核反应堆物理分析课后习题参考答案

核反应堆物理分析答案

第一章

1-1.某压水堆采用UO 2作燃料，其富集度为2.43%（质量），密度为10000kg/m3。试计算：当中子能量为0.0253eV 时，UO 2的宏观吸收截面和宏观裂变截面。

解：由18页表1-3查得，0.0253eV 时：(5)680.9,(5)583.5,(8) 2.7a f a U b U b U b σσσ=== 由289页附录3查得，0.0253eV 时：()0.00027b a O σ=

以c 5表示富集铀内U-235与U 的核子数之比，ε表示富集度，则有：

5

55235235238(1)

c c c ε=+-

151

(10.9874(1))0.0246c ε

-=+-=

25528

3

222M(UO )235238(1)162269.91000()() 2.2310()

M(UO )

A

c c UO N N UO m ρ-=+-+?=?==?

所以，26

352(5)() 5.4910()N U c N UO m -==?

28

352(8)(1)() 2.1810()N U c N UO m -=-=?

28

32()2() 4.4610()N O N UO m -==?

2112()(5)(5)(8)(8)()()

0.0549680.9 2.18 2.7 4.460.0002743.2()()(5)(5)0.0549583.532.0()

a a a a f f UO N U U N U U N O O m UO N U U m σσσσ--∑=++=?+?+?=∑==?=

1-2.某反应堆堆芯由U-235,H 2O 和Al 组成，各元素所占体积比分别为0.002,0.6和0.398，计算堆芯的总吸收截面(E=0.0253eV)。

解：由18页表1-3查得，0.0253eV 时：

(5)680.9a U b σ=

由289页附录3查得，0.0253eV 时：112() 1.5,() 2.2a a Al m H O m --∑=∑=,()238.03,M U =

33()19.0510/U kg m ρ=?

可得天然U 核子数密度28

3()1000()/() 4.8210

()A N U U N M U m ρ-==?

则纯U-235的宏观吸收截面：1(5)(5)(5) 4.82680.93279.2()a a U N U U m σ-∑=?=?=

总的宏观吸收截面：120.002(5)0.6()0.398()8.4

()a a a a U H O Al m -∑=∑+∑+∑=

1-3、求热中子（0.025电子伏）在轻水、重水、和镉中运动时，被吸收前平均遭受的散射碰撞次数。- 解：设碰撞次数为t

a s a s a s s a n n t σσσσλλ=

=∑∑==15666.01032==O H t 13600001.06.132==O D t 31086.224507-?==Cd t

1-4、试比较：将2.0MeV 的中子束强度减弱到1/10分别需要的Al ，Na ，和Pb 的厚度。 解：查表得到E=0.0253eV 中子截面数据：

Σa Σs Al ： 0.015 0.084 Na ： 0.013 0.102 Pb ： 0.006 0.363 Al 和Na 的宏观吸收截面满足1/v 律。

Q ：铅对2MeV 中子的吸收截面在屏蔽中是否可以忽略？(在跨越了可分辨共振区后截面变得非常小) Σa=Σa(0.0253)(0.0253/2×106)^1/2 Σa Al 0.0169×10-4 Na 0.0146×10-4 窄束中子衰减规律：

I=I0e -∑x I=(1/10)I0

∴ x=(ln10)/Σ 因此若只考虑吸收衰减：

xAl=136.25×104m xNa=157.71×104m

对于轻核和中等质量核，弹性散射截面在eV ～几MeV 范围内基本不变。所以只考虑弹性散射截面时，结果如下：(相比较之下能量为2MeV 时，弹性散射截面要比吸收界面大很多)

但是不清楚对于重核铅弹性截面基本不变的假设是否成立？ xAl=27.41m xNa=22.57m xPb=6.34m

1-6

11

7172

1111

PV V 3.210P 2101.2510m 3.2105 3.210

φφ---=∑???===?∑???? 1-7．有一座小型核电站，电功率为15万千瓦，设电站的效率为27%，试估算该电站反应堆额定功率运行一小时所消耗的铀-235数量。

解：热能：

裂变U235核数：

俘获加裂变U235核数：

消耗U235总质量量：

η

ηt P E E e e th ?==19

65106.110200-???=th

f E n 221963419

651025.6106.11020027.03600101015106.110200?=???????=

?????=--ηt

P n e f 22

22551030.75.5839.6801025.6?≈?

?=?=f a f n n σσg

M N n m A 5.282351002.61030.72322

555≈???==

8、某反应堆在额定功率500兆瓦下运行了31天后停堆，设每次裂变产生的裂变产物的放射性活度为1.08×10-16t-1.2居里。此处t 为裂变后的时间，单位为天，试估算停堆24小时堆内裂变产物的居里数 解：

1-9．设核燃料中铀-235的浓缩度为3.2%（重量），试求铀-235与铀-238的核子数之比。

1-10.为使铀的η＝1.7，试求铀中U-235富集度应为多少(E=0.0253eV)。

解：由18页表1-3查得，0.0253eV 时：(5)680.9,(5)583.5,(8) 2.7a f a U b U b U b σσσ===

,(5) 2.416v U =

由定义易得：(5)(5)(5)(5)(5)(5)(8)(8)

f

f a

a a v U v U N U U N U U N U U σησσ?∑=

=

∑+

(5)(5)

(5)(8)((5))(8)f a a v U U N U N U U U σσση

?=

-

为使铀的η＝1.7， (5) 2.416583.5

(8)(680.9)54.9(5)2.7 1.7

N U N U N U ?=

-= 富集

11.、为了得到1千瓦时的能量，需要使多少铀-235裂变 解：设单次裂变产生能量200MeV U235裂变数：

U235质量：

1-12． 反应堆的电功率为1000兆瓦，设电站的效率为32%。问每秒有多少个铀-235发生裂变？问运行一年共需消

J E

day 360024105006???=2419661961035.1106.11020036002410500106.110200?=??????=

???=

--day

day

E n Ci

dt t A 831

1

2

.116241062.31008.11035.1?=???=?

