切比雪夫I型数字滤波器的设计

数字信号处理原理及实现

课程设计报告

题目切比雪夫I型数字滤波器的设计

专业电子信息工程

学生姓名黄亚胜

学号 090305041

年级 2009级班级 5班

指导教师邓凯

设计时间 2011 年 12 月 21 日

目录

一、数字滤波器介绍 (1)

二、数字滤波器的分类和设计方法 (1)

1、FIR 滤波器的特点及设计方法 (1)

2、IIR 滤波器的特点及设计方法 (2)

三、设计内容介绍 (5)

3.1.设计目的 (5)

3.2.设计内容 (5)

3.3.技术指标 (5)

3.4.功能参数 (5)

四、MATLAB编程实现 (6)

五、总结 (7)

一、数字滤波器的介绍

数字滤波器处理模拟信号时，首先须对输入模拟信号进行限带、抽样和模数转换。数字滤波器输入信号的抽样率应大于被处理信号带宽的两倍，其频率响应具有以抽样频率为间隔的周期重复特性，且以折叠频率即1/2抽样频率点呈镜像对称。为得到模拟信号，数字滤波器处理的输出数字信号须经数模转换、平滑。数字滤波器具有高精度、高可靠性、可程控改变特性或复用、便于集成等优点。数字滤波器在语言信号处理、图像信号处理、医学生物信号处理以及其他应用领域都得到了广泛应用。

二、数字滤波器的分类和设计方法

数字滤波器有低通、高通、带通、带阻和全通等类型。它可以是时不变的或时变的、因果的或非因果的、线性的或非线性的。应用最广的是线性、时不变数字滤波器，以及FIR 滤波器。

1、FIR 滤波器的特点及设计方法

一个截止频率为c ω(rad/s)的理想数字低通滤波器，其传递函数的表达式:

????

?≤≤≤=-πωωωωωτ

ω

c c j j

d e

e H ,0,)( 由上式可以看出，这个滤波器在物理上是不可实现的，因为冲激响应具有无限性和因果性。为了产生有限长度的冲激响应函数，我们取样响应为)(n h ，长度为N ，其系数函数为)(z H ：

∑-=-=1

0)()(N n n

z n h z H

用)(n h 表示截取)(n h d 后冲激响应，即)()()(n h n n h d ω=，式子中)(n ω为窗函数，长度为N 。当τ=(N -1)/2时，截取的一段)(n h 对(N-1)/2对称，可保证所设计的滤波器具有线性相位。

2、IIR 滤波器的特点及设计方法

典型的模拟低通滤波器的指标如下：,P S ΩΩ分别为通带频率和阻带频率，,P S δδ分别为通带和阻带容限（峰波纹值）。在通带内要求1()1P a H J δ-≤Ω≤,有时指标由通带最大衰减p α和阻带最小衰减s α给出，定义如下：20lg(1)p p αδ=-- 和20lg()s s αδ=-

第二种常用指标是用参数ε和A 表示通带和阻带要求，如图所示：

二者之间的关系为：21/2[(1)1]p εδ-=--和1/s A δ=，根据这几个参数可导出另外两个参数d ，k ，分别称为判别因子和选择性因子。

d =

/p s k =ΩΩ

BUTTERWORTH 低通滤波器：幅度平方函数定义为2

21

()1(/)a N

c H J Ω=

+ΩΩ，

N 为滤波器阶数，c Ω为截止频率。当c Ω=Ω时，有()a H J Ω=3DB 带宽。

BUTTERWORTH 低通滤波器系统函数有以下形式：

1

111

1

()...()

N

c a N

N N N N

k H s s a s a s a k s s --=Ω=

=

++++∏- 由模拟滤波器设计IIR 数字滤波器，必须建立好s 平面和z 平面的映射关系。使模拟系统函数()a H s 变换成数字滤波器的系统函数()H z ，通常采用冲激相应不变法和双线性变换法。冲激相应不变法存在频谱混叠现象，双线性变换法消除了这一线象，在IIR 数字滤波器的设计中得到了更广泛的应用。

s 平面和Z 平面的映射关系为11

21()1s Z s f Z T Z

---==+,将s j =Ω和jw

z e =待入数字频率和等效的模拟频率之间的映射关系：tan()2

w

Ω=，由于二者不是线性关系，

所以称为预畸变。

三、设计内容介绍

3.1. 设计目的

通过本次课程设计巩固所学的理论知识。提高综合运用所学理论知识独立分析和解决问题的能力。更好地将理论与实践相结合。掌握信号分析与处理的基本方法与实现。熟练使用MATLAB 语言进行编程实现。

3.2设计内容

一个信号含有两个频率分量100Hz 和130Hz ，现要将130Hz 分量衰减50dB ，而通过的100Hz 分量衰减小于2dB 。设计一个最小阶次的切比雪夫I 型数字滤波器完成这个滤波功能，画出幅度响应并对设计予以确认。

3.3技术指标

从设计内容的要求分析得知，所设计滤波器的指标为：

阻带截止频率：fs=130Hz ；通带截止频率：fp=100Hz ；通带最大衰减：Rp=2dB ； 阻带最小衰减：As=50dB ；取采样频率为Fs=500HZ

3.4. 功能参数

由于题目要求使用切比雪夫I 型滤波器来完成该滤波功能。结合技术指标可以算出所需要的各参数。I 型切比雪夫滤波器的幅度平方函数是

)/(11

|)(|2

22c N C C j H ΩΩ+=

Ωε

从公式1中我们可以看出需要计算出ε和N 。

110

1.0-=p

a ε

边带频率p Ω，通带最大衰减p α=0.1dB 、阻带最大衰减s α=50dB 、阻带截止

频率s Ω，它们满足

)

/cosh()/110cosh(11.0p s a ar ar N s ΩΩ-≥

-ε

根据公式可以求出最小的切比雪夫I 型滤波器阶数的N 最小值。

四、MATLAB 编程实现

MATLAB 程序如下：

fp=100;fs=130; Rp=2;Rs=50;Fs=500；T=1/ Fs; wp=2*pi* fp/Fs;ws=2*pi* fs/Fs;

wp1=(2/T)*tan(wp*T/2);ws1=(2/T)*tan(ws*T/2); [n,wn]=cheb1ord(wp1,ws1,Rp,Rs,'s'); [c,d]=cheby1(n,Rp,wn,'s'); [b,a]=bilinear(c,d,Fs);

[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a);

plot(w/pi,db);axis([0,1,-60,5]);title('幅频响应');

仿真图如下：

五、总结

这次课程设计，由于自己数字信号处理的理论课程跟不上进度，对数字滤波器的设计缺少认识。而且需要运用matlab软件，所以比较吃力首先，设计滤波器前一定要选好设计的方法。这次课程设计采用切比雪夫I型来设计一个模拟低通滤波器。其次，确定好参数。最后，用MATLAB软件编程式设计过程大为简化。通过课程设计，加深了对课堂抽象概念的理解,巩固了课堂上所学的理论知识,并能很好地理解与掌握数字信号处理中的基本概念、基本原理、基本分析方法。同时掌握编程方法和解决实际问题的技巧。