电动力学-第4章-第1节-平面电磁波
在迅变情况下，电磁场以波动的形式存在。随时间变化?本章重点：电磁波在空间传播有各种各样的形式，最简单、最基本的2，真空中的波动方程令的波动方程可以写为：
真空中的电磁场波动方程，能否直接用到介质中对不同频率的电磁波，介质的电容率是不同的，即μ是二、时谐电磁场1，场量的复数形式
2，时谐电磁波的麦氏方程组3，时谐电磁波的波动方程
4，时谐电磁波的亥姆霍兹方程解出
按照激发和传播条件的不同，亥姆霍兹方程的解可以有不三、平面电磁波r 设电磁波沿上述解需要满足条件：
2，相位因子的意义
3，平面波的一般表达式
表示平面波的传播方向的单位矢量。
与原点之间的相位差为：
x z
x r
x′r
4，平面电磁波的性质
(2) 磁场波动是横波(3) 同理可得，一般情况下的平面波中的磁场波动解为:
对于单色平面波，可以验算：5，平面电磁波的波形图
v
x 6，单色平面电磁波的偏振特性z 轴为波矢量
(1) 线偏振波：x
(2) 椭圆偏振波：电磁波偏振性质的应用
四、电磁波的能量和能流2，电磁场的能流密度计算 f g
例1：有一平面电磁波，其电场强度为解)]t (3)例2：在电容率为的均匀介质中，有一个沿x 轴
r
)t(3) 坡印亭矢量
习题 7.1[]1 将下面用复数形式表示的场矢量变换为瞬时值，或做相反的变换。 ()1 0x E e E = ()2 0jkz x E e jE e -= ()3 ()()00cos 2sin x y E e E t kz e E t kz ωω=-+- 7.2 [] 1 将下列场矢量的复数形式写成瞬时值形式 ()1 ()()0sin sin z jk z z x y E e E k x k y e -=?? ()2 ()sin 02sin cos cos z jk x x E e j E k e θθθ-=?? 7.3[]2 一根半径为a ，出长度为L 的实心金属材料，载有均匀分布沿z 方向流动 的恒定电流I 。 试证明：流入金属导体的总功率为2I R ，这里的R 为金属导体的电阻。 7.4 [] 3 已知无界理想媒质()009,,0εεμμσ===中，正弦均匀平面电磁波的频率 8 10f Hz =，电场强度为3 43/jkz j jkz x y E e e e e m π -+-=+ 试求：()1均匀平面电磁波的相速度p v 、波长λ、相移常数k 和波阻抗η； ()2电场强度和磁场强度的瞬时表达式； ()3与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。 5.7[]4 已知真空中的均匀平面波电场强度瞬时值为 ()() ()m V a z t z E x /106sin 220,8 βπ-?= 求：()1频率f 、波长λ、相速p v 及相位常数β；()2电场强度复数表达式，磁场强度复数及瞬时值表达式；()3能流密度矢量瞬时值及平均值。
6 .7[] 5 根据以下电场表示式说明它们所表征的波的极化形式。 ()1 ()jkz m y jkz m x e jE e e jE e z E += ()2 ()()()kz t E e kz t E e t z E m y m x -+-=ωωcos sin , ()3 ()jkz m y jkz m x e jE e e E e z E ---= ()4 ()()() 40cos sin ,+-+-=kz t E e kz t E e t z E m y m x ωω 7 .7[] 5 在某种无界导电媒质中传播的均匀平面波的电场表示式为 ()2/2.02.02.02.044πj z j z y z j z x e e e e e e e z E --+= 试说明波的极化状态。 7.8[]6 铜的电导率75.810/S m σ=?，其电容率0εε=，磁导率0μμ=。分别计算 频率61012350,10,10f Hz f Hz f Hz ===的情况下，电磁波在铜中的穿透深度。 7.9 [] 3 微波炉利用磁控管输出的2.45GHz 的微波炉加热食品。在该频率上，牛排 的等效复介电常数040,tan 0.3e εεδ'== ()1求微波传入牛排的趋肤深度δ，在牛排内8mm 处的微波场强是表面处的百分 之几； ()2微波炉中盛牛排的盘子是用发泡聚苯乙烯制成的，其等效复介电常数和损耗 角正切分别为401.03,tan 0.310e εεδ-'==?。说明为何用微波加热时牛排被烧熟而盘子并没有被烧毁。 7.10 [] 3 海水的电磁参数为80,1,4/r r S m εμσ===，频率为3kHz 和30MHz 的电 磁波在海平面处()刚好在海平面下侧的海水中的电场强度为1/V m 。求：
