必修1第二章第2节对数运算、对数函数

年级高一学科数学

版本

人教实验A 版

内容标题对数运算、对数函数

编稿老师沈凯

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

对数运算、对数函数

二. 重点、难点： 1. 对数运算

0,0,1,1,0,0>>≠≠>>N M b a b a

（1）x N a =log N a x

=? （2）01log =a （3）1log =a a

（4）N a N

a =log

（5）N M N M a a a log log )(log +=?

（6）N M N

a a a

log log log -= （7）M x M a x a log log ?=

（8）a M M b b a log /log log =

（9）b x

b a y

a x log log =

（10）1log log =?a b b a

2. 对数函数x y a log =，0>a 且1≠a 定义域（+∞,0）

值域 R

单调性 ↓∈)1,0(a ↑+∞∈),1(a

奇偶性非奇非偶过定点（1，0）图象 x y a log =与x y a

1log =关于x 轴对称

【典型例题】

[例1] 求值

（1）=7

log 3)

( ；

（2）=-++4log 20log 23

log 2log 151515

15 ；（3）=+?+18log 3log 2log )2(log 6662

6 ；

（4）=?81log 16log 329 ；

（5）=+?++)2log 2(log )5log 5)(log 3log 3(log 2559384 ；（6）=+?+2)2(lg 50lg 2lg 25lg 。解：

（1）原式49

1733)

3(27log 7log 27

log 22

333=

====---- （2）原式115log 15==

（3）原式18log )3log 2(log 2log 6666++?=

236

log 18

log 2log 666==+=

（4）原式58

)3log 54()2log 24(23=?=

（5）原式8

)2log 23()5log 23()3log 65(532=??=

（6）原式)2lg 50(lg 2lg 25lg ++=

100lg 2

lg 225lg ==+=

[例2] 若z y x ,,满足)](log [log log )](log [log log 33

1322

12y x =)]z (log [log log 55

15=

0=，试比较z y x 、、的大小关系。

解：log 2〔log 21 (log 2x)〕＝0?log 2

1(log 2x)＝1?log 2x ＝21?x ＝2＝(215

)301.

同理可得 y ＝33＝(310)

,z ＝55＝(56)

∵310>215>56，由幂函数y ＝x

1在(0，+∞)上递增知，y>x>z.

