个四棱锥(其中四棱锥的底面是边长与正方体棱长相等的正方形、顶点在底面上的射影是底面一边的中点)，因此结合选项知，它的正视图为B. 答案：B 2．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( ) A．2πB．π C．2 D．1 解析：所得圆柱体的底面半径为1，母线长为1，所以其侧面积S＝2π×1×1＝2π，故选A. 答案：A 3．一个侧面积为4π的圆柱，其正视图、俯视图是如图所示的两个边长相等的正方形，则与这个圆柱具有相同的正视图、俯视图的三棱柱的相应的侧视图可以为( )

解析：三棱柱一定有两个侧面垂直，故只能是选项C中的图形． 答案：C 4．(2016·郑州质量预测)已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于( ) A．1 B.2 C．2 D．22 解析：由题意知，所求正视图是底边长为2，腰长为2的正方形，其面积与侧视图面积相等为2. 答案：C 5．(2016·河北五校联考)某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是( ) A．2 B．22 C. 3 D．23 解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1-BCB1，如图所示，其四个面的面积分别为2,22，22，23，故选D. 答案：D 6.(2016·郑州模拟)如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为( )

三角形“四心” 与向量的完美结合(精.选)

三角形的“四心”与向量的完美结合 三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一． 知识点总结 1）O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心，则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= == 故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心. 2）O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心， 则 C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3）O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 ==) 若O 是ABC ?的外心 则 C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：：：： 故C 2sin B 2sin A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ?的充要条件是 ( =- ?=- ?=- ? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ?内 心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ?的内心，则 c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 C sin B sin A sin c b a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ABC ?的内心;

三角形四心的向量特征及应用

本文发表于中国数学会主办的《数学通报》2010年第12期 三角形“四心”的向量特征及应用 浙江省上虞市春晖中学 林国夫（邮编：312353） 翻阅近几年各省的竞赛、模拟和高考试题，笔者发现有关三角形的“四心”（即重心，垂心，内心和外心）的向量特征的试题频频出现.考虑到比较熟悉的三角形的重心的向量形式0=++GC GB GA 具有很好的完美性,出于兴趣,笔者对三角形的其余“三心”的向量特征进行了探究，得到了类似于重心的优美的向量表达式,并撰此拙文供读者参考. 1 三角形重心的向量特征 定理1 已知为G ABC Δ的重心,记CGA BGC AGB ΔΔΔ,,的面积为 ,,,CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ则=++,且.CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ== 证明 如图1,为的重心,为边上的中线,则G ABC ΔAD BC 32= )(31)(2132+=+×=.即)(3 1?+?=?. 故0=++GC GB GA . 由于3:1)32(:22:2::=×===ΔΔΔΔAD AG S S S S ABD AGB ABC AGB . 即ABC AGB S S ΔΔ=31,同理ABC BGC S S ΔΔ=31,ABC CGA S S ΔΔ=3 1, 故 .CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ==说明 我们还可以得到更进一步的结果: (1)为G ABC Δ的重心的充要条件为 =++.(2)与+共线.并可以得到下面一个有用的推论. 推论1 已知是不共线三点,点是平面内一点,且C B A ,,P ABC PB PA 21λλ+3λ+=, 其中0321≠??λλλ.记CPA BPC APB ΔΔΔ,,:||:|2的面积为则,,,CPA BPC APB S S S ΔΔΔCPA BPC S S ΔΔ:|APB S Δ|:|13λλλ=. 证明 如图2，记PC PC PB PB PA PA 3'2'1',,λλλ===,根据定理1可知, 点P 是的重心,且'''C B A Δ1:1:1::''''''=ΔΔΔPA C PC B PB A S S S . 由于)''sin ''2 1(:)sin 21 (:''PB A PB PA APB PB PA S S PB A APB ∠??∠??=ΔΔ | |||1'21'λλ?=?=PB PB PA PA ,即||||21''λλ?=ΔΔPB A APB S S ,

三角形四心的向量性质

三角形“四心”的向量性质及其应用 一、三角形的重心的向量表示及应用 命题一 已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若 GA GB GC ++=0．则G 是ABC △的重心． 证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0， 所以 ()GA GB GC =-+． 以GB ，GC 为邻边作平行四边形BGCD ， 则有GD GB GC =+， 所以GD GA =-． 又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ， 所以BE EC =，GE ED =． 所以AE 是ABC △的边BC 的中线． 故G 是ABC △的重心． 点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法． 例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =a ，=OB b ， =OC c ，试用a b c ，，表示OG ． 解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点， ?? ? ??=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC GB GA OG c b a ++=-++∴ 而03=-++∴OG c b a 图2