1、已知自由空间电磁波的电场强度E 的瞬时值为() 837.7cos 6102/y E e t z V m ππ=?+ 。回答下列问题： （1）该波沿何方向传播？ （2）该波的频率，波长，相移速度，相速度各为多少？ （3）该波磁场强度H 的瞬时表达式。该波是均匀平面波吗？ 2、自由空间一电磁波的电场强度E 为()()00sin sin x y E e E t kz e E t kz ωω=-+- 。 求：（1）磁场强度H 的瞬时表达式； （2）该波的坡印亭矢量。 3、空气中均匀平面波的磁场强度H 的振幅为1/3A m π，以相位常数k=30rad/m 沿z e - 方向传播，若0,0t z ==时，H 取向为（y e - ）。 （1）写出H ，E 的表达式； （2）求频率和波长。 4、真空中一平面电磁波的磁场强度矢量为 163110cos 22x y z H e e e t x y z ωπ-??????=+++-- ? ???????? ? A/m 求：（1）波的传播方向； （2）波长和频率； （3）电场强度E ； （4）坡印亭矢量平均值av S 。 5、理想媒质（00,r εεμ）中平面波的电场为()62210210100/j t x z E e e V m ππμ-?-?= 。 求：（1）磁感应强度B ； （2）相对介电常数r ε。 6、一均匀平面波()101050j t kz x E e e -= 在无损耗聚丙烯（1, 2.25r r με==）中传输，求： （1）频率f ； （2）相移常数k ； （3）磁场强度瞬时式()H t ； （4）坡印亭矢量平均值av S 。 7、指出下列各平面波的极化方式：
第6章 平面电磁波的反射与折射 6.1/ 6.1-1 电场强度振幅为0i E =0.1V/m 的平面波由空气垂直入射于理想导体平面。试求： (a)入射波的电、磁能密度最大值； (b)空气中的电、磁场强度最大值； (c)空气中的电、磁能密度最大值。 [解] (a) 314/10427.4m J w eM -?= 31410427.4m J w m M -?= (b) m V E /2.01= m A H /103.541-?= (c) 313/107708.1m J w eM -?= 313/107708.1m J w m M -?= 6.2/ 6.1-2 均匀平面从空气垂直入射于一介质墙上。在此墙前方测得的电场振幅分布 如题图6-1所示，求： (a)介质墙的)1(=r r με； (b)电磁波频率f 。 [解] (a) 9=r ε (b) M H z Hz f 75105.77 =?= 6.3/ 6.1-3 平面波从空气向理想介质（ r μ=1，σ=0）垂直入射，在分界面上0E =16V/m ， 0H =0.1061A/m 。试求： (a)理想介质（媒质2）的r ε； (b)i E ，i H ，r E ，r H ，t E ，t H ； (c) 空气中的驻波比S 。 [解] (a) 25.6=r ε (b) ()0010,/2811εμω===--k m V e e E E z jk z jk i i ()m A e e E H z jk z jk i i /0743.0377 28110 --== = η
()()() m A e e H H k k k m V e e E E m A e e E H m V e e RE E z jk z jk t t r z jk z jk t t z jk z jk r r z jk z jk i r /1061.05.2,/16/0318.0377 12) /(122222111101122200 0----+========= = -==εεμωη (c) 5.2429 .01429 .0111=-+= -+= R R S 6.4/ 6.1-4 当均匀平面波由空气向理想介质（1=r μ，σ=0）垂直入射时，有96%的入射功率输入此 介质，试求介质的相对介电常数r ε。 [解] 25.2=r ε 6.5/ 6.1-5频率为30MHz 的平面波从空气向海水（r ε=81，1=r μ，σ=4/S/m ）垂直入射。在该频率上 海水可视为良导体。已知入射波电场强度为10mV/m ，试求以下各点的电场强度： (a)空气与海水分界面处； (b)空气中离海面2.5m 处； (c)海水中离海面2.5m 处。 [解] (a) ()m V TE E E i t /1003.4102.440403.02.4442000 ∠--?=?∠=== (b) ( )() ()m mV j E j z k E j e e E e E E i i z jk z jk i z jk z jk i /202sin 2Re 010*******==-=-≈+=∴-- (c ） 2.445.28.215.28.21402100 3.422j j z j z t e e e e e E E ?-?----?==βα () ()m V /)4.198(1064.82.446.312210143.21003.428244 -∠?=+-∠???=--- 6.6/ 6.1-6 10GHz 平面波透过一层玻璃（r ε=9，1=r μ）自室外垂直射入室内，玻璃的厚度为4mm ， 室外入射波场强为2V/m ，求室内的场强。 [解] ()951 .0309.0465.0816212144288 144 3j e e e E j j j i +-=?-?= --- ()()m V /6.12957.14.148.31446 -∠=∠-∠= ()()m A E H i i /6.1291016.4377 6.1295 7.130 3 3-∠?=-∠= = -η
