点到直线的距离公式
点与直线 直线方程
一. 教学内容：
点到直线的距离；
点关于点、关于直线的对称点； 直线关于点、关于直线的对称直线； 直线方程复习；
二. 知识点：
1. 点到直线距离公式及证明
d Ax By C A B =
+++||
0022
关于证明：
根据点斜式，直线PQ 的方程为（不妨设A ≠0）
y y B
A x x -=
-00(),
即，Bx Ay Bx Ay -=-00 解方程组
Ax By C Bx Ay Bx Ay ++=-=-??
?0
00，
得，x B x ABy AC
A B =--+20022
这就是点Q 的横坐标，又可得
x x B x ABy AC A x B x A B -=
----+02002020
22 =-
+++A Ax By C A B ()
0022
，
y y B
A x x
B Ax By
C A B -=-=-+++000022()()，
所以，
d x x y y Ax By C A B =-+-=
+++()()()0202
00222
=
+++||
Ax By C A B 0022
。
这就推导得到点P （x 0，y 0）到直线l ：Ax+By+C=0的距离公式。 如果A=0或B=0，上式的距离公式仍然成立。
下面再介绍一种直接用两点间距离公式的推导方法。 设点Q 的坐标为（x 1，y 1），则
Ax By C y y x x B
A A 11101000++=--=???
??,
()≠，
把方程组作变形，
A x x
B y y Ax By
C B x x A y y ()()()()()10100010100
-+-=-++---=??
?，①② 把①，②两边分别平方后相加，得
()()()()A B x x B A y y 2210222102
+-++-
=++()Ax By C 002
， 所以，
()()()x x y y Ax By C A B 102
102
00222
-+-=+++，
所以，
d x x y y =-+-()()102102
=
+++||
Ax By C A B 0022
此公式还可以用向量的有关知识推导，介绍如下：
设，、，是直线上的任意两点，则P
x y P x y l 111222()() Ax By C Ax By C 112200
++=++=??
?③④
把③、④两式左右两边分别相减，得 A x x B y y ()()12120-+-=， 由向量的数量积的知识，知
n P P
·，210→
= 这里n=（A ，B ）。所以n=（A ，B ）是与直线l 垂直的向量。
当与的夹角为锐角时，n P
P 10θ d P P =→
||cos 10θ，
（如图所示）
当与的夹角为钝角时，n P
P 10→θ d P
P P P P P =-=-→=→
||c o s ()||cos |||cos |101210180°θθθ （如图所示）
所以，都有
d P
P =→
|||cos |10θ， 因为
n P
P n P P ···，1010→=→||||cos θ 所以
d n P P n =
→||||·10
=
--+|(,)()|
A B x x y y A B ·，010122
=
-+-+|()()|
A x x
B y y A B 010122
=
+++||
Ax By C A B 0022
()因为，所以Ax By C Ax By C 11110++=--=
2. 平行线间的距离公式
3. 点关于点的对称点（中点坐标公式）
4. 已知P 0（x 0，y 0）直线l ：Ax+By+C=0（B ≠0） 点，关于直线的对称点：P x y l 000()
设为，P
x y 111() 则·A x x B y y C y y x x A B 010*********++++=---=-??
?????()
特别地关于特殊直线的对称点。
（x 轴、y 轴、直线y=x ，直线y=－x ）
5. 直线l 关于点P 0（x 0，y 0）对称直线（三种方法）
6. 直线关于直线的对称直线三种方法l l A x B y C 11110++=() 特别地直线l 关于特殊直线y=±x+b 的对称直线。
【典型例题】
例1. 求与直线：平行且到的距离为的直线的方程。l x y l 512602-+= 解法一：设所求直线的方程为，5120x y c -+=
在直线上取一点，，
5126001
20x y P -+=()
点到直线的距离为P x y c 05120-+=
d c c =-++-=
-||
()||121251261322×
由题意，得
。||
c -=6132
∴c=32或c=－20，
∴所求直线方程为和。512320512200x y x y -+=--= 解法二：设所求直线的方程为 5120x y c -+=，
由两平行直线间的距离公式，
得，解之，
265122
2
=
-+-||()
c
得或。c c ==-3220 故所求直线的方程为
512320512200x y x y -+=--=和。
小结：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线
的距离，即把两条平行线之间的距离，转化为点到直线的距离。也可以直接套两平行
线间的距离公式。
d C C A B
=
-+||212
2
例2. 已知正方形的中心为G （－1，0），一边所在直线的方程为x+3y －5=0，求其他三边所在的直线方程。
解：正方形中心G （－1，0）到四边距离均为
||
--+=
151361022
。
设正方形与已知直线平行的一边所在直线的方程为x+3y+c 1=0。
则
，即。||||-+=
-=110
6
101611c c
解得或。c c 1157=-=
故与已知边平行的边所在直线的方程为x+3y+7=0
设正方形另一组对边所在直线的方程为3x －y+c 2=0。
则
×，|()|
3110
6102-+=
c
即，||c 236-= 解得或。c c 2293==-
所以正方形另两边所在直线的方程为： 390330x y x y -+=--=和。
综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为： x y x y x y ++=-+=--=370390330、、。
小结：本例解法抓住正方形的几何性质，利用点到直线的距离公式，求得了正方形其他三
边所在直线的方程。
例3. 求直线关于直线对称的直线的方程。x y x y --=+-=21010
解法一：由，，
得，x y x y x y --=+-=???==??
