2008-2009学年福建省厦门六中高三数学上学期期中考试(文)

2008-2009学年福建省厦门六中高三数学上学期期中考试（文）

满分150分 考试时间120分钟

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上. 1. 若}1|{->=x x M ，则下列选项正确的是 （ ）

A ．0?M

B ．{0}∈M

C ．φ∈M

D ．{0}?M

2. 在ABC 中，8b =，c =ABC S = 则A ∠等于 （ ）

A 、30

B 、60

C 、30 或150

D 、60 或120

3. 根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个根所在的区间为 （ ）

A ．(1,0)-

B ．(0,1)

C ．(1,2)

D ．(2,3)

4. )(x f '是)(x f 的导函数，)(x f '的图象如图所示， 则)(x f 的图象只可能是（ ）

A B C D

5.在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2

110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=

（ ）

Ａ．2-

Ｂ．0

Ｃ．1

Ｄ．2

6. 抛物线ax y =2

与双曲线

16

102

2=-y x 的准线重合，侧a 的值为 （ ）A ．±10 B ．±5

C ．±4

D ．±2

7.. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）

A. R x x y ∈-=,3

B. R x x y ∈=,sin

C. R x x y ∈=,

D. R x x y ∈=,)2

1(

8. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角 三 角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为 ( )

()A 1 ()

B 1

2

()C 13 ()D 16

9.. 在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若569,a a =则3132310log log log a a a +++= （ ）. A. 12 B. 10 C. 8 D.32log 5+

10.设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：

①

//////αββγαγ???

? ② //m m αββα⊥??⊥??

③//m m ααββ⊥?

?⊥?? ④////m n m n αα?

????

， 其中为真命题的是（ ） A ①④ B ②③ C ①③ D ②④ 11. 下列不等式中，与不等式

x

x --23

≥0同解的是 （ ） （A ）)2)(3(x x --≥0 （B ）0)2)(3(>--x x （C ）3

2--x x

≥0 （D ）)2lg(-x ≤0 12. 已知θ是三角形的一个内角，且5

1

cos sin =

+θθ，则方程1cos sin 22=-θθy x 表示（ ）

（A ）焦点在x 轴上的椭圆 （B ）焦点在y 轴上的椭圆

（C ）焦点在x 轴上的双曲线 （D ）焦点在y 轴上的双曲线 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）

13. 直线30ax y -+=始终平分圆2

2

4240x y x y +---=的周长，则a=

14. 设实数x ，y 满足2,2,

30.x y x y x y ≤??

≤-??+-≥?

则的最大值是 15. 若函数3)2(2

+++=x a x y ，][b a x ，∈的图象关于直线

1=x 对称，则b=

16.函数)433sin(

2)(π

-=x x f ，有下列命题：①其最小正周期是3

2π；②其图象可由主视图

左视图

俯视图

x y 3sin 2=的图象向左平移

4

π

个单位得到；③对称轴为x=3

2π

；④在∈x [

12π，125π]上为增函数．其正确的命题的序号是：

三．解答题（本大题共6小题，共74分;解答应写出文字说明与演算步骤）

17. (本题满分12分) 已知40,sin 2

5

π

αα<<

=

（Ⅰ）求22

sin sin 2cos cos 2αα

αα

++的值； （Ⅱ）求5tan()4

π

α-

的值。 18. (本题满分12分)

正项等比数列{}n a 的前n 项和记为13,1,13n S a S == （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且25b =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T

19. (本题满分12分)

如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点， AA 1=AB=a （I ）求证：AD ⊥B 1D ；

（II ）求证：A 1C //平面AB 1D ； （III ）求点A 1 到平面AB 1D 的距离

20. (本题满分12分)

在中国轻纺城批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈上涨趋势。设某服装开始时定价为10元，并且每过一周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直道16周末，该服装已不再销售．

（1）试建立价格P 与周次t 之间的函数关系；

（2）若此服装每件进价Q 与周次t 之间的关系为20.125(8)12,Q t =--+

,[1,16]t N t ∈∈，试问该服装第几周每件销售利润L 最大？

A 1

B 1

C 1

A

B C D

E

21. (本题满分12分)

已知函数b ax x x f ++-=23)( （a 、b ∈R ）.

