2014《步步高》物理大一轮复习讲义 第04章 第1课时 曲线运动 运动的合成与分解

第1课时曲线运动运动的合成与分解考纲解读 1.掌握曲线运动的概念、特点及条件.2.掌握运动的合成与分解法则．

1．[对曲线运动性质的理解]关于曲线运动的性质，以下说法正确的是() A．曲线运动一定是变速运动

B．曲线运动一定是变加速运动

C．变速运动不一定是曲线运动

D．运动物体的速度大小、加速度大小都不变的运动一定是直线运动

答案AC

解析曲线运动的速度方向是时刻发生变化的，因此是变速运动，A正确；加速度是否发生变化要看合外力是否发生变化，斜向上抛到空中的物体做曲线运动，但加速度大小不变，B错误；变速运动也可能是只有速度的大小发生变化，它就不是曲线运动，C正确；由匀速圆周运动知D错误．

2．[对曲线运动特点的理解]一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内() A．速度一定不断改变，加速度也一定不断改变

B．速度一定不断改变，加速度可以不变

C．速度可以不变，加速度一定不断地改变

D．速度可以不变，加速度也可以不变

答案 B

解析做曲线运动的物体速度方向不断改变，加速度一定不为零，但加速度可能改变也可能不变，所以做曲线运动的物体可以是匀变速运动也可以是非匀变速运动．

3．[曲线运动的轨迹与速度及合外力的关系]质点在某一平面内沿曲线由P运动到Q，如果用v、a、F分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合外力．则下列选项中可能正确的是()

答案 D

解析曲线运动的速度方向沿轨迹的切线方向，其加速度或合外力跟速度有一定夹角，且指向轨迹弯曲的内侧，只有选项D正确．

4．[对合运动与分运动关系的理解]关于运动的合成，下列说法中正确的是() A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大

B ．两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等

C ．只要两个分运动是直线运动，合运动就一定是直线运动

D ．两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动 答案 B 考点梳理 1．曲线运动

(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．

(2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．

(3)曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上． 2．运动的合成与分解 (1)基本概念

①运动的合成：已知分运动求合运动． ②运动的分解：已知合运动求分运动．

(2)分解原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解． (3)遵循的规律

位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则． (4)合运动与分运动的关系 ①等时性

合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止． ②独立性

一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响． ③等效性

各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．

5．[合运动与分运动等时性的应用]在第16届亚洲运动会上，10米移动

靶团体冠军被我国选手获得．图1为简化的比赛现场图，设移动靶 移动的速度为v 1，运动员射出的子弹的速度为v 2，移动靶离运动员 的最近距离为d ，要想在最短的时间内射中目标，则运动员射击时 离目标的距离应该为

( )

图1

A.

d v 2v 22－v 2

1

B.d v 22＋v 2

1v 2

C.d v 1

v 2

D.d v 2v 1

答案 B

6．[绳端速度的分解方法]如图2所示，轻绳通过定滑轮拉动物体， 使其在水平面上运动．若拉绳的速度为v 0，当绳与水平方向 夹角为θ时，物体的速度v 为________．若此时绳上的拉力 大小为F ，物体的质量为m ，忽略地面的摩擦力，那么，此

图2

时物体的加速度为________． 答案

v 0cos θ F cos θm

解析 物体的运动(即绳的末端的运动)可看做两个分运动的合成： (1)沿绳的方向被牵引，绳长缩短，缩短的速度等于v 0；(2)垂直于 绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长．即速度v 分解为沿绳 方向和垂直绳方向的分速度，如图所示，v cos θ＝v 0，v ＝v 0

cos θ

.

拉力F 产生竖直向上拉物体和水平向右拉物体的效果，其水平分量为F cos θ，加速度a ＝F cos θm .