3 c b a OG ++= ∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键． 变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则 AD BE CF ++=0． 证明：如图的所示， ??? ? ? ???? -=-=-=GC CF GB BE GA AD 232323 )(23 GC GB GA CF BE AD ++-=++∴ 0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．． 变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点， 则1 ()4 PO PA PB PC PD =+++． 证明：1()2PO PA PC =+，1()2 PO PB PD =+， 1()4 PO PA PB PC PD ∴=+++． 点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P 与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=0． 二、三角形的外心的向量表示及应用 命题二：已知G 是ABC △内一点，满足MC MB MA ==，则点M 为△ABC 的外心。 例2 已知G 、M 分别为不等边△ABC 的重心与外心，点A ，B 的坐标分别为A （-1，0），B （1，0），且GM ∥AB ，（1）求点C 的轨迹方程；（2）若直线l 过 图3

高中数学三角形四心性质及例题

三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1) O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0; 2) O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA 若O 是 ABC （非直角三角形 ）的垂心， 故 tan AOA tan BOB tan COC 0 2 2 2 3) O 是 ABC 的外心 |OA | |OB| |OC | (或OA OB OC ) 若O 是 ABC 的外心 则 S BOC ：S AOC ：S AOB sin BOC ：sin AOC ：sin AOB sin2A : sin 2B : sin2C 故 sin 2A OA sin 2BOB sin 2COC 4） O 是内 心 ABC 的充要条件是 OA (|A AB B | AC ) OB ( BA AC |BA | |B B C C|) OC (|C CA A | |C C B B |) 0 AB,BC,CA 的单位向量为 e 1 ,e 2 , e 3 ，则刚才 O 是 ABC 内心的 充 要 条件 可 OA (e 1 e 3) OB (e 1 e 2 ) OC (e 2 e 3) 0 O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 aOA bOB cOC 0 若O 是 ABC 的内心，则 S BOC ： S AOC ： S AOB a ：b ：c 引进单位向量， 使条件变得更简洁。如果 记 sin B OB sin COC ; 以写成 故 aOA bOB cOC 0或 sin AOA ABC 的内心; 若O 是 ABC 的重心，则 S BOC S AOC S AOB 3S ABC 故 OA PG 31(PA PB PC) OB OC 0; G 为 ABC 的重心 . 则 S BOC ： S AOC ： S AOB tan A ：tan B ： tan C

与三角形四心相关的向量结论

与三角形“四心”相关的向量结论 濮阳市华龙区高中 张杰 随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。本文通过对一道高考模拟题的思考和探究，得到了与三角形“四心”相关的向量结论。希望在得出结论的同时，能引起一些启示。 问题：设点O 在ABC ?内部，且有03=++OC OB OA ，则BOC ?与AOC ?的面积的比值是____. 分析：∵03=++OC OB OA 设OD OB =3，则0=++OC OD OA ， 则点O 为ADC ?的重心.∴ACD AOD COA DOC S S S S ????= ==31. 而 AOC COD BOC S S S ???==3131， ∴3 1:=??COA BOC S S . 探究：实际上，可以将上述结论加以推广，即可得此题的本源。 结论： 设O 点在ABC ?内部，若()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0，则r n m S S S A O B C O A B O C ::::=?? 证明： 已知O 点在ABC ?内部，且()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0 设：OF OC r OE OB n OD OA m ===,,，则点O 为△DEF 的重心， 又EOF BOC S nr S ??=1，DOF AOC S mr S ??=1，DOE AOB S mn S ??=1， ∴r n m S S S AO B CO A BO C ::::=?? 说明: 此结论说明当点O 在ABC ?内部时，点O 把ABC ?所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。 应用举例：设点O 在ABC ?内部，且40OA OB OC ++= ，则ABC ?的面积与OBC ?的面积之比是： A ．2：1 B ．3：1 C ．4：3 D ．3：2 分析：由上述结论易得：1:1:4::=??AO B CO A BO C S S S ，所以2:34:6:==?O BC ABC S S ，故选D 当把这些点特定为三角形的“四心”时，我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。 引申：设O 点在ABC ?内部，且角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,, 结论1：若O 为ABC ?重心，则0=++OC OB OA 分析：重心在三角形的内部，且重心把ABC ?的面积三等分. 结论2 ：O 为ABC ?内心，则0=++OC c OB b OA a 分析：内心在三角形的内部，且易证S △BOC ：S △COA ：S △AOB =c b a :: 结论3： O 为ABC ?的外心，则02sin 2sin 2sin =++OC C OB B OA A 分析： 易证S △BOC ：S △COA ：S △AOB =sin2A ：sin2B ：sin2C.