--0324.0)]1032.01

(9874.01[)]11

(9874.01[1

1

5=-+=-+=--εc 0335.00324

.010324.015585=-=-=c c n n J

E 6106.336001000?=?=171966

196510125.1106.110200106.3106.110200?=????=

???=

--E n g

M N n m A 4231966

5551043.023510

02.6106.110200106.3--?=???????==

耗多少公斤易裂变物质？一座相同功率煤电厂在同样时间需要多少燃料？已知标准煤的燃烧热为Q=29兆焦/公斤。

每秒钟发出的热量： 6

9100010 3.125100.32

PT

E J η?===?

每秒钟裂变的U235：109193.12510 3.125109.765610()N =???=?个

运行一年的裂变的U235：1927'N T 9.765610365243600 3.079710()N =?=????=?个 消耗的u235质量：

276

23

A (1)'(10.18) 3.079710235m A 1.422810g 1422.8kg N 6.02210N α++???=?==?=? 需消耗的煤： 996

7

E'110365243600m 3.398310Kg 3.398310Q 0.32 2.910

????===?=???吨 . 一核电站以富集度20%的U-235为燃料，热功率900MW,年负荷因子(实际年发电量/额定年发电量)为0.85, U-235

的俘获－裂变比取0.169,试计算其一年消耗的核燃料质量。

解：该电站一年释放出的总能量=6

16

900100.8536006024365 2.412510J ??????=?

对应总的裂变反应数=1626

619

2.4125107.541020010 1.610

-?=???? 因为对核燃料而言：t f γσσσ=+

核燃料总的核反应次数=26

26

7.5410(10.169)8.8110??+=?

消耗的U-235质量=2623

8.8110235

344()6.02101000

kg ??=?? 消耗的核燃料质量=344/20%1720()kg =

第二章

.某裂变堆，快中子增殖因数1.05，逃脱共振俘获概率0.9，慢化不泄漏概率0.952，扩散不泄漏概率0.94，有效裂变中子数1.335，热中子利用系数0.882，试计算其有效增殖因数和无限介质增殖因数。

解： 无限介质增殖因数： 1.1127k pf εη∞== 不泄漏概率：0.9520.940.89488s d Λ=ΛΛ=?= 有效增殖因数：0.9957eff k k ∞=Λ=

2-1.H 和O 在1000eV 到1eV 能量范围内的散射截面近似为常数，分别为20b 和38b 。计算H 2O 的ξ以及在H 2O 中中子从1000eV 慢化到1eV 所需的平均碰撞次数。

解：不难得出，H2O 的散射截面与平均对数能降应有下述关系：

σH2O ?ξH2O = 2σH ?ξH + σO ?ξO

即：

(2σH + σO ) ?ξH2O = 2σH ?ξH + σO ?ξO ξH2O =（2σH ?ξH + σO ?ξO ）/(2σH + σO )

查附录3，可知平均对数能降：ξH =1.000，ξO =0.120，代入计算得：

ξH2O = (2×20×1.000 + 38×0.120)/(2×20 + 38) = 0.571

可得平均碰撞次数：

Nc = ln(E 2/E 1)/ ξH2O = ln(1000/1)/0.571 = 12.09 ≈ 12.1

2-6.在讨论中子热化时，认为热中子源项Q(E)是从某给定分界能E c 以上能区的中子，经过弹性散射慢化而来的。设慢化能谱服从Ф(E)=Ф/E 分布，试求在氢介质内每秒每单位体积内由E c 以上能区，（1）散射到能量E （E

()(')(')(')'c

E s Q E E E f E E dE φ∞

=∑→?

对于氢介质而言，一次碰撞就足以使中子越过中能区，可以认为宏观截面为常数：

/()(')(')'c

E s E a

Q E E f E E dE φ=∑→?

在质心系下，利用各向同性散射函数：'

(')'(1)'

dE f E E dE E α-→=

-。已知(')'E E φφ=，有：

/'()'(1)'c

E s

E a

dE Q E E E φ

α-=∑-?

2/()'11

()(1)'(1)/(1)c E s c s s E a c c

E E dE E E E EE φαφφαααα∑-∑-=∑=-=---? （这里隐含一个前提：E/α>E ’）

（2）利用上一问的结论：

1

1

1111()(ln )(1)(1)(1)g g g g

g g

E E E g g

g s

s s g E E c

c g

E E E E E

Q Q E dE dE E E E E φφφααααα------∑∑∑==-=----?

