化工原理 伯努利方程

伯努利方程

流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。

方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得：

Zg+2

2u P +ρ＝常数

式中Z 为距离基准面的高度;P 为静压力;u 为流体速度;ρ为流体密度;g 为重力加速度。方程中

的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N ·m/kg ，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。当流体在水平管道中流动时Z 不变，上式可简化为：

ρ

P

u +22＝常数 此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。 对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为：

g

u g P Z g u g P Z 2222

2

22111++=++ρρ 式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速

度头）。

对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式：

1

2112

22211ln 22P P

P u gZ u gZ ρ++=+

若为可逆绝热过程，方程可写为：

1

211222211ln 22P P

P u gZ u gZ ρ++=+

式中γ为定压比热容Cp 和定容比热容Cv 之比，即比热容比，也称为绝热指数。

对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速u 表达动能项，应对其乘以动能校正系数d ο。此外,还需考虑因粘性引起的流动阻力,即造成单位质量流体的机械能损失h f ，若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W ，在这些条件下,

若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为：

α值可由速度分布计算而得, 流体在圆管内作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。 方程的应用 伯努利方程阐明的位能、动能、静压能相互转换的原理，可用来分析计算一些实际问题，例如：

①计算流体从小孔流出的流速 设在容器中盛有液体，液面维持不变,距液面下h 处的容器壁面上开有一小孔，液体在重力作用下自小孔流出。据伯努利方程可以计算出液体由小孔流出时的平均流速为：

gh Cd u 2=

式中C d 为孔流系数，其值由实验确定，约为0.61～0.62；g 为重力加速度。由上述速度及已知的小孔面积,可算出通过小孔的流量；或由这一关系，计算确定达到一定流量所必须维持的液面高度。若气体在一定压力差作用下由容器壁上的小孔流出，当速度不过大时，可视为不可压缩流体，其流量也可以利用伯努利方程来估计。

②毕托管 设均匀气流以等速

u 0绕过某物体流动，气流受阻后在物体前缘（A 处）停滞，

形成驻点（图1驻点），该点处的压力称为驻点压力p A 。若未受扰动的某点O 压力为p o ，由伯

努利方程可得

测出p A 与p o 的差值, 即可算出流速u

0。据此原理计设的测速装置，称测速器,又称毕托管。毕

托管（图2毕托管结构）由一个圆头的双层套管组成，在圆头中心处开有与内套管相连的小孔,内套管与测压计的一头联接,以测定驻点压力p A ；在外套管侧表面一定距离处，沿周向均匀地开一排与管壁垂直的静压孔，外套管与测压计的另一头相联，以测定压力

p 0。根据测得的压力差

h,可计算测点处的流速。

③文丘里管 又称文氏管(图 3 文丘里管)，是一种先收缩而后逐渐扩大的管道。由于截面积有变化，流速改变，根据伯努利方程，压力也随之改变。量出管前与喉管处的压力差，即可推算流量。用于测量流量的文丘里管，称文丘里流量计。又由于文丘里管喉部形成高速气流，会产生负压而抽吸液体，使气液密切接触，用于完成气体的洗涤、冷却、吸收和反应等操作。用于这类操作的文丘里管称为文丘里洗涤器。

1.伯努利其人

1700年1月29日，伯努利出生于瑞士．他不仅是一位物理学家，还是一位数学家．18世纪40年代末，他出版了著名的著作《流体力学》一书，书中用能量守恒定律解决流体的流动问题，他分析流体流动时压强和流速的关系并得出方程，这就是后来以他的名字命名的伯努利方程，书中伯努利还明确叙述了分子动理论，认为气体作用在器壁上的压力可以用大量的分子快速来回运动来解释，他还发表了海水潮汐.弦振动问题等论文，在有关微积分、微元方程和概率论等数学方面，他也做出了卓越的贡献，在1725～1749年期间，伯努利曾十次荣获法国科学院年度奖．

伯努利通过实验得出：理想流体在做稳定流动时，流速大的地方压强小，流速小的地方压强大(但并非反比关系)，其数学表达式为

p +ρv ２／２＋ρgh ＝恒量 这就是著名的伯努利方程.