[例3] 若==2121log log b b a a ……λ==n a b n log ，则=?)(log 21)(21n a a a b b b n 。

解：由已知λ11a b =，λ

λn

n a b a b == 22 ∴ λ)()(11n n a a b b = ∴ λ=)(log 21)(1n a a b b b n

[例4] 图中四条对数函数x y a log =图象，底数a 为10

,53,34,3这四个值，则相对应的C 1，C 2，C 3，C 4的值依次为（）

101

,53,34,3 B. 53,101,34,3 C. 101,53,3,34 D. 5

3,101,3,34

答案：A

[例5] 求下列函数定义域

（1）)]lg[lg(lg x y =

（2）)43lg(2--=x x y （3）)1(log 2

1-=

x y

解：

（1）1lg 0]lg[lg =>x ∴ 1lg >x ∴ ),10(+∞∈x （2）0432

>--x x ),4()1,(+∞?--∞∈x （3）110≤-

[例6] 求下列函数的增区间

（1）1log 2-=x y （2）)82(log 2

1--=x x y

解：

（1）↑=t y 2log 1-=x t ↑+∞↓-∞),1()1,( ∴ )(x f y =在（+∞,1）↑

（2）↓=t y 2

1log 822

--=x x t ↑+∞↓--∞),4()2,(

∴ )(x f y =在↑--∞)2,(

[例7] 研究函数)1(log )(22x x x f y -+==的定义域、值域、奇偶性、单调性。

解：（1）x x x x ≥=>+22

1 ∴ 012>-+x x ∴ 定义域为R

（2）R x ∈

),0(12+∞∈-+x x ∴ R y ∈为值域

（3）)1(log )](1)([log )(2

222x x x x x f ++=--+-=-

)()1(log 11log 12222x f x x x

x -=-+=-+=-

∴ 奇函数

（4）),0(+∞∈x 时，x

x x x y ++=-+=11log )1(log 2

↓++=

x t 112

t y 2l o g =↑ ∴ )(x f y =在),0(+∞上↓

∵ 奇函数 ∴ )(x f y =为R 上↓

[例8] 已知)1,0(∈x ，0>a 且1≠a ，试比较)1(log x a +与)1(log x a -的大小关系。

解：

（1）)1,0(∈a 时，)1(log )1(log x x a a --+

0)1(log )1(log )1(log 2<--=--+-=x x x a a a

（2）),1(+∞∈a 时，)1(log )1(log x x a a --+)1(log )1(log x x a a -++=

0)1(log 2<-=x a

综上所述，)1(log )1(log x x a a -<+

[例9] 函数)34(log )(22++==kx kx x f y

（1）若定义域为R ，求k 的取值范围。（2）若值域为R ，求k 的取值范围。解：

（1）0=k 时，3log 2=y R x ∈

121602

<k k k k ∴ )43,0[∈k （2）???≥-=?>0121602

k k k ),43

[+∞∈?k

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 求值：

（1）=-2

log 5)125

；（2）

=+-+8

lg 5.0lg 21

5lg 4lg ；（3）=+-)2log 3(log )6)(log 6(log 3232 ；

（4）=-+++6lg 26lg )6(lg 3lg 2lg 62

。（1）求证：

x z 2111=- （2）比较y y x 6,4,3的大小关系

3. 已知a =2log 3，b =2log 5试用b a ,表示90log 30

4. ),1(d x ∈，x a d 2log =，2

log x b d =，)(log log x c d d =，试比较c b a ,,大小关系。

5. 若12

>>>a b a ，则b a a

b a a b b a

log ,log ,log ,log 的大小关系是。 6. 1>>m n ，试比较n m log 与n m 2log 2的大小关系。

7. 研究函数)1(log )(-==x a a x f y （0>a 且1≠a ）的定义域及单调性。

【试题答案】

（1）855

8log )

2log (355==-- （2）原式1lg

lg 22

（3）2)2log 3(log )2log 1)(3log 1(3232=+-++

（4）16lg 16lg )16(lg 3lg 2lg 2

=-+=-++

（1）令010643>===k

z y x

∴ 6lg 4lg 3lg k

z k y k x ===

2lg 1

)3lg 6(lg 111k k x z =-=- 2lg 124lg 21k

k y == ∴ 成立（2）k k k y x =-=-4lg 43lg 3434lg 3lg 3

lg 44lg 3?-?

0]81lg 64[lg 4lg 3lg <-??=k

]4lg 66lg 4[6lg 4lg 6lg 64lg 464-??=-=-k

k k z y

0]64lg 36[lg 6

lg 4lg 2<-?=

∴ z y x 643<< 3. ???????==5

log 13log 1

22b

5l o g 3l o g 15l o g 3l o g 2130log 90log 90log 22222230++++==b a ab b a ab b

a b a ++++=+++

2111121 4. x x a d d log log ?= x b d l o g 2?= ∵ )1,0(log ∈x d

∴ c a b >>>0

5. 0log 1log <-=b b a a a )2

,0(0l o g 1l o g ∈>-=a a b b b )1,21(l o g ∈a b )2,1(l o g ∈b a

∴ b

a a

b a b a b b a log log log log >>> 6. m n m n n n m m 22222log 1log 1log log 2log log ++-=-0)