《电磁场与电磁波》习题解答 第七章 正弦电磁波 7.1 求证在无界理想介质内沿任意方向e n （e n 为单位矢量）传播的平面波可写成 j() e n r t m βω?-=e E E 。 解 E m 为常矢量。在直角坐标中 故 则 而 故 可见，已知的() n j e r t m e βω?-=E E 满足波动方程 故E 表示沿e n 方向传播的平面波。 7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。 解 表征沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可表示为 式中取 显然，E 1和E 2分别表示沿+z 方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。 7.3 在自由空间中，已知电场3(,)10sin()V/m y z t t z ωβ=-E e ，试求磁场强度 (,)z t H 。 解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式 这是一个沿+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为90? -。与之相伴的磁场为 7.4 均匀平面波的磁场强度H 的振幅为1 A/m 3π，以相位常数30rad/m 在空气中沿z -e 方向传播。当t=0和z= 0时，若H 的取向为y -e ，试写出E 和H 的表示式，并求出波的频率和波长。 解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式 与之相伴的电场为 由rad/m β=30得波长λ和频率f 分别为 则磁场和电场分别为 7.5 一个在空气中沿 y e +方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为 （1）求β和在3ms t =时， z H =的位置；（2）写出E 的瞬时表示式。 解（1） 78 1π 10πrad /m rad /m 0.105rad /m 31030β==? ==? 在t =3ms 时，欲使H z =0，则要求 若取n =0，解得y =899992.m 。 考虑到波长260m π λβ= =，故 因此，t =3ms 时，H z =0的位置为 （2）电场的瞬时表示式为 7.6 在自由空间中，某一电磁波的波长为0.2m 。当该电磁波进入某理想介质后，波长变为0.09m 。设1r μ=，试求理想介质的相对介电常数r ε以及在该介质中的波速。
第六章 平面电磁波的传播 习题6.1 已知自由空间中均匀平面电磁波的电场： y e x t E )210cos(37.738 ππ-?=V/m ，求 （1）电磁波的频率，速度，波长，相位常数，以及传播方向。 （2）该电磁波的磁场表达式。 （3）该电磁波的坡印廷矢量和坡印廷矢量的平均值。 题意分析： 已知均匀平面电磁波的一个场量求解另一个场量，以及相关的参数，这是均匀平面波问题中经常遇到的问题。求解问题的关键在于牢记均匀平面电磁波场量表达形式的基本特点，场矢量方向和波的传播方向之间的关系以及相关公式。 解： （1）求电磁波的频率，速度，波长，相位常数，以及传播方向 沿x 轴正方向传播的电磁波的电场强度瞬时表达式为： y y y e x t E E )c o s (2φβω+-= 电场表达式的特点有： 电磁波角频率 8103?=πω （rad/s ） 由f πω2=，可以得到 电磁波的频率为： 8 10 5.12?==π ω f （Hz ） 电磁波在自由空间的传播速度 8103?==c v （m/s ） 电磁波的波长λ满足式 f v vT = =λ 210 5.110 38 8=??= = ∴f v λ（m ） 相位常数： πβ2= （rad/m ） 分析电磁波的传播方向： 方法一：直接判断法 比较均匀平面电磁波的电场表达式可以看出，均匀平面电磁波的电场表达式中x π2项前面的符号为“-”，该电磁波是沿x 轴正方向传播的电磁波。