2.利用伯努利方程来解决实际问题 (1)确定静止液面下深度为h 处的压强

如右图所示，在装有液体的容器里取液面上的点A 和在液面下深

h 处的点B 来研究，以点B 处的水平面作为零(势能)参考面，则

h Ａ＝ｈ1，ｈB ＝０，ｐA ＝ｐ0

又因液体静止v 1＝ｖ2＝０，代入伯努利方程得 p Ｂ＝ｐA ＋ρgh ＝ｐ0＋ρgh (2)求液体从小孔中流出的流速

设在液面下深为h 的容器壁上有一小孔，液体从小孔中流出，取在液

面上点A 和小孔处点B 来研究，因为容器的截面比小孔的截面大得多，所以容器中水面的下降很慢，点A 处的液体微粒的流速可以不计，即v A ＝０，以B 点处高度为零，则h A ＝ｈ，ｈB ＝０，点A 、B 处与大气接触，所以p A ＝ｐB ＝ｐ0（大气压），代入伯努利方程得

p 0＋ρgh ＝ｐ0＋

2

1ρv 2

B 即v B ＝gh 2 (3)测量流体的流速

测量流体在管中的流速时，可用下图所示的仪器， 因为它常用来测量气流速度，所以

叫

做气流速度计，分别把必多管A (必多管是一根一端封闭的弯管，封闭端A 光滑微尖，并在靠

近封闭端的侧面上开有很多的小孔)和一个管口朝向气流的管子B (动压管)接在U 形管压强计

上，据U 形管两边的液柱的高度差便可求出气体的流速．

设气体稳定流动的速度是v ，气体的密度是ρ0，压强计内液体的密度是ρ0，在管A 上小孔处气体的压强是p A ，管B 中气体的压强是p B ，管B 中气体因受管里流体的阻碍，它的流速等于0，由于管A 与管B 的端口均在同一高度上且气体的同一流线上，据伯努利方程得

p Ａ－ρv 2／２＝p B ＋０

故p B －p Ａ＝ρv 2

／２．

根据U 形管两边的高度差h ，可求出两管中的气体的压强差为 p B －p Ａ＝ρ0gh

由以上各式得v ＝ρρ/

gh 02

因此，测量出h 就可以求出气流的速度． (1) 液流和气流的空吸作用

如下图所示，若在水平管的细颈处开一小孔A ，用细管接入容器B 中容器内，流动液体不但不会流出，而且容器B 中液体可以被吸上去，为研究此原理，做如下推导：

设左上方容器E 很大，流体流动时，液面无显著下降，液面与出液孔的高度差为h ，S Ａ

和S F 分别表示水平管上小孔A 与出液孔F 处的横截面积，用ρ表示液体的密度，设液体为理想流体，取容器E 中液面上的点C 和水平管上小孔A 以及出液孔F 处的水作为研究对象，据伯努利方程，得到：

p C ＋ρgh ＝p Ａ＋

21ρv 2A ＝ｐF ＋2

1ρv 2F

又因为p C ＝p F ＝ｐ0代入上式得到

v 2F ＝ρgh

p A －ｐ0＝

ρ2

1（ｖ22A F v -） 据流体在水平管中做稳定流动时，管中各处的流量Ｑ＝ρvSt 不变，有:

F

A A F S S v v =

由上述几式综合得到S Ｆ＞S A ．则

p A －p 0＝21

ρgh （１－22A

F S S ）＜０

即小孔C 处有一定的真空度，因此可将B 中液体吸入，这种现象叫做空吸作用．

不但液流有空吸作用，气流也同样有空吸作用，所遵循的规律也相同，空吸作用的应用很广，化学实验室中的水流抽气机、内燃机的汽化器、蒸汽锅加水所用的射水器是根据这个原理制成的． 参考资料：

