2014数列解答题集锦
数 学
D 单元 数列
D1 数列的概念与简单表示法
17．、、[2014·江西卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n
2
，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．
17．解：(1)由S n ＝3n 2－n
2
，得a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，a 1也符合
上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2.
(2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1·a m ，即(3n －2)2
＝1·
(3m －2)，即m ＝3n 2－4n ＋2.而此时m ∈N *
，且m ＞n ，
所以对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．
D2 等差数列及等差数列前n 项和 15．、[2014·北京卷] 已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和． 17．，[2014·福建卷] 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；
(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 19．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．
(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．
16．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n
2
，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．
13．[2014·江西卷] 在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．
9．[2014·辽宁卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d ＞0 B ．d ＜0 C ．a 1d ＞0 D ．a 1d ＜0
17．[2014·全国卷] 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．
5．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )
A ．n (n ＋1)
B ．n (n －1) C.n （n ＋1）2 D.n （n －1）
2
17．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求数列????
??
a n 2n 的前n 项和．
19．，，[2014·山东卷] 在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n （n ＋1）2
，记T m ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .
16．、、[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值． 19．、、[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．
(1)证明：数列{b n }为等比数列；
(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1
ln 2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .
19．[2014·浙江卷] 已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3
＝36.
(1)求d 及S n ；
(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 16．、[2014·重庆卷] 已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和．
(1)求a n 及S n ；
(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .
D3 等比数列及等比数列前n 项和 12．[2014·安徽卷] 如图1-3，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；….依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．
图1-3
12.14
17．，[2014·福建卷] 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；
(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 17．解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得
?????a 1q ＝3，a 1q 4
＝81，解得?
????a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n －
1.
(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，
所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n 2－n
2
.
13．、[2014·广东卷] 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3
＋log 2a 4＋log 2a 5＝________．
13．5 19．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．
(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．
19．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，
依题意知，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )， 化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4， 当d ＝0时，a n ＝2；
当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，
从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．
当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]
2
＝2n 2.
令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，
此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；
当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 7．[2014·江苏卷] 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．
7．4
17．、、[2014·江西卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n
2
，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．
17．解：(1)由S n ＝3n 2－n
2
，得a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，a 1也符合
上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2.
(2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1·a m ，即(3n －2)2
＝1·
(3m －2)，即m ＝3n 2－4n ＋2.而此时m ∈N *
，且m ＞n ，
所以对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 18．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a <0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间；
(2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．
18．解：(1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2（5x －2）（x －2）x
＝0得x ＝2
5或x ＝2，由f ′(x )＞0
得x ∈???
?0，2
5或x ∈(2，＋∞)． 故函数f (x )的单调递增区间为???
?0，2
5和(2，＋∞)． (2)因为f ′(x )＝（10x ＋a ）（2x ＋a ）
2x ，a ＜0，
所以由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a
2
.
当x ∈????0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈????－a 10，－a
2时，f (x )单调递减；当x ∈???
?－a
2，＋∞时，f (x )单调递增． 易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ???
?－a
2＝0. ①当－a
2
≤1，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，
得a ＝±22－2，均不符合题意．
②当1<－a
2
≤4时，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]时的最小值为f ????－a 2＝0，不符合题意．
③当－a
2
＞4时，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4时取得，而
f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)．
当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意． 综上有，a ＝－10. 8．[2014·全国卷] 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64
8．C [解析] 设等比数列{a n }的首项为a ，公比为q ，易知q ≠1，根据题意可得?
????a （1－q 2）
1－q ＝3，
a （1－q 4）
1－q
＝15，
解得q 2
＝4，a 1－q ＝－1，所以S 6＝a （1－q 6）1－q ＝(－1)(1－43)＝63. 5．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )
A ．n (n ＋1)
B ．n (n －1)
C.n （n ＋1）2
D.n （n －1）2
5．A [解析] 由题意，得a 2，a 2＋4，a 2＋12成等比数列，即(a 2＋4)2＝a 2(a 2＋12)，解得a 2＝4，即a 1＝2，所以S n ＝2n ＋n （n －1）
2
×2＝n (n ＋1)．
19．，，[2014·山东卷] 在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n （n ＋1）2
，记T m ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .
19．解：(1)由题意知，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知，b n ＝a n （n ＋1）2
＝n (n ＋1)，
所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ×(n ＋1)． 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)， 所以当n 为偶数时，
T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n
2（4＋2n ）2
＝
n （n ＋2）
2
， 当n 为奇数时， T n ＝T n －1＋(－b n )
＝
（n －1）（n ＋1）
2
－n (n ＋1)
＝－（n ＋1）2
2
.
所以T n ＝?
??－（n ＋1）22
，n 为奇数，
n （n ＋2）
2
，n 为偶数.
16．、、[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值．
16．解： (1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ， ∴b ＝2a .
由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝3
4
.
20．、、[2014·天津卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M ＝{0，1，2，…，
q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1
，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }．
(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .
(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －
1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n ＜b n ，则s ＜t .
