2015届高三艺术班数学一轮复习资料 第三章 第3讲 三角函数图像与性质
第三章 三角函数、解三角形
第3讲 三角函数图像与性质
一、必记1个知识点
正弦、余弦、正切函数的图像与性质 (下表中k ∈Z ).
1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．
2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 三、必会2个方法
1．三角函数单调区间的求法：先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑．注意区分下列两题的单调增区间的不同：(1)y ＝sin ????2x －π4；(2)y ＝sin ???
?π
4－2x . 2．求三角函数值域(最值)的两种方法
(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图像写出函数的值域；
(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决．
1.函数f (x )＝3sin ????2x －π6在区间???
?0，π
2上的值域为( ) A.????－32，32 B.????－32，3 C.????
－332，332 D.???
?－332，3 解析：选B 当x ∈????0，π2时，2x －π
6∈????－π6，5π6，sin ????2x －π6∈????－12，1， 故3sin ????2x －π6∈????－32，3，即此时函数f (x )的值域是????－3
2，3. 2．函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．
解析：y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2(sin x －5
4)2
＋98
. 故当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9，故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为．
1．三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；
(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．
(1)y ＝2sin ????x －π4；(2)y ＝tan ???
?π
3－2x . (1)由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π
4，k ∈Z .
故函数y ＝2sin ????x －π4的单调减区间为?
???2k π＋3π4，2k π＋7π
4(k ∈Z )． (2)把函数y ＝tan ????π3－2x 变为y ＝－tan ????2x －π3.由k π－π2<2x －π3 2 ，k ∈Z ， 得k π－π6<2x 12，k ∈Z .故函数y ＝tan ????π3－2x 的单调减区间为 ??? ?k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 三角函数的单调区间的求法 (1)代换法： 所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间． (2)图像法： 函数的单调性表现在图像上是：从左到右，图像上升趋势的区间为单调递增区间，图像下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图像，结合图像易求它的单调区间． 提醒：求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． 1．(2013·安徽师大附中3月月考)设ω>0，若函数f (x )＝sin ωx 2cos ωx 2 在区间????－π3，π3上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.????0，23 B.????0，32 C.????32，＋∞ D ．，k ∈Z .由2k π－π≤2x ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π 12 ，k ∈Z .答案：????k π－7π12，k π－π12(k ∈Z ) 角度一1．(2014·揭阳一模)当x ＝π 4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0)取得最小值，则函数y ＝f ????3π4－x ( ) A ．是奇函数且图像关于点????π2，0对称 B ．是偶函数且图像关于点(π，0)对称 C ．是奇函数且图像关于直线x ＝π 2对称 D ．是偶函数且图像关于直线x ＝π对 称 解析：选C ∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ????π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )． ∴f (x )＝A sin ????x ＋2k π－3π4＝A sin ????x －3π4.∴y ＝f ??? ?3π 4－x ＝A sin(－x )＝－A sin x . ∴y ＝f ????3π4－x 是奇函数，且图像关于直线x ＝π 2对称． 角度二 由三角函数的对称性求参数值 2．(2014·辽宁六校联考)已知ω>0，函数f (x )＝cos ????ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π 3，一个对称中心为点??? ?π 12，0，则ω有( ) A ．最小值2 B ．最大值2 C ．最小值1 D ．最大值1 解析：选A 由题意知π3－π12≥T 4，T ＝2π ω≤π，ω≥2，故选A. 1．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 2．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断． 课后作业 1．函数y ＝tan ???? π4－x 的定义域是( D ) A.??????x ?? x ≠π4，x ∈R B.???? ??x ?? x ≠－π 4，x ∈R C.??????x ?? x ≠k π－3π4，k ∈Z ，x ∈R D.???? ??x ?? x ≠k π＋3π 4，k ∈Z ，x ∈R 2．若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的一个递增区间为( ) A.????－π4，0 B.????0，π2 C.????π2，3π4 D.????3π 4，π 解析：选B 由f (x )＝－cos 2x 知递增区间为????k π，k π＋π 2，k ∈Z ，故只有B 满足． 1．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.????－π4，π4 B.????π4，3π4 C.????