第二章 习题课2 简单的递推数列及应用 学案(人教A版必修5)

第二章 习题课2 简单的递推数列及应用

自主学习

知识梳理

在实际考查中常常涉及求一些简单的递推数列的通项公式问题． 1．累加法：a n ＋1＝a n ＋f (n ) (f (n )可求和) a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝a 1＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1) 2．累乘法：a n ＋1＝a n ·f (n ) (f (n )为含n 的代数式)

a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n

a n －1

＝a 1·f (1)·f (2)·…·f (n －1)

3．转化法：a n ＋1＝pa n ＋q (pq ≠0，p ≠1)

方法一 设a n ＋1－x ＝p (a n －x )，则a n ＋1＝pa n ＋(1－p )x

∴(1－p )x ＝q ，∴x ＝q

1－p .

∴a n －q 1－p ＝?

???a 1－q 1－p ·p n －

1

∴a n ＝????a 1－q 1－p p n －

1＋q 1－p

.

方法二 ∵a n ＋1＝pa n ＋q ，∴a n ＝pa n －1＋q

∴a n ＋1－a n ＝p (a n －a n －1)＝…＝p n －

1(a 2－a 1)转化为迭加法求解． 4．S n 与a n 的混合关系式有两个思路：

(1)消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；

(2)消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n .

自主探究

1．试写出用累加法推导等差数列通项公式的过程．

2．试写出用累乘法推导等比数列通项公式的过程．

对点讲练

知识点一 累加法与累乘法求通项

例1 已知：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋(2n ＋1)，求a n .

变式训练1 已知：a 1＝1，a n ＋1＝2n ·a n ，求a n .

知识点二 化为基本数列求通项

例2 已知：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n .

变式训练2 设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝53，a n ＋2＝53a n ＋1－2

3a n (n ＝1,2，…)．令b n ＝

a n

＋1

－a n .

(1)求证：数列{b n }是等比数列，并求b n ； (2)求数列{a n }的通项公式．

知识点三 已知a n 与S n 的混合关系式，求a n .

例3 已知{a n }是各项为正的数列，且S n ＝1

2?

???a n ＋1a n .求a n 与S n .

变式训练3 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的n ∈N *，都有S n ＝2a n －3n . (1)求数列{a n }的首项a 1及递推关系式a n ＋1＝f (a n )； (2)求通项公式a n .

1．近几年高考常以递推公式为依托，设计出一些新颖灵活、难度适中、富有时代气息的试题．在学习时对递推公式及其应用应给予适当的重视．

2．递推公式是表示数列的一种重要方法．由一些简单的递推公式可以求得数列的通项公式．本课时主要学习了累加法、累乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法.

课时作业

一、选择题

1．数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋n ，且a 1＝1，则a 5的值为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12

2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n

－12n ，其前n 项和S n ＝321

64

，则项数n 等于( )

A ．13

B ．10

C ．9

D ．6

3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1，则a n 的表达式为( )

A ．3n －2

B ．n 2－2n ＋2

C ．3n －

1 D ．4n －3

4．数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列????

??

1a n ＋1是等差数列，则a 11的值为( )

A ．1 B.12 C.13 D.1

4

5．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1－a n －2 (n ≥3)．那么S 2 011的值是( )

6．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝a 2n

＋(－1)n ＋1 (n ∈N *

)，则a 4a 2

＝________. 7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝n

n ＋1a n

，则a n ＝________.

8．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 2＋a n

，对所有正整数n 都成立，且a 7＝1

2，则a 5＝______.

三、解答题

9．已知S n ＝4－a n －1

2

n －2，求a n 与S n .

10．某地区位于沙漠边缘，人与沙漠进行长期不懈的斗争，到2002年底全地区的绿化率已达到30%，从2003年开始，每年将出现以下变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠．

(1)设全区面积为1,2002年底绿洲面积为a 1＝3

10，经过1年(指2003年底)绿洲面积为a 2，

经过n 年绿洲面积为a n ＋1，求证：数列{a n －4

5

}为等比数列；

(2)问：至少经过多少年的努力才能使全区的绿洲面积超过60%(年数取正整数)．

习题课2 简单的递推数列及应用

自主探究

1．解 ∵a n ＋1－a n ＝d

∴

?

???

?a 2－a 1＝d

a 3

－a 2

＝d … …

a n

－a n －1

＝d n －1个式子相加得：

a n －a 1＝(n －1)d ，∴a n ＝a 1＋(n －1)d .

或a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝a 1＋(n －1)d .

2．解 ∵a n ＋1

a n

＝q (q ≠0)，

∴

?????a 2

a 1

＝q a 3a 2

＝q ……

a

n a

n －1

＝q n －1个式子相乘得： a n a 1＝q n －1，∴a n ＝a 1q n －1或a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a 1q n －

1. 对点讲练

例1 解 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)

＝2＋3＋5＋…＋(2n －1)＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋1＝n 2＋1.

变式训练1 解 a n ＝

a n a n －1·a n －1a n －2

·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·21·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)

＝2n (n －1)2.

例2 解 方法一 ∵a 1＝1，a 2＝5，a 2－a 1＝4.

a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1)＝2n －1(a 2－a 1)＝2n ＋

1 ∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋22＋23＋…＋2n ＝21＋22＋…＋2n －1

＝2n ＋

1－3.