? 2-8.计算温度为535.5K ，密度为0.802×103 kg/m 3的H 2O 的热中子平均宏观吸收截面。

解：已知H 2O 的相关参数，M = 18.015 g/mol ，ρ = 0.802×103 kg/m 3，可得：

3623

28100.80210 6.02310 2.681018.015

A N N M ρ??===? m -3

已知玻尔兹曼常数k = 1.38×10-23 J ?K -1，则：

kT M = 1.38 ×10-23×535.5 = 739.0 (J) = 0.4619 (eV)

查附录3，得热中子对应能量下，σa = 0.664 b ，ξ = 0.948，σs = 103 b ，σa = 0.664 b ，由“1/v

”律：

()a M a kT σσ==0.4914 (b)

由56页（2-81）式，中子温度：

2()2180.4914

[10.46

]535.5[10.46]103

a M n M s A kT N T T N ∑???=++=∑? 577.8 (K)

对于这种”1/v ”介质，有：

n a σ=

=

= 0.4192 (b)

所以： 2.680.4108a a N σ∑==?=1.123 (m -1)

三章

3.1 有两束方向相反的平行热中子束射到235U 薄片上，设其上某点自左面入射的中子束强度为1012 cm -2·s -1。自右面入射的中子束强度2×1012 cm -2·s -1。计算： （1）该点的中子通量密度； （2）该点的中子流密度；

（3）设Σa = 19.2×102 m -1，求该点的吸收率。

解：（1）由定义可知：I I φ+-=+=3×1012 (cm -2·s -1) （2）若以向右为正方向：J I I +

-

=-=-1×1012 (cm -2·s -1) 可见其方向垂直于薄片表面向左。

（3）a a R φ=∑=19.2?3×1012 = 5.76×1013 (cm -3·s -1) 3.2 设在x 处中子密度的分布函数是

/0(,,)(1cos )2x aE

n n x E e e λμπ

-Ω=

+ 其中：λ，ɑ为常数，μ是Ω与x 轴的夹角。求： （1） 中子总密度n ( x )；

（2） 与能量相关的中子通量密度φ( x, E )； （3） 中子流密度J ( x, E )。

解：由于此处中子密度只与Ω与x 轴的夹角有关，不妨视μ为极角，定义Ω在Y-Z 平面的投影上与Z 轴的夹角φ为方向角，则有： （1）根据定义：

/0042/0000/00

()(1cos )2(1cos )sin 2(1cos )sin x aE

x aE x aE n n x dE e e d n

dE d e e d n e e dE d λπππλπ

λμπ?μμμπ

μμμ

+∞

-+∞-+∞-=+Ω

=+=+??

????? 可见，上式可积的前提应保证ɑ < 0，则有：

/00

00//000()()(sin cos sin )

2(cos 0)aE

x x x e n x n e d d a n e

n e a

a

ππ

λλ

λ

π

μμμμμμ+∞

---=+=-

-+=-

??

（2）令m n

为中子质量，则2/2()n E m v v E =?

/04

(,)(,)()2/(,,)2x n

x E n x E v E E m n x E d n e e λπ

φ-==ΩΩ=?（等价性证明：如果不作坐标变换，则依据投影关系可得：

cos sin cos μθ?=

则涉及角通量的、关于空间角的积分：

24

2

2

2

2

2

(1cos )(1sin cos )sin sin cos sin 2(cos )(sin sin )404d d d d d d d d ππ

π

ππππ

πππ

μ?θ?θθ

?θθ??θθ

πθ?θθππ

+Ω=+=+=-+=+=???????? 对比：

24

2

2

(1cos )(1cos )sin sin sin cos 2(cos )(sin cos )404d d d d d d d d ππ

π

ππππ

ππ

μ?μμμ

?μμ?μμμ

πμπμμμππ

+Ω=+=+=-+2=+=???????? 可知两种方法的等价性。） （3）根据定义式：

4420

/200

(,)(,,)(,,)()cos (1cos )sin cos sin cos sin )

x aE J x E x E d n x E v E d d d n e e d d π

π

π

π

ππ

λφ?μμμμ

μμμμμμ-=ΩΩΩ=ΩΩΩ

=

+=+?????

利用不定积分：

1cos cos sin 1

n n

x

x xdx C n +=-++?

（其中n 为正整数），则：

3/00cos (,))3x J x E n e e π

λμ

-=-=

3.7 设一立方体反应堆，边长ɑ = 9 m 。中子通量密度分布为

()1321,,310cos(

)cos(

)cos(

)

()x

y

z

x y z cm s a

a

a

πππφ--=?

已知D = 0.84×10-2m ，L = 0.175 m 。试求： （1） ()J r 表达式；

（2） 从两端及侧面每秒泄漏的中子数；

（3） 每秒被吸收的中子数（设外推距离很小可略去）。 解：有必要将坐标原点取在立方体的几何中心，以保证中子通量始终为正。为简化表达式起见，不妨设φ0 = 3×1013 cm -2?s -1。

（1）利用Fick ’s Law ：

0()(,,)grad (,,)(

)[sin()cos()cos()sin()cos()cos()sin()cos()cos()]

J r J x y z D x y z D i j k x y z

x y z y x z z x y D i j k a a a a a a a a a a

φφφφππππππππππφ???==-=-++???=+

+0

()()J r J r D φ==

（2）先计算上端面的泄漏率：

/2

/20

/2(/2)

/2

/2/2

/2

00

/2/2()sin()cos()cos()2[sin()][sin()]4a a z a S z a a a a a a a x y

L J r kdS D dx dy a a a

a x a y a

D D a a a π

πππφπππφφπππ

==----====?

??

同理可得，六个面上总的泄漏率为：

L = 21340

9

64240.841031010 3.14

a

D φπ

-?=??????

=1.7×1017 (s -1) 其中，两端面的泄漏率为L /3 = 5.8×1016 (s -1)；侧面的泄漏率为L-L /3 = 1.2×1017 (s -1) (如果有同学把问题理解成‘六个面’上总的泄漏，也不算错) （3）由2/a L D =∑可得2/a D L ∑=

由于外推距离可忽略，只考虑堆体积内的吸收反应率：

/2/2/230022/2/2/22cos()cos()cos()()a a a a a V

V

a a a D x y z D a R dV dV dx dy dz L a a a L πππφφφπ

---=∑=

=?