方法二：分析法 电场表达式是时间t 和坐标x 的函数，若要使E 为不变的常矢量，就应使组合变量（x t ππ21038-?）在t 和x 变化时为一定值。即，当时间变量t 变为t t ?+，位置变量x 变为x x ?+时，有下式成立： )(2)(10321038 8x x t t x t ?+-?+?=-?ππππ 由上式可得： t x ??= ?π π21038 这说明在电磁波的传播过程中，随着时间的增加（0>?t ），使电场保持定值的点的坐标也在增加（0>?x ），所以电磁波的传播方向是由近及远，沿x 轴正方向逐步远离原点。 （2）求该电磁波的磁场表达式 电磁波的传播方向为x 轴正方向，电场分量为y 轴方向，根据坡印廷矢量的 定义：H E S ?=，电场，磁场以及电磁波的传播方向应遵循右手螺旋定律，所 以本题中磁场的方向应为z 轴方向，三者的方向关系下如图所示。 z 在自由空间中，正弦均匀平面电磁波的电场和磁场分量的比值为固定值，是 空间的波阻抗：Ω=3770Z ，所以磁场分量H 的表达式为： z z z e x t e x t e Z E H )210cos(31.0)210cos(3377 7.738 80ππππ-?=-?== （A/m ） （3）求该电磁波的坡印廷矢量表达式和坡印廷矢量的平均值 根据坡印廷矢量的定义：H E S ?=，得 ])210cos(31.0[])210cos(37.73[8 8z y e x t e x t H E S ππππ-??-?=?= x e x t )210(3cos 773.8 2ππ-?= （W/m 2） 坡印廷矢量的平均值：
6.2 自由空间中一均匀平面波的磁场强度为 )cos()(0x wt H a a H z y π-+= m A / 求：（1）波的传播方向；（2）波长和频率；（3）电场强度; （4）瞬时坡印廷矢量。 解：)cos()(0x wt H a a H z y π-+= m A / (1) 波沿+x 方向传播 (2) 由题意得：k=π rad/m ， 波长m k 22==πλ ， 频率Hz c f 8105.1?==λ （3）)cos(120 )(0x wt H a a a H E z y x ππη--=?= m v / （4）)(cos 24020x wt H a H E S x ππ-=?= 2 /m w 6.3无耗媒质的相对介电常数4=r ε，相对磁导率1=r μ，一平面电磁波沿+z 方向传播，其电场强度的表 达式为)106cos(80z t E a E y β-?= 求：（1）电磁波的相速；（2）波阻抗和β；（3）磁场强度的瞬时表达式；（4）平均坡印廷矢量。 解： （1）s m c v r r p /105.11 8?===εμμε （2）)(6000Ω===πεεμμεμηr r ， m r a d c w w r r /4===εμμεβ （3）)4106cos(60180z t E a E a H x z -?-=?=π η m A / （4）π120]Re[2120*E a H E S z av =?= 2/m w 6.4一均匀平面波从海水表面（x=0）沿+x 方向向海水中传播。在x=0处，电场强度为m v t a E y /)10cos(1007π =，若海水的80=r ε，1=r μ，m s /4=γ。 求：（1）衰减常数、相位常数、波阻抗、相位速度、波长、趋肤深度； （2）写出海水中的电场强度表达式； （3）电场强度的振幅衰减到表面值的1%时，波传播的距离； （4）当x=0.8m 时，电场和磁场得表达式； （5）如果电磁波的频率变为f=50kHz ，重复（3）的计算。比较两个结果会得到什么结论？ 解： （1）
第七章 平面电磁波的反射和透射 习题解答 7-1．空气中的平面电磁波电场幅值为10V/m ，垂直入射到εr =25的无耗非磁性介质的表面，试确定：（1）反射系数和透射系数；（2）在空气中的驻波比；（3）入射波、反射波和透射波的平均功率流密度。 解 （1）由于空气和无耗非磁性介质的磁导率为 所以，空气和无耗非磁性介质中的波阻抗分别为 由此得到垂直入射情况下，两理想介质分界面的反射系数和透射系数为 （2）驻波比定义为 由此得到空气中的驻波比为 （3）假定电场矢量沿x e 方向，入射波沿+Z 方向传播，则可写出垂直入射情况下，入射波、反射波和透射波的电场和磁场复振幅矢量表达式为 根据平均功率流密度的定义式 有 而 数值代入得到 7-4．一均匀平面电磁波沿+Z 方向传播，其电场强度矢量为 （1）应用麦克斯韦方程求相伴的磁场H ；（2）若在传播方向上z =0处放置一无限大的理想导体板，求z ＜0区域中的合成波的电场E 1和磁场H 1；（3）求理想导体板表面的电流密度。 解 （1）根据给定的电场强度矢量的表达式，有 由此可写出电场强度矢量的复振幅表达式为 由复数形式的麦克斯韦方程 得到 则有 （2）如果在z =0处放置一无限大平面导体板，可看成是理想介质与理想导体分界面的垂直入射，有 001r i E r E ==-，00 0t i E t E == 根据入射波电场矢量和磁场矢量的复振幅表达式，可写出反射波电场矢量和磁场矢量的复振幅表达式为 把 代入，得到 入射介质一方（z <0）的合成波电场和磁场的复振幅为 合成波的电场E 1和磁场H 1的瞬时表达式为 （3）根据边界条件 由于理想导体板中的磁场为零，有 7-7．一圆极化平面电磁波的电场为 平面电磁波沿+X 方向从空气垂直入射到εr =4、μr =1的理想介质表面上。求：（1）反射波和透射波的电场；（2）它们分别属于什么极化？ 解 （1）两种介质均为无耗理想介质，其参数如下： 垂直入射情况下的反射系数和透射系数为 即