20．解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．
(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －
1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n
s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －
1
≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －
1
＝（q －1）（1－q n －
1）1－q
－q n －1
＝－1<0， 所以s (1)求a n 及S n ； (2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n . 16．解：(1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，所以 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. 故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n （a 1＋a n ）2＝n （1＋2n －1）2 ＝n 2 . (2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0， 所以(q －4)2＝0，从而q ＝4. 又因为b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列， 所以b n ＝b 1q n －1＝2×4n －1＝22n － 1. 从而{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝23(4n －1)． D4 数列求和 15．、[2014·北京卷] 已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和． 15．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得 d ＝a 4－a 13＝12－33 ＝3. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…)． 设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得 q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2. 所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n － 1＝2n － 1. 从而b n ＝3n ＋2n － 1(n ＝1，2，…)． (2)由(1)知b n ＝3n ＋2n － 1(n ＝1，2，…)． 数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1 }的前n 项和为1×1－2n 1－2＝2n －1， 所以，数列{b n }的前n 项和为3 2 n (n ＋1)＋2n －1. 16．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2 ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 16.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1） 2 ＝n . 故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2（1－22n ）1－2 ＝22n ＋1 －2， B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋ 1＋n －2. 17．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列???? ?? a n 2n 的前n 项和． 17．解：(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3. 由题意得a 2＝2，a 4＝3. 设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ， 故d ＝12，从而得a 1＝32 . 所以{a n }的通项公式为a n ＝1 2 n ＋1. (2)设???? ??a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1， 则S n ＝322＋4 23＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1， 12S n ＝323＋4 24＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22 n ＋2， 两式相减得 12S n ＝34＋????1 23＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14????1－12n －1－n ＋22n ＋2，所以S n ＝2－n ＋42 n ＋1. 19．，，[2014·山东卷] 在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n （n ＋1）2 ，记T m ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n . 19．解：(1)由题意知，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知，b n ＝a n （n ＋1）2 ＝n (n ＋1)， 所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ×(n ＋1)． 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)， 所以当n 为偶数时， T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n 2（4＋2n ）2 ＝ n （n ＋2） 2 ， 当n 为奇数时， T n ＝T n －1＋(－b n ) ＝ （n －1）（n ＋1） 2 －n (n ＋1) ＝－（n ＋1）2 2 . 所以T n ＝? ??－（n ＋1）22 ，n 为奇数， n （n ＋2） 2 ，n 为偶数. D5 单元综合 18．[2014·安徽卷] 数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *. (1)证明：数列???? ?? a n n 是等差数列； (2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 18．解： (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以??????a n n 是以a 1 1＝1为首 项，1为公差的等差数列． (2)由(1)得a n n ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2， 从而可得b n ＝n ·3n . S n ＝1×31＋2×32＋…＋(n －1)×3n － 1＋n ×3n ，① 3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)3n ＋n ×3n ＋ 1.② ①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1 ＝3·（1－3n ）1－3 －n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋ 1－32， 所以S n ＝（2n －1）·3n ＋ 1＋34 . 19．[2014·广东卷] 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2 ＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *. (1)求a 1的值； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）<1 3 . 19．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式． (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由． 19．解：(1)设数列{a n }的公差为d ， 依题意知，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )， 化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4， 当d ＝0时，a n ＝2； 当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2， 从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）] 2 ＝2n 2. 令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)， 此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ； 当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 20．[2014·江苏卷] 设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”． (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈)，证明：{a n }是“H 数列”． (2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值． (3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈)成立． 20．解： (1)证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋ 1－2n ＝2n .于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m ， 所以{a n }是“H 数列”． (2)由已知得，S 2＝2a 1＋d ＝2＋d .因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2 ＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1.因为d <0，所以m －2<0，故m ＝1，从而d ＝－1. 当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n （3－n ） 2是小于2的整数，n ∈N *.