2007广东高考数学(理科)试题及详解

2007年广东卷数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分 1

．已知函数()f x =M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M N =

（ ） A ．{|1}x x >-

B ．{|1}x x <

C ．{|11}x x -<<

D ．?

2．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2

B ．

1

2

C ．12

-

D ．2-

3．若函数2

1

()sin ()2

f x x x =-

∈R ，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为

π

2

的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数

D ．最小正周期为π的偶函数

4．客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是（ ）

5．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ）

A ．9

B ．8

C ．7

D ．6 6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1210A A A ，，，（如2A 表示身高（单位：cm ）在[)150155，内的学生人数）．

s s s

s

图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ） Ａ．6i < Ｂ．7i < Ｃ．8i <

7．图

3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给

A B C D ，，，四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将

A B C D ，，，四个维修点的这批配件分别调整为40

，45，54，61

件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为（ ） Ａ．15

Ｂ．16

Ｃ．17

Ｄ．18

8．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b =

D ．()[()]****a b b a b b =

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．

9．甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装

图3

图1

图2

身高/cm

有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为 ．（答案用分数表示） 10．若向量，a b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为120，则a a +a b = ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点(21)A ，，若线段OA 的垂直平分线过抛物线

22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 ．

12．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条，这些直线中共有()f n 对异面直线，则(4)f = ；()f n = ．

（答案用数字或n 的解析式表示） 13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3

3x t y t

=+??

=-?（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2

x y θ

θ=??

=+?（参数[)02θ∈π，）

，则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 ．

14．（不等式选讲选做题）设函数()213f x x x =-++，则

(2)f -= ；若()5f x ≤，则x 的取值范围是 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆

周上一点，3BC =．过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分

别与直线l 、圆交于点D E ，，则DAC =∠ ，线段AE 的长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．

16．（12分）已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，．

（1）若5c =，求sin A ∠的值；

（2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围． 17．（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据．

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程??y bx

a

=+； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回

归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3 2.5

43546 4.566.5?+?+?+?=）

图5

图4

18．（14分）在平面直角坐标系xOy ，已知圆心在第二象限、

半径为C 与直线y x

=相切于坐标原点O ．椭圆22

219

x y a +

=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． （1）求圆C 的方程；

（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

19．（14分）如图6所示，等腰ABC △

的底边AB =高3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF

△的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P

-（1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？

（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF

20．（14分）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 取值范围．

21．（14分）

已知函数2

()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()f x 的导数，设11a =，1()

(12)()

n n n n f a a a n f a +=-

='，，． （1）求αβ，的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a α>； （3）记ln (12)n n n a b n a β

α

-==-，，，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

图6

A

B

2007年（广东卷）数学（理科B ）参考答案

一．选择题 CDDC BBCA 1．10

1110x x x ->??-<

+>?

故选（C ）

2．(1)(2)(2)(21)bi i b b i ++=-++为纯虚数2b ?=，故选（D ）

3．2

2111

()sin (12sin )cos 2222

f x x x x =-

=--=- 故选（D ） 4．60(01)

60(1 1.5)80( 1.5)60(1.5 2.5)t t s t t t ≤≤??

=<≤??-+<≤?

，故选（C ）

5．182(5)6n n n a s s n a -=-=-?=，k=8，（或5＜2k －10＜8）故选（B ） 6．计算4567A A A A +++，由算法框图知，8i < 故选（B ） 7．A D →11件，B C →4件，B A →1件，共16件，故选（C ） 8．

()a b a b **=∴当a b =时()b b b b **=，又[()]()()a b a a b b a b a ****=**=；

()[()]()a b b a b a b a b ****=**=，故选（A ） 二．填空题

9．411

()()()669

P AB P A P B ==

?= 10．2

cos12012

?+?+=

a a

b a a a b = 11．线段OA 的垂直平分线方程为15

2(1)(,0)24

y x F -=--??准线方程54x =-

12．21(1)2n n n C ++=；12；2

1(1)(2)2

n n n n n C ---?=

13．参数方程化普通方程得直线方程为60x y +-=，圆的方程为2

2

(2)4x y +-= 因此圆心为(0,2)

