高一数学复习提纲

数学 高一第一学期期末复习

1.集合之间的关系（子集、真子集）

例1.已知集合}{

|3A x x =>-，那么下列关系正确的是（ ）

（A ）2A ? （B ）{0}A ? （C ）{0}A ∈ （D ）A ?∈

例2. 已知集合{}|3A x x a =≤+，{}

|15B x x x =<->或若B A ?，则a 的取值范围是 （A ）2≥a （B ）2>a （C ）4a <- （D ）4a ≤-

2.集合运算

例3.已知5|024x A x x +??

=

，{}2|90B x x =-≥，求A∩B ，A ∪B ，U eA ∩B

3.函数与映射的概念

例1.设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}给出下列4个图形，其中能表示集合M 到集合N

的函数关系的有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个 例2.下列各组函数是同一函数的是( )

①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ； ②f (x )＝x 与g (x )＝x ； ③f (x )＝x 0与g (x )＝1

x 0； ④f (x )＝x 2－2x －1与g (x )＝t 2－2t －1.

A ．①②

B ．①③

C ．③④

D ．①④ 例3已知映射f ：(x ，y )―→(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1)． (1)求(－1,2)的象； (2)求(－1,2)的原象．

4.定义域

例1.求下列函数的定义域：

(1) y ＝1

1－|x |＋x 2－1. (2)y ＝x 2－1＋1－x 2；

例2.已知y ＝f (x )的定义域为[0,1]，求g (x )＝f (x 2－1)的定义域；

5.函数表示方法

例1.设f (x )＝?

????

|x －1|－2(|x |≤1)11＋x 2(|x |>1)，则f [f (1

2)]＝( )

A. 12

B.413 C ．－9

5

D.2541

例2.已知2(21)465f x x x +=-+，求()f x ；

例3..若f [f (x )]＝x ＋2，求一次函数f (x )的解析式．

6.单调性

例1．函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，且a 为实数，则有( )

A ．f (a )

B ．f (a 2)

C ．f (a 2＋1)

D ．f (a 2－a )

例2.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3在区间[－2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．

例3.证明：函数f (x )＝2x 2＋4x 在(－∞，－1]上是减函数．

7.奇偶性

例1. 判断下列函数的奇偶性．

（1）42()23f x x x =+； （2）f (x )＝1－x 2＋x 2－1

例2. 若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1),f x x x =- ⑴ 0x >时，求()f x ； ⑵x R ∈时，求()f x .

例3. 已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，且1(21)()3

f x f -<，求x 的取值范围。

例4.已知奇函数()f x 是定义在[1,1]-上的减函数，求不等式(1)(13)0f x f x -+-<的解集。

8.二次函数

例1.若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44??

--????

，求m 的取值范围。

例2．求函数22y x ax =-++在区间[]1,3上的最小值。

例3.函数142++-=x x y 在区间[]1,3-上的最大值为 ，最小值为 。

9.函数与方程

1. 函数5()3f x x x =+-的实数解落在的区间是( )

A ．[0,1]

B ．[1,2]

C ．[2,3]

D ．[3,4] 2. 函数2

23y x x =--的零点是（ ）

A ．（-1，0），（3，0）；

B ．-1；

C ．3；

D ．-1，3． 3. 下列函数中能用二分法求零点的是( )

A B C D

4. 若函数2

()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =

5. 函数2

()223f x kx x k =--的两个零点一个大于1，一个小于1，则实数k 的取值范围

为

10、幂运算

1.当n 为偶数时，???<-≥==)0()

0(||a a a a a a n 。

（2）．幂的有关概念

①规定：1）∈???=n a a a a n ( N *；2）)0(10≠=a a ； （3）∈=-p a

a

p p

(1

Q ，4）m a a a n m n m

,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：

1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。

11、指数函数

①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数，

②.指数函数y =a x 在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：

7．已知112

2

3a a

-

+=,求下列各式的值

(1) 1

a a -+ (2) 2

2

a a -+ (3)

332

2112

2

a a a a

--

--

8．设-1≤x ≤2，求函数y =1

42

3x

x +-+的最大值和最小值．

9．已知函数21

()21

x x f x +=-

(1) 求()f x 的定义域和值域 (2) 判断()f x 的奇偶性

(3) 讨论并证明()f x 在(0,)+∞的单调性

12.指数幂运算

1.化简与求值 （1）(

)2

10

0.753

0.06416--?-÷+ ?