????

2

1732

0.8410218310()0.175 3.14

-??=???=1.24×1020 (s -1) 3.8 圆柱体裸堆内中子通量密度分布为

12210 2.405(,)10cos(

)(

)()z

r

r z J cm s H

R

πφ--=

其中，H ，R 为反应堆的高度和半径（假定外推距离可略去不计）。试求： （1） 径向和轴向的平均中子通量密度与最大中子通量密度之比； （2） 每秒从堆侧表面和两个端面泄漏的中子数；

（3） 设H = 7 m ，R = 3 m ，反应堆功率为10 MW ，σf,5 = 410 b ，求反应堆内235U 的装载量。 解：有必要将坐标原点取在圆柱体的几何中心，以保证中子通量始终为正。为简化表达式起见，不妨设φ0 = 1012 cm -2?s -1。且借用上一题的D 值。 （1）先考虑轴向

/2

/2

/2

00/2

/2

/2

/2

000/2 2.405/cos(

)(

)/2.4052 2.405(

)[sin()]()H H H z H H H H H z

r

dz dz J dr H H

R

r H z r

J J H

R H R

πφφφφπφππ----===

=?

?

?

且

00 2.405sin()()z r

J z H H R

φππφ?=-?在整个堆内只在z = 0时为0，故有： ,max 00 2.405(,0)()z r

r J R

φφφ==

,max 00002

2.405 2.4052

/(

)/()z z r r J J R R φφφφπ

π

=

= 径向：

00000 2.405/cos(

)(

)/R

R

R

r z

r

dr dr J dr R H R πφφφ==???

且

00012.405 2.405 2.405cos()()cos()()z r z r

J J r H R R H R

φππφφ?'==-?在整个堆内只在r= 0时为0，故有： ,max 0(0,)cos()r z

z H

πφφφ==

,max 0000002.405 2.405/cos()()/cos()()/R R r r z r z r

J dr R J dr R H R H R

ππφφφφ==??

已知

2.405

00

() 1.47J x dx =?

，所以：

,max 1.47//2.405

r r R

R φφ?=

=0.611

（2）先计算上端面的泄漏率：

/2(/2)

(/2)

2200

00/2/2

200110

()grad (,) 2.405sin()()22.4052[()](2.405)

2.405 2.405z z z H S z H S z H R R z H z H R

L J r e dS D r z e dS

z r

D d rdr D d rJ dr z H H R D R R r

D rJ J H R H π

πφφππ??πφπφπ=======

-?-=-=-?-=-=?

?

??

??

易知，两端面总泄漏率为2

0122(2.405)2.405D R J H

πφ?

=2.93×1014 (s -1) 侧面泄漏率：

()

()

2/2

/2()grad (,)r r r R S r R S r R H H r R

L J r e dS D r z e dS

D d Rdz

r π

φφ

?===-===-?=-??

?

?

?

利用Bessel 函数微分关系式：0

1J J '=-，且已知J 1(2.405) = 0.5191，可得： 01(2.405/) 2.405 2.405()J r R r J r R R

?=-?

所以：

/2

0011/22 2.4052.4052(2.405)[sin()](2.405)H r R

H HD H z L D RJ J R H φπφπππ

=-?-=-==4.68×1014 (s -1)

（3）已知每次裂变释能6191120020010 1.610 3.210f E MeV --==???=?(J)

5

,5

f

f

f

f V

V

P E dV E N dV φσ

φ=∑=??????

所以：5,5

f

f V

P N E dV

σ

φ=???

其中：

/2

200/2

/2

000

/2

2.405cos(

)(

)2.4052[

sin(

)]

[(

)]H R

H V

H R H z

r

dV dz d J rdr H

R

H

z

r

rJ dr H

R

π

πφ?φππφπ

--==????

???

利用Bessel 函数的积分关系式：

1()n n n n x J x dx x J -=?

，可得

012.405 2.405(

)()2.405r R r

rJ dr rJ R R

=?

已知：J 1(0) = 0，J 1(2.405) = 0.5191，所以：

20

10124

2(2.405)(2.405)2.405 2.405

V

H

R dV RJ HR J φπφφπ==???= 5.44×1017 (m?s -1)

所以：

5,5

f f V

P N E dV

σφ=

=???106/(3.2×10-11×410×10-28×5.44×1017) = 1.40×1024 (m -3)

所需235U 装载量：

355510/A m N VM N -==10-3×1.40×1024×3.14×32×7×235/(6.02×1023 ) = 108 (kg)

3.9 试计算E = 0.025 eV 时的铍和石墨的扩散系数。 解：查附录3可得，对于E = 0.025 eV 的中子：

s ∑/m -1

01μ-

Be 8.65 0.9259 C

3.85

0.9444

对于Be ：

001

3

3(1)

3(1)

tr

s

s D λλμμ=

=

=

=-∑-0.0416 (m)

同理可得，对于C ： D = 0.0917 (m)

3-12 试计算T = 535 K ，ρ = 802 kg/m 3 时水的热中子扩散系数和扩散长度。 解：查79页表3-2可得，294K 时：0.0016D =m ，由定义可知：

()/31/()(293)(293)()(293)

(293)(293)/31/(293)()()

()

tr s s tr s s T T N K K D T K D K K K N T T T λσρλσρ∑===

∑

所以：

(293)(293)/D K D K ρρ==0.00195 (m)

（另一种方法：如果近似认为水的微观散射截面在热能区为常数，且不受温度影响，查附表3可得：

282282010310,10.676,0.66410s a m m σμσ--=?-==?