?2101010 ∴点（1，0）为两已知直线的交点。
设所求直线的斜率为k ，由一条直线到一条直线的角的公式，
得
，。--
-=+-=11
2112112k k k
故所求直线方程为
y x x y =---=21220()，即。
解法二：由解法一知两已知直线的交点为A （1，0）。
在直线上取一点，，
x y B --=-210012()
设点关于直线的对称点为，，则B x y C x y +-=1000()
02
12210120110
00++-++=----=-?
???
????
?
x y y x ，·()
()
解得，。x y 0032
1==?
???? ∴点的坐标为，。
C ()3
21 直线的方程为，，
AC y x x y --=----=0101
3
21220
即直线关于直线对称的直线的方程为。x y x y x y --=+-=--=21010220 解法三：设P （x ，y ）是所求直线上的任一点，P 关于直线x ＋y －1＝0对称的点为P 0（x 0，
y 0）， 则在直线上。P x y 0210--= ∴，x y 00210--=
k y y x x PP 00
=
--，
线段的中点是，。PP M x x y y 000
22(
)++
∵点与点关于直线对称，P P x y 010+-=
∴×，。y y x x x x y y ---=-+++-=??
?????0
00112210()
∴，。x y y x 0011=-=-??
? 代入，得x y 00210--=
12110----=y x ()，
即为所求。220x y --=
解法四： 直线x+y －1=0 k=－1
∴ 由x+y －1=0??
?-=-=?x y y x 11代入x －2y －1=0得
1－y －2(1－x)－1=0 2x －y －2=0即为所求。
小结：求直线l 关于直线l 1对称的直线的方程，只要在l 上取两点A 、B ，求A 、B 关于l 1的对称点A'、B'，然后写出直线A'B'的方程即为所求。解法二和解法三中，都用到了求一个点P 关于某直线l 的对称点P 0的问题。这个问题的解法就是根据：①直线P 0P 与直线l 垂直；②线段P 0P 的中点在直线l 上，列出方程组解出x 0、y 0，代入x 0、y 0所满足的方程，整理即得所求直线的方程。
例4. 求经过直线和的交点，且在两坐标轴上的32602570x y x y ++=+-= 截距相等的直线方程。
解法一：由方程组，
，32602570x y x y ++=+-=??
?
得，
。x y =-=??
?43 ∴两已知直线的交点为（－4，3）。
当所求直线在两坐标轴上的截距都是0时，直线的横截距、纵截距相等。
∴所求直线的方程为，
y x =-3
4
即。当所求直线不过原点时，340x y += 设所求直线方程为，x y a += 因为点（－4，3）在直线x+y=a 上， ∴，，-+==-431a a
故所求直线方程为。x y ++=10
综上所述，所求直线方程为或。34010x y x y +=++=
解法二：∵所求直线经过直线和直线的交点，32602570x y x y ++=+-=
所以可设所求直线的方程为。3262570x y x y ++++-=λ()(*)
在式中，令得；(*)x y ==-+076
25λλ
令得。y x ==
-+07632λλ 由题意，得。
762576
32λλλλ-+=-+ 所以或。
λλ==671
3
把和分别代入式整理，
λλ==671
3(*)
即得和。34010x y x y +=++=
小结：解法一设直线的截距式时注意了截距为0的情形。故而没有直接设成
x a y
a A x B y C A x B y C +=++=++10111222的形式，解法二中用到了过两直线与
＝的交点的直线系方程：。0A x B y C A x B y C 1112220+++++=λ()
例5. 已知两条直线：，：，求分别满足下l ax by l a x y b 124010-+=-++=() 列条件的a 、b 的值。
（1）直线l 1过点（－3，－1），并且直线l 1与直线l 2垂直；
（2）直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1、l 2的距离相等。 分析：考查直线与直线平行及垂直的问题的处理方法。 解：()()()111012∵⊥，∴·l l a a b -+-=
a a
b 20--=①
又点（－3，－1）在l 1上， ∴②-++=340
a b
由①、②解得a=2，b=2。
（2）∵l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a 。 ∴l 1的斜率也存在，
a b
a b a a =-=
-11， 故l 1和l 2的方程可分别表示为
l a x y a a 11410：，()()
-++
-= l a x y a
a 2110：。
()-++-=
∵原点到l 1和l 2的距离相等，
∴，或41122
3|
|||a a a a a a -=-==
因此，，或，a b a b ==-???==?????2223
2
小结：在（2）中由于l 1∥l 2，l 2有斜率，从而得出l 1有斜率，即b ≠0。
例6. 已知函数，求的最小值，并求取得f x x x x x f x ()()=-++-+222248
最小值时x 的值。
解：
∵f x x x x x ()=-++-+22
2248 =-+-+-+-()()()()x x 1012022222