方法提炼

1．在运动的分解中，常利用分运动的等时性，通过求解分运动的时间来求合运动的时间． 2．对绳端速度合成与分解的方法： (1)物体的实际运动一定是合运动．

(2)绳端速度可分解为沿绳方向的速度和垂直于绳方向的速度．

考点一 物体做曲线运动的条件及轨迹分析 1．条件

(1)因为速度时刻在变，所以一定存在加速度； (2)物体受到的合外力与初速度不共线． 2．合外力方向与轨迹的关系

物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向曲线的“凹”侧． 3．速率变化情况判断

(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大； (2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小； (3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．

例1 如图3所示，红蜡块可以在竖直玻璃管内的水中匀速上升，速度为v . 若在红蜡块从A 点开始匀速上升的同时，玻璃管从AB 位置由静止 开始水平向右做匀加速直线运动，加速度大小为a ，则红蜡块的实际 运动轨迹可能是图中的

( )

A ．直线P

B ．曲线Q

C ．曲线R

D ．无法确定

解析 蜡块同时参与了两个分运动，合运动的轨迹是直线还是曲线取决于合加速度与合初速度的方向关系：向上匀速运动，则向上的加速度为零，合加速度为水平向右的分运

动的加速度，大小恒定且方向水平向右；水平向右初速度为零，则合初速度方向向上．由加速度恒定知蜡块做匀变速运动；由初速度方向与加速度方向垂直知蜡块做曲线运动，且轨迹向加速度的一侧弯曲． 答案 B

1.合外力或加速度指向轨迹的“凹”(内)侧．

2．曲线的轨迹不会出现急折，只能平滑变化，且与速度方向相切．

突破训练1 一物体由静止开始自由下落，一小段时间后突然受一恒定水平向右的风力的影响，但着地前一段时间内风力突然停止，则其运动的轨迹可能是

(

)

答案 C

解析 当有水平向右的风时，会产生水平向右的加速度，轨迹向右弯曲，风力停止时，合力向下．且轨迹不能急折，故C 项正确． 考点二 运动的合成及性质 1．运动的合成与分解的运算法则

运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移 、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则． 2．合运动的性质判断

??

?

加速度(或合外力)???

??

变化：非匀变速运动

不变：匀变速运动

加速度(或合外力)与速度方向

?????

共线：直线运动

不共线：曲线运动

3．两个直线运动的合运动性质的判断

根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动，具体分以下几

种情况：

例2 如图4所示，一块橡皮用细线悬挂于O 点，用铅笔靠着线的左侧 向右上方45°方向匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动 的速度

( )

A ．大小和方向均不变

B ．大小不变，方向改变

C ．大小改变，方向不变

图4

D ．大小和方向均改变

解析 橡皮同时参与两个方向的运动：一个是水平方向的匀速直线运动，另一个是竖直方向的匀速直线运动，由于这两个方向上的分运动都是匀速直线运动，因此这两个运动的合运动也是匀速直线运动，即橡皮的速度大小和方向都保持不变，所以A 正确． 答案 A

突破训练2 如图5所示，吊车以v 1的速度沿水平直线向右匀速 行驶，同时以v 2的速度匀速收拢绳索提升物体，下列表述正确 的是

( )

A ．物体的实际运动速度为v 1＋v 2

B ．物体的实际运动速度为v 21＋v 22

图5

C ．物体相对地面做曲线运动

D ．绳索保持竖直状态 答案 BD

15．运动的合成与分解实例——小船渡河模型

小船渡河问题分析

(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．

(2)三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度)、v (船的实际速度)． (3)三种情景

①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝d

v 1

(d 为河宽)．

②过河路径最短(v 2

v

1

.

③过河路径最短(v 2>v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法 垂直渡河．确定方法如下：如图6所示，以v 2矢量末端为圆

心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作 图6

切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝v 1v 2，最短航程：s 短＝d

cos α＝

v 2

v 1

d . 例3 一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v 1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v 2＝5 m/s ，则：

(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

解析 (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向． 当船头垂直河岸时，如图所示．

合速度为倾斜方向，垂直分速度为v 2＝5 m/s. t ＝d v 2＝180

5

s ＝36 s v ＝v 21＋v 2

2＝

5

2

5 m/s x ＝v t ＝90 5 m

(2)欲使船渡河的航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直 河岸方向成某一夹角α，如图所示． 有v 2sin α＝v 1， 得α＝30°

所以当船头向上游偏30°时航程最短． x ′＝d ＝180 m.

t ′＝d v 2cos 30°＝1805

23 s ＝24 3 s

答案 (1)垂直河岸方向 36 s 90 5 m (2)向上游偏30° 24 3 s 180 m

求解小船渡河问题的方法

求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移． 无论哪类都必须明确以下四点：

(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是 船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动， 一般情况下与船头指向不一致．