于是对任意的正整数 n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n （3－n ） 2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”， 因此d 的值为－1. (3)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)． 令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)． 下证{b n }是“H 数列”． 设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n （n ＋1） 2a 1(n ∈N *)．于是对任意的正整数n ，总存在 正整数m ＝n （n ＋1） 2 ，使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H 数列”． 同理可证{c n }也是“H 数列”． 所以对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立． 17．、、[2014·江西卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n 2 ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 17．解：(1)由S n ＝3n 2－n 2 ，得a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，a 1也符合 上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2. (2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1·a m ，即(3n －2)2 ＝1· (3m －2)，即m ＝3n 2－4n ＋2.而此时m ∈N * ，且m ＞n ， 所以对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 18．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a <0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值． 18．解：(1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2（5x －2）（x －2）x ＝0得x ＝2 5或x ＝2，由f ′(x )＞0 得x ∈??? ?0，2 5或x ∈(2，＋∞)． 故函数f (x )的单调递增区间为??? ?0，2 5和(2，＋∞)． (2)因为f ′(x )＝（10x ＋a ）（2x ＋a ） 2x ，a ＜0， 所以由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a 2 . 当x ∈????0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈????－a 10，－a 2时，f (x )单调递减；当x ∈??? ?－a 2，＋∞时，f (x )单调递增． 易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ??? ?－a 2＝0. ①当－a 2 ≤1，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8， 得a ＝±22－2，均不符合题意． ②当1<－a 2 ≤4时，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]时的最小值为f ????－a 2＝0，不符合题意． ③当－a 2 ＞4时，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4时取得，而 f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)． 当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意． 综上有，a ＝－10. 19．、、[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)． (1)证明：数列{b n }为等比数列； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1 ln 2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n . 19．解：(1)证明：由已知得，b n ＝2a n ＞0， 当n ≥1时，b n ＋1 b n ＝2a n ＋1－a n ＝2d . 故数列{b n }是首项为2a 1，公比为2d 的等比数列． (2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 其在x 轴上的截距为a 2－1 ln 2 . 由题意知，a 2－1ln 2＝2－1 ln 2 ， 解得a 2＝2， 所以d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b 2 n ＝n ·4n . 于是，S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)×4n － 1＋n ×4n ， 4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋ 1， 因此，S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝（1－3n ）4n ＋1 －43 ， 所以，S n ＝（3n －1）4n ＋ 1＋4 9 . 新课标第一网系列资料 https://www.360docs.net/doc/ff9136781.html, D 单元 数列 D1 数列的概念与简单表示法 17．、、[2014·江西卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n 2 ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 17．解：(1)由S n ＝3n 2－n 2 ，得a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，a 1也符合 上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2. (2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1·a m ，即(3n －2)2 ＝1·(3m －2)，即m ＝3n 2－4n ＋2.而此时m ∈N *，且m ＞n ， 所以对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 18．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a <0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值． 18．解：(1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2（5x －2）（x －2）x ＝0得x ＝2 5或x ＝2，由f ′(x )＞0 得x ∈??? ?0，2 5或x ∈(2，＋∞)． 故函数f (x )的单调递增区间为??? ?0，2 5和(2，＋∞)． (2)因为f ′(x )＝（10x ＋a ）（2x ＋a ） 2x ，a ＜0， 所以由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a 2 . 当x ∈????0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈????－a 10，－a 2时，f (x )单调递减；当x ∈??? ?－a 2，＋∞时，f (x )单调递增． 易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ??? ?－a 2＝0. ①当－a 2 ≤1，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8， 得a ＝±22－2，均不符合题意． ②当1<－a 2 ≤4时，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]时的最小值为f ????－a 2＝0，不符合题意． ③当－a 2 ＞4时，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4时取得，而 f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)． 当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意． 综上有，a ＝－10. 16．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 数列{a n }满足a n ＋1＝1 1－a n ，a 8 ＝2，则a 1＝________． 16.12 D2 等差数列及等差数列前n 项和 2．[2014·重庆卷] 在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．14 2．B 5．[2014·天津卷] 设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 5．D 15．、[2014·北京卷] 已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4， b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和． 15．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得 d ＝a 4－a 13＝12－33 ＝3. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…)． 设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得 q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2. 所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n － 1＝2n － 1. 从而b n ＝3n ＋2n － 1(n ＝1，2，…)． (2)由(1)知b n ＝3n ＋2n － 1(n ＝1，2，…)． 