log 1(log log log 2222>+-=m m m

（1）)1,0(∈a 0

1a a x => ∴ 定义域为)0,(-∞ ↓=t y a l o g

↓-=1x a t ∴ ↑=)(x f y

（2）),1(+∞∈a 0

1a a x => ∴ 定义域为),0(+∞

↑=t y a log ↑-=1x a t ∴ ↑=)(x f y

(完整word)高中数学必修一对数函数

2.3对数函数重难点：理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化，能应用对数运算性质及换底公式灵活地求值、化简；理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较同底对数大小，了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．考纲要求：①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用； ②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点； ③知道对数函数是一类重要的函数模型； ④了解指数函数与对数函数互为反函数．经典例题：已知f（logax）=，其中a＞0，且a≠1．（1）求f（x）；（2）求证：f（x）是奇函数；（3）求证：f（x）在R上为增函数．当堂练习： 1．若,则（） A．B．C．D． 2．设表示的小数部分，则的值是（） A．B．C．0 D． 3．函数的值域是（） A．B．[0,1] C．[0,D．{0} 4．设函数的取值范围为（） A．（－1，1）B．（－1，+∞）C．D． 5．已知函数，其反函数为，则是（） A．奇函数且在（0，＋∞）上单调递减B．偶函数且在（0，＋∞）上单调递增C．奇函数且在（-∞，0）上单调递减D．偶函数且在（-∞，0）上单调递增 6．计算= ．

7．若2.5x=1000,0.25y=1000,求． 8．函数f(x)的定义域为[0,1],则函数的定义域为． 9．已知y=loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是． 10．函数图象恒过定点，若存在反函数，则的图象必过定点． 11．若集合{x，xy，lgxy}＝{0，|x|，y}，则log8（x2＋y2）的值为多少． 12．(1) 求函数在区间上的最值． (2)已知求函数的值域． 13．已知函数的图象关于原点对称．(1)求m的值； (2)判断f(x) 在上的单调性,并根据定义证明． 14．已知函数f(x)=x2－1(x≥1)的图象是C1，函数y=g(x)的图象C2与C1关于直线y=x对称． (1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M； (2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x1，x2都有|h(x1)－h(x2)|≤a|x1－x2|成立，则称函数y=h(x)为A的利普希茨Ⅰ类函数．试证明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ类函数．参考答案：

幂函数、指数函数和对数函数_对数及其运算法则_教案

幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作 logaN=b，其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式．练习1 把下列指数式写成对数形式：练习2 把下列对数形式写成指数形式：练习3 求下列各式的值：因为22=4，所以以2为底4的对数等于2．因为53=125，所以以5为底125的对数等于3．师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R．师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数．师：要特别强调的是：零和负数没有对数．师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N 不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1．师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……．练习4 计算下列对数： lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125．师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想．生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4．生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27．生：10lg105=105．生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125． alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线）证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N．师：你是根据什么证明对数恒等式的？生：根据对数定义．师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知

指数函数对数函数计算题集及答案

精心整理指数函数对数函数计算题1 1、计算：lg 5·lg 8000＋06.0lg 6 1 lg )2 (lg 2 3++. 2、解方程：lg 2(x ＋10)－lg(x ＋10)3=4. 3、 4、 5、6、 7、 8、 9、求函数1 21log 8.0--= x x y 的定义域. 10、已知log 1227=a,求log 616.

11、已知f(x)=1322 +-x x a ,g(x)=522 -+x x a (a ＞0且a ≠1),确定x 的取值范围,使得f(x)＞g(x). 12、已知函数f(x)=3 21121x x ?? ? ??+-. (1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)＞0. 13 14 1516 17 18 19 20、解指数方程：014 332 14 1 1 1=+?---- --x x 21、解指数方程：042342 2 22=-?--+ -+ x x x x

22、解对数方程：log2(x－1)=log2(2x+1) 23、解对数方程：log2(x2－5x－2)=2 24、解对数方程：log16x+log4x+log2x=7 25 26 27 28 29 30 指数函数对数函数计算题1〈答案〉1、 1 2、