平面向量四心问题(最全)

平面向量四心问题 近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述： 一、重心问题 三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重 心”就在中线上. 例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不 共线的三个点，动点P 满足：， 则P的轨迹一定通过△ABC 的（） Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心 解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为， 所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选C. 点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合. 二、垂心问题 三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.

例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（　）. A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析:由. 即. 则， 所以P为的垂心. 故选D. 点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合. 三、内心问题 三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上. 例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足 ，则动点P一定过△ABC的〔〕. A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

讲义---平面向量与三角形四心的交汇

讲义---平面向量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 [ OC OB OA ++ 2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂 足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥? 同理⊥，⊥ ?O 为ABC ?的垂心 : （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b c 、 分别为 方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++= λ ∴ c b a bc ++= （b c +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a B C D

三角形“四心”的向量表示及运用2

三角形“四心”的向量表示及运用示例 平面向量有一非常优美的结论:已知O 为△ABC 内一点,则 =0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ????+?+?,称为平面向量的“奔驰定理”. 本文给出平面向量“奔驰定理”的一种证明,并给出O 在△ABC 外的结论,在此基础上探讨三角形“四心”的向量表示及其运用示例. 一、两个定理 定理1:设O 是△ABC 内一点,且S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝k 1:k 2:k 3, 则k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0 证:如图,设→OA ＝－→ OA '. 过A '作OC 的平行线交OB 于B ',过A '作OB 的平行线交OC 于C ',则→OA '＝→OB '＋→ OC ' OB 'OB ＝ S △B 'OC S △BOC ＝ S △A 'OC S △BOC ＝ S △AOC S △BOC ＝ k 2k 1 所以→OB '＝k 2k 1→OB , 同理→OC '＝k 3k 1→OC 所以－→OA ＝k 2k 1→OB ＋k 3k 1 →OC 即k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→ 0 □ 定理2:设O 是△ABC 外一点,不妨设点A 和点O 位于直线BC 的两侧, 若S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝k 1:k 2:k 3,则－k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→ 证: 过A 作OC 的平行线交OB 于B ',过A 作OB 的平行线交OC 于C ',则→OA ＝→OB '＋→ OC ' OB ' OB ＝ S △B 'OC S △BOC ＝ S △AOC S △BOC ＝ k 2k 1 所以→OB '＝k 2k 1→OB , 同理→OC '＝k 3k 1→OC 所以→OA ＝k 2k 1→OB ＋k 3k 1 →OC

讲义平面向量与三角形四心的交汇

讲义---平面向量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为ABC ?的垂心 （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b AC c AB 、 分别为 AC AB 、方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++= λ B C D

专题四立体几何中_如何有效建立空间直角坐标系。

专题四：高考立体几何专题复习 主要是掌握建立空间直角坐标系的时候，要选择适当的坐标系，我们建系的原则是：尽量使更多的点落在坐标轴上。同时要注意：紧紧抓住题目条件中的垂直字眼，然后再考虑如何建系。点的坐标不好写出来时，记住：：一定要把涉及到该点的图形拿出来，使之平面化，再去写点的坐标！ 例1、如图2，在四棱锥-P ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE EC ⊥ ．已知 1 22PD CD AE == ，．求： 1.异面直线PD 与EC 的距离； 2.二面角E PC D --的大小． 例2、（安徽）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形， 4ABC π ∠= , OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点 （Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖； （Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。 N B

