江苏省扬州市2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 文

2014-2015学年度第二学期高二期末调研测试

数 学 （文科）试 题

（全卷满分160分，考试时间120分钟）

2015．6

注意事项：

1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．

2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）

1．已知集合{0}A x x =≤，{1012}B =-，，

，，则A B = ▲ ． 2．命题：“x R ?∈，30x

>”的否定是 ▲ ．

3．已知复数(1)z i i =-（i 为虚数单位），则||z = ▲ ．

4．1

21

(lg lg 25)1004

--÷的值为

▲ ．

5．“4

π

α=

”是“tan 1α=”的 ▲ 条件．（从 “充分不必要”、“必要不

充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）

6．正弦曲线sin y x =在6

x π

=

处的切线的斜率为 ▲ ．

7．若直线1:210l x my ++=与直线2:31l y x =-平行，则直线1l 与2l 之间的距离为 ▲ ． 8．若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0]-∞上是减函数，则不等式(ln )(1)f x f < 的解集为 ▲ ．

9．设数列{}n a 满足13a =，2122n n n a a na +=-+，1,2,3,n = ，通过计算2a ，3a ，4a ，试归纳出这个数列的通项公式n a = ▲ ．

10．已知集合{

(,)|}A x y y =≤，集合22{(,)|()3}B x y x a y =-+≤ ，若A B B = ，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 11．将函数x y 2sin =的图象沿x 轴向左平移

6

π

个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数)(x f y =图象,对于函数)(x f y =有以下四个判断： ①该函数的解析式为2sin(2)6y x π

=+；

②该函数图象关于点(,0)3

π

对称；

③该函数在]6

,

0[π

上是增函数； ④若函数a x f y +=)(在]2

,0[π

上的最小值为3,则32=a ．

其中，正确判断的序号是 ▲ ．

12

．已知()cos cos()sin(2)2

f x x x x x π

π=+--

，若()f x =，0x π≤≤，则x 的值为

▲ ．

13．已知函数213,[1,)22

()321,[,3)

2

x x x f x x -?+∈??=??+∈??．若存在1x ，2x ，当1213x x ≤<<时，

12()()f x f x =，则

21

()

f x x 的取值范围是 ▲ ． 14．若实数x ，y 满足2

321log [2cos ()]ln ln 08cos ()33

y e

xy y xy +

-+-=，其中e 为自然对

数的底数，则(cos6)y x 的值为 ▲ ．

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）

已知：sin α=

sin()αβ-=，且02

π

βα<<<． （1）求tan 2α的值； （2）求角β的大小．

16．（本小题满分14分）

设命题p ：函数2()lg(1)f x x ax =++的定义域为R ；命题q ：函数2()21f x x ax =--在(,1]-∞-上单调递减．

（1）若命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数a 的取值范围；

（2）若关于x 的不等式()(5)0()x m x m m R --+<∈的解集为M ；命题p 为真命题时，a 的取

值集合为N ．当M N M = 时，求实数m 的取值范围．

17．（本小题满分15分）

已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =-+． （1）求函数()f x 的最小正周期；

（2）当511[,]2424x ππ

∈时，求函数()f x 的值域；

（3）当97(,)88

x ππ

∈--时，设经过函数()f x 图象上任意不同两点的直线的斜率为k ，试判断

k 值的符号，并证明你的结论． 18．（本小题满分15分）

如图，折叠矩形纸片ABCD ，使A 点落在BC 上的E 处，折痕的两端点M 、N 分别在线段AB 和AD 上（不与端点重合）．已知2AB =

，BC =

，设AMN θ∠=． （1） 用θ表示线段AM 的长度，并求出θ的取值范围；

（2）试问折痕MN 的长度是否存在最小值，若存在，求出此时cos θ的值；若不存在，请说明

理由．

θE

B

C

D

M N

A （第18题图）

19．（本小题满分16分）

已知圆222

O x y r r

+=>，与y轴交于M、N两点且M在N的上方．若直线:(0)

（1）求实数r的值；

（2）若动点

（3）设圆O上相异两点A、B满足直线MA、MB．试探究直线AB是否经过定点，若经过，请求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知函数2

g x e

=．

f x x x

=-+，()x

()51

2015年6月高二期末调研测试 文 科 数 学 试 题 参 考 答 案

一、填空题：

1．{1,0}- 2．x R ?∈，30x ≤ 3．20- 5．充分不必要

6．

2

7． 8． (,)e +∞ 9．21n + 10．[2,)+∞

11．②④ 12．712π

13．4(3

14．18- 二、解答题：

15．解：（1）∵sin α=

02πα<< ∴1

cos 7

α=，tan α=…………3分

∴tan 2α= …………7分

（2）∵sin()αβ-=

且02πβα<<< ∴02παβ<-< 且 13

cos()14

αβ-= ……9分

∴1131

cos cos[()]7142

βααβ=--=?=（求出sin β=也可）…………12分

∵02

π

β<< ∴3

π

β=

． …………14分

16．解：（1）若p 真：即函数2()lg(1)f x x ax =++的定义域为R

∴210x ax ++>对x R ?∈恒成立 ∴240a ?=-<，解得：22a -<<； …………2分

若q 真，则1a ≥- …………2分 ∵命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假 ∴p 真q 假或p 假q 真

∵221a a -<

或，解得：21a -<<-或2a ≥． …………7分

（2）∵M N M = ∴N M ? …………9分 ∵(5,),(2,2)M m m N =-=- ∴522m m -≤-??≥?

