数列的极限知识点 方法技巧 例题附答案和作业题
数列的极限
一、知识要点
1数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．
某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限记作
l i m n n a a →∞
=．（注：a 不一定是｛a n ｝中的项）
2几个重要极限：
（1）01
lim
=∞→n
n （2）C C n =∞→lim （C 是常数）
（3）()()()??
???-=>=<=∞
→1,11,110lim a a a a a n
n 或不存在，
（4）???
??
??<=>=++++++++----∞→)()()
(0lim 0
11101110t s t s b a t s b n b n b n b a n a n a n a s s s s t t t t n 不存在
3. 数列极限的运算法则:
如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞
→∞
→那么
B A b a n n n +=+∞
→)(lim B A b a n n n -=-∞
→)(l i m
B A b a n n n .).(lim =∞→ 0(l i m ≠=∞→B B A
b a n
n n 4．无穷等比数列的各项和
⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做lim n n S S →∞
=
⑵1
lim ,(0||1)1n n a S S q q
→∞
==
<<- 二、方法与技巧
⑴只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.
⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）
⑶求数列极限最后往往转化为()N m n
m ∈1
或()1 ⑷求极限的常用方法： ①分子、分母同时除以m n 或n a . ②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限. ③利用已知数列极限（如() 01 lim ,10lim =<=∞→∞→n q q n n n 等）. ④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限. ⑤∞－∞, ∞ ∞ ,0－0,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限 题型讲解 例1 求下列式子的极限： ①n n n )1(lim -∞ →； ②∞→n lim 11 2322+++n n n ； ③∞→n lim 1122++n n ； ④∞→n lim 757222+++n n n ; （2） ∞ →n lim （n n +2－n ）;（3）∞ →n lim （ 22n +24 n +…+22n n ） 例2 ()B A b a B b A a n n n n n n n +=+==∞ →∞ →∞ →lim lim ,lim 是的（ ） A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件 例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且n n n b a ∞→lim =3,求n n n nb a a a 221lim +++∞→ 的 值为 例4 求n n n n n a a a a --∞→+-lim （a >0); 例5 已知1)1 1 ( lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值; 例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞ →n lim （ q a +11－q n ）=2 1 ,求a 1的取值范围 例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数． （1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ； （2）求∞ →n lim 1 122+-+-n n n n a a 的值． 数列极限课后检测 1下列极限正确的个数是（ ） ①∞→n lim αn 1=0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞→n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A 2 B 3 C 4 D 都不正确 3下列四个命题中正确的是（ ） A 若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝A B 若a n ＞0，∞ →n lim a n ＝A ，则A ＞0 C 若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2 D 若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞ →n lim b n 5若数列{a n }的通项公式是a n =2 ) 23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ） 等于（ ） A 2411 B 2417 C 2419 D 24 25 6数列{a n }中,n a 的极限存在，a 1=5 1 ,a n +a n +1=156+n ,n ∈N *,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（ ） A 2 B 2 C 1 D 4 7．∞→n lim n n ++++ 212=__________ ∞→n lim 3 2222-+n n n =____________ ∞ →n lim ［n （1－ 31）（1－41）（1－51）…（1－2 1+n ）］= 8已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn c an ++=2, ∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim a cn c an ++22的值是（ ） 9 {a n }中a 1=3，且对任意大于1的正整数n ,点（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则 ∞ →n lim 2 )1(+n a n =_____________ 10等比数列{a n }公比q =－ 21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=3 8 ,则a 1=_____________ 11已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N *） （1）求{b n }的通项公式；（2）求∞ →n lim （ 212-b +213-b +214-b +…+2 1 -n b ）的值 12已知{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞ →n lim n n b a =2 1, 求极限∞ →n lim （ 111b a +221b a +…+n n b a 1）的值 例题解析答案 例1 n 的分子有界，分可以无限增大，因此极限为0； ②1 12322+++n n n 的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高项)系数之比； ③∞ →n lim 1 1 22 ++n n 的分子次数小于于分母次数，极限为0 解：①0n n =； ②2 2 22 213321lim lim 3111n n n n n n n n →∞→∞++++==++； ③∞→n lim 2 22 2121lim lim 01 11n n n n n n n →∞→∞++==++ 点评：分子次数高于分母次数，极限不存在； 分析:（4）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（5）因n n +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（6）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限 解:（1）∞ →n lim 7 57 222 +++n n n =∞→n lim 2 2 757 12n n n +++ 52 （2）∞ →n lim （n n +2－n ）= ∞ →n lim n n n n ++2 =∞ →n lim 1 111++n 2 1 （3）原式=∞ →n lim 22642n n ++++ =∞→n lim 2)1(n n n +=∞→n lim （1+n 1）=1 点评：对于（1）要避免下面两种错误：①原式=) 75(lim )72(lim 22+++∞ →∞→n n n n n =∞∞ =1,②∵∞→n lim （2n 2 +n +7）, ∞ →n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限 对于（2）要避免出现下面两种错误：①∞ →n lim （n n +2－n ）= ∞ →n lim n n +2－∞ →n lim n = ∞－∞=0;②原式=∞ →n lim n n +2－∞ →n lim n =∞－∞不存在 对于（3）要避免出现原式=∞ →n lim 22n +∞→n lim 24n +…+∞→n lim 22n n =0+0+…+0=0这样的错误 例2 B 例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且n n n b a ∞→lim =3,求n n n nb a a a 221lim +++∞→ 的 值为 解：由n n n b a ∞→lim =3?d 1=3d 2 ， ∴n n n nb a a a 221lim +++∞→ =212 11 14])12([2) 1(lim d d d n b n d n n na n =-+-+ ∞→43 点评：化归思想 例4 求n n n n n a a a a --∞→+-lim （a >0); 解：n n n n n a a a a --∞→+-lim =?????? ???????<<-=+-=>=+-∞→∞→). 10(111lim ),1(0),1(11111lim 2222a a a a a a a n n n n n n 点评：注意分类讨论 例5 已知1)1 1 ( lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值; 解：1 1 )()1(lim 2++-+--∞→n b n b a n a n =1， ∴ ?? ?=+-=-1 )(0 1b a a ?a=1,b=─1 例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞ →n lim （ q a +11－q n ）=2 1 ,求a 1的取值范围 解: ∞ →n lim （ q a +11－q n ）=2 1 , ∴∞ →n lim q n 一定存在∴0＜|q |＜1或q =1 当q =1时， 2 1a －1=21 ,∴a 1=3 当0＜|q |＜1时，由∞ →n lim （ q a +11－q n ）=21得q a +11=2 1 ,∴2a 1－1=q ∴0＜|2a 1－1|＜1∴0＜a 1＜1且a 12 1 综上,得0＜a 1＜1且a 1≠ 2 1 或a 1=3 例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数． （1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ； （2）求∞ →n lim 1 122+-+-n n n n a a 的值． 解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1, ∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn － 1 ∴S n ＝? ?? ??≠>--=). 10(1) 1(3)1(3c c c c c n n 且 （2） ∞ →n lim 1 122+-+-n n n n a a ＝∞→n lim n n n n c c 32321 1+--- ①当c =2时，原式＝－ 4 1; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim c c c n n 3)2(23 )2 (11+?---＝－c 1; ③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 11 )2 (32)2(31--?+-n n c c c 21点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用 试卷解析 1 答案:B 3解析:排除法，取a n ＝（－１）n ，排除A ； 取a n ＝ n 1 ，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ．答案:C 5 解析:a n =??? ? ???-++--+--------),(2 2323),(2 ) 23(23为偶数为奇数n n n n n n n n n n 即a n =?????--). 3), (2( 为偶数为奇数n n n n ∴a 1+a 2+…+a n =（2－ 1+2－ 3+2－ 5+…）+（3－ 2+3－ 4+3－ 6+…） ∴∞ →n lim （a 1+a 2+…+a n ）= 4112 1313 2122 2 21-=-+ -----+9 1191 - =.2419 答案:C 6 解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n = 51 +[25 6+356+… +n 56]+a n ∴原式=21［51+5 11256 -+∞→n lim a n ］=21（51+103+∞→n lim a n ） ∵a n +a n +1= 1 5 6+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n +1=0∴∞ →n lim a n =0 答案:C 7 解析:原式=∞→n lim 2)1(2 ++n n n =∞→n lim 2 21212 n n n + +=0 ∞→n lim 32222 -+n n n =∞→n lim 2 3221n n -+2 1 解析: ∞→n