函数综合题的解题方法和技巧

单位：山东省济阳县新市镇中学

姓名：张金光

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函数及其图像在初中数学中占有极其重要的位置，是初中数学学习的重点和难点。函数问题涉及的知识、技能较多，在题型设计上条件较隐蔽，结构较复杂，致使不少学生见到函数和压轴题便不知所措，望而生畏。甚至很多同学选择放弃。那么，怎样才能提高自己解决函数综合题的能力呢？下面结合自己的归纳整理与大家共商。

（一）解函数综合题的步骤

解综合题大致可分为三个步骤：

第一、认真审题，挖掘隐含条件；

第二、探求解题思路；

第三、正确写出解答过程。

要熟练掌握基础知识和基本技能及其内在联系，灵活运用数学思想方法(包括转化思想、数形结合思想、分类思想和方程思想等)。面对函数综合题这类的题目，首先要镇静，因为这类题目的第一第二小题都是可以拿分的，难的地方是在第三小题，所以该得到的分不能丢，第三题一般来说都是二次函数和几何的综合题目，所以做题时把题中所给的已知条件列出来，寻找条件和问题之间的关系，同时要把几何图形的性质和代数的知识方法结合起来分析，之后解题。

例（2015.4历城一模）如图,直线y=-

3x+6与x 轴、y 轴分别交于点M ，N 两点. 点P 从点N 出发，以每秒

1个单位长度的速度沿N →O 方向运动，点Q 从点O 出

发，以每秒2个单位长度的速度沿O →M 的方向运动. 已

知点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 同时

停止运动，设运动时间为t 秒.

（1）直接写出点M ，N 的坐标；

（2）当t 为何值时，PQ 与l 平行?

（3）设四边形MNPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求S 的最大值.

分析：（1）将x=0和y=0代入直线l ：y=-4

3x+6中即可求出M 和N 的坐标；（2）当PO

NO QO MO =时，PQ 与1平行，求出此时的时间t 即可；（3）四边形MNPQ 的面积可以看成△OMN 的面积-△OPQ 的面积，利用此等量关系即可列出关系式．

解：（1）M （8，0），N （0，6）

（2）当PQ 与l 平行时，△NOM∽△POQ

NO QO MO = 即t t -=6628 ∴10t=24，即t=2.4 ∴当t=2.4秒时，PQ 与l 平行．

（3）如图所示：当P 点在线段NO 上运动t 秒时，OP=6-t ，OQ=2t ∴S △PO Q =2

1OP?OQ

=-t 2+6t 此时四边形MNPQ 的面积 S=S △MO N -S △PO Q =2

1×8×6-(-t 2+6t)=t 2-6t+24=（t-3）2+15（0＜t ＜4）∴当t=3时，S 的最大值为15．

本题主要考查对于一次函数的应用以及相似三角形的理解；此外，还应注意三角形面积的求法

（二）解函数综合题的方法

有三种：

一、设抛物线上存在点p 与问题相符，用（x ，y ）来代替坐标，然后根据前面列出条件的分析来解方程；

二、将所要求的量设为x ，找出题目中与它相关的量，然后列出另一个二次函数，并化为顶点式，就得到了x 的最大最小值或者y 的最大最小值；

三、结合几何知识，综合分析条件与问题之间的关系。

例（2013?自贡）如图，已知抛物线y=ax 2+bx ﹣2（a≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且D （2，3），tan ∠DBA=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，

顺次连接点B 、M 、C 、A ，求四边形BMCA 面积的最

大值；

（3）在（2）中四边形BMCA 面积最大的条件下，过

点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个

以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？

若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由． DBA==，，解得y=x x x

AOC=BF?MF+（OA?OC （（﹣×

x x m+

）代入得：

==3

QE=OQ=

即

二次函数难题，基本是综合题，它考察各方面的知识。一般说应从以下几方面思考（1）二次函数的基本知识（二次函数定义、图形、性质等）；（2）坐标系中的知识，最常见的有：“点在线上，则点的坐标适合线的解析式，因此得到方程”“两线的交点坐标适合两线的解析式，”“求两线的交点坐标需联解两线的解析式构成的方程组”“从坐标系中一点作两轴的垂线段，其长度等于横、纵坐标的绝对值”；（3）几何知识，如勾股定理、直角三角