解：原方程为lg2(x＋10)－3lg(x＋10)－4=0, ∴[lg(x＋10)－4][lg(x＋10)＋1]=0. 由lg(x＋10)=4,得x＋10=10000,∴x=9990. 由lg(x＋10)=－1,得x＋10=0.1,∴x=－9.9. 检验知：x=9990和－9.9都是原方程的解. 3、 4、 ∵3-x 5、 6、解：方程两边取常用对数,得：(x＋1)lg5=(x2－1)lg3,(x＋1)[lg5－(x－1)lg3]=0. . ∴x＋1=0或lg5－(x－1)lg3=0.故原方程的解为x1=－1或x2=1＋5 log 3 7、 1

对数函数基础运算法则及例题_答案

对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞．对数的四则运算法则：若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1 log = 对数函数的图像及性质

例1．已知x = 4 9 时，不等式 log a (x 2–x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立，求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x = 49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]＞log a )349 2)49(1[2+?+? 即log a 1613＞log a 1639. 而1613＜16 39 . 所以y = log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为??? ? ???++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ，解得??? ???? <<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)2 5 ,2( 例2．求证：函数f (x ) =x x -1log 2 在(0, 1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 2)–f (x 1) = 212221log log 11x x x x ---2 1221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2 1 122x x x x --? ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴ 12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2 1 12211log x x x x --?＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数例3．已知f (x ) = log a (a –a x ) (a ＞1). （1）求f (x )的定义域和值域；（2）判证并证明f (x )的单调性. 解：（1）由a ＞1，a –a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1. 故f (x )的定义域为( -∞,1)，而a x ＜a ，可知0＜a –a x ＜a ，又a ＞1. 则log a (a –a x )＜lg a a = 1. 取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞, 1). （2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1，∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a-2x a ， ∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(1, +∞)上为减函数.

对数函数及其性质-对数的公式互化-详尽的讲解

2.1 对数与对数运算 1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y ＝a x 的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log 381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x ＝N ?x ＝log a N ，从而得对数恒等式：a log a N ＝N . (2)“log ”同“＋”“×”“ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面． (3)根据对数的定义，对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N >0； ②1的对数为零，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 2．对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度． (1)基本公式 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和． ②log a M N ＝log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数． ③log a M n ＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R )，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数． (2)对数的运算性质注意点 ①必须注意M >0，N >0，例如log a [(－3)×(－4)]是存在的，但是log a (－3)与log a (－4)均不存在，故不能写成log a [(－3)×(－4)]＝log a (－3)＋log a (－4)． ②防止出现以下错误：log a (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N ，log a M N ＝ log a M log a N ，log a M n ＝(log a M )n . 3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底

对数的计算以及对数函数的基本性质

对数的计算以及对数函数的基本性质 1.对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化： log (0,1,0) x a x N a N a a N =?=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式：log 10 a =， log 1 a a =， log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即 10log N ；自然对数：ln N ，即 log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘： log log () n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 2.对数函数及其性质定义：函数log (0 a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象：定义域：(0,)+∞ 值域：R 过定点：图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =． 1 x y O 1 x y O

奇偶性：非奇非偶单调性：在(0,)+∞上是增函数1a >；在(0,)+∞上是减函数01a <<；函数值的变化情况： log 0(1)log 0(1)log 0(01) a a a x x x x x x >>==<<< log 0(1)log 0(1)log 0(01) a a a x x x x x x <>==><< 变化对图象的影响：在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．判断技巧：指数函数令1=x 得到第一象限内底大图上；对数函数令1=y 得到第一象限底大图下。 3.反函数的概念（1）设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ?=．如果对于y 在 C 中的任何一个值，通过式子()x y ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ?=表示x 是y 的函数，函数()x y ?=叫做函数()y f x =的反函数，记作1 ()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（2）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1 ()y f x -=的图象关于直线y x =对称． ②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1 ()y f x -=的值域、定义域． ③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则' (,)P b a 在反函数1 ()y f x -=的图象上． ④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．例题与解析：例题1：将下列指数式与对数式进行互化. （1）64)4 1 (=x （2）5 15 2 1= - （3）327log 3 1-= （4）664log -=x 解析：（1）∵64)41(=x ，∴x =41log 64 （2）∵51521 =-，∴21 51log 5 -= （3）∵327log 3 1-=，∴27)31(3=- （4）∵log x 64 = –6，∴x － 6 = 64. 例题2：比较下列各组数的大小：（1）log 0.7 1.3和log 0.71.8；（2）log 35和log 64. （3）(lg n )1.7和(lg n )2 (n ＞1)；