lim ［n （1－ 31）（1－41）（1－51）…（1－2 1+n ）］ =∞→n lim ［n ×32×43×54×…×21++n n ］=∞→n lim 2 2+n n =2 答案:C 8解析: 答案:D 由∞→n lim c bn c an ++=2,得a =2b 由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b =3c ,∴c =31b ∴c a =6∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim 22n a c n c a ++ =c a =6 9析:由题意得n a －1-n a =3 （n ≥2）∴{n a }是公差为3的等差数列，1a ∴n a =3+（n －1）·3=3n ∴a n =3n 2 ∴∞→n lim 2)1(+n a n =∞→n lim 12322++n n n =∞ →n lim 2 1213 n n ++=3 10析:∵q =－ 2 1,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4 111- a 8 ∴a 1=2 11 解:（1）n =1时，由（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）,得a 1=1 n =2时，a 2=6代入得a 3=15同理a 4=28,再代入b n =a n +n ,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n ①当n =1时，a 1=2×12－1=1成立②假设当n =k 时，a k =2k 2－k 成立 那么当n =k +1时，由（k －1）a k +1=（k +1）（a k －1）,得a k +1=1 1 -+k k （a k －1） = 11-+k k （2k 2－k －1）=1 1 -+k k （2k +1）（k －1）=（k +1）（2k +1）=2（k +1）2－（k +1） ∴当n =k +1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2 （2）∞ →n lim （ 212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+16 1 +…+2212-n ） = 21∞→n lim ［ 311?+4 21 ?+…+)1)(1(1+-n n ］ = 41∞→n lim ［1－31+21－41+…+ 11-n －11+n ］=41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］3 12 解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2 ∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）,∴2d 2－3d 1=2 又∞ →n lim n n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =2 1,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n +1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2 ∴n n b a 1=)24()12(1-?+n n =41（121-n －121+n ）∴原式=∞→n lim 41（1－1 21+n ）=41 第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为 第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε，有ε<-a x n . 注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度. 注2 若n n x ∞ →lim 存在，则对于每一个正数ε，总存在一正整数N 与之对应，但这种N 不是 唯一的，若N 满足定义中的要求，则取Λ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是：对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ，在{}n x 中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(εa U ． 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε，有00ε≥-a x n . 2. 子列的定义 在数列{}n x 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{} k n x ，其中k n 表示k n x 在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数． 注1 对每一个k ，有k n k ≥． 注2 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥．反之，若k h n n ≤，则k h ≤． 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε，有ε<-a x k n . 注4 ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ，若0>?M ，使得对N n >?，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量 对数列{}n x ，如果0>?G ，N n N >?N ∈?,，有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记 作∞=∞ →n n x lim ． 第二章 极限与连续 基础练习题（作业） §2.1 数列的极限 一、观察并写出下列数列的极限： 1．468 2, ,,357 极限为1 2．1111 1,,,,,2345 --极限为0 3．21 2212?-??=?+???n n n n n n a n 为奇数为偶数极限为1 §2.2 函数的极限 一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞ x x e 极限为零 2．2 lim tan x x π → 无极限 3．lim arctan →-∞ x x 极限为2 π- 4．0 lim ln x x + → 无极限，趋于-∞ 二、设2 221, 1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+? ，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？ 2 1 1 lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11 lim ()lim(21)3x x f x x -- →→=+= 22 2 lim ()lim(1)3x x f x x ++ →→=-=；222 lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2 lim ()x f x →∴不存在。 