(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流 方向和船头指向分解．

(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．

(4)求最短渡河位移时，根据船速v 船与水流速度v 水的大小情况用三角形法 则求极限的方法处理．

突破训练3 一条船要在最短时间内渡过宽为100 m 的河，已知河水的流速v 1与船离河岸的距离x 变化的关系如图7甲所示，船在静水中的速度v 2与时间t 的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是

( )

图7

A ．船渡河的最短时间是25 s

B ．船运动的轨迹可能是直线

C ．船在河水中的加速度大小为0.4 m/s 2

D ．船在河水中的最大速度是5 m/s 答案 C

解析 船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即t ＝100

5 s ＝20 s ，A 错

误；由于水流速度变化，所以合速度变化，船头始终与河岸垂直时，运动的轨迹不可能

是直线，B 错误；船在最短时间内渡河t ＝20 s ，则船运动到河的中央时所用时间为10 s ，水的流速在x ＝0到x ＝50 m 之间均匀增加，则a 1＝4－0

10 m/s 2＝0.4 m/s 2，同理x ＝50 m

到x ＝100 m 之间a 2＝0－4

10 m/s 2＝－0.4 m/s 2，则船在河水中的加速度大小为0.4 m/s 2，C

正确；船在河水中的最大速度为v ＝52＋42 m/s ＝41 m/s ，D 错误．

16．绳(杆)端速度分解模型

1．模型特点

沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等． 2．思路与方法

合运动→绳拉物体的实际运动速度v

分运动→?????

其一：沿绳(或杆)的速度v 1

其二：与绳(或杆)垂直的分速度v 2

方法：v 1与v 2的合成遵循平行四边形定则．

例4 如图8所示，一人站在岸上，利用绳和定滑轮拉船靠岸，在某一时刻绳的速度为v ，绳AO 段与水平面的夹角为θ，OB 段与水平面的夹角为α.不计摩擦和轮的质量，则此时小船的速度多大？

图8

解析 小船的运动引起了绳子的收缩以及绳子绕定滑轮转动的效果，

所以将小船的运动分解到绳子收缩的方向和垂直于绳子的方向， 分解如图所示，则由图可知 v A ＝

v cos θ. 答案

v cos θ

解决此类问题时应把握以下两点：

(1)确定合速度，它应是小船的实际速度；

(2)小船的运动引起了两个效果：一是绳子的收缩，二是绳绕滑轮的转 动．应根据实际效果进行运动的分解．

突破训练4 如图9所示，在水平地面上做匀速直线运动的小车， 通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若小车和被吊的物体在同一 时刻的速度分别为v 1和v 2，绳子对物体的拉力为F T ，物体所 受重力为G ，则下列说法正确的是

( ) 图9

A ．物体做匀速运动，且v 1＝v 2

B ．物体做加速运动，且v 2>v 1

C ．物体做加速运动，且F T >G

D ．物体做匀速运动，且F T ＝G

答案 C

解析 把v 1分解如图所示，v 2＝v 1cos α，α变小，v 2变大，物体做加速 运动，超重，F T >G ，选项C 正确．

17．“化曲为直”思想在运动合成与分解中的应用

把曲线运动分解为两个方向上的直线运动，利用直线运动的性质、条件及规律求解曲线运动的相关问题．

例5 一快艇要从岸边某处到达河中离岸100 m 远的浮标处，已知快艇在静水中的速度图象如图10甲所示，流水的速度图象如图乙所示，假设行驶中快艇在静水中航行的分速度方向选定后就不再改变，则

( )

图10

A ．快艇的运动轨迹可能是直线

B ．快艇的运动轨迹只能是曲线

C ．最快到达浮标处通过的位移为100 m

D ．最快到达浮标处所用时间为20 s

解析 快艇的实际速度为快艇在静水中的速度与水速的合速度．由图象可知快艇在静水中为匀加速直线运动，水为匀速直线运动，两速度不在同一条直线上，故快艇必做曲线运动，A 错误，B 正确；当快艇与河岸垂直时，到达浮标处时间最短，而此时快艇做曲线运动，故位移大于100 m ，C 错误；由题图甲可知快艇的加速度为a ＝Δv