π，3π2 D.????3π 2，2π 解析：选C 作出函数y ＝|sin x |的图像观察可知，函数y ＝|sin x |在????π，3π 2上递增． 2．(2013·天津高考)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间??? ?0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.2 2 D ．0 解析：选B 由已知x ∈????0，π2，得2x －π4∈????－π4，3π4，所以sin ????2x －π4∈????－2 2，1，故函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π4上的最小值为－2 2. 1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝cos 2x B ．y ＝sin 2x C ．y ＝tan 2x D ．y ＝sin ? ???2x －π 2 解析：选B 选项A 、D 中的函数均为偶函数，C 中函数的最小正周期为π 2，故选B. 2．已知函数f (x )＝2sin ????ωx －π 6(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间为( ) A.????k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z ) B.????2k π－π6，2k π＋π 3(k ∈Z ) C.????k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) D.? ???k π－π6，k π＋π 3(k ∈Z ) 解析：选D 根据已知得2πω＝π，得ω＝2.由不等式2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π 2(k ∈Z )，解得 k π－π6≤x ≤k π＋π 3 (k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间是????k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 3．函数y ＝cos ????π4－2x 的单调减区间为________． 解析：由y ＝cos ????π4－2x ＝cos ????2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π 8≤x ≤k π＋ 5π 8 (k ∈Z )．所以函数的单调减区间为????k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．答案：????k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 4．函数y ＝tan ? ???2x ＋π 4的图像与x 轴交点的坐标是________． 解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π 8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ????2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是???? k π2－π8，0. 答案：???? k π2－π8，0 5．(2013·洛阳统考)如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图像关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 解析：选A 依题意得，sin ????π3＋φ＝±1，则π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π 6(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π 6 ，选A. 6．(2013·陕西高考)已知向量a ＝????cos x ，－1 2，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期． (2)求f (x )在??? ?0，π 2上的最大值和最小值． 解：f (x )＝????cos x ，－12·( 3 sin x ，cos 2x )＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π 6 cos 2x ＝sin ? ???2x －π 6. (1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π 2 ＝π，即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π 3时，f (x )取得 最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值－1 2.因此，f (x )在????0，π2上的最大值是1，最小值是－1 2 . 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度， 所得的部分图象如右图所示，则?的值为（ ） A ．6 π B ．3 π C ．12 π D ．23 π 2．已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ，为了得到()sin 2g x x =的图象，则 只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6 π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3 π 个长度单位 3．若113sin cos αα +=sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13或-1 4．2014cos()3 π的值为（ ） A ．12 B ． 3 2 C ．12- D ．32 - 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -．2 1k - C 2 1k -．2 1k k -- 6．若sin a = -45 ，a 是第三象限的角，则sin()4 a π +=（ ） （A ）-7210 （B ） 7210 （C ）2 - 10 （D ） 210 7 ．若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα，且)2 ,4(ππα∈，则α2tan 的值为（ ） A ．3 4- B ．4 3- C ．4 3 D ．3 4 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是 （ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C ．)(x f 的最大值为2 D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数2（ωφ），φ＜2 π的图象，那么 A.