三、设()1 11x f x e = +，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在． lim ()x f x →∴不存在。 四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在 §2.3 无穷小量与无穷大量 一、判断对错并说明理由： 1．1 sin x x 是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当 0x →时，1sin 0x x →；当1x →时，1 sin sin1x x →不是无穷小量。 2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量． 对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。 3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量． 对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。 二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量： 1． 22 1 x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。 2．1ln tan x , k Z ∈ ()2x k ππ-→+时，tan x →+∞，则ln tan x →+∞，从而+1 0ln tan x →为无穷小量； x k π+→时，tan 0x +→，则ln tan x →-∞，从而1 0ln tan x -→为无穷小量； 4x k ππ→+时，tan 1x →，则ln tan 0x →，从而1 ln tan x →∞为无穷大量； 三、当0+ →x 时，2 x ，阶的无穷小量分别是谁？ 2 00lim lim 01x x x ++→→==，所以当0+→x 时，2x 22 300lim lim 0 1 x x x x ++→→==，所以当0+→x 时，2x 的高阶无穷小量。 【最新整理，下载后即可编辑】 7.6 数列的极限 课标解读： 1、理解数列极限的意义； 2、掌握数列极限的四则运算法则。 目标分解： 1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a (即||a a n -无限地接近于0)，那么就说数列{}n a 以a 为极限。 注：a 不一定是{}n a 中的项。 2、几个常用的极限：①C C n =∞→lim (C 为常数)；②01lim =∞→n n ；③ ) 1|(|0lim <=∞ →q q n n ； 3、数列极限的四则运算法则：设数列{}n a 、{}n b ， 当 a a n n =∞ →lim ， b b n n =∞ →lim 时，b a b a n n n ±=±∞→)(lim ； b a b a n n n ?=?∞ →)(lim ； )0(lim ≠=∞→b b a b a n n n 4、两个重要极限： ① ?? ???<=>=∞→00100 1lim c c c n c n 不存在 ②?? ???-=>=<=∞ →11||111||0 lim r r r r r n n 或不存在 问题解析： 一、求极限： 例1：求下列极限： (1) 3 21 4lim 22 +++∞→n n n n (2) 2 4323lim n n n n n -+∞→ (3) )(lim 2n n n n -+∞ → 例2：求下列极限： (1) )23741(lim 2222n n n n n n -++++∞→ ； (2) ])23()13(11181851521[lim +?-++?+?+?∞→n n n 例3：求下式的极限： 3322 11 1321.lim _____212.lim _____3(5)33.lim _____(5)3 4 4.lim ______1234....(21)2 5.lim _____1 (2)6.lim ______124...(2)7.lim(n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞++→∞→∞ →∞+-→∞→∞+=++=+-+=-+=-+-++--=--=-+-+-数列极限练习题 21213)______211118.lim ....(1)______3927319.lim 0,____,_____110.(1)lim(12),_____ (2)4,__11.lim(2)5,lim n n n n n n n n n n n n n n an b a b n x x a a b -→∞→∞ →∞ →∞ →∞ --=+??-+++-=??????+--=== ?+?? -+=则若存在则实数范围已知无穷等比数列的各项和是则首项的取值范围是已知{}1 (3)1,lim()1 13(1) 12.,1342(1)lim (2)lim n n n n n n n n n n n n n a b a b n n n a S a n n a S →∞ -→∞ →∞ -=-??≤≤?+?=???≥??求的值 若为数列的前项和求 {}{}12123101511113.,9,27,,lim 31 14.,1,,, 32lim 15.,321111lim 4lim 1....(1),323927316.{},{}0n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a n S S S a a n S S S a R a a a a b →∞ →∞ ++--→∞→∞+===-=∈-??=-+-++-??+??数列为等比数列前项和为求数列为等比数列前项和为求已知且 求范围 数列都是公差不为的等差数列12211212 22 1121 ,lim 2, ...lim 17.{},1,(...)18.{}(0),,,lim ,lim ...19.{},,lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a a a nb a a a k a a k a q q a a S S n S S a a a a q n S a S →∞→∞++→∞→∞++→∞=+++==++>=++=求数列为无穷等比数列求实数的范围 数列是公比为的无穷等比数列前项和为求无穷等比数列公比为前项和为2423521 111,1...20.lim ...121.{},lim()12 n n n n n n q q a a a a a a a a a q q q a -→∞→∞-++++++++-= +求范围求等比数列公比为求取值范围 2008高考数学二轮复习数列、极限、数学归纳法（1） 教学目标： 1．理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项. 2．理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 教学重点： 理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项. 教学难点： 理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 教学方法设计：“五步”教学法 教学用具：三角板多媒体 板书设计 一、知识框架 二、典型例题 三、总结 四、检测 教学过程 一、出示教学目标。 