第六章平面电磁波的传播第6章平面电磁波的传播 Plane Wave Propagation 序 电磁波动方程及均匀平面波 理想介质中的均匀平面波 导电媒质中的均匀平面波 平面波的极化 平面波的反射与折射 平面电磁波的正入射、驻波
图6.0.1沿x 方向传播的一 组均匀平面波 Introduction 6.0 序电磁波：脱离场源后在空间传播的电磁场。平面电磁波：等相位面为平面的电磁波。均匀平面电磁波：等相位面是 平面，等相位面上任一点的E 相同、H 相同的电磁波。 若电磁波沿x 轴方向传播H=H ( x, t )，E=E (x , t )。
电磁场基本方程组电磁波动方程 均匀平面电磁波的传播特性平面电磁波的斜入射 平面电磁波的正入射〃驻波 正弦电磁波的传播特性 导电媒质中均匀平面波 理想介质中均匀平面波
本章要求 掌握均匀平面电磁波在理想介质和导电媒质中的传播特性及基本规律。 了解均匀平面电磁波在工程中的应用。 掌握均匀平面电磁波斜入射时的传播特性，重点掌握均匀平面电磁波正入射时的传播特性。
6.1电磁波动方程及均匀平面波 6.1.1电磁波动方程（Electromagnetic Wave Equation ）设媒质均匀,线性,各向同性2 2 )(t t ??-??-=?-???H H H H μεμγ2 t ??-=??H E μ =????H ) (t ??+??E E εγ1） 02 2 =?-?-?H H H μεμγElectromagnetic Wave Equation and Uniform Plane Wave =??B
第6章 平面电磁波的反射与折射 6.1/6.1-1 电场强度振幅为0i E =0.1V/m 的平面波由空气垂直入射于理想导体平面。试求：(a)入射波的电、磁能密度最大值；(b)空气中的电、磁场强度最大值；(c)空气中的电、磁能密度最大值。 [解] (a)3 14 /10 427.4m J w eM ?×=3 1410427.4m J w mM ?×=(b)m V E /2.01=m A H /103.541?×=(c) 3 13/107708.1m J w eM ?×=3 13/107708.1m J w mM ?×=6.2/6.1-2 均匀平面从空气垂直入射于一介质墙上。在此墙前方测得的电场振幅分布 如题图6-1所示，求： (a)介质墙的)1(=r r με；(b)电磁波频率f 。[解](a) 9 =r ε(b) MHz Hz f 75105.77=×=6.3/6.1-3 平面波从空气向理想介质（r μ=1，σ=0）垂直入射，在分界面上0E =16V/m ， 0H =0.1061A/m 。试求： (a)理想介质（媒质2）的r ε；(b)i E ，i H ，r E ，r H ，t E ，t H ；(c)空气中的驻波比S 。 [解](a)25 .6=r ε(b) ()0010,/2811εμω===??k m V e e E E z jk z jk i i ()m A e e E H z jk z jk i i /0743.0377 28110??=== η
() ()() m A e e H H k k k m V e e E E m A e e E H m V e e RE E z jk z jk t t r z jk z jk t t z jk z jk r r z jk z jk i r /1061.05.2,/16/0318.0377 12) /(1222221111011222000????+==========?==εεμωη(c) 5 .2429 .01429 .0111=?+= ?+= R R S 6.4/6.1-4 当均匀平面波由空气向理想介质（1=r μ，σ=0）垂直入射时，有96%的入射功率输入此介质，试求介质的相对介电常数r ε。 [解]25 .2=r ε6.5/6.1-5频率为30MHz 的平面波从空气向海水（r ε=81，1=r μ，σ=4/S/m ）垂直入射。在该频率上 海水可视为良导体。已知入射波电场强度为10mV/m ，试求以下各点的电场强度：(a)空气与海水分界面处；(b)空气中离海面2.5m 处；(c)海水中离海面2.5m 处。[解](a) () m V TE E E i t /1003.4102.440403.02.4442000ο ο∠??×=×∠===(b)()() () m mV j E j z k E j e e E e E E i i z jk z jk i z jk z jk i /202sin 2Re 010*******==?=?≈+=∴??(c ） ο 2 .445.28.215.28.214021003.422j j z j z t e e e e e E E ×?×????×==βα()() m V /)4.198(1064.82.446.312210143.21003.428244οοο?∠×=+?∠×××=???6.6/6.1-6 10GHz 平面波透过一层玻璃（r ε=9，1=r μ）自室外垂直射入室内，玻璃的厚度为4mm ，室外入射波场强为2V/m ，求室内的场强。[解] ()951.0309.0465.0816212144288 144 3j e e e E j j j i +?=×?×= ???ο ο ο ()()m V /6.12957.14 .148.31446ο ο ο?∠=∠?∠=()()m A E H i i /6.1291016.4377 6.1295 7.13033?∠×=?∠== ?η