ω=11 10，φ=6 π B.ω=10 11，φ6π C.ω=2，φ=6 π D.ω =2，φ6 π 10．要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的 图象（ ） A ．向左平移3 π个单位 B ．向右平移3 π 个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12 π个单位 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象 高中数学教案三角函数的图象及性质 精编习题 三角函数的图象及性质 一、知识网络 二、高考考点 （一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇 函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以及 难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草 图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式； 3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题. （三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函 数 . 3、周期性 （1）基本公式 （ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点及（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究 三角函数性质与图像 知识清单： ．．．．．．．．．． 函数s i n ()y A x ω?=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x =????→图例变化为 ②sin()y A x ω?=+(A >0,ω>0)相应地， ①的单调增区间2,22 2 k k ππππ??-++?? ? ? ??? →变为 222 2 k x k π π πω?π- +++≤≤ 的解集是②的增区间. 注:⑴)sin(?ω+=x y 或cos()y x ω?=+（0≠ω ）的周期ω π 2= T ; ⑵sin()y x ω?=+的对称轴方程是2 x k π π=+ （Z k ∈），对称中心(,0)k π； cos()y x ω?=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈） ，对称中心1(,0) 2 k ππ+； )tan(?ω+=x y 的对称中心（ 0,2πk ）. 课前预习 1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 2π . 2． 函数1 π2sin()23 y x =+ 的最小正周期T = 4π ． 3．函数sin 2 x y =的最小正周期是2π 4．函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是]6 5, 3 [ ππ 5．函数22cos()( )3 6 3 y x x π π π=- ≤≤的最小值是1 6．为了得到函数)6 2sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向左平移3 π 个单位长度 7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移 3 π 个单位，所得图象的解析式是y=sin( 2 1x+ 6 π ). 8． 函数sin y x x =+ 在区间[0, 2 π ]的最小值为___1___. 9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2 x + 3 2 5（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期；y=5sin(2x-3π ) T=π ⑵求f (x )单调区间；[k 12 π π- ,k π+ 12 5π], [k 12 5ππ+ ,k π+ 12 11π]k Z ∈ ⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。x=1252ππ+k ,( 0,6 2π π+ k ) k Z ∈ 典型例题 例1、三角函数图像变换 将函数1 2cos()3 2 y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4 y x π =-的图像？ 例2、已知简谐运动π π()2sin 32f x x ????? ?=+< ? ???? ?的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最 小正周期T 和初相?分别为6T =，π6 = 例3、三角函数性质 求函数34sin(2)2 3 y x ππ= + 的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．； 变式1：函数y =2sin x 的单调增区间是［2k π－2 π ，2k π＋ 2 π ］（k ∈Z ） 变式2、下列函数中，既是（0， 2 π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( B) (A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2 变式3、已知? ? ???? ∈2, 0πx ，求函数)12 5cos( )12 cos( x x y +--=ππ 的值域y=2sin （x+ 6 π ）?? ? ??2,22 变式4、已知函数12 ()log (sin cos )f x x x =- y=log 2 1()4 sin(2π -x ) ⑴求它的定义域和值域；(2k 4 52,4 πππ π+ + k ) k ∈Z ?? ? ?? ?+∞- ,21 专题九三角函数图像与性质．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 ．三角函数的单调区间： 的递增区间是，递减区间是 ； 的递增区间是，递减区间是， 的递增区间是， ．函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 ．由＝的图象变换出＝(ω＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进 行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换 (伸缩变换) 先将＝的图象向左(＞)或向右(＜＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞)，便得＝(ω＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将＝的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞)，再沿轴向左(＞)或向右(＜＝平移 个单位，便得＝(ω＋)的图象。 ．由＝(ω＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式（ω）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，）作为突破口， 要从图象的升降情况找准 ．．第一个零点的位置。 ．对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 ．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； ．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 ．五点法作（ω）的简图： 五点取法是设ω，由取、、π、、π来求相应的值及对应的值，再描点作图。 四．典例解析 x ?正弦、余弦、正切函数图象和性质 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 -5 3 7 ~2~ ” - 丁1 T V x 2*伽 -4 -7 -3 ' 、一 -2 -3 - -1 o '2 5 3 J. ‘ 4 2 2 2 y=ta nx J J J 1 Jr jr y y ； 1 1 / / / I ? r / / / y\ y=cotx 1 1 1 \ i 1 ! i I 1 3f-2 1 f J 1 J f f o 2 f I \ I i 1 I L o I I X2 1 三角函数的性质 1定义域与值域 2、奇偶性 (1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y= tanx ；偶函数：y= cosx. ⑺八黒 ' -型三角函数的奇偶性 （i）g（x 丄^ 丁（x€ R） (x)为偶函数- U 山呂in（曲+ 训+ P =」tan （处: + &） +匕尸二（处卄洞+& 的周期为91 . （2）认知 （i ） ?卜巳-，?| 型函数的周期 y = pisin (伽+ 剑| j = A cos(d&r+ 4?)| 的周期为 7T y = |j4tan(dft + 训,y=血 ot 〔伽 + 训 的周期为 ? = |了（曲+卩）+円往无0）的周期 》=|￡血（血工+朝胡』=|1（：0￡（处+?+上| y = |^tan(&r + ^) +円 j =凶诃(你+昉+刈 的周期为’； 7T 的周期为'? 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数 的周期不变?注意这一点与（i ）的区别? （ii ） 若函数为-’二 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ） 探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明 ? （3）特殊情形研究 y 二门」 彳J 的解析式施加绝对值后，该函 JT (i) y = tanx — cotx 的最小正周期为 ； y = sin z|+|co5z| 7T 的最小正周期为二； 7T （iii ） y = sin 4X + cos 4x 的最小正周期为 二. 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 . 4、单调性 （1） 基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证“三部曲”： ① 选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期； ② 写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； ③ 获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族） 循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 . 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域 （2） 』— 丁 型三角函数的单调区间 高一数学 三角函数的图像和性质练习题 1．若cosx=0，则角x 等于( ) A ．k π（k ∈Z ） B ． 2π+k π（k ∈Z ） C ．2π+2k π（k ∈Z ） D ．－2π+2k π（k ∈Z ） 2．使cosx=m m -+11有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0 B ．m ≤0 C ．－1＜m ＜1 D ．m ＜－1或m ＞1 3．函数y=3cos （ 52x －6π）的最小正周期是( ) A ．5 π2 B ．2π5 C ．2π D ．5π 4．函数y=2sin 2x+2cosx －3的最大值是( ) A ．－1 B ．21 C ．－21 D ．－5 5．下列函数中，同时满足①在（0， 2π）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( ) A ．y=tanx B ．y=cosx C ．y=tan 2x D ．y=|sinx| 6．函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象做以下平移得到（ ） A.向右平移π6 B. 向左平移 π12 C. 向右平移 π12 D. 向左平移π6 7．函数y=sin(π4 -2x)的单调增区间是（ ） A. [kπ-3π8 , kπ+3π8 ] (k∈Z) B. [kπ+π8 , kπ+5π8 ] (k∈Z) C. [kπ-π8 , kπ+3π8 ] (k∈Z) D. [kπ+3π8 , kπ+7π8 ] (k∈Z) 8．函数 y=15 sin2x 图象的一条对称轴是（ ） A.x= - π2 B. x= - π4 C. x = π8 D. x= - 5π4 9．函数 y=15 sin(3x-π3 ) 的定义域是__________，值域是________，最小正周期是________，振幅是________，频率是________，初相是_________． 10．函数y=sin2x 的图象向左平移 π6 ，所得的曲线对应的函数解析式是____ _____． 11．关于函数f(x)=4sin(2x+π3 )，(x∈R)，有下列命题： （1）y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-π6 ); （2）y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数； （3）y=f(x)的图象关于点(-π6 ,0)对称; （4）y=f(x)的图象关于直线x=-π6 对称;其中正确的命题序号是___________． 12． 已知函数y=3sin （21x －4 π）. （1）用“五点法”作函数的图象； （2）说出此图象是由y=sinx 的图象经过怎样的变化得到的； （3）求此函数的最小正周期； （4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间. 13. 