数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1 }的前n 项和为1×1－2n 1－2＝2n －1， 所以，数列{b n }的前n 项和为3 2 n (n ＋1)＋2n －1. 17．，[2014·福建卷] 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ； (2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 17．解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得 ?????a 1q ＝3，a 1q 4 ＝81，解得? ????a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n － 1. (2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1， 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n 2－n 2 . 19．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式． (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由． 19．解：(1)设数列{a n }的公差为d ， 依题意知，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )， 化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4， 当d ＝0时，a n ＝2； 当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2， 从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）] 2 ＝2n 2. 令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)， 此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ； 当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 16．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2 ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 16.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1） 2 ＝n . 故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2（1－22n ）1－2 ＝22n ＋1 －2， B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋ 1＋n －2. 13．[2014·江西卷] 在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________． 13.? ???－1，－7 8 9．[2014·辽宁卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d ＞0 B ．d ＜0 C ．a 1d ＞0 D ．a 1d ＜0 9．D 17．[2014·全国卷] 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式． 17．解：(1)由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2， 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1， 所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)， 即a n ＋1－a n ＝2n －1. 于是 所以a n ＋1－a 1＝n 2， 即a n ＋1＝n 2＋a 1. 又a 1＝1，所以{a n }的通项公式a n ＝n 2－2n ＋2. 5．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C.n （n ＋1）2 D.n （n －1）2 5．A 17．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列???? ?? a n 2n 的前n 项和． 17．解：(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3. 由题意得a 2＝2，a 4＝3. 设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ， 故d ＝12，从而得a 1＝32 . 所以{a n }的通项公式为a n ＝1 2 n ＋1. (2)设???? ??a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1， 则S n ＝322＋4 23＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1， 12S n ＝323＋4 24＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22 n ＋2， 两式相减得 12S n ＝3 4＋????123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14????1－12n －1－n ＋22n ＋2，所以S n ＝2－n ＋42 n ＋1. 19．，，[2014·山东卷] 在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n （n ＋1）2 ，记T m ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n . 19．解：(1)由题意知，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知，b n ＝a n （n ＋1）2 ＝n (n ＋1)， 所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ×(n ＋1)． 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)， 所以当n 为偶数时， T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n 2（4＋2n ）2 ＝ n （n ＋2） 2 ， 当n 为奇数时， T n ＝T n －1＋(－b n ) ＝ （n －1）（n ＋1） 2 －n (n ＋1) ＝－（n ＋1）2 2 . 所以T n ＝? ??－（n ＋1）22 ，n 为奇数， n （n ＋2） 2 ，n 为偶数. 16．、、[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值． 16．解： (1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ， ∴b ＝2a . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝3 4 . 19．、、[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上 (n ∈N *)． (1)证明：数列{b n }为等比数列； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1 ln 2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n . 19．解：(1)证明：由已知得，b n ＝2a n ＞0， 当n ≥1时，b n ＋1 b n ＝2a n ＋1－a n ＝2d . 故数列{b n }是首项为2a 1，公比为2d 的等比数列． (2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 其在x 轴上的截距为a 2－1 ln 2 . 由题意知，a 2－1ln 2＝2－1 ln 2 ， 解得a 2＝2， 所以d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b 2 n ＝n ·4n . 于是，S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)×4n － 1＋n ×4n ， 4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋ 1， 因此，S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝（1－3n ）4n ＋1 －43 ， 所以，S n ＝（3n －1）4n ＋ 1＋4 9 . 19．[2014·浙江卷] 已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3 ＝36. (1)求d 及S n ； (2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 19．解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d >0，所以d ＝2. 从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)． (2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)， 所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1， 故?????2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以? ????m ＝5，k ＝4. 16．、[2014·重庆卷] 已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和． (1)求a n 及S n ； (2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n . 16．解：(1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，所以 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. 故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n （a 1＋a n ）2＝n （1＋2n －1）2 ＝n 2 . (2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0， 所以(q －4)2＝0，从而q ＝4. 