《中学物理教学参考》20007 伯努利及方程的应用 余学昌

《流态化工程原理》内容简介

固体流态化技术是化学工程领域的一个重要分支。流化床具有非常高的传热和传质效率与大量处理颗粒的能力，因而在化工、石油加工、能源、环境保护、食品加工、药品生产等领域中得到了非常广泛的应用。与工业实践紧密相关的科研工作也由此而异常的活跃，新的科研成果和理论不断涌现。随着基础科研工作和国民经济的进一步发展，流态化技术势将在更多的领域中得到应用。

本书为第一本在固体流态化方面的中文专著，由16位海内外专家和知名学者集数年之精力才得以完成。作为专著，书中内容包括了流态化方面几乎所有的重要内容。全书共分11章：第1章介绍流态化现象及其发展历史；第2章提供有关的基础知识；第3，4，5章详述了气固密相流化床、循环床及顺重力场流化床的流动规律；第6，7章论述流化床的传热和反应器模型与放大；第8章描述了喷动床的基本特性；第9章给出了许多流化床工业应用的实例；第10章专门讲述流化床的实验技术及测试手段方法；第11章介绍液固散式流态化和气液固三相流化床的发展近况。

本书可供从事流态化工作的学者、科研人员、工程技术人员、运行和管理人员参考，也可作为高等院校化工、石油、热能及其他有关专业的教材和教学参考书。

第五节 固体流态

化

本节内容：流态化的基本概念 流化床流动阻力 流化床的主要特点和操作优缺点

简单来说，固体流态化就是固体物质流体化。流体以一定的流速

通过固体颗粒组成的床层时，可将大量固体颗粒悬浮于流动的流体

中，颗粒在流体作用下上下翻滚，犹如液体。这种状态即为流态

化。

流态化是目前化学工业以及其他许多行业（譬如能源、冶金等）

广泛使用的一门工业技术。在化学工业中主要用以强化传热、传

质，亦可实现气固反应、物理加工乃至颗粒的输送等过程。

3-5-1 流态化的基本概念 一、流态化现象

当一种流体自下而上流过颗粒组成的

时，因流速不同会出现不同的情况：

1、固定床阶段 当流体通过

的空截面流速较低时，床层空隙中流

际流速

u 小于颗粒的沉降速度u t ，则

止不动，为固定床，如图（a ）。 2、流化床阶段

（1）临界流化床 当u 增大到一定程度时，颗粒

松动，床层开始膨胀，u 继续升高，

始继续膨胀，直到刚好全部颗粒都悬

气体或液体（a ）

气体或液体（b ）

上流动的流体中。此时，颗粒所受浮流体和颗粒之间的摩擦力相平衡，称临界流化床，如图（b）。

（2）流化

床当流速继续

增加，床层L亦

不断升高，此即为

流化床。液固系统

床层平稳渐增，如

图（c）；气固系

统则出现鼓泡和

气体沟流现象，搅

动剧烈，固体颗粒

运动活跃，象沸腾液体气体

气体或

液体

的液体，因此亦称

沸腾床。

3、颗粒输送阶段

当流体在

床层中的实际流

速超过颗粒的沉

降速度ut时，流

化床上界面消失，

颗粒将随流体被

带出容器外，此为

输送床，如图

（e）。

二、流态化操作类型

流态化操作可有多种分类方法：

1、以流化介质分：

1）气—固流化床以气体为流化介质。目前应用最为广泛，如各

种气—固相反应、流化床燃烧、物料干燥等。

2）液—固流化床以液体为流化介质。这类床问世较早，但不如

前者应用广泛。多见于流态化浸取和洗涤、湿法冶金等。

3）三相流化床以气、液体两种流体为流化介质。这种床型自七

十年代有报道以来发展很快，在化工和生物化工领域中有较好的应

用前景。

2、以流态化状态分：

1）散式流态化固体颗粒均匀地分散在流化介质中，亦称均匀流

化或理想流化。此流化状态有以下特点：a：在流化过程中有一个明

显的临界流态化点和临界流化速度；b：流化床层的压降为一常数；

c：床层有一个平稳的上界面；d：流态化床层的空隙率在任何流速

下都有一个代表性的均匀值。不因床层内的位置而变化。