理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n 项. 理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n 项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 二、组织基础知识结构，构建知识网络。 三、典型例题引路。 【例1】 已知由正数组成的等比数列{}n a ，若前n 2项之和等于它前n 2项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式. 解：∵q =1时122na S n =，1na S =偶数项 又01>a 显然11112na na ≠，q ≠1 ∴2212121)1(1)1(q q q a S q q a S n n n --==--=偶数项 依题意2 21211)1(111)1(q q q a q q a n n --?=--；解之101 = q 又421422143),1(q a a a q q a a a =+=+， 1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 . 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→ 3第一讲__数列的极限典型例题 第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 ?Skip Record If...?，有?Skip Record If...?. 注1 ?Skip Record If...?的双重性.一方面,正数?Skip Record If...?具有绝对的任意性,这样才能有 ?Skip Record If...?无限趋近于?Skip Record If...? 另一方面,正数?Skip Record If...?又具有相对的固定性,从而使不等式?Skip Record If...?.还表明数列?Skip Record If...?无限趋近于?Skip Record If...?的渐近过程的不同程度,进而能估算?Skip Record If...?趋近于?Skip Record If...?的近似程度. 注2若?Skip Record If...?存在，则对于每一个正数?Skip Record If...?，总存在一正整数?Skip Record If...?与之对应，但这种?Skip Record If...?不是唯一的，若?Skip Record If...?满足定义中的要求，则取?Skip Record If...?，作为定义中的新的一个?Skip Record If...?也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个?Skip Record If...?则必存在无穷多个正整数可作为定义中的?Skip Record If...?． 注3?Skip Record If...??Skip Record If...?的几何意义是：对?Skip Record If...?的预先给定的任意?Skip Record If...?邻域?Skip Record If...?，在?Skip Record If...?中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入?Skip Record If...?． 注4?Skip Record If...?，有?Skip Record If...?. 2.子列的定义 第一讲 数列的极限 一、容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε，有ε<-a x n . 注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度. 注2 若n n x ∞ →lim 存在，则对于每一个正数ε，总存在一正整数N 与之对应，但这种N 不是 唯一的，若N 满足定义中的要求，则取 ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是：对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ，在{}n x 中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(εa U ． 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε，有00ε≥-a x n . 2. 子列的定义 在数列{}n x 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{} k n x ，其中k n 表示k n x 在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数． 注1 对每一个k ，有k n k ≥． 注2 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥．反之，若k h n n ≤，则k h ≤． 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε，有ε<-a x k n . 注4 ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ，若0>?M ，使得对N n >?，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量 对数列{}n x ，如果0>?G ，N n N >?N ∈?, ，有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，321，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得： 对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，a n 能无限接近常数a ，则称 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛； {}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对? ?? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε= 10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11π n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．． 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以() x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 数列极限及其计算（习题部分） 数列极限存在性的证明以及数列极限的计算，是考研数学的重难点，有时会命制成压轴题。 在考研范围内，数列极限计算常用的方法主要有单调有界准则、夹逼准则、初等变形、定积分定义、归结原理、级数收敛的必要条件、转化为幂级数求和等。