它表示点P （x ，0）与点A （1，1）的距离加上点P （x ，0）与点B （2，2）的距离之和，
即在x 轴上求一点P （x ，0）与点A （1，1）、B （2，2）的距离之和的最小值。
由下图可知，转化为求两点A'（1，－1）和B （2，2）间的距离，其距离为函数f(x)的最小值。
∴的最小值为f x ()()()1212102
2
-+--= 再由直线方程的两点式得方程为。A B x y '340--=
令得。当时，的最小值为。y x x f x ==
=0434
310()
小结：数形结合是解析几何最根本的思想，因此本题联系图形求解，使解法直观、简捷而且准确，易于入手。
例7. 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 证明：建立如图所示的坐标系，
A （a ，0），
B （0，b ），
C （－a ，0），（a ＞0，b ＞0）， 则直线的方程为，AB bx ay ab +-=0 直线的方程为BC bx ay ab -+=0
设底边AC 上任意一点为P （x ，0）（－a ≤x ≤a ），
则到的距离P AB PE bx ab a b b a x a b ||||()=
-+=
-+22
22
P BC PF bx ab a b b a x a b 到的距离为||||()=
++=
++22
22
A BC h ba ab a b ab a b 到的距离=
++=
+||22
222
∵||||()()PE PF b a x a b
b a x a b
ab a b
h
+=
-++
++=
+=2
2
2
2
2
2
2
∴原命题得证。
例8. 等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x －y ＝0，一条直角边所在直线l 经过点（4，－2），且此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标。 解：设直角顶点为C ，C 到直线y=3x 的距离为d ，
则··，1
2210d d =
∴，设的斜率为，则°d l k k k k =-+==?=103134511
2tan
∴的方程为，即l y x x y +=
---=21
24280()
设是与直线平行且距离为的直线，l y x '=310 则与的交点就是点，设的方程是，l l C l x y m ''30-+=
则
，∴±，||
m m 101010==
∴的方程是±l x y '3100-=
由方程组及得点坐标是，或
x y x y x y x y C --=--=???--=-+=???-28031002803100125145() ()-
-28534
5，
例9. 已知直线：，l m x m y m ()()212430++-+-=
（1）求证：不论m 为何实数，直线l 恒过一定点M ；
（2）过定点M 作一条直线l 1，使l 1夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求l 1的方程； （3）若直线l 2过点M ，且与x 轴负半轴、y 轴负半轴围成的三角形面积最小，求l 2的方程。 解：()()124230化原直线方程为，x y m x y +++--=
由，定点的坐标为，24023012x y x y M ++=--=????--()
()21设过点的直线方程为，
M x a y
b +=
它与x 轴、y 轴分别交于A （a ，0），B （0，b ）。
∵M 为AB 中点，由中点坐标公式得a=－2，b=－4， ∴所求直线方程为240x y ++=
()()()32102设所求直线的方程为，l y k x k +=+< 它在轴，轴上的截距分别为，，则易得：x y a b
S a b k k k k k k =
=--=--=+-+-≥12122121212221244||||||||()()[()()]··
当且仅当k ＝－2时，围成的三角形面积最小，
∴所求的直线方程为，即y x x y +=-+++=221240()
【模拟试题】
1. 已知直线l 经过点P （5，10），且原点到它的距离为5，则直线l 的方程为_________。
2. 设，θπ∈[)02，则点P （1，1）到直线x y ··cos sin θθ+=2的最大距离是______________。
3. 已知点P （1，cos θ）到直线
x y sin cos []
θθθπ
+=∈11402的距离等于，且，，则θ=_____________。
4. 如图，已知正方形ABCD 的中心为E （－1，0），一边AB 所在的直线方程为x y +-=350，求其他三边所在直线的方程。
5. 求平行线27802760x y x y -+=--=和的距离。
6. 求过点A （－1，2）且与原点的距离为2
2的直线方程。
7. 求过点P （1，2）且被两平行直线l x y l x y 1243104360：与：++=++=截得的线段长为2的直线方程。
8. 求过点P （0，2）且与点A （1，1），B （－3，1）等距离的直线l 方程。 9. 原点关于直线8625x y +=的对称点坐标是（ ）
A.
()
23
2，
B. (
)25825
6，
C. ()34，
D. （4，3） （1991年全国高考题）
【试题答案】
1. 342505x y x -+==或
提示：（1）当直线l 的斜率存在时，可设l 的方程为y kx b =+。
根据题意，得
1051534
25
42=++=?????==?????
