西南财经大学概率综合测试题1

综合测试题一

一、填空题：（请将正确答案直接填在横线上。每小题 2分，共10分） 1．设()0.5(|)0.7()P A P B A P A B ===，，则 0.85 。

2．一批零件的次品率为0.2, 连取三次, 每次一件(有放回), 则三次中恰有两次取到次品的概率为 0.096 。

3. 设随机变量X 服从泊松分布, 且P ｛X = 1｝= P ｛X = 2｝, 则 D X = 2 。 4．设随机变量X 分布密度函数为()X p x ，Y = g (X )是X 的单调函数，其反函数为g －1(y )可导，则Y 的分布密度函数11()[()][()]'y x p y p g y g y --=?

5． 设12,,,n X X X 是正态总体X 服从()2,N μσ的一个容量为n 的样本，则样本均值X 服

从 2,N n σμ?? ??

? 分布，样本函数22

(1)n s σ-服从2(1)n χ-分布。 二、单项选择题:（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内。每小题 3分，共30分）

1．设A 、B 为随机事件，则()()AB AB A AB ++=( A )。

(A) A (B ) B (C ) AB (D) φ 2．设A 、B 为两随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是( B )。 (A ) ()()P A B P B = (B ) ()()P AB P B =

(C ) ()()|P B A P B = (D ) ()()()P B A P B P A -=- 3．下列函数为随机变量密度的是( A )。

(A ) sin 0()20 x x p x π?<

<

=???，，

其他

(C ) sin 0()0 x x p x π<

?，，其他 (D ) sin 02()0 x x p x π<

，

其他

4．设X 为服从正态分布N (―1, 2)的随机变量，其概率密度函数, 则E (2X －1)= ( D )。

(A ) 9 (B ) 6 (C ) 4 (D ) ―3 5．我们说随机事件A 在n 次独立重复试验中发生的频率A

n n

趋向于概率P (A )是指( C )。 (A ) lim

()A

n n P A n

→∞= (B ) lim ()1A n n P P A n →∞

??

==?

???

(C ) 0lim ()1A n n P P A n εε→∞

??

>-<=?

???

对任意有 (D ) ,()A n n P A n =很大时

6．设随机向量（X , Y ）满足E(XY) = EX ·EY ，则 ( D )。

(A ) X 、Y 相互独立

(B ) X 、Y 不独立

(C ) X 、Y 相关 (D ) X 、Y 不相关

7．设12,,,n X X X 是n 个相互独立同分布的随机变量，,4(1,2,

,)i i EX u DX i n ===，

则对于{}

1

1,3n

i i X X P X u n ==-<∑有，有 ( C )。

(A ) 49n

≤

(B ) 49≤

(C ) 419n

≥-

(D ) 59

≥

8．下列函数为正态分布密度的是( B )。

(A )

22

x x +-

(B )

2

(21)x -+

(C )

2

()

2

x μ-- (D )

214

x --

9．设X 1, X 2 来自总体X ，则下列统计量为总体期望EX 的无偏估计的是( C )。

(A ) X 1－X 2 (B ) X 1 + X 2

(C ) 2 X 1－X 2

(D ) 2 X 1 + X 2 10．设12,,,n X X X 为总体X 的样本，期望μ、方差σ2未知，X 、S 2分别为样本均值和样本方差，则下列样本函数为统计量的是( A )。

(A ) 2

11()n i i X X n =-∑ (B ) 11n i i X n μσ

=-∑

(C )

2

2

(1)n s σ- (D

)

X

三、 计算题：(每小题6分, 共36分)

1．设某玻璃制品第一次落地时被打破的概率为0.1，第二次落地时被打破的概率为0.4，第三落地时被打破的概率为0.9，求该制品在三次落地过程中被打破的概率。 解：

设 A 表示“三次落地中被打破”，B i 表示“第i 次落地打破” (i = 1, 2, 3) 则 112123

A B B B B B B =++ ()0.10.90.40.90.60.90.946P A =+?+??=

即玻璃制品在三次落地过程中被打破的概率为0.946。

2．设某产品的合格率为80% 。检验员在检验时合格品被认为合格的概率为97%，次品被认为合格的概率为2%。（1）求任取一产品被检验员检验合格的概率；（2）若一产品通过了检验，求该产品确为合格品的概率。 解：

(1) 设A 表示“产品检验合格” B 表示“产品合格” 则由全概率公式有

()()(|)()(|)0.80.970.20.020.78P A P B P A B P B P A B =+=?+?=

即任一产品被检验员检验合格的概率为0.78； (2) 根据题意由贝叶斯公式有

()(|)0.80.97

(|)