本章部分题目涉及到后续章节的知识（如利用定积分定义求极限），自学本讲义的同学可暂时跳过。 题型一、递推数列的极限 （一）单调有界准则 例题1设，证明收敛并求极限值 注：利用单调有界准则证明递推数列的收敛性，是常考题型。在具体证明单调性和有界性时，常用到一些经典的不等式放缩，如均值不等式，柯西不等式等等；有时也可用数学归纳法证明。（在进行含有自然数的命题的证明时，我们常常可以考虑数学归纳法，这是一个很好用也很流氓的一个方法。） 类题1，证明收敛并求极限值 类题2设，证明收敛并求极限值 注：若题干改为，问此时是否收敛，该如何 证明？若将减弱为，又该如何证明？ 类题3，证明收敛并求极限值 [注]：此题对于极限值的取舍才是关键点，这是很多辅导书都没有讲清楚的地方，希望大家好好思考。 类题4设数列，证明收敛并求极限 类题5设可导，且，对于数列，有。证明数列收敛， 且极限值满足方程 类题6，证明收敛并求极限值 类题7（2018年数学二压轴题）设,证明收敛并求极限 注：这题是我当年考研时的原题，当时考完以后，很多人就在吹这个题多么的不常规，是考研史上最难的数列极限题。也正常，弱者总喜欢找各种理由。 例题2 设，证明收敛 注：①.该题说明，某些不是递推型的数列，也可以用单调有界准则来证明 ②.是一个非常重要的极限，我们将这个极限值定义为欧拉常数， 即。该题表明，当的时候，和是等价无穷 Chap1 数列的极限 1. 设()01,2, n x n >=及lim n n x a →∞ =,用N ε-语言, 证明 : n =. 证 0n x >, 0a ∴≥. (1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞ =, 下证0n =. 0ε?>, 则存在0N >, 当n N >时, 200n n x x ε<=-<. ε<, 0ε<. 0n ∴=. (2) 当0a >时, 0ε?>, 存在0N >, 当n N >时 , n x a -<. ε= < < . n ∴= 综上两方面 ,即证. 2. 已知lim n n x a →∞ =, 用N ε-语言, 证明 : n = 证 (1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞ =, 0ε?>, 存在0N >, 当n N >时, 2 n x ε<; ε<, 此即0n ==. (2) 当0a ≠时, 因为 2 2 2 2 2 33 04 4 +=+ ≥>. 令2 3 4 M = , lim n n x a →∞ =, 则对0ε?>,存在0N >, 当n N >时,有 n x a M ε-<. 2 2 n x a -= 1 n x a M M M εε-≤ < ?= n ∴= 3. (算术平均收敛公式)设lim n n x a →∞ =.令12n n x x x n ξ+++= , 求证:lim n n a ξ→∞=. 证法1 由施笃兹公式 12lim lim n n n n x x x n ξ→∞ →∞+++= ()() () 12121lim 1n n n x x x x x x n n -→∞ ++ +-++ +=-- lim n n x a →∞ ==. 证法 2 由lim n n x a →∞ = , 则0ε?>, 存在10N >, 使当1n N >时, 有 2 n x a ε -<. ① ( ) 1112111 n N N n x x x a x a x a x a x a n n +++ +-≤ -++-+-+ +- 令111N c x a x a =-++-, 那么 1212 n x x x n N c a n n n ε++ +--≤ +? . ② 存在20N >, 使当2n N >时, 有 2 c n ε <. 再令{}12max ,N N N =, 故当n N >时, 由①,②有 1212 222 n x x x n N a n n ε εεε ε++ +--< + ?<+=. 12lim lim n n n n x x x a n ξ→∞ →∞++ ∴==. 4. (几何平均收敛公式)设()01,2, n x n >=. 且lim n n x a →∞ =. 证明: n a =. 证 lim n n x a →∞ =, limln ln n n x a →∞ ∴=. 再由算术平均收敛公式可知 ()121 ln ln ln ln lim n x x x a n n n e e a ++→∞ ∴===. 5. 证明: 1n =, 其中1a >. 证 令1 1n a α-= ,则0α>, 依伯努利不等式, 有 ()() 1 1111n n a n n a αα=+≥+=+-, 专题三数列与极限 【考点聚焦】 考点1：数列的有关概念，简单的递推公式给出的数列； 考点2：等差、等比数列的概念，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式，并运用它们解决一些问题； 考点3：数列极限的意义，极限的四则运算，公比的绝对值小于1的无穷等比数列的前n 项和的极限； 考点4：数学归纳法 【自我检测】 1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做数列。 3、无穷等比数列公比｜q|＜1，则各项和S＝＿＿＿＿＿＿。 4、求数列前n项和的方法：（1）直接法；（2）倒序相加法；（3）错位相减法；（4） 分组转化法；（5）裂项相消法. 【重点?难点?热点】 问题1：等差、等比数列的综合问题 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 例1：设等比数列{a n}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n}的前多少项和最大？(取lg2=03,lg3=04) 思路分析突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n是n的二次函数，也可由函数解析式求最值 解法一 设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有 ??? ? ?+=?--?=--?)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m ，化简得?????==?????+==+10831 , ),1(9114121 a q q q a q q 解得 设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则 S n =lg a 1+lg （a 1q 2）+…+lg （a 1q n －1）=lg （a 1n ·q 1+2+…+(n － 1)） =n lg a 1+ 21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21 n (n －1)lg3 =(－23lg )·n 2+(2lg2+2 7lg3)·n 可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大 而4 .024.073.043lg 3 lg 272lg 2??+?= +=5, 故{lg a n }的前5项和最大 解法二 接前，3 1,1081= =q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg 31, ∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 3 1 为公差的等差数列， 令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0， ∴n ≤4 .04 .043.023lg 3lg 42lg 2?