巧用化归与转化的数学思想解题

巧用化归与转化的数学思想解题

关键词：化归与转化，等价转化，数形结合，函数与方程

内容摘要：化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际就是转化的过程。应用化归与转化的思想，运用

数学变换的方法去灵活地解决有关的数学问题，是提高思维能力的有效保证。常用的化归与转化方法有等价变换、数形结合法、函数与方程的思想、换元法、反证法、特殊值法等。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵于知识的发生、发展和应用的过程，是知识转化为能力的桥梁。而数学科的考试，是按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，测试中学数学基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力。所以，历年高考均十分重视考查数学思想方法，把对数学思想方法的考查融合在对“三基”的检测和能力的考核之中。

化归与转化的思想就是将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的数学思想。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际就是转化的过程。数学中的转化比比皆是，如：未知向已知的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化等，都是转化思想的体现。

应用化归与转化的思想，运用数学变换的方法去灵活地解决有关数学问题，是提高思维能力的有效保证，那么，我们应该如何在平时解题过程中注意培养化归与转化意识，以进一步提高解题能力呢？下面结合例题谈一谈如何实现数学问题的转化。

一、 利用等价转化的思想来实现转化

在数学中，存在许许多多具有等价性的问题，“恒等变形”是解题的最基本的方法，如解方程和不等式的过程本身就是一个等价转化的过程。

例1、（2003年全国高考）已知0>c 。设:P 函数x

c y =在R 上单调递减。:Q 不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 。如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围。

分析：“P 和Q 有且仅有一个正确”等价于“P 正确且Q 不正确”或“P 不正确且Q 正确”，所以应先求出P 和Q 分

别正确时的解集，再用集合间的关系来运算。

解：:P 函数x

c y =在R 上单调递减10<-+c x x 的解集为R

? 函数|2|)(c x x x f y -+==在R 上恒大于1。

?

??<≥-=-+)2(,2)

2(,22|2|c x c c x c x c x x

∴

函数|2|)(c x x x f y -+==在R 上的最小值为c 2。

∴ 不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 2

112>

?>?c c 。

∴ 如果P 正确且Q 不正确，则2

10≤

如果P 不正确且Q 正确，则1≥c 所以c 的取值范围为),1[]2

1,

0(+∞?。

二、利用反证法的思想来实现转化

如果一个命题从正面解决不好入手或比较麻烦，可以从命题的反面入手来解决。如：证明命题的唯一性、无理性，或所给的命题以否定形式出现（如：不存在、不相交等），并伴有“至少”“不都”“都不”“没有”等指示性词语时，均可考虑用反证法的思想来实现转化。反证法是数学解题中逆向思维的直接体现。

例2、已知下列三个方程：03442

=+-+a ax x

，0)1(2

2

=+-+a

x a x

， 0222

=-+a ax x

中，

至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围。

分析：此题若采用正面讨论，则必须分成“有且只有一个方程有实根”，“有两个方程有实根”和“三个方程全部有实根”

三种不同情况来讨论，求解过程将会非常复杂。所以，应采用补集和反证法的思想来求。 解：若方程没有一个有实根，则有??

???<+<--<--0

8404)1(0

)43(41622

22a a a a a a

解之得：12

3-<<-

a

∴满足三个方程至少有一个方程有实根的a 的解集是}231|{-

≤-≥a a a ，或。

三、用数形结合的思想来实现转化

数形结合的思想就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想，其实质就是把抽象的数量关系和直观的图形结合起来，从而降低原命题的难度，使问题容易得到解决。

例3、如果实数y x ,满足3)

2(2

2

=+-y

x ，那么x

y 的最大值是（ ）

A.