答案 例一：解：以D 为坐标原点，DA DC DP ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系， 并设DA a = ，则 1(00)(20)(020)(000)(0002A a B a C D P E a ?? ? ??，，，，，，，，，，，，，，． （1）PE CE ⊥∵，0PE CE =∴· ，解得a = ．0DE CE =∴·，即DE CE ⊥， 又DE PD ⊥，故DE 是异面直线PD 与EC 的公垂线． 而 1 DE =，即异面直线PD 与EC 的距离为1． （2）作 DG PC ⊥，并设(0)G y z ，，， (0)(2)D G y z P C ==， ，，，，∵，且0DG PC =· ， 则z =，∴ 可取DG =． 再作EF PC ⊥于F ，并设(0)F m n ，，， 12EF m n ??=-- ? ???，∵， 且0EF PC =·，则n =-，∴又取 12EF ?=- ??，，． 由DG PC ⊥，EF PC ⊥，可知DG 与EF 的夹角就是所求二面角θ的大小， 2 cos DG EF DG EF θ= =·∴，即所求二面角为π 4． 例二： 方法一：（1）证明：取OB 中点E ，连接ME ，NE ME CD ME CD ∴，‖AB, AB ‖‖ ,NE OC MNE OCD ∴平面平面‖‖MN OCD ∴ 平面‖ （2）CD ‖AB, MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角） 作,AP CD P ⊥于连接MP ⊥⊥平面A BC D ， ∵OA ∴CD MP ,4 2 ADP π ∠= ∵∴DP = MD =， 1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π ∠==∠=∠= ∴ 所以 AB 与MD 所成角的大小为3π （3）AB 平面∵∴‖OCD, 点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP,过点A 作 AQ OP ⊥ 于点Q ，,,,AP CD OA CD CD OAP AQ CD ⊥⊥⊥⊥平面∵∴∴ 又 ,AQ OP AQ OCD ⊥⊥平面∵∴,线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离

立体几何中三角形的四心问题

立体几何中三角形的四心问题 一、外心问题（若PA=PB=PC,则O 为三角形ABC 的 外心） 例1．设P 是ΔABC 所在平面α外一点，若PA ，PB ，PC 与平面α所成的角都相等，那么P 在平面α内的射影是ΔABC 的( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 如图所示，作PO ⊥平面α于O ，连OA 、OB 、OC ，那么∠PAO 、∠PBO 、∠PCO 分别是PA 、PB 、PC 与平面α所成的角，且已知它们都相等. ∴Rt ΔPAO ≌Rt ΔPBO ≌Rt ΔPCO. ∴OA ＝OB ＝OC ∴应选B. 例2． Rt △ABC 中，∠C ＝９０°，BC ＝３６，若平面ABC 外一点P 与平面A ，B ，C 三点等距离，且P 到平面ABC 的距离为８０，M 为AC 的中点．（１）求证：PM ⊥AC ；（２）求P 到直线AC 的距离；（３）求PM 与平面ABC 所成角的正切值． 解析：点P 到△ABC 的三个顶点等距离，则P 在平面ABC 内的射影为△ABC 的外心，而△ABC 为直角三角形，其外心为斜边的中点． 证明 （１）∵PA ＝PC ，M 是AC 中点，∴PM ⊥AC 解 （２）∵BC ＝３６，∴MH ＝１８，又PH ＝８０， ∴PM ＝8218802222=+=+MH PH ，即P 到直线AC 的距离为８２； （３）∵PM=PB=PC ，∴P 在平面ABC 内的射线为△ABC 的外心， ∵∠C=90° ∴P 在平面ABC 内的射线为AB 的中点H 。 ∵PH ⊥平面ABC ，∴HM 为PM 在平面ABC 上的射影， 则∠PMH 为PM 与平面ABC 所成的角，∴tan ∠PMH ＝9 401880==MH PH 例3．斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，A 1到A 、B 、C 三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。 解析：∵A 1A=A 1B=A 1C ∴ 点A 1在平面ABC 上的射影为△ABC 的外心，在∠BAC 平分线AD 上 ∵ AB=AC ∴ AD ⊥BC ∵ AD 为A 1A 在平面ABC 上的射影 ∴ BC ⊥AA 1 ∴ BC ⊥BB 1 ∴ BB 1C 1C 为矩形，S=BB 1×BC=156 取AB 中点E ，连A 1E ∵ A 1A=A 1B ∴ A 1E ⊥AB ∴ 12)2 AB (AA E A 2211=-= ∴ 1111120AA C C AA B B S S ==