??k b b k k b ，，解得，||
∴所求的直线l 的方程为34250x y -+=。
（2）当直线l 的斜率不存在时，直线的倾斜角为π
2，即直线l 与x 轴垂直。
根据题意，得所求直线l 的方程为x =5。 2. 22+
提示：点P （1，1）到直线x y ··cos sin θθ+-=20的距离为
d =
+-+=+-=+
-|c o s s i n |c o s s i n |s i n c o s ||s i n ()|
θθθθ
θθθπ
2224
22
2
。
∵θπ∈[)02，，
∴当，即时，sin()||θπ
θπ
+
=-=
=--=+4
1542222d 最大。
3. 提示：
由
|sin cos |[]θθθπ+-=
∈211402，，，得sin sin 2140θθ-+=，
∴s i n θ=
1
2。
4. 解：可设CD 所在直线方程为：x y m ++=30，
则
·
，
||||m ++=-+-+513
210513
2
2
2
2
∴或m =-717。
∵点E 在CD 上方，∴m ＝－17。经检验不合题意，舍去。 ∴m=7，∴CD 所在直线方程为x y ++=370。 ∵AB ⊥BC ，
∴可设BC 所在直线方程为30x y n -+=，
则
||
||
--++=
-+-+30131051322
22n ，∴n=9或－3。
经检验，BC 所在直线方程为390x y -+=， AD 所在直线方程为330x y --=。
综上所述，其他三边所在直线方程为x y x y x y ++=-+=--=370390330，，。 5. 分析：在直线上任取一点，求这点到另一直线的距离。 解：在直线2760x y --=上任取一点，如P （3，0），
则点P （3，0）到直线2780x y -+=的距离就是两平行线间的距离。
因此
d =
-++-=
=
||
()23708271453
1453
5322
××。
［注意］
用上面方法可以证明如下结论：
一般地，两平行直线Ax By C ++=10和Ax By C ++=20()C C 12≠间的距离为
d C C A B =
-+||1222。
6. 分析：设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率k 。 解：设直线方程为y k x -=+21()，则kx y k -++=20。
∴
||
21
2
22++=
k k ，解之得k k =-=-17或。
故所求直线的方程为y x -=-+21()或y x -=-+271()，
即x y x y +-=++=10750或。
7. 分析：先画图，由图形易求得两平行直线间的距离为1，则所求直线与两平行直线成45°
角，则由夹角公式求得所求直线的斜率
k k ==-
717或。
解：易求得两平行直线间的距离为1，则所求直线与两平行直线成45°角，
设所求直线的斜率为k ，则|
|tan k k +
-==4
3143451°，
解之得
k k ==-
71
7或。
∴所求直线方程为x y x y +-=--=7150750或。
［注意］
在寻求问题解的过程中，数形结合可优化思维过程。 8. 分析：画图分析，可知符合题意的直线l 有2条。
解：画图分析，可知符合题意的直线l 有2条。其一直线经过AB 的中点；其二直线与AB 所在的直线平行。又由AB 的中点为（－1，1）得所求直线为y x =+2；当所求直线与AB 所在的直线平行时，得所求直线方程为y =2。
9. 解：直线
862543x y +=-
的斜率为，与它垂直的直线斜率为3
4，因此原点关于此直线
对称的点应在直线
y x
=
34上。
对照选项，只有（4，3）在直线上，故选D 。 ［评注］
本题考查直线方程和对称点的有关知识。
点到直线的距离公式教案
点到直线的距离公式教案 江苏省无锡市惠山区长安中学徐忠 一、教案背景 1.教材。 本课时选自江苏教育出版社的中等职业学校国家审定教材《数学》第7章解析几何第2节两直线的位置关系中的一节，是直线形解析几何内容的最后一个知识点。点到直线的距离公式是解析几何中计算距离的两个重要的基础公式之一。相对于另一个距离公式也就是两点间的距离公式，它需要有更强的综合知识的能力和计算能力，它既是学习曲线形解析几何内容的必备条件，也是直线形解析几何内容的难点。同时，本公式也体现了解析几何中的数学美，以及解析几何在解决数学问题中所展现的逻辑美。 2.学生。 本课时的教学对象是职业高中学生。作为中考成绩最差的一部分，这些学生学习能力弱，对基础知识的掌握和数学能力的运用方面都有很大的缺陷。他们的学习意志也不坚定，遇到困难很容易放弃。但他们对于能够理解和掌握的知识会表现出很大的兴趣。 二、课时分析 针对以上分析，对本课时作如下定位。 1.教学目标： （1）掌握点到直线的距离公式，初步使用公式解相关习题。 （2）锻炼学生的计算能力，培养良好的学习习惯。 （3）体会公式中的数学美；培养学生“数形结合”的数学思想。 2.重点：点到直线的距离公式。 3.难点：点到直线的距离公式的初步应用。 三、教学方法 1.教法。本课教法以讲授为主。采用“提出问题——解决问题”的过程来设计教学。通过 从简单到复杂，从特殊到一般，循序渐进，逐步深入地使学生理解本课主题。对基础比较薄弱的学生来说，这也是最容易接受的教学方式。 2.学法。本课学法以练习为主。在学生取得初步印象后，随时通过学生练习来加深理解， 巩固知识。学生练习是职高学生理解、掌握知识的重要途径，也是锻炼能力、培养良好学习习惯的有效方法。 四、教学过程 （一）知识准备 1.两点间的距离公式。 2.直线方程的一般形式。 3.两直线平行，则____；两直线垂直，则____。 4.点与直线的位置关系；两相交直线的交点坐标。 设计目标：复习已有知识，为新课作准备。 （二）问题提出 什么是点到直线的距离？ 设计目标：理解点到直线的距离的几何意义，使学生重温“垂线段”这个名词。 （三）问题解决 1.当直线平行于坐标轴时的情况。例：求点A(2,-3)到下列直线的距离d： (1) y=7；(2) x +1=0． =7
点到直线的距离公式
点到直线的距离公式 一、教学目标 (一)知识教学点 点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用． (二)能力训练点 培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法． (三)知识渗透点 由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律． 二、教材分析 1．重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程． 2．难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题． 3．疑点：点到直线的距离公式是在A≠0、B≠0的条件下推得的．事实上，这个公式在A=0或B=0时，也是成立的． 三、活动设计 启发、思考，逐步推进，讲练结合． 四、教学过程 (一)提出问题 已知点P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线l的距离呢？ (二)构造特殊的点到直线的距离学生解决 思考题1 求点P(2，0)到直线L：x-y=0的距离(图1-33)．
学生可能寻求到下面三种解法： 方法2 设M(x，y)是l：x-y=0上任意一点，则 当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线l的距离． 方法3 直线x-y=0的倾角为45°，在Rt△OPQ中，|PQ|=|OP| 进一步放开思路，开阔眼界，还可有下面的解法： 方法4 过P作y轴的平行线交l于S，在Rt△PAS中，|PO|=|PS| 方法5 过P作x轴的垂线交L于S ∵|OP|·|PS|=|OS|·|PQ|，
空间点到直线的距离公式