又因为b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列， 所以b n ＝b 1q n －1＝2×4n －1＝22n － 1. 从而{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝23(4n －1)． D3 等比数列及等比数列前n 项和 12．[2014·安徽卷] 如图1-3，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；….依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________． 图1-3 12.14 17．，[2014·福建卷] 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ； (2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 17．解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得 ?????a 1q ＝3，a 1q 4 ＝81，解得? ????a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n － 1. (2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1， 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n 2－n 2 . 13．、[2014·广东卷] 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3 ＋log 2a 4＋log 2a 5＝________． 13．5 19．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式． (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由． 19．解：(1)设数列{a n }的公差为d ， 依题意知，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )， 化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4， 当d ＝0时，a n ＝2； 当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2， 从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）] 2 ＝2n 2. 令2n 2>60n ＋800，即n 2 －30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)， 此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ； 当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 7．[2014·江苏卷] 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 7．4 17．、、[2014·江西卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n 2 ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 17．解：(1)由S n ＝3n 2－n 2 ，得a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，a 1也符合 上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2. (2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1·a m ，即(3n －2)2 ＝1· (3m －2)，即m ＝3n 2－4n ＋2.而此时m ∈N * ，且m ＞n ， 所以对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 18．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a <0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值． 18．解：(1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2（5x －2）（x －2）x ＝0得x ＝2 5或x ＝2，由f ′(x )＞0 得x ∈??? ?0，2 5或x ∈(2，＋∞)． 故函数f (x )的单调递增区间为??? ?0，2 5和(2，＋∞)． (2)因为f ′(x )＝（10x ＋a ）（2x ＋a ） 2x ，a ＜0， 所以由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a 2 . 当x ∈????0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈????－a 10，－a 2时，f (x )单调递减；当x ∈??? ?－a 2，＋∞时，f (x )单调递增． 易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ??? ?－a 2＝0. ①当－a 2 ≤1，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8， 得a ＝±22－2，均不符合题意． ②当1<－a 2 ≤4时，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]时的最小值为f ????－a 2＝0，不符合题意． ③当－a 2 ＞4时，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4时取得，而 f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)． 当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意． 综上有，a ＝－10. 8．[2014·全国卷] 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 8．C [解析] 设等比数列{a n }的首项为a ，公比为q ，易知q ≠1，根据题意可得? ????a （1－q 2） 1－q ＝3， a （1－q 4） 1－q ＝15， 解得q 2 ＝4，a 1－q ＝－1，所以S 6＝a （1－q 6）1－q ＝(－1)(1－43)＝63. 5．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C.n （n ＋1）2 D.n （n －1）2 5．A [解析] 由题意，得a 2，a 2＋4，a 2＋12成等比数列，即(a 2＋4)2＝a 2(a 2＋12)，解得a 2＝4，即a 1＝2，所以S n ＝2n ＋n （n －1） 2 ×2＝n (n ＋1)． 19．，，[2014·山东卷] 在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n （n ＋1）2 ，记T m ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n . 19．解：(1)由题意知，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知，b n ＝a n （n ＋1）2 ＝n (n ＋1)， 所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ×(n ＋1)． 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)， 所以当n 为偶数时， T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n 2（4＋2n ）2 ＝ n （n ＋2） 2 ， 当n 为奇数时， T n ＝T n －1＋(－b n ) ＝ （n －1）（n ＋1） 2 －n (n ＋1) ＝－（n ＋1）2 2 . 所以T n ＝? ??－（n ＋1）22 ，n 为奇数， n （n ＋2） 2 ，n 为偶数. 16．、、[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值． 16．解： (1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ， ∴b ＝2a . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝3 4 . 20．、、[2014·天津卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M ＝{0，1，2，…， q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n － 1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }． (1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A . (2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n － 1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n ＜b n ，则s ＜t . 20．解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}． (2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n － 1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n － 1 ≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n － 1 ＝（q －1）（1－q n － 1）1－q －q n －1 ＝－1<0， 所以s (1)求a n 及S n ； (2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n . 16．解：(1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，所以 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. 