（2）32

4

4

25

.03

1)3

2

()32(28

5.1--?+?+-

（3）设5x ＝4,5y ＝2，则52x －

y ＝

（4）

)6

5

)(41(56

13

12

112

132---

--y x y x y

x

13.指数函数

1.若函数x a a y )12()3(-?-=是指数函数，求a 的值.

2．已知指数函数过点)9,2(-，求此指数函数.

3.已知函数)1,0(≠>=a a a y x

在[]2,1上的最大值比最小值多2，求a 的值。

4. 若)1,0(752≠>>+-a a a a

x x

且，求x 的取值范围.

5.求下列函数的定义域，值域。 （1）221()2x x y -= （2

）y =

（3）1421x x y +=++

6.画出以下函数的图像

1(1)2+=x y (2)2=x y (3)21

=+x

y

(4)21=-x y (5)21

=-x

y

14.对数与对数函数

1、如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的 ，记作log a N=b

b =N ?log a N=b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 2、对数的运算性质

log a （MN ）_________ loga N M

= ____________ log a M n =___________ 3、对数换底公式：log b N=____________（a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 4、对数函数的图像及性质

①函数y=log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下

a <11))

x=1时，y=0.

当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数。 5、对数函数与指数函数的关系

对数函数log a y x =与指数函数x

y a =互为反函数，它们的图像关于直线y=x 对称.。

15.对数运算

1. ⑴2

35111log log log 2589

?? ⑵4839(log 3log 3)(log 2log 2)++ ⑶41log 252-

2. 若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55

1533

1322

1z y x ===0，求x y z ++=

16.对数函数

1.求下列对数函数的定义域 1.1

2)1(log 4--=x x y

2.1

)3lg(1

-+=

x y

3.y =

4.42)52(log -=x y

2.利用单调性比较大小

1.6log 3和4log 3

2.π3log 和6log 7

3.2log 5.0和8.0log 3.0

4.3log 2.0和5log 2.0

3.利用单调性求解 1．若2

log 13

a <)10(≠>a a 且，求a 的取值范围。

2.已知)2(log 2+x )1(log 2x ->，求实数x 的取值范围。

4.综合题型

1.已知函数)1lg()1lg()(x x x f +--=)10(≠>a a 且， (1) 求)(x f 的定义域。

(2) 证明函数)(x f 是奇函数且是减函数。

2.已知函数)1(log )(2-=x x f a )1(>a ，

)1(求)(x f 的定义域。 )2(判断函数的奇偶性和单调性。

3已知x 满足不等式2(log 2x)2-7log 2x+3≤0,求函数f(x)=log 24

log 22x

x ?的最大值和最小值。

4.已知函数21()log (1)4

a f x mx m x ?

?=+-+???

?

（1） 若定义域是R ，求m 的取值范围； （2） 若值域是R ，求m 的取值范围。

17.幂函数

分1α>，01α<<，0α<三种情况

y

x 四、练习题 1、 比较大小：

（1） 1.5(1)a +， 1.5

a （2）650.31，65

0.35 （3）22

3

(2)a -

+，23

2

-

（4）34

2.3，34

2.4 （5）32

-

，32

-

（6）12

1.1

-

，12

0.9

-

2、 在同一坐标系中作图 （1）3

y x -=和13

y x -= （2）54y x =和45

y x =

3、作出函数13

y x =的图象，并讨论这个函数的性质。

3、 作出函数32

y x =的图象，根据图象讨论这个函数的性质，并给出证明。

立 体 几 何

第一章 空间几何体

1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.柱锥台球的机构特征

2.理解正三棱椎，正四面体、直棱柱的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图

1 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下

2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤：

（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；

S S 直平 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和

2 圆柱的表面积

3 圆锥的表面积2

r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2

2

R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2

4R S π= （二）空间几何体的体积

1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31

3台体的体积 h S S S S V ?++

=)3

1

下下

上上（ 4球体的体积 33

4

R V π=

222r rl S ππ+=

1.投影与直观图

例1．如图，正方形C B A O ''''的边长1cm ，它是水平放置的一个平面图形

的直观图，则原图形周长是 ( )