（1）若函数4,0)(==x x x f 在处取得极值，且极小值为－1，

求a 、b 的值；

（2）若]1,0[∈x ，函数)(x f 图象上的任意一点的切线斜率为k ，

求k ≥－1恒成立时a 的取值范围.

22. (本题满分14分)

设直线1:+=x y l 与椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交

于点F .

（I ）证明：;122>+b a

（II ）若F 是椭圆的一个焦点，且2=，求椭圆的方程.

第I 卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1. 若}1|{->=x x M ，则下列选项正确的是 （ D ）

A ．0?M

B ．{0}∈M

C ．φ∈M

D ．{0}?M

2. 在ABC 中，8b =，c =ABC S = A ∠等于 （ C ）

A 、30

B 、60

C 、30 或150

D 、60 或120

3. 根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个根所在的区间为 （ C ）

A ．(1,0)-

B ．(0,1)

C ．(1,2)

D ．(2,3)

4. )(x f '是)(x f 的导函数，)(x f '的图象如图所示， 则)(x f 的图象只可能是（D ）

A B C D

5.在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2

110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=

（ A ）

Ａ．2-

Ｂ．0

Ｃ．1 Ｄ．2

6. 抛物线ax y =2

与双曲线

16

102

2=-y x 的准线重合，侧a 的值为 （ A ）A ．±10 B ．±5

C ．±4

D ．±2

7.. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）

A. R x x y ∈-=,3

B. R x x y ∈=,sin

C. R x x y ∈=,

D. R x x y ∈=,)2

1(

8. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角 三 角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为 ( D )

()A 1 ()

B 1

2

()C 13 ()D 16

9.. 在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若569,a a =则3132310log log log a a a +++= （ B ）. A. 12 B. 10 C. 8 D.32log 5+

10.设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：

①

//////αββγαγ???

? ② //m m αββα⊥??⊥??

③//m m ααββ⊥?

?⊥?? ④////m n m n αα?

????

， 其中为真命题的是（ C ） A ①④ B ②③ C ①③ D ②④ 11. 下列不等式中，与不等式

x

x --23

≥0同解的是 （D ） （A ）)2)(3(x x --≥0 （B ）0)2)(3(>--x x （C ）3

2--x x

≥0 （D ）)2lg(-x ≤0

12. 已知θ是三角形的一个内角，且5

1

cos sin =

+θθ，则方程1cos sin 22=-θθy x 表示（B ）

（A ）焦点在x 轴上的椭圆 （B ）焦点在y 轴上的椭圆

（C ）焦点在x 轴上的双曲线 （D ）焦点在y 轴上的双曲线

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。在相应题目的答题区域内作答。 13. 直线30ax y -+=始终平分圆2

2

4240x y x y +---=的周长，则a= —1

14. 设实数x ，y 满足2,2,

30.x y x y x y ≤??

≤-??+-≥?

则的最大值是 1 15. 若函数3)2(2

+++=x a x y ，][b a x ，∈的图象关于直线

1=x 对称则=b 6

主视图

左视图

俯视图

16.函数)433sin(

2)(π

-=x x f ，有下列命题：①其最小正周期是3

2π；②其图象可由x y 3sin 2=的图象向左平移

4

π

个单位得到；③对称轴为x=3

2π

；④在∈x [12π，125π]

上为增函数．其正确的命题的序号是： ① ④

17. (本题满分12分) 已知40,sin 2

5

π

αα<<

=

（Ⅰ）求22

sin sin 2cos cos 2αα

αα

++的值； （Ⅱ）求5tan()4

π

α-

的值。 解：(Ⅰ)由40,sin 25π

αα<<=，得3

cos 5α=，所以22

sin sin 2cos cos 2αααα

++＝22

sin 2sin cos 203cos 1

ααα

α+=-。 （Ⅱ）∵sin 4tan cos 3ααα=

=，∴5tan 11

tan()41tan 7

πααα--==+ 18. (本题满分12分)

正项等比数列{}n a 的前n 项和记为13,1,13n S a S == （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且25b =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T

解：（Ⅰ）设公比为q ，则23113S q q =++=， (2)

2120q q ∴+-=

34q q ∴==-或 (4)

1

1

1033

n n n n a q a a q

-->∴=∴=?= (6)

（Ⅱ）设{}n b 的公比为d

由25b =

故可设135,5b d b d =-=+…………*8 又1231,3,9a a a ===

由题意可得()()()2

515953d d -+++=+ 解得122,10d d ==……………………10 ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d =

∴()

213222n n n T n n n -=+

?=+ (12)

19. (本题满分12分)

如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB=a （I ）求证：AD ⊥B 1D ；

（II ）求证：A 1C //平面AB 1D ； （III ）求点A 1 到平面AB 1D 的距离

解（1）证明：∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱， ∴BB 1⊥平面ABC ， ∴BB 1⊥AD ，

在正△ABC 中，∵D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BD ，………………2分

1BB BD B = AD ∴⊥1平面BB D

AD ⊥B 1D ………………4分 （2）解：连接DE.