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ）＋2的图象的一部分，求它的振幅、最小正周期和初 相。 难点15 三角函数的图象和性质 三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用. ●难点磁场 (★★★★)已知α、β为锐角，且x(α+β－2π)＞0,试证不等式f(x)=)sin cos ()sin cos (αββα+x x ＜2对一切非零实数都成立. ●案例探究 ［例1］设z1=m+(2－m2)i,z2=cos θ+(λ+sin θ)i,其中m,λ,θ∈R ，已知z1=2z2，求λ的取值范围. 命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目. 知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题. 技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 解法一：∵z1=2z2， ∴m+(2－m2)i=2cos θ+(2λ+2sin θ)i,∴ ???+=-=θλθ sin 222cos 22m m ∴λ=1－2cos2θ－sin θ=2sin2θ－sin θ－1=2(sin θ－41)2－89 . 当sin θ=41时λ取最小值－89 ，当sin θ=－1时，λ取最大值2. 解法二：∵z1=2z2 ∴ ???+=-=θλθsin 222cos 22m m ∴??????? --==222sin 2cos 2 λθθm m , ∴4)22(42 22λ--+m m =1. ∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,设t=m2,则0≤t ≤4, 令f(t)=t2－(3－4λ)t+4λ2－8λ,则 ???????? ?≥≥≤-≤ ≥?0 )4(0)0(424300 f f λ或f(0)·f(4)≤0 ∴??? ??? ??? ≤≥≤≤≤≤--≥02204345 89λλλλλ或或 ∴－89 ≤λ≤0或0≤λ≤2. ∴λ的取值范围是［－89 ，2］. ［例2］如右图，一滑雪运动员自h=50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O 点保持速率v0不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB=L ，试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？ 命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题. 错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活. 技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题. 解：由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程： 三角函数的图像和性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)，)1,2 (π ，(π，0)，) 1,23( -π，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π ，(2π，1)． 2．三角函数的图象和性质 (1)周期性 函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π |ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周 期为π |ω|. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式． 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； (2)形式复杂的函数应化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 双基自测 1．函数)3cos(π +=x y ，x ∈R ( )． A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．既不是奇函数也不是偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数) 4 tan( x y -=π 的定义域为( )． A ． } ,4 |{Z k k x x ∈- ≠π π B ．},4 2|{Z k k x x ∈-≠π π C ．},4 |{Z k k x x ∈+ ≠π π D ．},4 2|{Z k k x x ∈+ ≠π π 3．)4sin(π -=x y 的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B ．)0,4 3(π- C ．)0,2 3( π D ．)0,2 (π 4．函数f (x )＝cos )6 2(π + x 的最小正周期为________． 考向一 三角函数的周期 【例1】?求下列函数的周期： (1)) 2 3 sin( x y π π - =；(2))6 3tan(π -=x y 考向二 三角函数的定义域与值域 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： 专题11 三角函数的图像与性质中的易错点 一．学习目标 1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性． 2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期． 3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题． 二．方法总结 1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f (－x )与f (x )的关系. 另外三角函数中的奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式. 2.三角函数的单调性 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，比如：由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π 2 (k ∈Z)解出x 的范围，所得区间即为增区间. 若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间. 对函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等单调性的讨论同上. (2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较. 3.