在T = 535 K ，ρ = 802 kg/m 3 时，水的分子数密度：

310A

N N M

ρ==103×802×6.02×1023 / 18 = 2.68×1028 (m -3)

所以：s s N σ∑==276 (m -1)

001

3

3(1)

3(1)

tr

s

s D λλμμ=

=

=

=-∑-1/（3×2.68×103×0.676）= 0.00179 (m)

这一结果只能作为近似值）

中子温度利用56页（2-81）式计算：

2()2

()

[10.46

][10.46]a M a M n M M s s

A kT A kT T T T σσ∑=+=+∑

其中，介质吸收截面在中子能量等于kT M = 7.28×1021 J = 0.0461 eV

再利用“1/v ”律：

()(0.0253a M a kT eV σσ==0.4920 (b)

T n = 535×( 1 + 0.46×36×0.4920 / 103 ) = 577 (K)

（若认为其值与在0.0253 eV 时的值相差不大，直接用0.0253 eV 热中子数据计算： T n = 535×( 1 + 0.46×36×0.664 / 103 ) = 592 (K) 这是一种近似结果）

（另一种方法：查79页表3-2，利用293K 时的平均宏观吸收截面与平均散射截面：(293) 1.97a K ∑=(m -1)

01

(293)3(293)(1)

s K D K μ∑=

=- 1 / （3×0.0016×0.676）= 308 (m -1)

进而可得到T n = 592 K ） 利用57页（2-88）式

a σ=

=0.414×10-28 (m 2)

a a N σ∑==1.11 (m -1)

(293)(293)(293)(293)(293)

s s

s s N N K N K K N K K σρ

σρ∑=

=

∑ 0(293)(293)3(293)(293)(1)

s s K K

K D K ρρ

ρρμ∑∴∑=

==-802 / ( 3×1000×0.0016×0.676 ) = 247 (m -1)

L

=

==0.0424 (m)

（此题如果利用79页（3-77）式来计算： 由于水是“1/v ”介质，非1/v 修正因子为1：

2L L =

代入中子温度可得：

0.0285L ===0.0340 (m)

这是错误的！因为（3-74）式是在（3-76）式基础上导出的，而（3-76）式是栅格的计算公式，其前提是核子数密度不随温度变化）

3.13 如图3-15所示，在无限介质内有两个源强为S s -1的点源，试求P 1和P 2点的中子通量密度和中子流密度。 解：按图示定义平面坐标。

假设该介质无吸收、无散射，则在P 2点，来自左右两个点源的中子束流强度均为I + = I - = S/4πa 2，可知：

2222()()()/2P I P I P S a φπ+-=+=

222()()()0J P I P I P +-

=-=

在P 1点，来自左右两个点源的中子束流强度均为2/4)S π

，且其水平方向的投影分量恰好大小相等、方向相

X

O

反，可得：

2

111()()()/4P I P I P S a φπ+-=+=

1112

()()()8J P I P I P a π+-

+

-

=-=== 其方向沿Y 轴正向。

若考虑介质对中子的吸收及散射，设总反应截面为t ∑，则上述结果变为：

22()/

2t

a P Se a φπ-∑= 2()0J P =

21

()/4t a

P S a φπ=

12

()8t a J P a π=

（注意：如果有同学用解扩散方程的方法，在有限远处的通量密度同时与x 、y 、z 有关。） 3-16 设有一强度为 I （m -2?s -1）的平行中子束入射到厚度为a 的无限平板层上。试求： （1）中子不遭受碰撞而穿过平板的概率； （2）平板内中子通量密度的分布； （3）中子最终扩散穿过平板的概率。 解：（1）0()/exp()t I a I a =-∑

（2）此情况相当于一侧有强度为I 的源，建立以该侧所在横坐标为x 原点的一维坐标系，则扩散方程为：

222()()

0,0d x x x dx L

φφ-=>

边界条件： i. 0

lim ()x J x I →=

ii. lim ()0x x a

J a -

→=

方程普遍解为：//()x L

x L x Ae Ce φ-=+

由边界条件i 可得：

//0

011lim ()lim()lim{[e ]}()x L x L x x x d D

J x D

D A C e A C I dx L L L

IL

A C

D

φ-→→→-=-=-+=-=?=+

由边界条件ii 可得：

////2/2/()

1()lim ()04646232232a L a L a L a L

x

x a x a tr tr

a L a L

tr tr a d x Ae Ce Ae Ce J a dx L L L D A Ce Ce

L L D

φφ---

→=+-+=+=+=∑∑+∑+?=

=--∑-

所以：

2/2/2/2/2/21

221

2212(1)221122a L a L a L a L a L L D IL IL Ce C C D L L D D D e D L

D L e

IL IL D L

A D L D L D D e e D L D L +-

=+?=+---+-?=+=

++----

2///2/2/()/()///212()()

221122(2)(2)[](2)(2)a L

x L x L a L a L a x L a x L a L a L

D L e

IL D L x e e D L D L D e e D L D L IL L D e D L e D L D e D L e

φ-----+-=+++----++-=+--

（也可使用双曲函数形式：

方程普遍解为：()cosh(/)sinh(/)x A x L C x L φ=+ 由边界条件i 可得：

0lim ()lim()lim{[sinh()cosh()]}x x x d A x C x D

J x D

D C I dx L L L L L

IL

C D

φ→→→=-=-+=-=?=-

由边界条件ii 可得：

cosh()sinh()sinh()cosh()

()