三角形的四心习题及解析

三角形的四心习题及解析 一、单选题 1. （ ）△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，G 为△ABC 的重心，则△GAB 面积：△GBC 面 积：△GAC 面积＝ (Ａ) 1：2：3(Ｂ) 1：3：2 (Ｃ) 2：1：3(Ｄ) 1：1：1。 答案：(Ｄ) 解析：∵G 为△ABC 的重心 ∴△GAB 面积：△GBC 面积：△GAC 面积＝1：1：1 2. （ ）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，两腰上的中线相交与G ，若∠BGC ＝90°，且BC ＝ 22，则BE 的长为多少？ (Ａ) 2 (Ｂ) 22(Ｃ) 3 (Ｄ) 4。 答案：(Ｃ) 解析：∵AB ＝AC ，且 G 为△ABC 的 重心 ∴BE ＝CD ∴BG ＝CG 又∵∠BGC ＝90°，BC ＝2 2 ∴BG ＝ 2 BC ＝ 2 22＝2 ∴BE ＝ BG 23 ＝2 3×2＝3 3. （ ）如图，等腰△ABC 中，?A B ＝?A C ＝13，?B D ＝?C D ＝5，O 为△ABC 的外心，则 ?O D ＝ ？ (Ａ) 24117(Ｂ)24119(Ｃ)24121(Ｄ)24 123 。 答案：(Ｂ) 解析：∵△ABC 为等腰三角形，∴?A D ⊥?B C ， AD ＝ 2 2513－＝12，连接 ?O B ，令 ?O D ＝x , 则?O B ＝?O A ＝?A D －?O D ＝12 －x

（12－x ）2＝x 2＋52 ? x ＝ 24 119 故选(Ｂ) 4. （ ）如图，D 、E 分別为?A B 、?A C 中点，?B E 、?C D 交于 F ，若斜线部分的面积为 7 ，则 △ACD 的面积为多少？ (Ａ) 21(Ｂ) 24(Ｃ) 28(Ｄ) 35。 答案：(Ａ) 解析：连接 ?B C ，则△BDF ＝ 61△ABC 而△ACD ＝2 1 △ABC △ACD ＝3×7＝21 平方公分 故选(Ａ) 5. （ ）直角三角形 ABC 中，∠A ＝90°，O 为外心，G 为重心，若?A C ＝6，?A B ＝8，则 ?O G ＝？ (Ａ) 32(Ｂ)34(Ｃ)35(Ｄ)3 7。 答案：(Ｃ) 解析：?B C ＝ 2286＋＝10 ?O C ＝?O A ＝5 ?O G ＝315?＝3 5 故选(Ｃ) 6. （ ）如图，△ABC 中，?A B ＝8，?A C ＝6，?B C ＝10，M 为 ?B C 中点，则 ?A M ＝？ (Ａ) 25(Ｂ)35(Ｃ)3 10 (Ｄ) 5。 答案：(Ｄ) 解析：△ABC 直角三角形 ∴M 为外心，?B M ＝?M C ＝?A M ＝ 2 10 ＝5 故选(Ｄ) 7. （ ）由尺规作图得知正三角形的外心、內心、重心均在同一点，请问正三角形外接圆 的面积是內接圆面积的几倍？ (Ａ) 2(Ｂ)3(Ｃ) 2 3 (Ｄ) 4。 答案：(Ｄ)

专题四 规范答题4 立体几何

规范答题4立体几何 [命题分析] 立体几何解答题是高考解答题的中等难度题目，一般考查线面关系平行、垂直的证明以及空间角的计算、最值等.典例(12分)(2020·全国Ⅲ)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1. (1)证明：点C1在平面AEF内； (2)若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A－EF－A1的正弦值. 步骤要点规范解答阅卷细则 (1)写坐标：建立空间直角坐标系，写(或设)点的坐标，求直线的方向向量以及平面的法向量． (2)求平行：根据数量关系证明平行，再通过平行说明点在平面内．(3)得结论：根据计算结果得到题目结论. (1)证明设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，如图， 以C1为坐标原点，C1D1 ——→，C 1 B1 ——→，C 1 C →的 方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空 间直角坐标系．(1分) 连接C1F，则C1(0,0,0)，A(a，b，c)， E???? a，0， 2 3c，F? ? ? ? 0，b， 1 3c， EA →＝ ? ? ? ? 0，b， 1 3c，C1F →＝ ? ? ? ? 0，b， 1 3c，(3分) 所以EA→＝C1F →，所以EA∥C 1 F， 即A，E，F，C1四点共面， 所以点C1在平面AEF内．(5分) (2)解由已知得A(2,1,3)，E(2,0,2)，F(0,1,1)， (1)正确建立坐标 系得1分； (2)正确写出向量 EA → ，C1F → 的坐标， 得2分； (3)证明EA∥C1F 并正确写出结论 得2分； (4)求出向量夹角 余弦值，没有下结 论扣1分； (5)其他方法建立 坐标系计算正确 同样给分.