方法二 设a n ＋1－x ＝2(a n －x )，则a n ＋1＝2a n －x . ∴x ＝－3，a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．

∴a n ＋3＝(a 1＋3)·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋

1－3.

变式训练2 (1)证明 ∵b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＝????53a n ＋1－23a n －a n ＋1＝23(a n ＋1－a n )＝23

b n ∴b n ＋1b n ＝23

(n ＝1,2,3，…) ∴{b n }是等比数列，公比q ＝23，首项b 1＝a 2－a 1＝2

3

.

∴b n ＝????23n

.

(2)解 a n ＋1－a n ＝????23n

.

∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1

＝1＋????23＋????232＋…＋????23n －1 ＝3???

?1－????23n . 例3 解 ∵S n ＝12????a n ＋1a n ，∴2S n ＝a n ＋1a n ， ∴2S n ＝S n －S n －1＋1

S n －S n －1，

∴S n ＋S n －1＝1S n －S n －1

，∴S 2

n －S 2n －1＝1， ∴{S 2n }是一个等差数列，公差为1，首项为S 2

1， 易求得S 21＝1. ∴S 2

n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴S n ＝n ， ∴a n ＝n －n －1.

变式训练3 解 (1)a 1＝S 1＝2a 1－3，∴a 1＝3. ∵S n ＝2a n －3n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)． ∴S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3.

∴a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －3，∴a n ＋1＝2a n ＋3. (2)∵a n ＋1＝2a n ＋3，∴a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．

∴{a n ＋3}是等比数列，公比为2，首项为a 1＋3＝6.

∴a n ＋3＝(a 1＋3)·2n －1＝6·2n －

1＝3·2n ， ∴a n ＝3·2n －3. 课时作业

1．C [a 5＝a 4＋4＝a 3＋3＋4＝a 2＋2＋3＋4 ＝a 1＋1＋2＋3＋4＝11.]

2．D [∵a n ＝2n －12n ＝1－1

2n ，

∴S n ＝n －????12＋122＋…＋12n ＝n －1＋12n ，

又∵S n ＝32164＝5＋164，∴n －1＋12n ＝5＋1

64

，

∴n ＝6.]

3．B [a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝1＋(n －1)2

＝n 2－2n ＋2.]

4．B [设数列????

??

1a n ＋1的公差为d ，

则1a 7＋1＝1a 3＋1＋4d ， ∴12＝13＋4d ，d ＝124，1a 11＋1＝1a 7＋1＋4d ， ∴1a 11＋1＝12＋16＝23

，∴a 11＋1＝32，

∴a 11＝1

2

.]

5．A [∵a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1， ∴a n ＋1＝－a n －2，∴a n ＋3＝－a n . ∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n . ∴{a n }是周期数列且T ＝6. ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6

＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0，

∴S 2 010＝0，∴S 2 011＝S 2 010＋a 2 011＝a 2 011＝a 1＝1.] 6.1312

解析 a 2＝2，a 3＝32，a 4a 2＝a 4a 3a 2a 3＝a 2

3＋1a 22－1＝13

12

.

7.1n

解析 由a n ＋1a n ＝n n ＋1得：a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×3

4

×…×n －1n ＝1n ，

∴a n a 1＝1n ，a n ＝1n 或(n ＋1)a n ＋1＝na n ＝…＝2a 2＝a 1＝1，∴a n ＝1n . 8．1

解析 ∵a n ＋1＝2a n

2＋a n

，

∴1a n ＋1＝1a n ＋12. ∴????

??1a n 是等差数列且公差d ＝12.

∴1a 7＝1a 5＋2d ＝1

a 5

＋1＝2，∴a 5＝1. 9．解 ∵S n ＝4－a n －12n 2，∴S n －1＝4－a n －1－1

2

n 3

∴S n －S n －1＝a n ＝a n －1－a n ＋12n －3－1

2

n －2

∴a n ＝12a n －1＋????12n －1，∴a n

????12n －a n －1???

?12n －1

＝2. ∴2n a n －2n －1

a n －1＝2.∴{2n a n }是等差数列，d ＝2，首项为2a 1.

∵a 1＝S 1＝4－a 1－1

2

－1＝2－a 1，∴a 1＝1.

∴2n a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，

∴a n ＝n ·???

?12n －1. ∴S n ＝4－a n －12n －2＝4－n ·12n －1－1

2n －2＝4－n ＋22

n －1.

10．(1)证明 因为2002年底绿洲面积为a 1＝3

10

，

所以2002年底的沙漠面积为1－a 1＝7

10

，

经过n －1年后绿洲面积为a n ，沙漠面积为1－a n ， 由题意得，再过一年，即经过n 年后，

绿洲面积为a n ＋1＝(1－a n )×16%＋a n (1－4%)，

即a n ＋1＝45a n ＋4

25.

所以a n ＋1－45＝45(a n －4

5)．

又因为a 1－45＝310－45＝－1

2，

所以数列{a n －45}是以45为公比，－1

2

为首项的等比数列．

(2)解 由(1)知，

a n －45＝????－12×????45n －1，所以a n ＝45－12·???

?45n －1， 设经过n 年的努力可使全区的绿洲面积超过60%，即a n ＋1>60%.

所以45－12·????45n >35

，所以????45n <25. 验证n ＝1,2,3,4时，????45n >2

5.

当n ＝5时，????455＝1 0243 125<2

5，

故至少需要5年的努力，全区的绿洲面积超过60%.