1()()04

646cosh()/6sinh()/42cosh()sinh()

cosh()/4sinh()/6cosh()2sinh()

x x a

tr tr

tr tr a a a a

A C A C a d x L L L L J a dx

L a a a a

L D L IL L L L L A C a a a a D L L D L L L L

φφ-=++=

+

=

+=∑∑∑++?=-=

+∑+

所以：

2cosh()sinh()()[(

)cosh()sinh()]cosh()2sinh()a a D L IL x x L L x a a D L L

L D L L

φ+=-+ 可以证明这两种解的形式是等价的）

（3）此问相当于求x = a 处单位面积的泄漏率与源强之比：

////11(2)

(2)()()()()

(2)(2)4(2)(2)x x a

x

a L a L

x a

a L a L

L D L D J

J a J a J a D d x L L L I I I I dx L D e L D e D

L D e L D e φ+

-

=-=--++---=

==

=-++-=

++-

（或用双曲函数形式：

2cosh(/)2sinh(/)

x x a

J D

I

L a L D a L +

==

+）

3-17 设有如图3-16所示的单位平板状“燃料栅元”，燃料厚度为2a ，栅元厚度为2b ，假定热中子在慢化剂内以均

匀分布源（源强为S ）出现。在栅元边界上的中子流为零（即假定栅元之间没有中子的净转移）。试求： （1）屏蔽因子Q ，其定义为燃料表面上的中子通量密度与燃料内平均中子通量密度之比； （2）中子被燃料吸收的份额。 解：（1）以栅元几何中线对应的横坐标点为原点，建立一维横坐标系。在这样对称的几何条件下，对于所要解决的问题，我们只需对x > 0的区域进行讨论。

燃料内的单能中子扩散方程：

222()()

0,0d x x x a dx L

φφ-=<<

边界条件： i. 0

lim ()0x J x →= ii. lim ()x a

x S φ→=

通解形式为：()cosh(/)sinh(/)x A x L C x L φ=+ 利用Fick ’s Law ：()()[sinh()cosh()]d x A x C x

J x D D dx L L L L

φ=-=-+ 代入边界条件i ：0[

sinh()cosh()]00x A x C x DC D C L L L L L

=-+=-=?= 代入边界条件ii ：cosh()sinh()cosh()cosh(/)

a

a a S

A C A S A L

L

L

a L +==?=

所以000

11sinh(/)cosh()tanh()cosh(/)cosh(/)a

a

F

F

a

F

dx dV S x S L a L SL a dx a a L L a a L a L

dV dx

φφφ=====????? cosh(/)

()cosh(/)coth()tanh(/)F

S a L a a a a L Q SL L L a L a

φφ===

（2）把该问题理解为“燃料内中子吸收率 / 燃料和慢化剂内总的中子吸收率”，设燃料和慢化剂的宏观吸收截面分

别为F a ∑和M a ∑，则有：

tanh(/)

tanh(/)()

()a

F F

F F

a a a F a F

a b F M F M F

M F M

a a a F a a a a a F

M

a

dx

dV

a L a L L a L

b a a b a S dV dV dx dx φφφφφφφφ∑∑∑∑===∑+∑-∑+∑-∑+∑∑+∑?

??

?

??回顾扩散长度的定义，可知：2//F F

a a L D L D L =∑?∑=，所以上式化为： tanh(/)tanh(/)

tanh(/)()tanh(/)()

F

a F M M

a a a L a L D a L L a L

b a D a L L b a ∑=∑+∑-+∑- （这里是将慢化剂中的通量视为处处相同，大小为S ，其在b 处的流密度自然为0，但在a 处情况特殊：如果认为其流密度也为0，就会导致没有向燃料内的净流动、进而燃料内通量为0这一结论！所以对于这一极度简化的模型，应理解其求解的目的，不要严格追究每个细节。） 3-21 解：（1）建立以无限介质内任一点为原点的球坐标系（对此问题表达式较简单），建立扩散方程：

2

a D S φφ

-?+∑= 即：2

a S

D D

φφ∑?-

=- 边界条件：i. 0φ<<+∞, ii.()0,0J r r =<<+∞

设存在连续函数()r ?满足：

222,(1)1(2)

a S D D L

φ?φ???=???∑-=??

可见，函数()r ?满足方程2

21L ???=，其通解形式：exp(/)exp(/)

()r L r L r A C r r

?-=+ 由条件i 可知：C = 0，

由方程（2）可得：()()/exp(/)//a a r r S A r L r S φ?=+∑=-+∑ 再由条件ii 可知：A = 0，所以：

/a S φ=∑

（实际上，可直接由物理模型的特点看出通量处处相等这一结论，进而其梯度为0）

（2）此时须以吸收片中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，先考虑正半轴，建立扩散方程：

2a D S φφ-?+∑=

即：2

a S

D D

φφ∑?-

=-，x > 0 边界条件：i. 0||φ<<+∞,

ii. 0

lim ()(0)/2a x J x t φ→'=-∑,

iii. lim ()0x J x →∞

=

对于此“薄”吸收片，可以忽略其厚度内通量的畸变。

参考上一问中间过程，可得通解形式：()exp(/)exp(/)/a x A x L C x L S φ=-++∑

//()x L x L

d AD CD J x D

e e dx L L

φ-=-=- 由条件ii 可得：

lim ()()()22a a

x a a

AD CD t S tL S

J x A C C A A C L L D →''=

-=-∑++?-=∑++∑∑

由条件iii 可得：C = 0 所以：()22(1)a

a

a

a

tL S S

A A A D D tL '-=∑+?=∑--∑'∑

//()[1]2(2/)(1)x L

x L a a a a a a

te S S S x e D t D L tL φ--'∑=+=-'∑∑∑+--∑'∑

对于整个坐标轴，只须将式中坐标加上绝对值号，证毕。

3-22

解：以源平面任一点为原点建立一维直角坐标系，建立扩散方程：

211222221

()(),01

()(),0

x x x L

x x x L φφφφ?=

≥?=≤

边界条件： i. 120

lim ()lim ()x x x x φφ→→=;

ii. 000

lim[()|()|]x x J x J x S εεε=+=-→-=;

iii.1()0a φ=;

iv.