，圆心到直线的距离为d =

=14．41(2)236f ---=-+=；21()5211x f x x x -≤?≤-?-≤≤

三．解答题

16．（1）当5c =

时，5,5,cos sin AB BC AC A A ===?∠=

?∠=

（2

）AC BC c =

=,A 为钝角222AB AC AB +

253

c ∴>

17．（1）（略）

（2）97

,22x y ==，4166.5i i i x y ==∑，4

21

86i i x ==∑，4

1

4

2

21

466.563

0.78681

4i i

i i i x y x y

b x x

==--=

=

=--∑∑

0.35a y bx =-=，故现线性回归方程为0.70.35y x =+

（3）当100x =时，70.35y =，9070.3519.65-=，故预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨标准煤。

18．（1）显然圆心C 的坐标为(2,2)-，故圆的方程为22(2)(2)8x y ++-=

（2）由题意知，椭圆的长轴长为210a =，椭圆的右焦点(4,0)F ，若圆C 上存在点Q ,使得4FQ OF ==，则Q 点圆C 与圆2

2

:(4)16F x y -+=的交点，由

22

2222

3(2)(2)880(4)16

y x x y x y x x y =?++-=?????+-=-+=???00x y =???=?或45

125x y ?

=????=??，所以412(,)55Q ，此时4FQ =满足题意，故圆C 上存在点412

(,)55

Q 符合题目要求。

19．（1）,

,EF AB PE EF

⊥∴⊥又,PE AE AE

EF E ⊥=， PE ∴⊥平面ACFE 且

PE x =

，

ACD BEF EF x x ??∴=

=，四棱锥P ACFE -的底面积为

22

)s x x ==-，1()3V x s PE ∴=

?231

))3x x x x =-=-(0x <<

（2

）'2())V x x =

-，(0,6)x ∈时'

()0V x >，x ∈时

'()0V x <，()V x 在(0,6)上增，在上减，故()V x 在6x =时，取最大值为

（3）过F 作FG AC 交AB 于G ，则PFG ∠是直线AC 与PF 所成角且FGB ?是等腰三角形，由（2

）知6,EF FG FB EG EB PG PF =======在2

224242721

cos 2847

PF FG PG PFG PFG PF FG ?+-+-∠===?，所以异面直线AC 与PF

所成角的余弦值为

17

20．（1）当0a =时，3

()230[1,1]2

f x x x =-=?=?- （2）当0a ≠时，2()223f x ax x a =+--

①()0f x =在[1,1]-上有惟一解，则(1)(1)(1)(5)015f f a a a -=--≤?≤≤

②()0f x =在[1,1]-

上有两解，则1112348(3)022(1)(1)0

a a a a f f ??

-≤-≤??=---≥?≤--??-≥??

或5a ≥，

综上，所求a

的取值范围为3(,[1,)2-∞-

+∞ 21．（1

）α=

β= （2）()21f x x '=+，2()1n n n f a a a =+-，()21n n f a a '=+，

221()11

()2121

n n n n n n n n n n f a a a a a a a f a a a ++-+=-=-=

'++，易证0n a > ①当1n =

时，1110a a αα-==>?> ②假设n k =时命题成立，即k a α>，则当1n k =+时

22222

11122()021212121

k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a ααααααα+++---+--=-===>++++

22(101)αααα+-=∴-=1k a α+∴>所以1n k =+时命题也成立

由①②可知n a α>

（3）由（2）知

2

2

1

22

1

()

21()

()()

21

k

k k k

k

k k

k

a

a a a

a

a a

a

β

ββ

α

αα

+

+

-

-+-

==

-

--

+

，ln n

n

a

a

β

α

??

-

??

-

??

是公比为2

，首项为=的等比数列，其前n

项的和为4(21)ln

n-