空间点到直线的距离公式 y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z- zl)/p=t。 (1)式(1)的注释：点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点，向 量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。空间直线 的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法， 请参考《高等数学》空间几何部分。设点(x0, y0, z0)到直线L 的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线上，所以有：(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t (2)式(2)可变形为：xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl、 (3)且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0- xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4)把式(3)代入式(4)，可消去未知 数“xc, yc, zc”，得到t的表达式：t=[m*(x0-xl)+n*(y0- yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5)点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离：d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] (6)其中xc, yc, zc可以用式(3)和式(5)代入消去。 第 1 页共 1 页
点到直线的距离公式应用
点与直线问题 (1)点P （x 0，y 0）到直线Ax ＋By ＋C=0 的距离 (运用本公式要把直线方程变为一般 式) （2）两条平行线 之 间的距离 (运用此公式时要注意把两平行线方程 x 、y 前面的系数变为相同的) (3)点 P （x ，y ）关于Q （a ，b ）的对称点为P'（2a －x ，2b －y ） (4)直线关于点对称:在已知直线上任取两点A 、B,再分别求出A 、B 关于P 点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程. (5)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分” 设 P （x 0，y 0），l ：Ax ＋By ＋C=0（A 2＋B 2≠0），若P 关于l 的对称点的坐标Q 为（x ，y ），则l 是PQ 的垂直平分线，即①PQ ⊥l ；②PQ 的中点在l 上， 解方程组可得 Q 点的坐标 例1 求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离 解：22 |3(1)2|5330d ?--= =+ 例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C (–1， 0)，求三角形ABC 的面积. 解：设AB 边上的高为h ，则 221 ||2||(31)(13)22 ABC S AB h AB =?=-+-=V AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在直线方程为31 1331 y x --= -- 即x + y – 4 = 0. 点C 到x + y – 4 = 0的距离为h 2|104|5112 h -+-==+， 因此，15225 22S ABC =??= 例3 求两平行线 l 1：2x + 3y – 8 = 0 l 2：2x + 3y – 10 =0的距离. 解法一：在直线l 1上取一点P (4,0)，因为l 1∥l 2，所以P 到l 2的距离等于l 1与l 2的距离，于是 22|243010|21313 23 d ?+?-==+ 解法二： 直接由公式22 |8(10)|21313 23d ---= =+ 例 4、求直线3x －y －4=0关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程
点到直线的距离公式的七种推导方法
点到直线的距离公式的七种推导方法(转载) 很有用哦 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A 解得交点22 00002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 22222 000000 2222 222200002222 2222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+= ++ +|PQ ∴= 二、 函数法 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 22220022222222000022 0000220000()[()()] ()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++= 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不 等式：222222 000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ B 0,Ax y C ++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 四、转化法 证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M 11(,) x y 显然 10 x x =所以 01Ax C y b +=- x
点到直线的距离公式
课 题：7.3两条直线的位置关系（四） ―点到直线的距离公式 教学目的： 1. 2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞 3. 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题王新敞 教学重点：点到直线的距离公式王新敞 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 授课类型：新授课王新敞 课时安排：1课时王新敞 教 具：多媒体、实物投影仪王新敞 内容分析： 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离. 在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施，以培养学生研究问题的习惯，分析问题进而解决问题的能力. 在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生与点到直线的距离产生联系，从而应用点到直线的距离公式求解王新敞 教学过程： 一、复习引入： 1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 2．斜率存在时两直线的平行与垂直： 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之， 如果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ?1k =2k 且21b b ≠ 已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ， 2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A