(完整版)平面向量与三角形四心问题.docx

平面向量基本定理与三角形四心 已知 O 是ABC 内的一点，BOC ,AOC , AOB 的面积分别为S A， S B， S C，求证：S A? OA S B? OB S C? OC 0 A 如图 2延长 OA 与 BC 边相交于点 D 则 O B C 图 1 BD S A BD S BOD S ABD S BOD S C DC S ACD S COD S ACD S COD S B OD DC OB BD OC BC BC A O S B OB S C OC S B S C S B S C B D C OD S BOD S COD S BOD S COD S A OA S BOA S COA S BOA S COA S B S C 图2 OD S A OA S B S C S A OA S B OB S C OC S C S B S B S C S B S C S A? OA S B? OB S C? OC 0 推论 O 是 ABC 内的一点，且 x?OA y?OB z?OC0 ，则S BOC: S COA: S AOB x : y : z

有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC 的重心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的内心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的外心 S BOC: S COA: S AOB AOB AOB 1:1:1OA OB OC0 a : b : c a ?OA b ?OB c ?OC0 sin 2A :sin 2B : sin 2C sin 2A ? OA sin 2B ? OB sin 2C ?OC0 O 是ABC 的垂心 S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C tan A ?OA tan B ? OB tan C ?OC0 C O A D B 证明：如图 O 为三角形的垂心， tan A CD , tan B CD tan A: tan B DB : AD AD DB S BOC: S COA DB : AD S BOC: S COA tan A : tan B 同理得 S COA: S AOB tan B : tan C ， S BOC: S AOB tan A : tan C S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

专题四 规范答题4 立体几何

规范答题4立体几何 [命题分析]立体几何解答题是高考解答题的中等难度题目，一般考查线面平行、垂直的证明以及空间角的计算、最值等.典例(12分)(2020·新高考全国Ⅰ)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面P AD与平面PBC的交线为l. (1)证明：l⊥平面PDC； (2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. 步骤要点规范解答阅卷细则 (1)找垂直：通过证明垂直关系寻找(或作出)具有公共交点的三条两两互相垂直的直线. (2)写坐标：建立空间直角坐标系，写(或设)点的坐标，求直线的方向向量以及平面的法向量. (3)求关系：根(1)证明在正方形ABCD中，AD∥BC， 因为AD?平面PBC，BC?平面PBC， 所以AD∥平面PBC， 又因为AD?平面P AD，平面P AD∩平面PBC＝l， 所以AD∥l，3分 因为在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形， 所以AD⊥DC，所以l⊥DC， 且PD⊥平面ABCD，所以AD⊥PD，所以l⊥PD， 因为CD∩PD＝D， 所以l⊥平面PDC.5分 (2)解如图建立空间直角坐标系D－xyz， (1)证明平行、垂直 关系条件不严谨扣1 分；(2)正确建立空 间直角坐标系得1 分； (3)指明直线与平面 所成角的正弦值等 于|cos〈n，PB → 〉|， 没有正确求得最值 得1分； (4)其他方法建立空 间直角坐标系计算 正确同样给分.