求三角函数的最值常见类型： (1)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B ， (2)y ＝A (sin x －a )2＋B ， (3)y ＝a (sin x ±cos x )＋b sin x cos x (其中A ，B ，a ，b ∈R ，A ≠0，a ≠0). 三．函数图象与性质需要掌握的题型 （一）三角函数图象平移 （二）三角函数的零点 （三）函数的单调性 （四）函数的解析式 （五）三角函数图象综合 （六）三角函数的奇偶性 高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。 一、知识整合 1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题． 2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin() =+的图象； y A xω? 理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化． 二、高考考点分析 2004年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－ β，β= 2β α+－ 2β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=2 2b a+sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a、b的符号确定，?角的值由tan?= a b确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 三角函数的图像与性质 基本练习1函数f(x)=sinx-conx 的最小正周期为（ C ）A 1 2 π B π C 2π D 3π 2 函数sin [,]33 y x ππ ω=- 在上为减函数，则ω的取值范围为（ A ) A [-1.5,0) B [-3,0) C (0,1.5] D (0,3] 3 已知函数()sin()(0)3 f x x π ωω=+>的最小正周期为π,则该函数的图像( A) A 关于( ,0)3 π 对称 B 关于直线4 x π = 对称 C 关于( ,0)4 π 对称 D 关于直线 3 x π = 对称 4 若函数()2sin()(0,||)2 f x x π ω?ωφ=+><的最小正周期为π,且(0)f =,则 ( D ) A 1,26πω?= = B 1,23πω?== C 2,6πω?== D 2,3 πω?== 5 函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ?? ???? 上的最大值是( C ) A.1 C. 3 2 6已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ? ? ???? =+ >= ? ? ? ?? ???? ，，且()f x 在区间63ππ?? ???，有最小值，无最大值，则ω＝__________． 143 例1设函数()f x =·a b ，其中向量(cos2)m x =，a ，(1sin 21)x =+，b ，x ∈R ，且()y f x =的图象经过点π 24 ?? ??? ，．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小值及此时x 值的集合． 解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知πππ1sin cos 2422f m ??? ?=++= ? ? ??? ?，得1m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ? ?=++=+ ? ? ?，∴当πsin 214x ? ?+=- ??? 时，()f x 的最小值为1，由πs i n 214x ? ? +=- ?? ? ， 得x 值的集合为 2021年高考数学三角函数的图象与性质 (1)高考命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题． (2)高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～12或14～16题位置上． 考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 1.[三角函数的定义及应用](2019·昆明市诊断测试)在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P ????－35，45，则sin ??? ?α＋π 4＝( ) A ． 2 10 B ．－ 2 10 C ．7210 D ．－7210 2.[同角三角函数的关系式及应用]若tan α＝1 2，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C ．15 D ．35 3.[诱导公式及应用]设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ????23π6＝( ) A.1 2 B ． 32 C ．0 D ．－12 1.[与数列交汇]设a n ＝1n sin n π 25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个 数是( ) A ．25 B ．50 C ．75 D ．100 2.[与算法交汇]某一算法程序框图如图所示，则输出的S 的值为( ) A.32 B ．－32 C.3 D ．0 3.[借助数学文化考查]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝1 2 (弦 ×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π 3，半径等于4 m 的弧田，按照上述经验 公式计算所得弧田面积约是( ) A ．6 m 2 B ．9 m 2 C ．12 m 2 D ．15 m 2 考点二 三角函数的图象与解析式 题型一 由“图”定“式” [例1] (1)(2019·成都市第二次诊断性检测)将函数f (x )的图象上所有点向右平移π 4个单位长度，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)????A >0，ω>0，|φ|<π 2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝sin ????x ＋5π 12 B ．f (x )＝－cos ????2x ＋π3 C ．f (x )＝cos ????2x ＋π3 D ．f (x )＝sin ? ???2x ＋7π12 (2)(2019·长沙市统一模拟考试)已知P ??? ?12，2是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图 象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点．