高中数学必修1对数与对数函数知识点习题

（一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；○2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式．N a log 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．指数式与对数式的互化幂值真数（二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a n a m log log =；（2）a b b a log 1log =．（二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 2

必修一对数函数

对数函数典例分析题型一对数函数的基本性质【例1】下面结论中，不正确的是 A.若a ＞1，则x y a =与log a y x =在定义域内均为增函数 B.函数3x y =与3log y x =图象关于直线y x =对称 C.2log a y x =与2log a y x =表示同一函数 D.若01,01a m n <<<<<，则一定有log log 0a a m n >> 【例2】图中的曲线是log a y x =的图象，已知a 的值为2， 43，310，1 5 ，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（）. A. 2， 43，15，310 B. 2，43，310，1 5 C. 15，310，43，2 D. 43，2，310，1 5 【例3】当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（）. A B C D 【例4】设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为1 2 ，则a =（）. A.2 B. 2 C. 22 D. 4 0 x C 1 C 2 C 4 C 3 1 y x y 1 1 o x y o 1 1 o y x 1 1 o y x 1 1

【例5】若23 log 1a <，则a 的取值范围是 A.2 03a << B.23 a > C.2 13 a << D.2 03 a << 或a ＞1 【例6】比较两个对数值的大小：ln7 ln12 ； 0.5log 0.7 0.5log 0.8. 【例7】若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（）. A. 1m n >> B. 1n m >> C. 01n m <<< D. 01m n <<< 【例8】已知1112 2 2 log log log b a c <<，则（） A.222b a c >> B.222a b c >> C.222c b a >> D.222c a b >> 【例9】下列各式错误的是（）. A. 0.80.733> B. 0.10.10.750.75-< C. 0..50..5log 0.4log 0.6> D. lg1.6lg1.4>. 【例10】下列大小关系正确的是（）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<< 【例11】 a 、b 、c 是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系是 A.c ＞a ＞b B.c ＞b ＞a C.a ＞b ＞c D.b ＞a ＞c 【例12】指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？

对数函数运算公式

对数函数运算公式集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

1 、b a b a =log 2、 b b a a =log 3、N a M a MN a log log log += 4、N a M a N M a log log log -= 5、M a M a n n log log = 6、M a M a n n log 1log = 1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(a^b)=b 3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M) 推导 1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b ，即a^(log(a)(b))=b 。 2、因为a^b=a^b 令t=a^b 所以a^b=t ，b=log(a)(t)=log(a)(a^b) 3、MN=M×N 由基本性质1(换掉M 和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 4、与（3）类似处理 MN=M÷N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 5、与（3）类似处理 M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 基本性质4推广 log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推导如下：由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]