2()0b φ-=;

通解形式：111sinh(/)cosh(/)A x L C x L φ=+，222sinh(/)cosh(/)A x L C x L φ=+ 由条件i ：12C C = （1）

由条件ii ：

12112200lim()lim [cosh()sinh()cosh()sinh()]x x d d D x x x x

D

D A C A C S dx dx L L L L L φφ→→-+=--++=

2112SL SL A A A A D D ?=-?=- （2）

由条件iii 、iv ：

1111sinh(/)cosh(/)0cosh(/)sinh(/)A a L C a L C a L A a L +=?=-

（3） 2222sinh(/)cosh(/)0cosh(/)sinh(/)A b L C b L C b L A b L -+-=?=

（4）

联系（1）可得：12tanh(/)/tanh(/)A A b L a L =- 结合（2）可得：222tanh(/)/tanh(/)1tanh(/)/tanh(/)

SL b L SL D

A A A D a L b L a L -

=-?=+ 1/1tanh(/)/tanh(/)

SL D

A a L b L -?=

+

121tanh(/)tanh(/)/tanh(/)tanh(/)tanh(/)

SL a L b L D

C C A a L a L b L ?==-=

+

所以：

tanh(/)sinh(/)tanh(/)tanh(/)cosh(/)

[],0tanh(/)tanh(/)()tanh(/)sinh(/)tanh(/)tanh(/)cosh(/)[],0tanh(/)tanh(/)SL b L x L a L b L x L x D b L a L x SL a L x L a L b L x L x D

b L a L φ-+?≥?+?

=?

+?≤?+? 3-23

证明：以平板中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，先考虑正半轴，建立扩散方程：

2a D S φφ-?+∑=

即：2

a S

D D

φφ∑?-

=-，x > 0 边界条件：i. 0||φ<<+∞, ii. 0

lim ()0x J x →=, iii. ()0a d φ+=

参考21题，可得通解形式：()sinh(/)cosh(/)/a x A x L C x L S φ=++∑

()cosh()sinh()d AD x CD x

J x D

dx L L L L φ=-=-- 由条件ii 可得：

lim ()00x AD

J x A L

→=-

=?=

再由条件iii 可得：()cosh(

)0cosh()

a

a a d S S

a d C C a d L L

φ++=+=?=-

+∑∑ 所以：cosh(/)

()cosh()[1]cosh()cosh()a a a S x S S x L x a d a d L L L

φ=-+=-++∑∑∑

由于反曲余弦为偶函数，该解的形式对于整个坐标轴都是适用的。证毕。

3-24 设半径为R 的均匀球体内，每秒每单位体积均匀产生S 个中子，试求球体内的中子通量密度分布。 解：以球心为原点建立球坐标系，建立扩散方程：

2a D S φφ-?+∑=

即：2

a S D D

φφ∑?-

=- 边界条件：i. 0φ<<+∞, ii.. ()0R d φ+=,

iii. 2

lim 4()0r r J r π→=

通解：exp(/)exp(/)()a

r L r L S

r A

C r r φ-=++

∑ 由条件iii ：2

//0

lim 4()lim 4[(

1)(1)]0r L r L r r r r

r J r D A e C e A C L L

ππ-→→=+-+=?= 再由条件ii ：

()exp()exp()0()[exp()exp()]

a

a A R d C R d S

R d R R d L R d L R d S

A R d R d

L L

φ+++=

-++=++∑+?=-

++∑-+

所以：()[exp(/)exp(/)]1()cosh(/)

()[1][exp()exp()]cosh()a a a R d S r L r L S S R d r L r R d R d R d r r L L L

φ+-++=-

+=-+++∑∑∑-+

（此时，0

lim ()0r J r →≠）

第四章

4-1 试求边长为a ，b ，c （包括外推距离）的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度分布。设有一边长a =b =c =0.5 m ，

c =0.6 m （包括外推距离）的长方体裸堆，L =0.0434 m ，τ=6 cm 2。（1）求达到临界时所必须的k ∞；（2）如果功率为5000 kW ，Σf =4.01 m -1，求中子通量密度分布。

解：长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为：

222222()0a a D k x y z

φφφ

φφ∞???++-∑+∑=???

边界条件：(/2,,)(,/2,)(,,/2)0a y z x b z x y c φφφ===

（以下解题过程中不再强调外推距离，可以认为所有外边界尺寸已包含了外推距离 因为三个方向的通量变化是相互独立的，利用分离变量法：(,,)()()()x y z X x Y y Z z φ=

将方程化为：22221k X Y Z

X Y Z L

∞-???++=-

设：222

222,,x y z X Y Z B B B X Y Z

???=-=-=- 先考虑x 方向，利用通解：()cos sin x x X x A B x C B x =+ 代入边界条件：1cos()0,1,3,5, (2x)

nx x a n A B B n B a a

ππ

=?==?= 同理可得：0(,,)cos()cos(

)cos(

)x y z x y z a

a

a

π

π

π

φφ=

其中φ0是待定常数。

其几何曲率：2

2

2

2

()()()g B a b c

π

ππ

=++=106.4 ( m -2 )