形、三角形（相似三角形是难点）、四边形以及圆的有关知识；（4）方程的知识：最常用的如解方程（组）、根的判别式、根与系数的关系等；（5）不等式（组）等。

在中考中，压轴题考题历来都是中考试卷中的热点题型，也是中考的常青树。能充分体现学科特点的是压轴题，能真正考量考生水平的也是压轴题，能拉开考生之间分数距离的还是压轴题。压轴题具备新颖性、典型性、针对性、实用性等特征，大致分为以下八大问题。

第一、函数类问题，通常是把几种函数综合起来考查，以考查考生综合运用所学的知识解决问题的能力。不仅要求考生正确理解一次函数（正比例函数）、反比例函数、二次函数的基本知识（定义、图像、性质），还要掌握常见的几种基本题型，并有针对性加以训练。

第二、空间与图形中的直线问题，主要包括三角形问题、四边形问题、图形的全等与相似问题，解直角三角形等。这类问题对学生的观察、比较、归纳、猜测和动手操作要求较高。

第三、圆，是中考考查的重点内容之一，开放性、探究性的题目较以往有增加的趋势。圆的综合题常与三角形、四边形、相似性、方程、函数等多个知识点相结合，许多题目设问巧妙，构思新颖，有一定的难度。因此，需要大家全面掌握，综合运用。

第四、存在性问题，是近来中考的热点，这类题知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，对考生分析问题解决问题的能力要求较高，其特点是在一定条件下探究发现某些数学结论或规律是否存在，由于结论有存在或不存在两种可能，所以具有开放性。

第五、图形与变换问题，主要包括图形的轴对称、平移、旋转，改变了前后两个图形的特定位置关系，贯穿于几何图形性质探究中。这类题既考查了学生对基本图形本质的理解，又培养了学生实践和操作能力，形成空间观念和运动变化的思想，因此这类题已成为中考压轴题中的新宠。解答此类问题的策略是：（1）掌握各种图形的性质；（2）抓住变化前后图形间的关系；（3）利用变换方式求解。

第六、动点问题，在压轴题中出现的频率较高，其最突出的特点是条件中的主要元素----点是运动的。有一个点的运动问题，也有两个点的运动问题，而且近来以抛物线为载体的双动点问题更是成了压轴题中一道亮丽的风景线。此类题要求学生运用数形结合、分类讨论、数学建模等思想，通过观察、猜想、推理、计算等过程，用方程或函数的方法描述变化过程，进而寻求解题思路。

第七、最值问题，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学学习的始终，是中考的热点问题。主要利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）求最值，利用一次函数、二次函数的性质求最值。

三、数学阅读的重要性

第八、实际应用问题，学习数学的重要目的就是能够运用所学知识解决实际生活中的问题，因此，实际应用问题是中考必考内容，近来这类题型出现了较多的新变化、新特征，许多考题背景丰富，贴近生活，考查学生数学建模能力和应用创新能力。它涵盖了初中数学所以知识点，其中方程、不等式、函数、解直角三角形、统计等又是重点。

针对以上八大问题，学生首先要学会解读题意，不要跳跃式、浏览时读题，要咬文嚼字，抓住每个关键字眼，找出信息中隐含条件，善于将条件和结论结合起来综合分析。其次是剖析函数的核心内容，熟悉几何图形的基本性质和代数解题的基本方法和技巧，找出几何和函数的内在联系，通过数形结合、方程思想、化归思想、转化思想、分类讨论等思想方法综合解题。同时，要掌握一些基本题型的解题方法和技巧，做到基础知识系统化，基本题型模型化，解题方法捷径化，训练方法科学化。只有做到习题典题模型化后，回头再对解题方法和技巧加以归纳总结，真正做到一法懂，万法通；做一题，解一类。

总之，只有具备扎实的基本功，才能在解题时具有“灵感”，提高阅读能力，分析问题和解决问题的能力.。