据已知条件计算夹角或寻找关系. (4)得结论：根据计算结果得到题目结论. 因为PD ＝AD ＝1，则有D (0,0,0)，C (0,1,0)， A (1,0,0)，P (0,0,1)， B (1，1,0)，7分 设Q (m,0,1)， 则有DC →＝(0,1,0)，DQ →＝(m,0,1)，PB → ＝(1,1，－1)， 设平面QCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则????? DC →·n ＝0，DQ →·n ＝0， 即????? y ＝0，mx ＋z ＝0， 令x ＝1，则z ＝－m ， 所以平面QCD 的一个法向量为n ＝(1,0，－m )，9分 则cos 〈n ，PB → 〉＝n ·PB → |n ||PB →|＝1＋0＋m 3×m 2＋1.10分 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值， 所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值等于 |cos 〈n ，PB → 〉|＝ |1＋m | 3×m 2＋1 ＝33×1＋2m ＋m 2m 2＋1 ＝3 3×1＋2m m 2＋1 ≤ 33 ×1＋2|m |m 2＋1≤33 ×1＋1＝6 3， 当且仅当m ＝1时取等号，

平面向量中的三角形中“四心问题”

专题分析 平面向量中的三角形“四心” 江苏省启东中学 张 杰 在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了学生分析问题、解决问题的能力。现就“四心”作如下介绍： 一．“四心”的概念与性质 1．重心：三角形三条中线的交点叫重心。它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2：1；在向量表达形式中，设点G 是ABC ?所在平面内的一点,则当点G 是ABC ?的重心时，有0=++GC GB GA 或)(31++=(其中P 为平面内任意一点)；反之，若0=++GC GB GA ，则点G 是ABC ?的重心；在向量的坐标表示中，若G 、A 、 B 、 C 分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G ),(y x 、A ),(11y x 、B ),(22y x 、C ),(33y x ，则有3321x x x x ++=，3 321y y y y ++=。 2．垂心：三角形三条高线的交点叫垂心。它与顶点的连线垂直于对边；在向量表达形式中，若H 是ABC ?的垂心，则?=?=?，或 2 22222+=+=+，反之，若 ?=?=?，则H 是ABC ?的垂心。 3．内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心。内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等；在向量表达形式中，若点I 是ABC ?的内心，则有 0||||||=?+?+?IC AB IB CA IA BC 或||||||AB AC BC ++(其中P 为平面内 任意一点)，反之，若||||||=?+?+?，则点I 是ABC ?的内心。 4．外心：三角形三条中垂线的交点叫外心。外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等；在向量表达形式中，若点O 是ABC ?的外心，则

平面向量题型三三角形“四心”与向量结合

题型三 三角形“四心”与向量结合 (一)平面向量与三角形内心 1、O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 +=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（ ） （A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 2、已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ?+?+?=，则P 是三角形的（ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 3、在三角形ABC 中，动点P 满足：CP AB CB CA ?-=22 2 ，则P 点轨迹一定通过△ABC 的： （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 (二)平面向量与三角形垂心 “垂心定理” H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ?=?=??点H 是△ABC 的垂心. 证明：由⊥?=??=-???=?00)(, 同理AB HC ⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略）） 4、已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足： 0PA PC PA PB PB PC ?+?+?=，则P 点为三角形的 （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 5、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足?=?=?，则 点O 是ABC ?的 （ ） （A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点 （C ）三条中线的交点 （D ）三条高的交点 6、在同一个平面上有ABC ?及一点Ｏ满足关系式： 2 O A ＋2 BC ＝2 OB ＋2 CA ＝ 2 OC ＋2 AB ，则Ｏ为ABC ?的 （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 (三)平面向量与三角形重心 “重心定理” G 是△ABC 所在平面内一点，++=0?点G 是△ABC 的重心. 证明 图中GE GC GB =+

2014专题四：立体几何(教师版)文科

2014专题四：立体几何（文科教师版） 一、2014年考纲解读 1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。 2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定。 3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线平行及角相等的方法。掌握异面直线所成角的范围，会求异面直线的所成角。 4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线， 5.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘;了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算;掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. 6.了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.掌握棱柱,棱锥的性质,并会灵活应用,掌握球的表面积、体积公式;能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图. 7.空间平行与垂直关系的论证. 8. 掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题. 9.理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法）.对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离。 二、考点分析 在高考中立体几何命题有如下特点： 1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系． 2.多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现． 3.多面体及简单多面体的概念、性质、三视图多在选择题，填空题出现． 4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点． 此类题目分值一般在22分左右，题型一般为2个小题，1个解答题. 三、要点梳理 1.三视图：正俯一样长、正侧一样高、俯侧一样宽. 2.直观图:已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段平行性不变,但 在直观图中其长度为原来的一半. 3.体积与表面积公式: (1)柱体的体积公式:V= 柱Sh;锥体的体积公式: V= 锥 1 3 Sh;