（1）应用修正单群理论，临界条件变为：2

2

1g k B M

∞-= 其中：2

2

M L τ=+=0.00248 ( m 2 )

k ∞?=1.264

（2）只须求出通量表达式中的常系数φ0

3

0(/2)f f P E abc

πφ?==∑ 1.007×1018 ( m -2?s -1 )

4-2 设一重水-铀反应堆堆芯的k ∞=1.28，L 2=1.8×10-2 m 2，τ=1.20×10-2 m 2。试按单群理论，修正单群理论的临界方程分别求出该芯部材料曲率和达到临界时总的中子不泄漏概率。 解：对于单群理论：2

2

1

m k B L

∞-==15.56 ( m -2 ) 在临界条件下：2222

11

11g m B L B L

Λ=

==++0.7813 (或用1/k ∞Λ=)

对于单群修正理论：22

M L τ=+=0.03 ( m 2 )

22

1

m k B M

∞-=

=9.33 ( m -2 ) 在临界条件下：2222

11

11g m B M B M

Λ=

==++0.68\ 0.7813 ? （注意：这时仍能用1/k ∞Λ=，实际上在维持临界的前提条件下修正理论不会对不泄漏概率产生影响，但此时的几何曲率、几何尺寸已发生了变化，不再是之前的系统了）

4-4 解： 5555

555510001000A A C C

N N N N N M N N M N ρρ=

≈+= 4.79×1024 (m -3)，

5

5

C

C N N N N ==4.79×1028 (m -3) 2

堆总吸收截面：555()C a f C a N N γσσσ∑=++= 0.344 (m -1

) 总裂变截面：5555C f f C f f N N N σσσ∑=+== 0.280 (m -1)

2555()C

a f C a

D D

L N N γσσσ=

=∑++= 2.61×10-2 (m 2) 555

55()f f

C a

f C a

v vN k N N γσσσσ

∞∑=

=

∑++= 1.97

则材料曲率：555552

2

()1C

f f C a m

vN N N k B L D

γσσσσ∞-++-=== 37.3 (m -2

) 在临界条件下：2

22

()g m B B R

π

==

R ?===考虑到外推距离：223

tr

d D λ=

== 0.018 (m) （如有同学用tr d=0.7104λ也是正确的，但表达式相对复杂） 再考虑到堆的平均密度：55555

55

12/2351/C C

C C

C N N N N N N N N ρρρρρ++=

=

++= 957 (kg/m 3)

（或者由10001000A A

N NM

N M N ρρ=

?=

）实际的临界质量： 34()3

R d m ρ-

=3555512/23542]1/3C C N N D N N ρρπ+=+= 156 (kg) 4-5

证明：以球心为坐标原点建立球坐标系，单群稳态扩散方程：

22

22B r r r

φφφ??+=-?? 边界条件：i. 1

lim 0r R J →=；

ii.

2()0R φ=；

（如果不认为R 2包括了外推距离的话，所得结果将与题意相悖） 球域内方程通解： cos sin ()Br Br

r A C r r

φ=+ 由条件i 可得：

11

1111

22

111111111

11111cos sin sin cos lim |0cos sin tan sin cos tan 1

r R r R BR BR BR BR J D AB

A C

B

C R R R R BR BR BR BR BR C A

A

BR BR BR BR BR φ=→=-?=---=--?==-++

由条件ii 可得：

22

2222

sin cos ()0tan BR BR R A

C C A BR R R φ=+=?=- 由此可见，11

211tan tan tan 1

BR BR BR BR BR -=

+，证毕

4-7 一由纯235U 金属（ρ=18.7×103 kg/m 3）组成的球形快中子堆，其周围包以无限厚的纯238U （ρ=19.0×103 kg/m 3），

试用单群理论计算其临界质量，单群常数如下： 235

U ：σf =1.5 b, σa =1.78 b, Σtr =35.4 m -1, ν=2.51；238U ：σf =0, σa =0.18 b, Σtr =35.4 m -1。

解：以球心为坐标原点建立球坐标系，对于U-235和U-238分别列单群稳态扩散方程，设其分界面在半径为R 处： U-235：2

5525

1

k L φφ∞-?

=-

方程1

U-238：2

8828

1

L φφ?=

方程2

边界条件： i. 50

lim r φ→<∞

ii.

58()()R R φφ=

iii. 585

8

r R

r R

D D r

r

φφ==??=??

iv. 8lim 0r φ→+∞

=

令2

2

5

1

k B L ∞-=

（在此临界条件下，既等于材料曲率，也等于几何曲率），球域内方程1通解： 55

5cos sin ()Br Br

r A C r r

φ=+ 由条件i 可知A 5 = 0，所以：5sin ()Br

r C r

φ= 球域内方程2通解：88888exp(/)exp(/)

()r L r L r A C r r φ-=+

由条件iv 可知C 8 = 0，所以：88exp(/)

()r L r A r

φ-=

由条件ii 可得：88exp(/)exp(/)sin sin R L R L BR C A C A R R BR

--=?= 由条件iii 可得：

8885822

885(

1)exp()

cos sin 11()()exp()sin cos R R

D L L BR BR R

D C B D A C A R R L R R L D BR BR BR

+--=---?=-所以（由题目已知参数：,5,858,5,8

11

33tr tr tr tr D D ∑=∑?=

==∑∑） 888858

(

1)exp()exp(/)sin cos (1)sin sin cos sin R R L L D R L R A A BR BR BR BR BR BR BR D BR L +--=?-=+-