＝0.5 m/s 2，

最短位移

为x ＝100 m ，对快艇由x ＝1

2

at 2得：t ＝

2x a

＝ 2×100

0.5

s ＝20 s ，即最快到达浮标处

所用时间为20 s ，D 正确． 答案 BD

突破训练5 有一个质量为2 kg 的质点在x －y 平面内运动，在x 方向的速度图象和y 方向的位移图象如图11所示，下列说法正确的是

( )

图11

A ．质点所受的合外力为3 N

B ．质点的初速度为3 m/s

C ．质点做匀变速直线运动

D ．质点初速度的方向与合外力方向垂直 答案 A

解析 由图象知，v y ＝Δy

Δt ＝4 m/s ，a x ＝Δv Δt

＝1.5 m/s 2，所以F 合＝ma x ＝3 N ，选项A 正确；

质点的初速度为v ＝v 2x ＋v 2

y ＝5 m/s ，选项B 错误；质点的初速度与F 合不垂直，也不同

向，故选项C 、D 错误.

高考题组

1．(2011·江苏·3)如图12所示，甲、乙两同学从河中O 点出发， 分别沿直线游到A 点和B 点后，立即沿原路线返回到O 点， OA 、OB 分别与水流方向平行和垂直，且OA ＝OB .若水流 速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t 甲、 图12

t 乙的大小关系为

( )

A ．t 甲

B ．t 甲＝t 乙

C ．t 甲>t 乙

D ．无法确定

答案 C

解析 设两人在静水中游速为v 0，水速为v ，则 t 甲＝x OA v 0＋v ＋x OA

v 0－v ＝2v 0x OA v 20－v 2 t 乙＝

2x OB v 20－v 2＝2x OA

v 20

－v 2<2v 0x OA v 20－v 2

故A 、B 、D 错，C 对．

2．(2011·四川·22(1))某研究性学习小组进行如下实验：如图13所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R .将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y 轴重合，在R 从坐标原点以速度v 0＝3 cm/s 匀速上浮的同时，玻璃管沿x 轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动．同学们测出某时刻R 的坐标为(4,6)，此时R 的速度大小为________ cm/s.R 在上升过程中运动轨迹的示意图是________．(R 视为质点)

图13

答案 5 D

解析 红蜡块有水平方向的加速度，所受合外力指向曲线的内侧，所以其运动轨迹应如D 图所示，因为竖直方向匀速，由y ＝6 cm ＝v 0t 知t ＝2 s ，水平方向x ＝v x

2·t ＝4 cm ，所

以v x ＝4 cm/s ，因此此时R 的速度大小v ＝v 2x ＋v 20＝5 cm/s.

3．(2010·上海单科·12)降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞

( )

A ．下落的时间越短

B ．下落的时间越长

C ．落地时速度越小

D ．落地时速度越大

答案 D

解析 风沿水平方向吹，不影响竖直速度，故下落时间不变，A 、B 项均错误．风速越大，落地时合速度越大，故C 项错误，D 项正确． 模拟题组

4．一小球在光滑水平面上以某速度做匀速直线运动，运动途中受到与水平面平行的恒定风力作用，则小球的运动轨迹可能是

( )

答案 ABC

解析 当风向与速度v 0同向时，A 项正确．当风向与v 0方向成锐角时，B 项正确．当风向与速度v 0方向成钝角时，C 项正确．

5．人用绳子通过定滑轮拉物体A ，A 穿在光滑的竖直杆上，当以速度v 0

匀速地拉绳使物体A 到达如图14所示位置时，绳与竖直杆的夹角为 θ，则物体A 实际运动的速度是

( )

A ．v 0sin θ B.v 0sin θ C ．v 0cos θ

D.v 0cos θ

答案 D

解析 由运动的合成与分解可知，物体A 参与两个分运动：一个是

沿着与它相连接的绳子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动． 而物体A 实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运

动就是物体A 的合运动，它们之间的关系如图所示．由几何关系可得v ＝v 0

cos θ，所以D

项正确．

(限时：30分钟)

题组1 物体做曲线运动的条件及轨迹分析

1．光滑平面上一运动质点以速度v 通过原点O ，v 与x 轴正方向 成α角(如图1)，与此同时对质点加上沿x 轴正方向的恒力F x 和沿y 轴正方向的恒力F y ，则

( ) A ．因为有F x ，质点一定做曲线运动

图1

B ．如果F y >F x ，质点向y 轴一侧做曲线运动

C ．质点不可能做直线运动

D ．如果F x >F y cot α，质点向x 轴一侧做曲线运动 答案 D

解析 若F y ＝F x tan α，则F x 和F y 的合力F 与v 在同一直线上，此时物体做直线运动．若F x >F y cot α，则F x 、F y 的合力F 与x 轴正方向的夹角β<α，则物体向x 轴一侧做曲线运动，故正确选项为D.