故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n （a 1＋a n ）2＝n （1＋2n －1）2 ＝n 2 . (2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0， 所以(q －4)2＝0，从而q ＝4. 又因为b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列， 所以b n ＝b 1q n －1＝2×4n －1＝22n － 1. 13-14学年度上学期高三理数综合练习 高三理科数学寒假作业 数列答案 1.在等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73. (1)求数列{a n}的通项公式； (2)对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为b m，求 数列{b m}的前m项和S m. 解(1)因为{a n}是一个等差数列， 所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，即a4＝28. 设数列{a n}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9. 由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1. 所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)． (2)对m∈N*，若9m＜a n＜92m， 则9m＋8＜9n＜92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1， 故得b m＝92m－1－9m－1. 于是S m＝b1＋b2＋b3＋…＋b m ＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1) ＝9×(1－81m) 1－81 － 1－9m 1－9 ＝92m＋1－10×9m＋1 80. 2．已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3. (1)若a＝1，求数列{a n}的通项公式； (2)若数列{a n}唯一，求a的值． 解(1)设数列{a n}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)． 即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋2，q2＝2－ 2. 所以数列{a n}的通项公式为a n＝(2＋2)n－1或a n＝(2－2)n－1. (2)设数列{a n}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a －1＝0(*)， 由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根． 由数列{a n}唯一，知方程(*)必有一根为0， 代入(*)得a＝1 3. 3.在等比数列{a n}中，a2＝6，a3＝18，(1)求数列{a n}的通项公式； 1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。 ~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式． { 、 ~ 、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -=． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b 三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析 第六章 数列 一、选择题 1. 【2014高考理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 试题分析：对等比数列}{n a ，若1>q ，则当01q ”是”数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C. 考点：等比数列的性质，充分条件与必要条件的判定，容易题. 【名师点睛】本题考查充要条件，本题属于基础题，充要条件问题主要命题方法有两种，一种为判断条件是结论的什么条件？第二种是寻求结论成立的某种条件是什么？近几年高考充要条件命题以选填题为主，表面看很简单。但由于载体素材丰富，几何、代数、三角可以随意选材，所以涉及知识较多，需要扎实的基本功，本题以数列有关知识为载体，考查了数列的有关知识和充要条件. 2. 【2015高考，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C 考点定位：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查. 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和比较法，本题属于基础题，由于前两个选项无法使用公式直接做出判断，因此学生可以利用举反例的方法进行排除，这需要学生不能死套公式，要灵活应对，作差法是比较大小常规方法，对判断第三个选择只很有效. 3. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ） （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】 试题分析：由已知,11 93627,98a d a d +=??+=?所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C. 考点：等差数列及其运算 【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 4. 【2016高考理数】如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ， （P Q P Q ≠表示点与不重合）.若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则（ ） 最新《消费者权益保护法》知识竞赛试题（附答案） 一、单项选择（每题仅有一个正确答案） 1、最新的《消费者权益保护法》是在（）的第十二届全国人民代表大会常务委员会第五次会议通过修改的。 A、2013年10月25日 B、1993年10月31日 C、2009年8月27日 D、2013年3月15日 2、国家倡导文明、健康、（）的消费方式，反对浪费。 A、安全 B、诚信 C、合理 D、节约资源和保护环境 3、经营者提供的机动车、计算机、电视机、电冰箱、空调器、洗衣机等耐用商品或者装饰装修等服务，消费者自接受商品或者 服务之日起（）个月内发现瑕疵，发生争议的，由经营者承担有关瑕疵的举证责任。 A、3 B、12 C、6 D、24 4、对于线上交易的商品，消费者需要退货的，退货的商品应当完好。经营者应当自收到退回商品之日起（）日内返还消费者支付的商品价款。 A、3 B、7 C、15 D、30 5、对于线上交易的商品，消费者需要退货的，退回商品的运费由（）承担；经营者和消费者另有约定的，按照约定。” A、消费者 B、经营者 C、运输公司 D、消费者和经营者共同 6、经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用的（）。 A、一倍 B、二倍 C、三倍 D、四倍 7、经营者对消费者未尽到安全保障义务，造成消费者损害的，应当承担（）。 A、无过错责任 B、过错责任 C、侵权责任 D、担保责任 8、经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额不足（）元的，为（）元。 A、5000 B、500 C、1000 D、100 9、经营者违反最新《消费者权益保护法》规定，应当承担民事赔偿责任和缴纳罚款、罚金，其财产不足以同时支付的，优先承担（） A、民事赔偿责任 B、违约责任 C、刑事责任 D、罚款、罚金 10、根据《消法》的相关规定，消费者在购买、使用商品或者接受服务时，其合法权益受到损害，因原企业分立、合并的，可以向（）要求赔偿。 A、分立、合并前的企业 B、变更中的企业 C、变更后承受其权利义务的企业 二、多项选择题。（每题有至少1个正确答案） 11、经营者采用网络、电视、电话、邮购等方式销售商品，消费者有权自收到商品之日起七日内退货，且无需说明理由，但下列商品除外：（） A、消费者定作的； 数列高考真题汇编 1．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n -14n a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，(3分) 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(5分) (2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1) ＝(－1)n －1? ?? ??12n －1＋12n ＋1.(6分) 当n 为偶数时， T n ＝? ????1＋13－? ????13＋15＋…＋? ????12n －3＋12n －1－? ?? ??12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1 . 当n 为奇数时， T n ＝? ????1＋13－? ????13＋15＋…－? ????12n －3＋12n －1＋? ?? ??12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1 .(10分) 2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2 ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2 ＝n . 故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . 一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2， （1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1． 2017年高考试卷数列题摘录 1．(全国卷Ⅰ理科第4题，5分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，S 6=48，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2.(全国卷Ⅰ理科第12题，5分) 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是02，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A.440 B.330 C.220 D.110 3.