《点到直线的距离公式》教案(公开课)
《点到直线的距离公式》教案 一、教学目标 (一)知识教学点 点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用． (二)能力训练点 培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法． (三)知识渗透点 由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律． 二、教材分析 1．重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程． 2．难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题． 3．疑点：点到直线的距离公式是在A≠0、B≠0的条件下推得的．事实上，这个公式在A=0或B=0时，也是成立的． 三、活动设计 启发、思考，逐步推进，讲练结合． 四、教学过程 (一)提出问题 已知点P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线l的距离呢？ (二)构造特殊的点到直线的距离学生解决 思考题1 求点P(2，0)到直线L：x-y=0的距离(图1-33)． 学生可能寻求到下面三种解法：
方法2 设M(x，y)是l：x-y=0上任意一点，则 当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线l的距离． 方法3 直线x-y=0的倾角为45°，在Rt△OPQ中，|PQ|=|OP| 进一步放开思路，开阔眼界，还可有下面的解法： 方法4 过P作y轴的平行线交l于S，在Rt△PAS中，|PO|=|PS| 方法5 过P作x轴的垂线交L于S ∵|OP|·|PS|=|OS|·|PQ|， 比较前面5种解法，以第3种或4种解法为最佳，那么第3种解法是否可以向一般情况推广呢？ 思考题2 求点P(2．0)到直线2x-y=0的距离(图1-34)． 思考题 3求点P(2，0)到直线2x-y+2=0的距离(图1-35)．
点到直线地距离公式
§7 向量应用举例 7．1 点到直线的距离公式 7．2 向量的应用举例 [学习目标] 1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具． [知识链接] 1．向量可以解决哪些常见的几何问题？ 答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系． (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题． 2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ 答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [预习导引] 1．直线的法向量 (1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)． (2)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)． 2．点到直线的距离公式 设点M(x0，y0)为平面上任一定点，则点M到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝ |Ax0＋By0＋C| A2＋B2 . 3．向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝ a·b |a||b| ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 .
点到直线的距离公式
教学设计：点到直线的距离公式 一、教材分析 点到直线的距离公式是高中解析几何课程中最重要的也是最精彩的公式之一，它是解决点与直线、直线与直线位置关系的基础，也是研究直线与圆、圆与圆的位置关系的重要工具，同时为后面学习圆锥曲线做准备。教材试图让学生通过学习、探究点到直线的距离公式的思维过程，深刻领会蕴涵于其中的数学思想和方法；逐步学会利用数形结合、算法、转化、函数等数学思想方法来解决数学问题；充分体验作为学习主体进行探究、发现和创造的乐趣。 二、学情分析 我上课的班级是淮北一中的实验班，从总体上看，本班学生的数学基础比较好，平时肯思考问题，钻研精神强，有较好的自主学习和探究学习能力，同时，学生已掌握直线的方程和平面上两点间的距离公式，具备了探讨新问题的一定的基础知识。但学生大容量的自主探究，对课堂教学过程的控制带来一定的难度。 三、教学目标 (1)经历点到直线的距离公式探索过程，抽象出求点到直线距离的步骤；理解用数形结合、算法、转化、函数等数学思想来研究数学问题的方法； (2)会利用点到直线的距离公式求点到直线的距离。 (3)通过自主探究、合作交流等方式，培养学生勇于探索、自主探究和发散思维能力和合作互助的团队精神。 （4）通过解题方法的多样性，展现数学思维的灵活性和开阔性，使学生体会解析几何的魅力。 四、教学重点 点到直线的距离公式的探究过程及公式的简单应用。 五、教学难点 点到直线的距离公式的探究。 六、教学方法 以“学生为主体，教师为主导，问题解决为主线，能力发展为目标”的教学思想为指导，采用“问题探究”的教学方法。通过创设问题情景，引导学生在自主探究与合作交流中构建新知识。 课堂实录： 师：同学们！我们知道，数学像文学作品一样，来源于生活，高于生活，并指导生活。那么，在你的生活中，听说过以下问题吗？它们又是怎样的数学问题？ （多媒体演示） 如图，在铁路的附近，有一座仓库，现要修建一条公路使之 连接起来，那么怎样设计能使公路最短? 最短路程又是多少? 生1：我们可以从仓库向铁路做垂线，沿垂线段铺设公路可使 其最短。 师：很好！将来你肯定是一个合格的工程师。再来看下一个： （多媒体演示） 报道：9月15号13号台风“珊珊”从太平洋出发以近 直线型路线运动，如图，台风波及区域约直径100海里，请 预测台北人民是否需要做台风来临前的相关工作？
点到直线的距离公式
§7向量应用举例 7．1点到直线的距离公式 7．2向量的应用举例 [学习目标] 1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具． [知识链接] 1．向量可以解决哪些常见的几何问题？ 答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系． (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题． 2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ 答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [预习导引] 1．直线的法向量 (1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)． (2)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)． 2．点到直线的距离公式 设点M(x0，y0)为平面上任一定点，则点M到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝|Ax0＋By0＋C| A2＋B2 . 3．向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?a＝λb ?x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 .