0.99

()0.78

P B P A B P B A P A ?===

即若一产品通过了检验，则该产品确为合格品的概率为0.99。

3. 若盒中有5个球，其中2个白球3个黑球, 现从中任意取3个球，设随机变量X 为取得白球的个数。

求：（1）随机变量X 的分布；

(2) 数学期望EX , 方差DX 。 解：

(1) 设随机变量X 表示白球的个数, 则X 的取值为 0, 1, 2 由题意得

{}{}{}03

233

512233

52123351

0106

1103

210

C C P X C C C P X C C C P X C =========

即随机变量X 的分布为

(2) 由数学期望与方差的定义有

22

2216360121010105

()16369

012()101010525EX DX EX EX =?

+?+?==-=?+?+?-=

4．抽样表明某市新生儿体重X (单位：公斤)近似地服正态分布N (3, 4), 求新生儿体重超过4公斤的概率。（Φ(0.5 = 0.6915 ) 解：

由题意知新生儿体重X 近似地服正态分布N (3, 4), 则

{}{}31414122 1(0.5)10.69150.3085

X P X P X P -??>=-≤=-≤??

?

?=-Φ=-= 新生儿体重超过4公斤的概率为0.3085。

5. 设随机变量 (X, Y )的联合分布密度为

(), 0 , 0(,) 0, x y e

x y p x y -+?>>?=?

??

其他 , 求：(1) 随机变量 (X, Y ) 的边缘分布密度；

(2) X 与Y 是否相互独立? 为什么? 解：

(1) 随机变量 (X, Y ) 的边缘分布密度为

()()0

()0

()0

, 0 , 0(,) 0, ()(,) (0)

, 0() 0, ()(,) x y x y x x y x x x x y y e

x y p x y p x p x y dy e dy

e e x e x p x p y p x y dx e dx

-++∞

+∞

-+-∞

+∞-+--+∞+∞

-+-∞

?>>?=?

??===-=>?>?=?

??===?

???其他

即

其他

()0

(0)

, 0

() 0, x y y y y e e y e y p y +∞-+---=>?>?=?

??即

其他

(2)

()

, 0 , 0(,)()() 0, x y x y e

x y p x y p x p y -+?>>?=?=?

??其他

∴X 与Y 是相互独立。

6．设某医院门诊部医生检查一个病人的时间X （小时）服从参数λ= 10的指数分布，若检查每个病人所用时间相互独立。

（1） 求X 的概率密度及检查一个病人时间超过1小时的概率；

（2） 利用中心极限定理，以95%的概率求一个医生一天（8小时）最多所能检查的病

人数n 。(Φ(1.64) = 0.95) 解：

（1）由题意知医生检查一个病人的时间X 服从参数λ=10的指数分布, 则

{}10 101010

1 1

10, 0()

0, 0110|x x x e x p x x P X e dx e e -+∞--+∞

-?>=?≤?>==-=?

{

}1

(2) (,)

101000

8)0.95

1.64

8.1666

N

i i

i i X N T T X N N

N T N P T N ==≤=Φ===

∑设第个病人检查时间为，个病人检查的时间为，则很大，近似服从由查表得解得，

四、应用题：(每小题8分, 共16分)

1．设总体X 的概率密度为112(,)(,0),,,,n x x x X X X θ?θθθ-=-∞<<+∞>为总体X 的一个样本。求参数θ 的极大似然估计量 。 解：

112111

(), ln ln (1)ln ln ln 0

? ln n n n

i

i n

i i n

i

i L x x x L n x d L n x d n

x

θθθθθθθθ

-====?=+-=+==-∑∑∑似然函数取对数得似然方程解得的极大似然估计为：

2．设某产品的日销售量X 服从()2,N μσ，且μ= 10件。为扩大销售，现采用了某种促销手段，7天销售的样本平均值为x =11.14，样本标准差为s = 2.23；假设促销前后方差不变，试以α= 0.05的显著性水平检验日销售量是否有明显的提高？（ t 0.05(6) = 1.94） 解：

0100110 10

(6)

7,(6) 1.94

1.35 1.94

,,H H X T T t n t t H H μμ=>====<：：方差未知，用检验。由查表得临界值样本观测值为故接受拒绝 即日销售量没有明显提高。

五、证明题：（8分）

设随机变量X 的数学期望存在，证明随机变量X 与任一常数b 的协方差是零。 证明：

由协方差的定义及数学期望的性质，得

()()

()cov X b E X EX b Eb =--， ()

()E X EX b b =--

0=