A.6cm

B.8cm

C.（2+32）cm

D.（2+23）cm 2. 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面四边形的面积等于( ) A.

24a 2 B ．22a 2 C.22a 2 D.223

a 2

2.三视图

例1.三视图如右，这个几何体体积是 2.已知一个几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，则该

几何体的侧面积为 _____cm 2

3.表面积

例1.圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为（ ） Ａ．6(43)ππ+

Ｂ．8(31)ππ+

Ｃ．6(43)ππ+或8(31)ππ+ Ｄ．6(41)ππ+或8(32)ππ+

2. 圆锥的轴截面是正三角形，那么，它的侧面积是底面积的（ ）

Ａ．4倍

Ｂ．3倍

Ｄ．2倍

3. 长方体一个顶点上三条棱的长分别是345，

，，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．50π

Ｄ．200π

4. 正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积是（ ）

Ａ．48(3+

Ｂ．48(3+Ｃ． Ｄ．144

4.体积

1. 已知正方体的棱长为a，过有公共顶点的三条棱中点的截面分别截去8个角，则剩余部分的体积是（）

Ａ．3

1

2

aＢ．3

2

3

aＣ．3

5

6

aＤ．3

11

12

a

2. 三棱台

111

ABC A B C

-中，

11

12

AB A B=

∶∶，则三棱锥1A ABC

-，

11

B A B C

-，111

C A B C

-的体积之比为（）

Ａ．111

∶∶Ｂ．112

∶∶Ｃ．124

∶∶Ｄ．144

∶∶

空间中点线面的位置关系

如何证明线线平行：

方法一（公理四）

//

//

//

a b

b c

a c

?

?

?

?

方法二（面面平行性质定理）

//

//

m m n

n

αβ

γα

γβ

?

?

=?

?

?

=?

方法三（线面平行性质定理）

//

//

m

m m n

n

α

β

αβ

?

?

??

?

?

=?

如何证明线面平行：

方法二

//

//

m

m

αβ

β

α

?

?

?

??

方法一//

//

m n

m m

n

αα

α

?

?

??

?

?

??

如何证明面面平行：

方法二

//

//

//

,

,,,

m a

n b

m n A a b B

m n a b

αβ

ααββ

?

?

?

?

?

==?

?

?????

方法一

//

//

//

,

m

n

m n O

m n

β

β

αβ

αα

?

?

?

?

?

=?

?

???

如何证明线线垂直：

m m n n αα⊥?

?⊥???

如何证明线面垂直：

方法2 n m m m n αβαββα⊥?

?=?

?⊥?

??

?⊥?

方法

1

,l m l n l m n O m n α

αα⊥?

?⊥?

?⊥?=?????

证明面面垂直：

m m βαβα⊥?

?⊥???

1.如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，a AB 2=，E 、

F 分别为11C D 、11D A 的中点．

（Ⅰ）求证：⊥DE 平面BCE ；

（Ⅱ）求证：//AF 平面BDE ．

2.如图所示，四棱锥P-ABCD 底面是直角梯形，,,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点。1PA AD AB === （1）证明：PAD EB 平面； （2）证明：BE PDC ⊥平面； （3）求三棱锥B PDC -的体积V 。

A

B

D

C

1A

1B

1C

1D

E

F

3、如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为菱形， PA ⊥平面ABCD ，

60=∠ABC ，E 是BC 的中点. 证明：AE ⊥PD;

4.已知四棱锥BCDE A -，其中1====BE AC BC AB ，

2=CD ，ABC CD 面⊥，BE ∥CD ，F 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：EF ∥面ABC ； （Ⅱ）求证：面EF ACD ⊥面； （III ）求四棱锥BCDE A -的体积.