第6章习题答案 6-1 在1=r μ、4=r ε、0=σ的媒质中，有一个均匀平面波，电场强度是 )3 sin(),(π ω+ -=kz t E t z E m 若已知MHz 150=f ，波在任意点的平均功率流密度为2μw/m 265.0，试求： （1）该电磁波的波数?=k 相速?=p v 波长?=λ波阻抗?=η （2）0=t ，0=z 的电场?)0,0(=E （3）时间经过μs 1.0之后电场)0,0(E 值在什么地方？ （4）时间在0=t 时刻之前μs 1.0，电场)0,0(E 值在什么地方？ 解：（1）)rad/m (22πεπμεω== =r c f k )m/s (105.1/8?==r p c v ε )m (12== k π λ )Ω(60120πεμπη=r r ＝ （2）∵ 62002 10265.02 121-?=== m r m av E E S εεμη ∴ (V/m)1000.12-?=m E )V/m (1066.83 sin )0,0(3-?==π m E E （3） 往右移m 15=?=?t v z p （4） 在O 点左边m 15处 6-2 一个在自由空间传播的均匀平面波，电场强度的复振幅是 米伏/1010) 202 ( j 4 20j 4 y x e e E z z e e πππ----+= 试求： （1）电磁波的传播方向？ （2）电磁波的相速?=p v 波长?=λ频率?=f （3）磁场强度?=H （4）沿传播方向单位面积流过的平均功率是多少？
解：（1） 电磁波沿z 方向传播。 （2）自由空间电磁波的相速m/s 1038?==c v p )m (1.02022=== π π πλk ∵ πω 20== c k ∴ c πω20= ∴ Hz 1031029?===c f π ω （3）)A/m )((106521 20j ) 2 20(j 7 y z x z z e e .e e E e H ππ πη -+--+?=?= （4）)W/m (106522)Re(21211*z z av .e e H E S * -?=?=?=η E E 6-3 证明在均匀线性无界无源的理想介质中，不可能存在z e E kz e E j 0-=的均匀平面电磁波。 证 ∵ 0j j 0≠-=??-kz e kE Ε，即不满足Maxwell 方程 ∴ 不可能存在z e E kz e E j 0-=的均匀平面电磁波。 6-4在微波炉外面附近的自由空间某点测得泄漏电场有效值为1V/m ，试问该点的平均电磁功率密度是多少？该电磁辐射对于一个站在此处的人的健康有危险吗？（根据美国国 家标准，人暴露在微波下的限制量为10－ 2W/m 2不超过6分钟，我国的暂行标准规定每8 小时连续照射，不超过3.8×10－ 2W/m 2。） 解：把微波炉泄漏的电磁辐射近似看作是正弦均匀平面电磁波，它携带的平均电磁功率密度为 230 2 W/m 1065.2377 1 -?== = ηe av E S 可见，该微波炉的泄漏电场对人体的健康是安全的。 6-5 在自由空间中，有一波长为12cm 的均匀平面波，当该波进入到某无损耗媒质时，其波长变为8cm ，且此时m /V 41.31=E ，m /A 125.0=H 。求平面波的频率以及无损耗媒质的r ε和r μ。 解：因为r r εμλλ/ 0=，所以4/9)8/12(2==r r εμ 又因为r r H E εμπ120=，所以4443.01202 =?? ? ??=H E r r πεμ 1=r μ，25.2=r ε
第七章 平面电磁波 7-1 设空气中有一平面电磁波在坐标原点的电场强度为 E E t E t x ==(,)c o s 0m ω， 电磁波以速度v 沿z 轴方向传播。求电场强度和磁场强度的表达式。 解 据题意可得 ()()x m x m v z t E z t E t z e e E ?? ? ??-=-=ωβωc o s c o s , ()()y m y m v z t E z t H t z e e H ?? ? ??-=-=ωεμβωc o s /c o s ,00 7-2 设空间某处的磁场强度为H e =?-01 2100217.cos(.)πt x z A /m 。求电磁波的传播方向、频率、传播常数、传播速度和波阻抗，并求电场强度的表达式。 解 据磁场强度表达式，可得电磁波的传播方向为x 轴正方向， 频率 Hz 102102277 =?