若|BC |＝6，则f (x )的图象的对称中心可 高中数学 三角函数的图象和性质知识点 一. 正弦函数： 1. 正弦函数的图象： 2. 定义域为；值域为 . (1) 当且仅当时，取得最大值1； (2) 当且仅当时，取得最小值1-. 3. 单调性： 在闭区间上都是增函数，其值从1-增大到1； 在闭区间上都是减函数，其值从1减小到1-. 4. 奇偶性： . 5. 周期性：最小正周期是，周期是 . 6. 对称性：对称轴是___________，对称中心是__________. 二. 余弦函数： 1. 余弦函数的图象： 2. 定义域为 .值域为 . (1) 当且仅当时，取得最大值1； (2) 当且仅当时，取得最小值1-. 3. 单调性： 在闭区间上都是增函数，其值从1-增加到1；在闭区间上都是减函数，其值从1减小到1-. 4. 奇偶性： . 5. 周期性：最小正周期是，周期是 . 6. 对称性：对称轴是___________，对称中心是__________. 三. 正切函数： 1．正切函数的图象 (1) 将正切函数tan y x =在区间 (, )2 2 ππ -上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函数 tan ,,,2 y x x x k k π π=∈≠ +∈R Z （）的图象，我们把它叫做正切曲线．正切曲线是由被互相平行的直线x ＝ ________()k ∈Z 所隔开的无数多支曲线组成的．这些平行直线x ＝________()k ∈Z 叫做正切曲线各支的________． (2) 结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数 tan y x =在一个单调区间 (,)22ππ-上的简图．其中，三点为(,1)4π--、()0,0、(,1)4π，两线为2x π-＝、2 x π ＝． 画 图时，注意图象不能与直线 相交． 2. 定义域为__________;值域为__________． 3. 单调性：在区间__________内，函数单调递增． 4. 奇偶性：由诱导公式tan()tan x x -=-，可得正切函数具备________． 5. 周期性：最小正周期是________；周期是 6. 对称性：对称轴是________，对称中心是________． 1．将函数f (x )＝sin ???? x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴 方程可能是( ) A ．x ＝－π 12 B ．x ＝π 12 C ．x ＝π 3 D ．x ＝2π 3 【答案】D 2．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)????ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈???? －π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( ) A.12 B.32 C.22 D ．1 【解析】由题图可知，T 2＝π3－????－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，∴f (x )的图象过点???? π12，1，即sin ????2×π12＋φ＝1，得φ＝π3，∴f (x )＝sin ????2x ＋π3.而x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f ????π6＝sin ???? 2×π6＋π3＝sin 2π3＝32. 8．函数 的图像是（ ） 【答案】D 9．定义22?矩阵 ，若 ，则()f x （ ） A.图象关于(),0π中心对称 B.图象关于直线2 x π =对称 C.在区间[,0]6 π -上单调递增 D.周期为π的奇函数 【答案】C 【解析】由题中所给定义可知 ，根据三角函数的图象性质可知本题的正确选项应该为C. 10．已知函数① ，② ，则下列结论正确的是（ ） A ．两个函数的图象均关于点,04π?? - ??? 成中心对称图形 B ．两个函数的图象均关于直线4 x π =-成轴对称图形 C ．两个函数在区间,44ππ?? - ??? 上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同 【答案】C 11．若sin ????π2＋α＝－35，且α∈???? π2，π，则sin(π－2α)＝( ) 【高考地位】 近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 【方法点评】 类型一 求三角函数的单调区间 使用情景：一般三角函数类型 解题模板：第一步 先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数,A ω的正负； 第二步 利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间； 第三步 运用三角函数的图像与性质确定其单调区间. 例1 函数cos(2)4 y x π =-的单调递增区间是（ ） A ．[k π＋ 8π，k π＋85π] B ．[k π－83π，k π＋8π ] C ．[2k π＋8π，2k π＋85π] D ．[2k π－83π，2k π＋8 π ]（以上k ∈Z ） 【答案】B. 考点：三角函数单调性. 【点评】本题解题的关键是将24x π -作为一个整体，利用余弦函数的图像将函数cos(2)4 y x π =-的单调 递增区间转化为24 x π θ= -在区间[]2,2k k πππ-+上递减的. 【变式演练1】已知函数),0)(6 2sin()(>+=ωπ ωx x f 直线21,x x x x ==是)(x f y =图像的任意两条对称 轴，且21x x -的最小值为2 π ．求函数)(x f 的单调增区间； 【答案】Z k k k ∈++-],6 , 3 [ππ ππ . 【解析】 试题分析：根据两条对称轴之间的最小距离求周期，根据周期求ω，根据公式求此函数的单调递增区间. 试题解析：由题意得,π=T 则1,()sin(2).6 f x x π ω=∴=+ 由222,2 6 2 k x k π π π ππ- +≤+ ≤ +解得 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 （一） 三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函数 . 3、周期性 （1）基本公式 （ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx 的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究 （ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为； （ⅱ）的最小正周期为； （ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 . 