点到直线的距离公式
点与直线 直线方程 一. 教学容： 点到直线的距离； 点关于点、关于直线的对称点； 直线关于点、关于直线的对称直线； 直线方程复习； 二. 知识点： 1. 点到直线距离公式及证明 d Ax By C A B = +++|| 0022 关于证明： 根据点斜式，直线PQ 的方程为（不妨设A ≠0） y y B A x x -= -00(), 即，Bx Ay Bx Ay -=-00 解方程组 Ax By C Bx Ay Bx Ay ++=-=-?? ? 00， 得，x B x ABy AC A B =--+20022 这就是点Q 的横坐标，又可得 x x B x ABy AC A x B x A B -= ----+02002020 22 =- +++A Ax By C A B () 0022 ， y y B A x x B Ax By C A B -=-=-+++000022 ()()， 所以， d x x y y Ax By C A B =-+-= +++()()()0202 00222
= +++|| Ax By C A B 0022 。 这就推导得到点P （x 0，y 0）到直线l ：Ax+By+C=0的距离公式。 如果A=0或B=0，上式的距离公式仍然成立。 下面再介绍一种直接用两点间距离公式的推导方法。 设点Q 的坐标为（x 1，y 1），则 Ax By C y y x x B A A 11101000++=--=??? ??, ()≠， 把方程组作变形， A x x B y y Ax By C B x x A y y ()()()()()10100010100-+-=-++---=?? ? ，①② 把①，②两边分别平方后相加，得 ()()()()A B x x B A y y 2210222102+-++- =++()Ax By C 002 ， 所以， ()()()x x y y Ax By C A B 102 102 00222 -+-=+++， 所以， d x x y y =-+-()()102102 = +++|| Ax By C A B 0022 此公式还可以用向量的有关知识推导，介绍如下： 设，、，是直线上的任意两点，则P x y P x y l 111222()() Ax By C Ax By C 112 200++=++=?? ?③④ 把③、④两式左右两边分别相减，得 A x x B y y ()()12120-+-=， 由向量的数量积的知识，知
点到直线的距离公式的推导过程及其应用
点到直线的距离公式的推导过程 一、公式的导出 设点0:),(000=++C By Ax l y x P 为已知直线外一点，如何求它到该直线的距离？ 解：设过点的到点，垂足为垂直的直线为且与已知直线l P y x D l l P 0/0),,( .0D P d d =，则距离为 2 02022000220002 200222002000000/)()() ()(;00, 0), (; ,0/y y x x d B A C By Ax B y y B A C By Ax A x x B A BC ABx y A y B A AC ABy x B x Bx Ay Ay Bx C By Ax Bx Ay Ay Bx x x A B y y A B k l l B A k C By Ax l l -+-= ∴+++-=-+++-=-∴+--=+--=???=-+-=++=-+--=-=⊥- =?=++， ，，得：，，由即，代入点斜式，得：，所以，又因为由
. )()()(22002 22 002 220022200B A C By Ax B A C By Ax B A C By Ax B B A C By Ax A +++=+++= ?? ? ???+++-+??????+++-= 即，直线外一已知点0P 到已知直线l 的距离公式为： .2 2 00B A C By Ax d +++= 二、公式的应用 （一）求点到直线的距离： 例1、）到下列直线的距离：，（求点21-P ⑴ 0543=+-y x ； ⑵ 53=x ； ⑶ .1-=y 分析：应用点到直线的距离公式时应该把直线方程化为一般式． 解 ⑴式，得根据点到直线的距离公 ： .5 6 )4(35 24)1(32 2=-++?--?= d ⑵，得：将直线方程化为一般式 .053=-x 式，得根据点到直线的距离公： .3 8 035 20)1(32 2=+-?+-?= d ⑶，得：将直线方程化为一般式 .01=+y 式，得根据点到直线的距离公： .31 01 21)1(02 2 =++?+-?= d 评析：当已知直线与x(或y)轴平行时，用几何意义来解会更简洁．
点到直线的距离公式教学设计
教学设计:点到直线的距离公式 一、教学分析: 1、教学内容的分析: 点到直线的距离公式是《平面解析几何》 第一章最后一节内容，是在研究了平面内直线的方程，两直线的位置关系的基础上的一个重要内容，它既是第一章的终点部分，又是第二章解决一些轨迹问题的基础，同时，这节课也是培养学生迁移，联想及探索创新能力的好素材。 2、学生的分析：学生刚学完两条直线的位置关系，在处理一些 简单问题上有了一个明显的认识，但在较复杂的应用方面还不够熟练，所以进行必要的引导很有必要 二、教学目标：（依据教纲和本节教材的特点确定） （1）知识目标：A：理解点到直线距离公式的推导过程。 B：掌握点到直线的距离公式。 （2）能力目标：培养学生迁移，联想能力，逻辑思维能力，数 形结合能力。 （3）情感目标：通过多种手法，进行数学的美学教育，提高学生 的学习积极性。 三、教学重点：点到直线的距离公式。 四、教学难点：引导学生迁移，联想，创新思维，找出证明途径。 五、教学关键：教师必须抓住学生思维的火花，让学生的内在动机外 显行为化。
六、教法分析:（遵循“教师为主导，学生为主体”的原则） 1、教师必须抛弃过去的那种单纯的教师讲授，学生接受的教学模 式，在教学中启发引导，迁移联想，构建模型。由于本节内容为第一章最后一节内容，学生对点、线、线线关系均有了一个较为明确的认识。因此改变传统的求证方法，以引导思路为主，让学生边探索，边发现，最后证明距离公式。 2、多媒体教学，使整个课上得生动、有趣、高效。 3、使用教具，多媒体课件及投影仪。 六、学习方法分析： 充分地调动学生的学习积极性，增加学生的参与机会，让学生“动手、动脑”，因此在教学中，引导学生“动手做，大胆猜，严格证，勤钻研”的学习方法，让学生“学”有所“思”，“思” 有所“得”，最终达到学生会学的目的。 七、教学程序： 1、复习提问： ①平面内点与直线的位置关系有几种？ ②点到直线的距离的定义 演示（设计意图：通过简明的情景设置为本节作好 知识的铺垫与图形准备） 2、演示启发： 由复习可知，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长，那么怎样用解析法求点到直线的距离呢？
点到直线的距离公式的七种推导方法