5.直棱柱1111A B C D A B C D -中

，底面A B C D 是直角梯形，o

A D C

B A D 90=∠=∠，222AB AD CD ===．

（Ⅰ）求证：AC ⊥平面C C BB 11；

（Ⅱ）在11B A 上是否存一点P ，使得DP 与平面1BCB 与平面1ACB 都平行？证明你的结论．

A

B C

D

E

F

6.如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；

（2）平面BEF ⊥平面PAD

7.（2008山东）如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ， AB ∥DC ,△P AD 是等边三角形，已知BD

＝2AD =8, AB =2DC =（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面P AD ; （Ⅱ）求四棱锥P -ABCD 的体积.

8.（2011山东）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D

⊥是平行四边形，0

11

2,,60AB AD AD A B BAD ==∠= （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11//CC A BD 平面.

平面解析几何初步

一、知识导学

1．两点间的距离公式: |AB|=2

21221)()(y y x x -+-，

2．中点坐标公式:此时中点坐标公式是.

???

???

?+=+=222121y y y x x x

3．直线的倾斜角和斜率的关系

（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.

（2）斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α.

4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式

（1）斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=， l 2∶22b x k y +=，有以下结论：

①l 1∥l 2?1k =2k ，且ｂ1＝ｂ2 ②l 1⊥l 2?1k 〃2k = -1

（2）对于直线l 1∶0111=++C y B x A ，l 2 ∶0222=++C y B x A ，当A 1，A 2，B 1，B 2

都不为零时，有以下结论：

l 1∥l 2?

21A A =21B B ≠21

C C

l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2 = 0l 1与l 2相交?

21A A ≠21B B l 1与l 2重合?21A A =21B B =2

1C C

7．点到直线的距离公式.

（1）已知一点P （00,y x ）及一条直线l ：0=++C By Ax ，则点P 到直线l 的距离

d =

2

2

00|

|B

A C By Ax +++；

（2）两平行直线l 1: 01=++C By Ax ， l 2: 02=++C By Ax 之间的距离d=

2

2

21||B

A C C +-.

8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系

圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中（a ，b ）是圆心坐标，r 是圆的半径； 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0），

圆心坐标为（-2D ，-2E ），半径为r =2

422F E D -+.

二、疑难知识导析

1．直线与圆的位置关系的判定方法.

（1）方法一 直线：0=++C By Ax ；圆：022=++++F Ey Dx y x .

?

??=++++=++00

2

2F Ey Dx y x C By Ax ??→?消元一元二次方程ac b 42-=??→?△判别式??

?

???相离△相切△相交

△000（2）方法二 直线: 0=++C By Ax ；圆：222)()(r b y a x =-+-，圆心（a ，b ）到直线的距离为

d=2

2|

|B A C Bb Aa +++?→???

????相交

相切相离

r d r d r d

三、典型例题

123123123312321132

1.,,,,,..

. .l l l k k k A k k k B k k k C k k k D k k k <<<<<<<<如图，直线的斜率分别为则（ ）

2. (23),(32),20,

P Q ax y PQ a -++=若，，直线与线段相交则

3. 已知直线()041206321=+++=-+y m x :l ,y mx :l ，求m 的取值范围使

21,)1(l l 相交； 21//)2(l l ； 21,)3(l l 重合； ()214l l ⊥.

4. 求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程：

（1） 点）（,21-，直线12

1

+=

x y ； （2）点）（,-41，直线0532=++y x

5. 求通过下列各点且与已知直线垂直的直线方程：

（1）点）（,21-，直线12

1

+=

x y ； （2）点）（,-41，直线0532=++y x

6. 已知点()m ，3到直线043=-+y x 的距离等于1，求m 的值。