2．“神舟”九号飞船于2012年6月16日发射升空，如图所示，在“神舟”九号靠近轨道沿曲线从M 点到N 点的飞行过程中，速度逐渐减小．在此过程中“神舟”九号所受合力的方向可能是

( )

答案 C

解析 做曲线运动的物体所受合力的方向总是指向曲线凹侧，A 、D 错误；由于速度逐渐减小，故力F 的方向与速度方向的夹角应大于90°，C 正确．

3．质量为m 的物体，在F 1、F 2、F 3三个共点力的作用下做匀速直线运动，保持F 1、F 2不变，仅将F 3的方向改变90°(大小不变)后，物体可能做

( )

A ．加速度大小为F 3

m 的匀变速直线运动

B ．加速度大小为2F 3

m

的匀变速直线运动 C ．加速度大小为2F 3

m

的匀变速曲线运动 D ．匀速直线运动 答案 BC

解析 物体在F 1、F 2、F 3三个共点力作用下做匀速直线运动，必有F 3与F 1、F 2的合力等大反向，当F 3大小不变、方向改变90°时，F 1、F 2的合力大小仍为F 3，方向与改变方向后的F 3夹角为90°，故F 合＝2F 3，加速度a ＝F 合m ＝2F 3m ，若初速度方向与F 合方向共

线，则物体做匀变速直线运动，若初速度方向与F 合方向不共线，则物体做匀变速曲线

运动，综上所述，本题选B 、C.

4．某质点在水平面上的直角坐标系xOy 坐标平面内运动的轨迹如图2 所示，下面判断正确的是

( )

A ．若质点在x 方向始终做匀速运动，则在y 方向也始终做匀速运动

B ．若质点在x 方向始终做匀速运动，则在y 方向先加速后减速运动 图2

C ．若质点在y 方向始终做匀速运动，则在x 方向也始终做匀速运动

D ．若质点在y 方向始终做匀速运动，则在x 方向先加速后减速运动 答案 D

解析 若质点在x 方向和y 方向均做匀速运动，则轨迹一定是一条直线，A 错误；若质点在x 方向始终做匀速运动，在轨迹上取相同的横坐标(相同时间)，发现对应的纵坐标先变密后变疏(先减速后加速)，B 错误；若质点在y 方向始终做匀速运动，在轨迹上取相同的纵坐标(相同时间)，发现对应的横坐标先变疏后变密(先加速后减速)，C 错误，D 正确．

5．一质点在恒力F 的作用下，由O 点运动到A 点的轨迹如图3 所示，在A 点时的速度方向与x 轴平行，则恒力F 的方向 可能沿图中的 ( ) A ．F 1的方向

图3

B ．F 2的方向

C ．F 3的方向

D ．F 4的方向 答案 CD

解析 做曲线运动的物体，所受恒力F 一定指向轨迹曲线的内侧，且不可能与某时刻的速度在一条直线上，因此只有F 3、F 4是可能的方向，C 、D 正确．

6．质量m ＝4 kg 的质点静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点O 处，先用沿＋x 轴方向的力F 1＝8 N 作用了2 s ，然后撤去F 1；再用沿＋y 轴方向的力F 2＝24 N 作用了1 s ，则质点在这3 s 内的轨迹为

( )

答案 D

题组2 小船渡河模型问题的分析

7．甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H ，河水流速

为v 0，划船速度均为v ，出发时两船相距2

33H ，甲、乙两船船头

均与河岸成60°角，如图4所示．已知乙船恰好能垂直到达对岸 A 点，则下列判断正确的是

( )

A ．甲、乙两船到达对岸的时间不同

B ．v ＝2v 0

C ．两船可能在未到达对岸前相遇

D ．甲船也在A 点靠岸 答案 BD

解析 渡河时间均为H v sin 60°，乙能垂直于河岸渡河，对乙船由v cos 60°＝v 0得v ＝2v 0，

甲船在该时间内沿水流方向的位移为(v cos 60°＋v 0)H v sin 60°＝2

33H ，刚好到达A 点，综

上所述，A 、C 错误，B 、D 正确．

8．如图5所示，河水流速与距出发点垂直距离的关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则

( )