通常，两相密度差小的系统趋向形成散式流化，故大多数的液

—固流化为散式流化。

2）聚式流态化不具备散式流化特点的系统为聚式流化。一般密

度差较大的系统（如气—固系统）趋向于形成聚式流化。

聚式流化的特点是：当流速大于临界流化速度后，流体不是均匀地流过颗粒床层，一部分流体不与固

体混合就短路流过床层。如气—固系统，气体以气泡形

式流过床层，气泡在床层中上升和聚并，引起床层的波

动。因气泡的存在，流化床被分成两相，一相为空隙率

小而固体密度大的气—固均匀混合物构成的连续相，称

为乳化相；另一相则是夹带少量固体颗粒而以气泡形式

通过床层的不连续相，称为气泡相。

3、从有无加力场分：

1）振动床：外加振动力场。

2）磁力床：外加磁场。

3）声场床：外加声场。

4、从床的结构分：

常规流化床、多层床、多级床等。

此外，还有许多其它分类方法，不一一细述。3-5-2 流化床流动阻力

一、理想流化床的压强降

理想情况下，克服流化床层的流动阻力而产生的压强降与空截

面流速的关系如图。

1、固定床阶段

在气体速度较低时，颗粒床层静止不动，气体从颗粒空隙中穿

流而过。随着气速的增加，气体通过床层的摩擦阻力也相应增加

（如OB段）。

对于随意充填的粒度均匀的颗粒床层，厄根（Ergun）得出求算

固定床压强降的半径公式：

2、流化床阶段

在流化床阶段，整个床层压强降保持不

变，其值等于单位面积床层的净重力。如图

中的BC段。

流化阶段中床层的压强降可根据颗粒与流体间的摩擦力恰与其

净重力平衡的关系求出，即：

△pA t=W=A t L（1-ε）（ρs-ρ）g

当流速进一步增大时，床层空隙率和高度均增加，但△p维持不

变。

由于气固系统中，气体的密度和固体相比可以忽略，故△p约等

于单位面积床层的重力。

3、气体输送阶段

气体输送阶段时，流速进一步加大，气流中颗粒浓度降低，由密

相变为稀相，相成两相同向流动状态，压强降降低并因密相和稀相

而情况复杂。此不细述。

二、实际流化床的压强降

实际流化床的情况较

为复杂，其△p与u的关系如

图所示，它与

理想流化床的曲线有显著区

别。

１、在固定床和流化区域有一个“驼峰”

，这是因为固定床颗粒之间相互靠紧，而互

相之间有一定摩擦力，因而需要较大的推动

力才能使床层松动。直到颗粒松动到刚能悬

浮时，△p才降到水平阶段。此时压强降基本不随气速而变。当降低

流化床气速时，压强降沿DC'A'变化。

2、流化区域D点附近曲线略向上倾斜。这表明气体通过床层时的

压降除绝大部分用于平衡床层颗粒的重力外，还有少部分能量消耗

于颗粒之间的碰撞及颗粒与容器壁面之间的摩擦。

3、A'C'和C'D分别表示流化床阶段和固定床阶段。两线的交点

C'为临界点，对应有、临界流化速度u mf，临界空隙率εmf，它比原

始固定床的空隙率ε稍大。

4、C'D'线的上下各有一条虚线，表示气体流化床的压强降波动

范围，C'D为两条虚线的平均值。之所以波动是由于气泡在向上运动

的过程中不断长大，到床面破裂。在气泡运动、长大、破裂的过程

中产生压强降的波动。

三、流化床的操作范围

要使固体颗粒床层在流化状态下操作，必须使气速高于临界流

速u mf，而最大气速以不得超过颗粒的沉降速度，否则颗粒会被气流

带走。

（一）临界流化速度u mf

临界流化速度是流化操作的最小速度，其确定方法有两种。

1、实测法

测取从流化床回到固定床的一系列压强降与气体流速的对应数

值。将这些数值标在对数坐标上，得到如图A'C'D的曲线，C'点对应

的流速即为所测的临界流化

速度。

测定时常用空气作

流化介质，最后据实

际生产中的不同条件加以校正。

2、计算法

临界点是固定床与流化床的共同点，所

以，临界点的压强降既符合流化床的规律也符合固定床的规律。因