2

1 B.

3

3 C.2

3 D.3

分析：由于方程3)2(2

2

=+-y

x 表示的曲线以)0,2(A 为圆心，以3

为半径

的圆（如右图所示），满足方程的y x ,是圆上的点),(y x P ；而

x

y 是坐

标原点)0,0(与圆上各点连线的斜率，所以题目可转化为求原点)0,0(与圆上各

点连线

的斜率的最大值。结合图像，易知直线kx y =与圆3

)2(2

2=+-y x 相切的

时候，直线OP 的斜率k 就是所求斜率的最大值。

解： 3

2||,3||π=

∠?==POA OP AP

3tan =

∠∴POA

即所求

x

y 的最大值是

3，故选D 。

四、利用函数与方程的思想来实现转化

函数与方程的思想是求数量关系的主要思想方法。一个数学问题，如能建立描述其数量特征的函数表达式，或列出表示其数量关系的方程式（组）（包括不等式（组）），则一般可使问题得到解答。

例4、已知平行四边形ABCD 中，点C A ,的坐标分别为（)2,3(),3,1--，点D 在椭圆

14

)

5(9

)

4(2

2

=-+

+y x 上

移动，求点B 的轨迹方程。

分析：因为平行四边形的对边平行且相等，所以可以将本题转化为相等向量的性质来求解。

解：设D B ,的坐标分别为),(),,(b a y x

则)3,1(),2,3(y x BA b a CD ---=-+=

在平行四边形ABCD 中，BA CD =

)3,1()2,3(y x b a ---=-+∴ y b x a -=--=∴5,4

点D 在椭圆上，

∴把D 点坐标)5,4(y x ---代入椭圆方程中，

即得点B 的轨迹方程：

14

9

2

2

=+

y

x

五、利用换元法的思想来实现转化

对结构较为复杂，量与量之间的关系不甚明了的命题，通过适当的引入新变量（换元），往往可以简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。常用的换元法有代数代换、三角代换、整体代换等。在应用换元法时要特别注意新变量的取值范围，即代换的等价性。

例5、（2004年高考广西理科）解方程：11|2

1|4=-+x

x

分析：若令x

t 2=，（0>t ），则原方程可转化为求含绝对值的二次方程的解。

解：令x

t 2=，（0>t ），原方程可化为：11|1|2

=-+t t ①当1≥t （即0≥x ）时，方程可化为：0121112

2

=-+?=-+t t

t t

解之得：3=t ，或4-=t （不舍题意，舍去）

3log

32

2

=?=∴x x

②当10<

2

=--?=-+t t

t t

解之得：12

412

1>+

=

t 或02

412

1<-

=

t （均不舍题意，舍去）

所以，原方程的解为 3log 2

=x

六、利用特殊化的思想来实现转化

数学充满着辩证法，一般性往往寓于特殊性之中。解题时，将一般问题特殊化和将特殊问题一般化是常用的两种策略。对一些较为抽象或一般规律又无显露的数学问题，尤其是答案相对唯一的选择题，可以采用抽象问题具体化，一般问题特殊化的方法来验证，而无需作费时费力的严格推证，从而避免“小题大做”，以降低难度，尽快确定正确答案。 例6、（2001年全国高考）一间民房的屋顶有如下图三种不同的盖法：

①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜。记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3。若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（ ）

(A )P 3=P 2>P 1 (B )P 3>P 2=P 1

(C )P 3>P 2>P 1

(D )P 3=P 2=P 1

分析：由射影面积公式（ αcos S ?斜射＝S ）可知：射S 与斜面和水平面所成角α有关，而与斜面内图形形状及图形放置无

关。所以可以抓住“所成角都是α”及“射影面积（民房面积）不变”，取特值0=α，就将三种不同的房盖均变成平房盖，而同一间民房的面积全部相同，从而得解。

解：令0=α，即可知选D 。

当然，除了上述常用方法外，数学解题中还存在其它的转化方法，如：在求空间距离问题时，可利用等积法（点线距离常用等面积法，点面距离常用等体积法）将它转化为解三角形的问题；在求空间角（异面直线所成的角或二面角的平面角）时，可通过平移变换、作辅助线等方法转化为同一个平面或三角形中；而求函数的值域（或最值），有时也可以根据反函数的性质，通过求该函数的反函数的定义域来得到。……由于本文篇幅有限，这里就不一一举例。

总而言之，化归与转化的思想具有灵活性和多样性的特点，没有统一的模式可遵循，需要依据问题本身提供的信息，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径和方法，所以学习和熟悉化归与转化的思想，有意识地运用数学变换的方法，去灵活地解决有关的数学问题，将有利于提高解决数学问题的应变能力和技能、技巧。