图5

A ．船渡河的最短时间是60 s

B ．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直

C ．船航行的轨迹是一条直线

D ．船的最大速度是5 m/s 答案 BD

解析 当船头指向垂直于河岸时，船的渡河时间最短，其时间t ＝d 2＝300

3 s ＝100 s ，A

错，B 对．因河水流速不均匀，所以船在河水中的航线是一条曲线，当船行驶至河中央时，船速最大，最大速度v ＝42＋32 m/s ＝5 m/s ，C 错，D 对．

题组3 绳(杆)端速度分解模型问题的分析

9． 如图6，人沿平直的河岸以速度v 行走，且通过不可伸长的绳

拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳 与河岸的夹角为α时，船的速率为

( )

A ．v sin α B.v sin α

图6

C ．v cos α

D.v cos α

答案 C

解析 如图所示，把人的速度沿绳和垂直绳的方向分解，由几何知识 有v 船＝v cos α，所以C 正确，A 、B 、D 错误．

10．A 、B 两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A 以v 1的速度向右

匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别为α、β时，如图7所示．物体B 的运动速度v B 为(绳始终有拉力)

( )

图7

A ．v 1sin α/sin β

B ．v 1cos α/sin β

C ．v 1sin α/cos β

D ．v 1cos α/cos β

答案 D

解析 A 、B 两物体的速度分解如图．

由图可知：v 绳A ＝v 1cos α v 绳B ＝v B cos β 由于v 绳A ＝v 绳B

所以v B ＝v 1cos α/cos β，故D 对． 题组4 运动的合成与分解原理的应用

11．质量为1 kg 的质点在x —y 平面上做曲线运动，在x 方向的速度图象和y 方向的位移图

象如图8所示．下列说法正确的是

( )

甲 乙

图8

A ．质点的初速度为5 m/s

B ．质点所受的合外力为3 N

C ．质点做类平抛运动

D ．2 s 末质点速度大小为6 m/s 答案 BC

解析 由x 方向的速度图象可知，质点在x 方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为3 m/s 2，受力F x ＝3 N ；由y 方向的位移图象可知，质点在y 方向做匀速直线运动，速度为v y ＝4 m/s ，受力F y ＝0.因此质点的初速度为4 m/s ，A 选项错；受到的合外力为3 N ，B 选项对；显然，质点初速度方向与合外力方向垂直，C 选项对；2 s 末质点速度应该为v ＝62＋42 m/s ＝213 m/s ，D 选项错．

12．如图9所示，质量m ＝2.0 kg 的物体在水平外力的作用下在水平面上

运动，已知物体运动过程中的坐标与时间的关系为?

????

x ＝3.0t m

y ＝0.2t 2

m ， g ＝10 m/s 2.根据以上条件，求： 图9

(1)t ＝10 s 时刻物体的位置坐标；

(2)t ＝10 s 时刻物体的速度和加速度的大小与方向．

答案 (1)(30 m,20 m) (2)5.0 m/s ，与x 轴正方向夹角为53° 0.4 m/s 2，沿y 轴正方向

解析 (1)由于物体运动过程中的坐标与时间的关系为?

????

x ＝3.0t m

y ＝0.2t 2

m ，代入时间t ＝10 s ，可得：

x ＝3.0t m ＝3.0×10 m ＝30 m y ＝0.2t 2 m ＝0.2×102 m ＝20 m

即t ＝10 s 时刻物体的位置坐标为(30 m,20 m)．

(2)由物体运动过程中的坐标与时间的关系式?

???

?

x ＝3.0t m y ＝0.2t 2

m ，比较物体在两个方向的运动学公式????

?

x ＝v 0t y ＝12at 2，可求得：v 0＝3.0 m/s ，a ＝0.4 m/s 2

当t ＝10 s 时，v y ＝at ＝0.4×10 m/s ＝4.0 m/s

v ＝v 20＋v 2y ＝ 3.02＋4.02

m/s ＝5.0 m/s

tan α＝v y v 0＝4

3

，α＝53°

即速度方向与x 轴正方向夹角为53°.

物体在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向做匀加速直线运动，a＝0.4 m/s2，沿y轴正方向．