，解得：23m ≤≤． …………14分

17

．解：22()sin 2sin cos 3cos cos2sin 22)24f x x x x x x x x π

=-+=-+=-+

（或())24

f x x π

=++） …………4分

（1）T π=； …………6分 （2）∵511[

,]2424x ππ∈时，∴22643x πππ≤-≤

，则1

sin(2)[,1]42

x π-∈ ∴()f x

的值域为[22- …………10分 （3）k 值的符号为负号；

∵97(,)88x ππ∈--，∴52224

x π

ππ-<-<-，

∴()f x 在97(,)88ππ

--上是减函数． …………12分

∴当1297,(,)88

x x ππ

∈--，且12x x <时，都有12()()f x f x >，从而经过任意两点11(,())x f x 和

22(,())x f x 的直线的斜率1212()()

0f x f x k x x -=

<-． …………15分

18．解：（1）设AM x =，由图形的对称性可知：AM ME x ==，2BME πθ∠=-， ∵2BM x =- ∴2cos(2)x x πθ--=

，整理得：221

1cos2sin x θθ

==- …………3分 ∵(0,)2πθ∈ 又∵AM AB AN AD

，即2212sin 1tan sin θθθ

?

???<

??，

∴sin sin 2θθ?

>???

?>??，422233π

πθππ

θ?<<

???

?<

cos sin cos cos cos x MN θθθθθ

=

==

-，(,)43ππθ∈…………8分

令1cos ,(2t t θ=∈

，∴311,(2MN t t t =∈-，

设3

1(),(2h t t t t =-∈…………10分

∴2'()133(h t t t t =-=--，令'()0h t =

，则t =

或t =（舍），

列表得：

∴max ()h t h ==

∴当cos θ=时，MN

．

（直接对θ

求导或直接研究函数311,(2MN t t t =∈-皆可）

答：当cos θ=

时，MN

． …………15分

19．解：（1）∵直线∴圆心O (0,0)

…………3分

（2）设点(,)P x y ，点(0,1),(0,1)M N -，2MN =；

2222(1)3[(1)]x y x y +-=++，即22410x y y +++= …………5分 ∴点P 在圆心为(0,2)-

∴点P 到y

分

（3）设1122(,),(,)A x y B x y ，则22111x y +=，22221x y += ①若直线AB 的斜率不存在，则12x x =，12y y =-，则

分 ②设直线:AB y kx m =+，则22

1

y kx m

x y =+??+=? ∴222(1)210k x kmx m +

++-=

分

化简得：

11m m -=+

分

20

（2）'()()250x y f x a g x x a e =+?=-+?=，

分

为1个；

个；

…………8分

（3）∵0x e > ，存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式[()]()xf x t g x x +?≤恒成立，

分 ∴'()25x H x e x -=--+，设()'()25x F x H x e x -==--+，

∴'()20x F x e -=-<在[1,)+∞上恒成立 ∴()'()25x F x H x e x -==--+在[1,)+∞上单调减

∴0(2,3)x ?∈，使得0'()0H x =，当01x x <<时，'()0H x >，当0x x >时，'()0H x <

∴()H x 在0(1,)x 上单调增，在0(,)x +∞上单调减

∵1(1)30H e -=+>，2(2)50H e -=+>，3(3)50H e -=+>，4(4)30H e -=+>， 5(5)10H e -=-<且5x >，()(5)0H x H <<（若不交代函数()H x 的单调性，扣4分）

∴正整数m 的最大值为4． …………16分 解法（二）：即对任意的[1,]x m ∈，不等式2(51)1x x x e -+≤恒成立． 设2()(51)x G x x x e =-+，[1,)x ∈+∞，

∴22'()(25)(51)(34)(4)(1)x x x x G x x e x x e x x e x x e =-+-+=--=-+，可求得()G x 在(,1)-∞-上单调增，在(1,4)-上单调减，在(4,)+∞上单调增， 则2()(51)x G x x x e =-+[1,4)上单调减，在(4,)+∞上单调增 当4m ≤时， ()max (1)31G x G e ==-≤恒成立；

当4m >时， ()max max{(1),()}G x G G m =，(1)31G e =-≤， 4(4)31G e =-≤，而5(5)1G e =>； ∴正整数m 的最大值为4． …………16分