(全国卷Ⅰ文科第17题，12分) 记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。 4．(全国卷Ⅱ理科第3题，5分) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 5.(全国卷Ⅱ理科第15题，5分) 等差数列{}n a 的前项和为n S ，33a =，410S =，则 11n k k S ==∑ ． 6.(全国卷Ⅱ文科第17题，12分) 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1=-1，b 1=1， 2019年消费者权益保护法知识竞赛试题及答案 1、我国新修订的《消费者权益保护法》中，消费者享有的权利有〔B 〕 A、8项 B、9项 C、10项 D、7项 2、最新的《中华人民共和国消费者权益保护法》自( D )起施行? A、 1993年10月31日 B、1993年12月1日 C、1994年1月1日 D、2014年3月15日 3、下面有关消费者合法权益的认识中，正确的是〔A 〕 A、消费者依法享有权利，但不能滥用 B、消费者有权选择商品或服务、并确定价格 C、消费者有权利监督企业经营管理者的决策过程 D、消费者有权要求生产经营者提供产品的生产技术秘密 4、消费者协会有权受理消费者投诉并对投诉事项进行?(A) A调查、调解 B、调查、仲裁 C、调查、判决 5、2014年“3·15”国际消费者权益日活动的主题是什么?( C) A、消费与责任 B、消费与服务 C、新消法新权益新责任 D、让消费 者更有力量6、消费者的消费客体是什么?(B) A、商品和价格 B、商品和服务 C、服务和价格 7、在保修期内( B )次修理仍不能正常使用的，经营者应当负责更换或 者退货。 A、一次 B、二次 C、三次 8、手机移动电话机、车载移动电话机、固定电话机的有效“三包”期 限为(A年)? A、一年 B、二年 C三年 9、消费者王女士在某商场促销活动中购买了一台三开门冰箱，可使用 两个月后，冰箱内壁便出现了裂痕。在与商场协商不下的情况下，向县消费 者协会投诉。关于冰箱有无出现质量问题的举证该由哪方承担(B) A、消费者协会 B、商场 C、王女士 10、“三·八”购物节时，陈小姐在某大型购物网站上看到一双高跟鞋，款式新颖，价格也很便宜，陈小姐毫不犹豫点击了购买，并支付了货款。收 到货后，陈小姐觉得这双高跟鞋虽然新颖，但颜色跟网页上的图片出入很大，于是便联系上网店店主，要求退货，并愿意承担来往的运费，但遭到店主的 拒绝。该店主违反了新《消法》的那条规定(A) A、七天无理由退货制 B、三包制度 C、没有违法 11. 经营者违反消法规定，应当承担〔D 〕责任和缴纳罚款、罚金。 A、刑事 B、赔偿 C、民事 D、民事赔偿 12、下列哪种商品不符合新《消法》“七天无理由退货”的要求?(C) A、羽绒服 B、手机 C、报纸 D、床品四件套 13、李大妈在某超市购物时，看到一款促销的东北大米，原价10.5元/ 公斤，促销价6.2元/公斤。李大妈觉得挺便宜，便买了1公斤。后李大妈 又买了1公斤苹果，苹果原价15 .5元/公斤，促销价10.1元/公斤。结账 回家后，李大妈发现超市在结账时，均是按大米和苹果的原价进行结算的， 于是她找到超市要求赔偿。根据新《消法》第55条规定，李大妈可以得到 多少赔偿(D) A、26元 B、52元 C、 104元 D、500元 14、消费者在购买、使用商品或者接受服务时，其合法权益受到损害， 因原企业分立、合并的，可以向( B )的企业要求赔偿。 A、原来的 B、变更后承受其权利义务 C、分立、合并后 高考复习数列专题： 数 列(参考答案附后) 第一节 数列的概念与数列的简单表示 一、选择题 1．已知数列{}a n 对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－ 6，那么a 10＝( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－21 2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1 n )，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 3．若数列{a n }的前n 项积为n 2 ，那么当n ≥2时，{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝n 2 C ．a n ＝ n ＋12 n 2 D ．a n ＝ n 2n －1 2 4．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6的值是( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 5．已知数列{a n }中，a n ＝n －79n －80 (n ∈N *)，则在数列{a n }的前50 项中最小项和最大项分别是( ) A ．a 1，a 50 B ．a 1，a 8 C ．a 8，a 9 D ．a 9， a 50 二、填空题 6．若数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2 －10n (n ＝1,2,3，…)，则此数 列的通项公式为________；数列{}na n 中数值最小的项是第__________项． 7．数列35，12，511，37，7 17，…的一个通项公式是 ___________________________． 8．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__________. 三、解答题 9．如果数列{}a n 的前n 项和为S n ＝3 2a n －3，求这个数列的通项 公式． 10．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N ＋ )在函数y ＝x 2 ＋1的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若列数{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2＜b 2 n ＋1. 1. （福建卷）已知等差数列 }{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2. （湖南卷）已知数列 }{n a 满足 ) (1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-= =+，则 20a = （ ） A ．0 B ．3- C ．3 D ．23 3. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 4. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列，则( ) (A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 5. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a L 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) (A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 6. （山东卷） {}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于( ) （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个 顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) (A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 7。 8. （湖北卷）设等比数列 }{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 . 9. (全国卷II ) 在83和27 2之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为______ 10. （上海）12、用n 个不同的实数 n a a a ,,,21Λ可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。 对第i 行in i i a a a ,,,21Λ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i Λ=。例如：用1，2，3可得数阵 如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=?-?+-=+++b b b Λ，那么，在 用1，2，3，4，5形成的数阵中， 12021b b b +++Λ=_______。 11. （天津卷）在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且 )( )1(12* +∈-+=-N n a a n n n ， 新《消法》考试题及答案 一、单选题(下列四组答案中只有一个是正确的，请选择正确答案填在〔〕内，每题1分) 1、新消法于（）开始实施〔D〕 A.2015年1月1日 B.2013年6月31日 C.2014年3月1日 D.2014年3月15日 解析：中华人民共和国主席令第七号，《全国人民代表大会常务委员会关于修改<中华人民共和国消费者权益保护法>的决定》已由中华人民共和国第十二届全国人民代表大会常务委员会第五次会议于2013年10月25日通过，现予公布，自2014年3月15日起施行。 2、《消法》明确消费者有（）项权利。〔A〕 A.9 B.7 C.12 D.8 3、消费者向有关行政部门投诉的，该部门应当自收到投诉之日起（）个工作日内，予以处理并告知消费者。〔D〕 A.9 B.5 C.15 D.7 解析：新《消法》第四十六条规定，“消费者向有关行政部门投诉的，该部门应当自收到投诉之日起七个工作日内，予以处理并告知消费者。” 4、经营者以预收款方式提供商品或者服务的，应当按照约定提供。未按照约定提供的，应当按照消费者的要求履行约定或者退回预付款；并应当承担预付款的（）、消费者必须支付的合理费用。〔D〕 A.本金 B.罚金 C.分红 D.利息 解析：新《消法》第五十三条规定，“经营者以预收款方式提供商品或者服务的，应当按照约定提供。未按照约定提供的，应当按照消费者的要求履行约定或者退回预付款；并应当承担预付款的利息、消费者必须支付的合理费用。” 5、消费者协会和其他消费者组织是依法成立的对商品和服务进行社会监督的保护消费者合法权益的（）。〔A〕 A.社会组织 B.