∵AA 1=AB ∴四边形A 1ABB 1是正方形， ∴E 是A 1B 的中点， 又D 是BC 的中点，

∴DE ∥A 1C. ………………………… 6分 ∵DE ?平面AB 1D ，A 1C ?平面AB 1D ，

∴A 1C ∥平面AB 1D. ……………………8分 （3）由1111A AB D

B AA D V V --=

111132322

a

d a ??=???

d a ∴= ……………………12分

20. (本题满分12分)

A 1

B 1

C 1

A

B

C

D

E

F

G

A 1

B 1

C 1

A

B

C

D

E

在中国轻纺城批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈上涨趋势。设某服装开始时定价为10元，并且每过一周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直道16周末，该服装已不再销售．

（1）试建立价格P 与周次t 之间的函数关系；

（2）若此服装每件进价Q 与周次t 之间的关系为20.125(8)12,Q t =--+

,[1,16]t N t ∈∈，

试问该服装第几周每件销售利润L 最大？ 解：（1）

8+2t ]5,1[t ∈

P = 20 ]10,6[t ∈…………………..6分

40-2t ]16,11

[t ∈ (2)因每件销售利润=售价—进价=P —Q ，所以

当]5,1[t ∈时，4t 125.012)8t (125.0t 28L 22+=--++=，则t=5时，L 取最大值7.125

当]10,6[t ∈时，16t 2t 125.0L 2

+-=，则t=6或10时L 取最大值8.5

当]16,11

[t ∈时，36t 4t 125.0L 2

+-=，则t=11时L 取最大值7.125

21. (本题满分12分)

已知函数b ax x x f ++-=2

3

)( （a 、b ∈R ）.

（1）若函数4,0)(==x x x f 在处取得极值，且极小值为－1，

求a 、b 的值；

（2）若]1,0[∈x ，函数)(x f 图象上的任意一点的切线斜率为k ，

求k ≥－1恒成立时a 的取值范围.

解：（1）由ax x x f 23)(2

+-=' 得.3

20a

x x =

=或 ∴

43

2=a

得a =6. ……………………………………3分 当x <0，.0)(,40.0)(>'<<<'x f x x f 时当

故当)(,0x f x 时=达到极小值.1,)0(-=∴=b b f …………6分 （2）当123)(,]1,0[2

-≥+-='=∈ax x x f k x 时恒成立，

即令0123)(2

≤--=ax x x g 对一切]1,0[∈x 恒成立，………9分

只需.1,022)1(,01)0(≥?

??≤-=≤-=a a g g 即

所以a 的取值范围为[).,1+∞………………………………12分

22. (本题满分14分)

设直线1:+=x y l 与椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交

于点F .

（I ）证明：;122>+b a

（II ）若F 是椭圆的一个焦点，且2=，求椭圆的方程. （本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：将1122

22=++=b

y a x x y 代入，消去x ，得

0)1(2)(222222=-+-+a b y b y b a ① ……………………3分

由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得

0)1(4)1)((44222222224>-+=-+-=?b a b a a b a b b

所以 12

2

>+b a …………………5分 （Ⅱ）解：设),(),(2211y x B y x A ，

由①，得 2

2222122221)1(2b a a b y y b a b y y +-=+=+， ………………7分

因为 2122y y -==

所以， 2

22

22221222212)1(2y b a a b y y y a b y y -=+-=-==+， 消去y 2，得

2

2

222222)2(2)1(b a b b a a b +-=+- 化简，得2

2228)1)((b a b a =-+ ……………………11分 若F 是椭圆的一个焦点，则c=1，b 2

=a 2

－1 代入上式，解得 2

7

2922

==

b a ， ………………13分

所以，椭圆的方程为 17

2922

2=+y x ………………14分