+?=+=5 5 由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大 点评 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力 演变1 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它前3m 项的和为_______ 点拨与提示：本题可以回到数列的基本量，列出关于d 1和a 的方程组，然后求解；或运用等差数列的性质求解. 问题2：函数与数列的综合题 数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点. 例2：已知函数f (x )= 4 12 -x (x <－2) (1) 求f (x )的反函数f -－ 1(x )； (2) 设a 1=1, 1 1+n a =－f －-1 (a n )(n ∈N *),求a n ; (3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 高中数列极限练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 数列极限 1.极限概念：一般地，当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数A （即n a A -无限地接近于0），那么就说数列{}n a 以A 为极限，或者说A 是数列{}n a 的极限。 （由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）。 记法：lim n n a A →+∞ =； 读作：“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”； 注意：（1）}{n a 是无穷数列； （2）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的； （3）不是所有数列都存在极限；如：21,n a n n N *=-∈； 2.极限第二定义：对于无穷数列{}n a ，若存在一个常数A ，对于任意小的正数 ε，总存在自然数m N *∈，使得当n m >时，n a A ε-<恒成立，则称A 是数列 {}n a 的极限。 说明： lim n n a A →+∞ =的几何意义：从几何上看，数列{}n a 的极限为A ，是指以A 为中心的 区间(,)A A εε-+，必然从某项1m a +起，后面的所有项都落在区间(,)A A εε-+之中。换句话说，数列{}n a 至多有m 项123,,,...,m a a a a 落在区间(,)A A εε-+之外。 例1.求下列无穷数列极限： （1）数列 ,21 ,,161,81,41,21n ； （2）数列 ,1, ,43,32,21+n n ； （3）数列 ,)1(, ,31,21,1n n ---； 例2.判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）111 1,,,...,,...23n ； 分类讨论求极限 例 已知数列{}n a 、{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为q p ,，其中q p >，且1≠p ，1≠q ，设n n n b a c +=，n S 为数列{}n C 的前n 项和，求1lim -∞→n n n S S . （1997年全国高考试题，理科难度0.33） 解： ()() 1 1 1111--+--=q q b p p a S n n n ()( )()() ()( )()( ) 1 1111 1111111111--+----+--= ---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S . 分两种情况讨论； （1）当1>p 时，∵ 0>>q p ，故10<< p q ， ∴1 lim -∞→n n n S S ()()()()????? ? ?????????????????? ??--+???? ??--?????????? ??--+???? ??-------1111111111111111111lim n n n n n n n n n n p p q p b p q a p p p q p b p q a p ()()()()()()010110 10111111?-+--?-+--? =p b q a p b q a p ()() p q a q a p =--? =1111 （2）当1 数列的极限 一、知识要点 1数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．． 某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限记作 lim n n a a →∞ =． （注：a 不一定是｛a n ｝中的项） 2几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）()()()?? ? ??-=>=<=∞ →1,11,110lim a a a a a n n 或不存在， （4）??? ?? ??<=>=++++++++----∞→)()()(0lim 0 11101110t s t s b a t s b n b n b n b a n a n a n a s s s s t t t t n 不存在 3. 数列极限的运算法则: 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 4．无穷等比数列的各项和 ⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做lim n n S S →∞ = ⑵1 lim ,(0||1)1n n a S S q q →∞ == <<- 二、方法与技巧 ⑴只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限. ⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形） ⑶求数列极限最后往往转化为 ()N m n m ∈1或()1 三、数列的极限 观察数列})1(1{1 n n --+当∞→n 时的变化趋势. 问题: 当n 无限增大时, n x 是否无限接近于某一确定的数值?如果是, 如何确定? 通过上面演示实验的观察: 当n 无限增大时, n x n n 1 )1(1--+=无限接近于1. 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. =-1n x n n n 11)1(1 =-- 给定,1001 由,10011 例1 证明.1)1(lim 1 =-+-∞→n n n n 证 注意到1-n x 1)1(1--+=-n n n n 1=. 任给,0>ε 若要,1ε<-n x 只要,1ε函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)
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