行政机关 强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝ ( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 21 2b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 高考压轴题瓶颈系列之 ——浙江卷数列 【见证高考卷之特仑苏】 1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b ()()* ∈=N n a a a n b n 2 2 1 . 若 {}n a 为等比数列，且.6,2231b b a +== (Ⅰ)求 n a 与 n b ； (Ⅱ)设() * ∈-= N n b a c n n n 1 1。记数列{}n c 的前n 项和为n S . （i ）求 n S ； （ii ）求正整数k ，使得对任意* ∈N n ，均有 n k S S ≥． 2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列 {} n a 的首项 1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41 a 成等比数列 （Ⅰ）求数列 {} n a 的通项公式及 n S （Ⅱ）记 1231111 ...n n A S S S S = ++++ ， 212221111...n n B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较 n A 与 n B 的大 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列 {}n a ，0≥n a ，01=a ， 22111() n n n a a a n N ?+++-=∈． n n a a a S +++= 21)1()1)(1(1 )1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++= ． 求证：当? ∈N n 时，（Ⅰ） 1 + 单选题 1下列有关预收款的说法错误的是( D) 答： D：经营者除退回预付款外，还应当承担预付款的利息和消费者预期损失 2甲在超市购物时被怀疑偷东西，在商场经理的命令下被强行搜身。后甲将此情况告知某报社，当天报社载文对商场和经理的行为进行了抨击。甲的行为属于( A) 答： A：消费者维护自身权益的行为 3经营者提供商品或者服务，造成消费者或者其他受害人人身伤害的，应当赔偿的费用中不包括( B) 答： B：由其扶养的人所必需的生活费 4使用他人营业执照的违法经营者提供的商品或者服务，损害消费者合法权益的，消费者(C ) 答： C：可以向违法经营者要求赔偿损失，也可以向营业执照持有人要求赔偿损失 5【下列各项中，不属于消费者权益争议解决方式的是(C ) C：向工商行政管理部门申请仲裁 6人民法院应当采取措施，方便消费者提起诉讼。对符合《中华人民共和国民事诉讼法》起诉条件的消费者权益争议，人民法院(C ) C：必须受理，及时审理 7小周在一家商店选购电视机，觉得该商店电视机的款式、质量不合心意；正打算离开时，被该产品的促销员拦住。该店员要求小周必须买一台，否则不许离开。该促销员的行为侵犯了小周的(B )。 B：自主选择权 8下列是某商场的店堂告示内容，其中符合法律规定的是(D ) D：如售假药，包赔顾客2万元 9下列对商品进行宣传的行为中，符合法律规定的是(A ) A：经营者不做引入误解的虚假宣传 10消费者协会是依法成立的对商品和服务进行社会监督的保护消费者合法权益的( D) D：社会组织 11列关于经营者的信息提供义务正确的是(D ) D：对消费者的相关提问应当作出真实、明确的答复 第四讲数列与探索性新题型的解题技巧 【命题趋向】 从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势： 1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有. 2.数列中a n与S n之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意： 1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等. 2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等. 4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如a n与S n的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳. 5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是 学好本章的关键. 6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果. 7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【考点透视】 1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项. 2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题. 3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决. 2．（本小题满分16分）(2013江苏卷) 设}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和．记 c n nS b n n += 2， *N n ∈，其中c 为实数． （1）若0=c ，且421b b b ，，成等比数列，证明：k nk S n S 2=（*,N n k ∈）； （2）若}{n b 是等差数列，证明：0=c ． 3.(本题满分14分)(2013浙江.理) 在公差为d的等差数列{a n }中，已知a 1 =10，且a 1 ，2a 2 +2，5a 3 成等比数列. （Ⅰ）求d，a n ； （Ⅱ) 若d<0，求|a 1|+|a 2 |+|a 3 |+…+|a n | . 4. (本小题满分12分) (2013陕西.理) 设{} n a是公比为q的等比数列. (Ⅰ) 推导{} n a的前n项和公式; (Ⅱ) 设1 q≠, 证明数列{1} n a+不是等比数列. （Ⅱ）对任意*p N ∈，由（Ⅰ）中n x 构成的数列{}n x 满足0n n p x x n +<-< 8.（本小题满分14分）(2013广东.理) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2*1212 ,()33 n n S a n n n N n +=---∈. （1）求2a 的值 （2）求数列{}n a 的通项公式n a (3)证明：对一切正整数n ，有1211174 n a a a +++ 11．（本小题满分12分）(2013江西.理) 正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足： （1） 求数列{}n a 的通项公式n a ； （2） 令22 1(2)n n n b n a += +，数列{}n b 的前n 项和为n T ．证明：对于任意n N * ∈，都有564 n T < . 23. (本小题满分14分) (2013天津.理) 已知首项为3 2 的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且 335544,,S a S a S a +++成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1 n n n T S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值 历年高考《数列》真题汇编 1、(2011年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =． （I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12n n a S -= （II ）设31323log log log n n b a a a =+++L ，求数列{}n b 的通项公式． 解：（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =?=-,23113 11)311(3 1n n n S -=--= 所以,2 1n n a S -- （Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++=Λ ).......21(n +++-= 2)1(+-=n n 所以}{n b 的通项公式为.2 )1(+-=n n b n 2、(2011全国新课标卷理） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?????? 的前项和. 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219 q =。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a = 。故数列{a n }的通项式为a n =13n 。 （Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++ 故12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 所以数列1{ }n b 的前n 项和为21n n -+ 3、（2010新课标卷理） 高二《数列》专题 1．n S 与n a 的关系：1 1(1)(1) n n n S n a S S n -=??=? ->?? ,已知n S 求n a ，应分1=n 时1a = ;2≥n 时,n a = 两步，最后考虑1a 是否满足后面的n a . 2．等差等比数列 （3)累乘法（ n n n c a a =+1型);(4)利用公式1 1(1)(1) n n n S n a S S n -=??=?->??；(5)构造法(b ka a n n +=+1型）(6) 倒数法 等 4．数列求和 （1)公式法；(2)分组求和法;(3）错位相减法;（４)裂项求和法；（5）倒序相加法。 5． n S 的最值问题:在等差数列{}n a 中，有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当0,01<>d a 时,满足?? ?≤≥+00 1 m m a a 的项数ｍ使得m S 取最大值. (2)当 0,01>数列解答题练习答案
高考文科数学数列经典大题训练(附答案)
三年高考(2014-2016)数学(理)真题分项版解析汇报—— 专题06 数列
最新《消费者权益保护法》知识竞赛试题(附答案)(定)
数列解答题专练(含答案版)
高考数学《数列》大题训练50题含答案解析
2010年高考数学数列真题汇编
2019年消费者权益保护法知识竞赛试题及答案
最全高考复习数列专题及练习答案详解
(word完整版)历年数列高考题及答案
新消法试题(1)
数列练习题_附答案
高考压轴题数列50例
新消法考试题库及答案
数列解题技巧
高考数列练习题及答案(理科)
历年数列高考题(汇编)答案
高二数学数列练习题(含答案)