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象. 4、单调性 （1）基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证“三部曲”： ①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期； ②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； ③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族） 循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族. 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. （2）y＝型三角函数的单调区间 此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u＝，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝； ②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用（1）中公 式写出关于u的不等式； ③还原、结论：将u＝代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间 形成结论. （A、 ＞0） 定义域R R R 十四、三角函数函数图像与性质、函数sin()y A wx ?=+的图像性质及应用 1.求下列函数的定义域 (1)x x y cos 2cos 1+= ； (2)x y 2sin =. (3)y ＝tan ? ????π4－x 2.求下列函数的最小正周期 (1))23πsin(x y -=； (2))4π2πtan(+=x y ； (3)y ＝｜sin x ｜ (4) y ＝3cos ? ????x 2－π4 (5))]1(2 πcos[)2πcos(-=x x y (6)f (x )＝(1＋3tan x )cos x 3.若函数cos()3y x πω=+(0)ω>的图象相邻两条对称轴间距离为2 π，则ω等于 ． 4.已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数．求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期； 5.函数)3 π21sin(2-=x y 的一条对称轴方程为( ) A ．3π4-=x B ．6π5-=x C ．3π-=x D ．3 π2=x 6.函数sin(2)3 y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ） A ．6x π=- B ．12x π=- C ．6x π= D ． 12 x π= 7.y ＝sin ? ?? ??x －π4的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B.? ????－3π4，0 C.? ????3π2，0 D.? ?? ??π2，0 8.求函数)3 π2cos(-=x y 的对称轴方程和对称中心的坐标 9.已知函数()2sin()f x x ω?=+对任意x 都有()(),66 f x f x ππ+=-则()6f π等于（ ） A . 2或0 B . 2-或2 C . 0 D . 2-或0 10.函数)3 π2sin(+=x y 的图象( ) A ．关于点(3π，0)对称 B ．关于直线4 π=x 对称 C ．关于点(4π，0)对称 D ．关于直线3 π=x 对称 11.函数y ＝tan ? ?? ??2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是 ． 高中数学总复习- 三角函数 第5课 三角函数的图像和性质（一） 【考点导读】 1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22 ππ - 上的性质； 2.了解函数sin()y A x ω?=+的实际意义，能画出sin()y A x ω?=+的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【基础练习】 1. 已知简谐运动()2sin()()3 2f x x ππ ??=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运 动的最小正周期T =_____6____；初相?=______6 π ____． 2. 三角方程2sin(2 π －x )=1的解集为_______________________． 3. 函数),2 ,0)(sin(R x x A y ∈π ω?+ω=的部分图象如图所示，则函数表达为 _)48sin(4π +π-=x y _． 4. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π? ?=- ?3? ?的图象向右平移 ______π 6 ____个单位． 【范例解析】 例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ??-???? 上的图象，长度为一个周期； （Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． {2,}3x x k k Z ππ=±∈ 分析：化为sin()A x ω?+形式． 解：（I ）由x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+= )42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21πππ-+=-?+=x x x ． 列表，取点，描图： x 8 3π - 8π- 8π 83π 8 5π y 1 21- 1 21+ 1 故函数)(x f y =在区间]2 ,2[-上的图象是： （Ⅱ）解法一：把sin y x =图像上所有点向右平移 4π个单位，得到sin()4 y x π=-的图像，再把sin()4 y x π =-的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不 变），得到sin(2)4y x π=-的图像，然后把sin(2)4 y x π =-的图像上所有点纵坐标 伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到2sin(2)4 y x π =-的图像，再将 2sin(2)4y x π =-的图像上所有点向上平移1个单位，即得到 12sin(2)4 y x π =+-的图像． 解法二：把sin y x =图像上所有点的横坐标缩短为原来的1 2 （纵坐标不变），得 到sin 2y x =的图像，再把sin 2y x =图像上所有点向右平移8π 个单位，得到高三数学三角函数经典练习题及复习资料精析
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