高中数学必修1 《对数函数》教学设计

《对数函数》教学设计一、教材分析《对数函数》是在人教版高中数学第一册（上）第二章第2.8节。函数是高中数学的核心，对数函数是函数的重要分支，对数函数的知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用。学生已经学习了对数、反函数以及指数函数等内容，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。“对数函数”这节教材，指出对数函数和指数函数互为反函数,反映了两个变量的相互关系，蕴含了函数与方程的数学思想与数学方法，是以后数学学习中不可缺少的部分，也是高考的必考内容。二、学情分析学生在初中已经学习过二次函数及其图象，又刚刚学习了指数函数的定义、图象的画法并掌握了相关的性质，有了一定的读图能力，能够根据函数图象抽象概括出一些简单的性质。经过两个多月的教学观察，所教班级的学生数学能力及数学思想的形成还很欠缺，逻辑思维能力也有待加强训练。本节课课前布置学生带着问题预习，让学生找出指数函数与对数函数之间的关系，采用多媒体，采取“诱思探究”的教学方法进行教学，充分发挥学生的积极性和主动性，在独立思考与讨论中获取知识，实现教学目标。三、设计理念按照认知规律，从感性认识再到理性研究，由浅入深得出对数函数的概念。然后引导学生利用对称作图法和描点作图法比较作出函数图像。通过观察图象、分析图象特征，得出函数的基本性质。整个教学过程始终贯彻学生为主体、教师为引导的教学理念，综合培养学生动手、动眼、动脑的能力，培养学生的探究合作意识和创新能力。四、学习三维目标 1、知识目标: ⑴、通过求指数函数的反函数，了解对数函数的概念。 ⑵、能画出具体对数函数的图像，掌握对数函数的图像和性质。 ⑶、能应用对数函数的性质解有关问题。 2、能力目标: ⑴、培养学生数形结合的意识。 ⑵、让学生学会用比较和联系的观点分析问题，认识事物间的相互转化。 ⑶、了解对数函数在实际问题中的简单应用。

(完整版)对数公式及对数函数的总结

对数运算和对数函数对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数。③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>。常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．对数函数及其性质类型一、对数公式的应用

1计算下列对数 =-3log 6log 22 =?3 1log 12 log 2 22 2 =+2lg 5lg =61000lg =+64log 128log 22 =?)24(log 432 =++)2log 2)(log 3log 3(log 9384 =++3log 23log 2242 =?16log 27log 32 =+-2log 90log 5log 333 =++c b a 842log log log =+++200 199lg 43lg 32lg Λ =++32log 8log 8log 842 =+25.0log 10log 255 =-64log 325log 225 =)))65536(log (log (log log 2222 2 解对数的值： 18lg 7lg 37lg 214lg -+- 0 =-+-1)21 (2lg 225lg -1 1 3 341log 2log 8?? -? ??? 的值0 提示：对数公式的运算如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么（1）加法：log log log ()a a a M N MN += （2）减法：log log log a a a M M N N -= （3）数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ （4）log a N a N = （5）log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ （6）换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且（7）1log log =?a b b a （8）a b b a log 1log = 类型二、求下列函数的定义域问题 1函数)13lg(13)(2 ++-= x x x x f 的定义域是)1,31 (- 2设()x x x f -+=22lg ，则?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为 ()()4,11,4Y -- 3 函数()f x = ]1,0()0,1(Y - ）提示：（1）分式函数，分母不为0，如0,1 ≠= x x y 。（2）二次根式函数，被开方数大于等于0，0,≥= x x y 。（3）对数函数，真数大于0，0,log >=x x y a 。类型三、对数函数中的单调性问题

人教版高中数学必修一《对数函数》课时教学案

对数函数一．教学目标： 1．知识与技能 ①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力. 培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法 ①让学生经历并推理出对数的运算性质. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性. 二．教学重点、难点重点：对数运算的性质与对数知识的应用难点：正确使用对数的运算性质三．学法和教学用具学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具：投影仪四．教学过程 1．设置情境复习：对数的定义及对数恒等式 log b a N b a N =?= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0），指数的运算性质. ;m n m n m n m n a a a a a a +-?=÷= (); n m n mn m a a a == 2．讲授新课探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m n a a a +?=，那m n +如何表示，能用对数式运算吗？如：,,m n m n m n a a a M a N a +?===设。于是,m n MN a += 由对数的定义得到 log ,log m n a a M a m M N a n N =?==?= log m n a MN a m n MN +=?+= log log log ()a a a M N MN ∴+=放出投影

对数运算、对数函数经典例题讲义

1．对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N 叫做______． 2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log 10N 可简记为______，log e N 简记为________． 3．对数与指数的关系若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ?log a N ＝____. 对数恒等式：a log a N ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________． 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2