==π ππωf ，传播常数 r a d /m 21.0=β， 传播速度 m /s 10321 .010287 ?=?==πβωv ， 波阻抗 Ω=??==--37710 85.8104127 00πεμZ 电场强度 V /m )21.0102cos(37.7)21.0102cos(1.077y y x t x t Z e e E -?=-?=ππ 7-3 一在真空中传播的电磁波电场强度为 E e e =---E t ky t ky x z 0[cos()sin()]ωω，求磁场强度。 解 据题意可得 ()])s i n ()[c o s (377 0x z ky t ky t E e e H ----=ωω 7-4 某良导体中一均匀平面波的频率为f 0，波长为λ0。求该电磁波的传播常数、 衰减系数、相位常数、传播速度和透入深度。 解 据题意，已知频率f 0，波长λ0，磁导率0μ，介电常数0ε，媒质为良导体，电导率γ，并有 ωμγπ λ22≈，则可得 传播常数 () ()02j 12j 1λπωμγ+=+='Γ，衰减系数 022λπωμγα=≈， 相位常数 022λπωμγβ=≈ ， 传播速度 00002222λπλπωμγωμγωf f v =?=== ，透入深度 π λωμγ220=≈d
第六章 无界空间平面电磁波的传播 习题解答 6-1．已知自由空间的电磁波的电场强度E 的瞬时值为 ()() ()8;37.7cos 6102V/m y z t t z ππ=?+E e 试回答下列问题：（1）该电磁波是否属于均匀平面波？沿何方向传播？（2）该电磁波的频率、波长、相位常数和相速度各为多少？（3）该电磁波的磁场强度的瞬时表达式。 解 （1）均匀平面波等振幅面与等相位面重合，在垂直于传播方向上E 、H 的方向和大小都不变的电磁波。由题给电磁波电场强度的表达式，可知电磁波沿-Z 方向传播，电场强度在垂直于传播方向+Y 方向，且振幅为常数，所以电磁波属于均匀平面波。 （2）与沿-Z 方向传播，且电场强度矢量沿y e 方向的均匀平面波的一般表达式 ()()()0;cos V/m y z t E t kz E e ω=+ 相比较，可知 8 610;2k ωππ=?= 因此，有 频率 83.010()2f Hz ω π==? 波长 21()m k π λ= = 相速度 8 8 1 3.010 3.010(/)f m s ?υλ==??=? 显然，自由空间电磁波的相速度等于光速。 （3）磁场强度H 的瞬时表达式为 ()()()0001 1 ;cos A/m y z t E t kz H k E k e ωη η =?= ?+ 而 0;120()z k e ηπ=-= =Ω 代入，得到 ()()() ()() 01 ;()cos A/m 1200.1cos A/m z y x z t E t kz t kz H e e e ωπ ω= -?+=+ 6-2．理想介质（介质参数为μ=μ0，ε=εr ε0，σ=0）中有一均匀平面电磁波沿X 方向传播，已知其电场瞬时表达式为 ()()()9;377cos 105V/m y x t t x =-E e 试求：（1）该理想介质的相对介电常数；（2）该平面电磁波的磁场瞬时表达式；（3）该平面电磁波的平均功率密度。
第六章 平面电磁波 1 时变电磁场以电磁波的形式存在于时间和空间这个统一的物理世界。 2 研究某一具体情况下电磁波的激发和传播规律，从数学上讲就是求解在这具体条件下Maxwell equations 或wave equations 的解。 3 在某些特定条件下，Maxwell equations 或wave equations 可以简化，从而导出简化的模型，如传输线模型、集中参数等效电路模型等等。 4 最简单的电磁波是平面波。等相面（波阵面）为无限大平面电磁波称为平面波。如果平面波等相面上场强的幅度均匀不变，则称为均匀平面波。 5 许多复杂的电磁波，如柱面波、球面波，可以分解为许多均匀平面波的叠加；反之亦然。故均匀平面波是最简单最基本的电磁波模式，因此我们从均匀平面波开始电磁波的学习。 § 6.1 波动方程 1 电场波动方程：ερ μμε?+??=??-?t J t E E 2 22 磁场波动方程 J t H H ?-?=??-?2 22 με 2 如果媒质导电（意味着损耗），有E J σ=代入上面，则波动方程变为 ερμεμσ?=??-??-?2 22 t E t E E 02 22 =??-??-?t H t H H μεμσ 如果是时谐电磁场，用场量用复矢量表示，则 ε ρμεωωμσ ?=+-?E E j E 2 2 02 2=+-?H H j H μεωωμσ 采用复介电常数，εμωωε σ μεωωμσμεω 2 2 2 )1(=-=-j j ，上面也可写成 3 在线性、均匀、各向同性非导电媒质的无源区域，波动方程成为齐次方程。 02 22 =??-?t E E με 02 22 =??-?t H H με 4在线性、均匀、各向同性、导电媒质的无源区域，波动方程成为齐次方程。 02 22 =??-??-?t E t E E μεμσ