点到直线的距离公式的七种推导方法 湖南省 黄爱民 赵长春 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A ' l ∴的方程：00()B y y x x A -= -与l 联立方程组 解得交点2 2 000022 22 ( , )B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 2 2 2 2 2 0000002 2 2 2 2 2 2 2 00002 2 2 22 2 2 2 2 0000002 22 2 2 22 2 ||( )( ) ()( ) () () () () () B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++= + = ++ +|PQ ∴= 二、 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 2 2 2 2 002 2 2 2 2 2 2 2 00002 2 00002 2 0000()[()()] ()B ()()B ()[()B()][()B()] [()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不 等式：222222 000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ |B | B 0,Ax y C Ax y C ++++=∴ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是|| Ax By C d ++= 四、转化法 证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M x x 3 图
点到直线的距离公式的七种推导方法
点到直线的距离公式的七种推导方法 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A 解得交点22 00002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 2222 2 0000002222222200002222 22222000000222222 22||()()()() ()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx B C A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+=++ +|PQ ∴= 二、 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 22220022222222000022 0000220000()[()()] ()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不等式：222222000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ B 0,Ax y C ++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 四、转化法 证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M 11(,) x y 显然 10 x x =所以 01A x y b +=- 00 0|||||| A x C A x B y C P M y B B +++∴=+ = x
点到直线的距离公式的七种推导方法.
点到直线的距离公式的七种推导方法 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A 'l ∴的方程：00()B y y x x A -= -与l 联立方程组 解得交点2200002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 222 2 2 00000022222222 000022222222200000022222222 ||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx B C A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+= ++ +|PQ ∴=二、 函数法 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 22220022222222000022 0000220000()[()()] ()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不等式： 222222000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ B 0,Ax y C ++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 四、转化法 证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M 11(,) x y 显然 10 x x =所以 01A x y b +=- 00 0|||||| A x C A x B y C P M y B B +++∴=+ = x
空间点到直线的距离公式
平面点到直线距离 点(x0, y0)，直线：A*x+B*y+C=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C|/√(A*A+B*B) 空间点到平面距离 点(x0, y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C) 空间点到直线距离 点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）： (x-x l)/m=(y-y l)/n=(z-z l)/p=t。(1) 式(1)的注释：点(x l, y l, z l)是直线上已知的一点，向量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。 空间直线的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法，请参考《高等数学》空间几何部分。 设点(x0, y0, z0)到直线L的垂点坐标为(x c, y c, z c)。因为垂点在直线上，所以有： (x c-x l)/m=(y c-y l)/n=(z c-z l)/p=t (2) 式(2)可变形为： x c=m*t+x l, y c=n*t+y l, z c=p*t+z l. (3) 且有垂线方向向量(x0-x c, y0-y c, z0-z c)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：
m*(x0-x c)+n*(y0-y c)+p*(z0-z c)=0 (4) 把式(3)代入式(4)，可消去未知数“x c, y c, z c”，得到t的表达式：t=[m*(x0-x l)+n*(y0-y l)+p*(z0-z l)]/(m*m+n*n+p*p) (5) 点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(x c, y c, z c)的距离： d=√[(x0-x c)^2+(y0-y c)^2+(z0-z c)^2] (6) 其中x c, y c, z c可以用式(3)和式(5)代入消去。