第七章习题及解答 7.1 求证在无界理想介质内沿任意方向e n （e n 为单位矢量）传播的平面波可写成 j()e n r t m βω?-=e E E 。 解 E m 为常矢量。在直角坐标中 cos cos cos n x y z x y z x y z αβγ=++=++e e e e r e e e 故 (cos cos cos )() cos cos cos n x y z x y z x y z x y z αβγαβγ ?=++?++=++e r e e e e e e 则 j()[(cos cos cos )]22222[(cos cos cos )]2e ()()n r t j x y z t m m x x y y z z j x y z t m e j e j βωβαβγωβαβγωββ?-++-++-==?=?+?+?==e E E E E e E e E e E E E 而 22j[(cos cos cos )]2 22 {e }x y z t m t t βαβγωω++-??==-??E E E 故 22 2222()(0 j j t μεβμεωμεω??-=+=+=?E E E E E E 可见，已知的() n j e r t m e βω?-=E E 满足波动方程 22 20 t με??-=?E E 故E 表示沿e n 方向传播的平面波。 7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。 解 表征沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可表示为 12 ()j z x x y y E jE e β-=+=+E e e E E 式中取 121 [()()]21 [()()]2j z x x y y x y j z x x y y x y E E j E E e E E j E E e ββ--=+++=---E e e E e e 显然，E 1和E 2分别表示沿+z 方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。 7.3 在自由空间中，已知电场3(,)10sin()V/m y z t t z ωβ=-E e ，试求磁场强度 (,) z t H 。 解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式 3(,)10cos()V/m 2y z t t z π ωβ=--E e 这是一个沿+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为90? -。与之相伴的磁场为
第七章 平面电磁波 7.1 将下面用复数形式表示的场矢量变换为瞬时值，或做相反的变换。 ()1 0x E e E = ()2 0jkz x E e jE e -= ()3 ()()00cos 2sin x y E e E t kz e E t kz ωω=-+- 解：()1 ()()00,,,Re cos x j j t x x x E x y z t e E e e e E t ?ωω???=?=+?? ()2 ()200,,,Re cos 2j kz j t x x E x y z t e E e e e E t kz πωπω?? - ??? ????=?=-+?? ??????? ()3 ()()200,,,Re 2j t kz j t kz x y E x y z t e E e e E e πωω? ?-+ ?-?? ??=-?????? ()()0,,,2jkz x y E x y z t e e j E e -=- 7.2 将下列场矢量的复数形式写成瞬时值形式 ()1 ()()0sin sin z jk z z x y E e E k x k y e -=?? ()2 ()sin 02sin cos cos z jk x x E e j E k e θθθ-=?? 解：()1 由式()7.1.2，可得瞬时值形式为 ()()0Re sin sin z jk z j t z x y E e E k x k y e e ω-??=????? ()()()0sin sin cos z x y z e E k x k y t k z ω=??- ()2 瞬时值形式为 ()sin 20Re 2sin cos cos z j jk j t x x E e E k e e e πθ ωθθ-??=???????? ()02sin cos cos cos sin 2x x z e E k t k πθθωθ??=???+- ??? ()()02sin cos cos sin sin x x z e E k t k θθωθ=-???- 7.3 一根半径为a ，出长度为L 的实心金属材料，载有均匀分布沿z 方向流动的恒定电流I 。试证明：流入金属导体的总功率为2I R ，这里的R 为金属导体