山东省滨州市沾化二中2015届高三上学期第一次质检数学(理)试卷

2014-2015学年山东省滨州市沾化二中高三（上）第一次质检数

学试卷（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合A={x|y=lnx}，集合B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=（）

A．（1，2）B．{1，2} C．{﹣1，﹣2} D．（0，+∞）

2．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）

A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．

3．已知复数z=，则它的共轭复数等于（）

A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i

4．已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q．则“a1＞0，q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．函数f（x）=ln（x+1）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是（）

A．（0，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（3，4）

6．△ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）

A．B．C．D．

7．在正项等比数列{a n}中，a3=，a5=8a7，则a10=（）

A．B．C．D．

8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，为了得到函数

的图象，只需将y=f（x）的图象（）

A．向左平移个单位B．向右平移个单位

C．向左平移个单位D．向心平移个单位

9．现有四个函数：①y=x?sinx；②y=x?cosx；③y=x?|cosx|；④y=x?2x的图象（部分）如下：

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）

A．①④③② B．③④②① C．④①②③ D．①④②③

10．函数f（x）=2sinπx与函数f（x）=的图象所有交点的横坐标之和为（）A．8 B．9 C．16 D．17

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题中横线上）

11．已知，是两个单位向量，若向量=﹣2，=3+4，且?=﹣6，则向量与的夹角是．

12．若sin（π﹣a）=，a∈（0，），则sin2a﹣cos2的值等于．

13．一物体沿直线以速度v（t）=2t﹣3（t的单位为：秒，v的单位为：米/秒）的速度作变速直线运动，则该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程是．

14．在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7= ．

15．数列{a n}通项公式a n=nsin（π）+1的前n项和S n，则S2013= ．

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a+b=5，c=，且

．

（1）求角C的大小；

（2）求△ABC的面积．

17．在数列{a n}中，a1=3，a n=2a n﹣1+n﹣2（n≥2，且n∈N*）

（Ⅰ）求a2，a3的值；

（Ⅱ）证明：数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式．

18．设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，

（Ⅰ）求ω的值

（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．

19．在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．

（Ⅰ）求d，a n；

（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．

20．已知函数 f（x）=x2﹣2alnx+（a﹣2）x，a∈R．

（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值．

（Ⅱ）当a=﹣1时，求证：无论c 取何值，直线y=﹣6x+c均不可能与函数f（x）相切；（Ⅲ）是否存在实数a对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，有

恒成立，若存在求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

2014-2015学年山东省滨州市沾化二中高三（上）第一次

质检数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合A={x|y=lnx}，集合B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=（）

A．（1，2）B．{1，2} C．{﹣1，﹣2} D．（0，+∞）

考点：交集及其运算．

专题：计算题．

分析：集合A表示的是对数函数的定义域，令真数大于0求出A，利用交集的定义求出A ∩B．

解答：解：∵A={x|y=lnx}={x|x＞0}

又∵B={﹣2，﹣1，1，2}，

∴A∩B={1，2}

故选B

点评：本题考查求对数函数的定义域、考查利用交集的定义求集合的交集．

2．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．

考点：函数的定义域及其求法．

专题：函数的性质及应用．

分析：原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．

解答：解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），

∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣．

∴则函数f（2x+1）的定义域为．

故选B．

点评：考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．

3．已知复数z=，则它的共轭复数等于（）

A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i

考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．

专题：数系的扩充和复数．

分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．

解答：解：复数z====2﹣i，则它的共轭复数=2+i．

故选；B．

点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．

4．已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q．则“a1＞0，q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题：等差数列与等比数列．

分析：根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质即可得到结论．

解答：解：在等比数列中，若a1＞0，q＞1，则，则a n＞a n﹣1，即{a n}为递增

数列成立，即充分性成立．

若a n=﹣1满足{a n}为递增数列，但a1＞0，q＞1不成立，即必要性不成立，

故“a1＞0，q＞1”是“{a n}为递增数列”的充分不必要条件，

故选：A

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的性质是解决本题的关键．5．函数f（x）=ln（x+1）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是（）

A．（0，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（3，4）

考点：函数零点的判定定理．

专题：计算题．

分析：先判断函数在其定义域（0，+∞）上是增函数，f（1）?f（2）＜0，从而得出结论．解答：解：由于函数f（x）=ln（x+1）﹣（x＞0）在其定义域（0，+∞）上是增函数，f （1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0，

∴f（1）?f（2）＜0，故函数f（x）=ln（x+1）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是（1，

2），

故选B．

点评：本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．6．△ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）

A．B．C．D．

考点：解三角形．

专题：计算题；压轴题．

分析：先根据等差中项的性质可求得2b=a+c，两边平方求得a，b和c的关系式，利用三角形面积公式求得ac的值，进而把a，b和c的关系式代入余弦定理求得b的值．

解答：解：∵a，b、c成等差数列，∴2b=a+c，得a2+c2=4b2﹣2ac，

又∵△ABC的面积为，∠B=30°，

故由，

得ac=6．

∴a2+c2=4b2﹣12．

由余弦定理，得，

解得．

又b为边长，∴．

故选B

点评：本题主要考查了余弦定理的运用．考查了学生分析问题和基本的运算能力．

7．在正项等比数列{a n}中，a3=，a5=8a7，则a10=（）

A．B．C．D．

考点：等比数列的性质．

专题：计算题．

分析：设正项等比数列{a n}的公比为q，则由已知a5=8a7得a1q4=8a1q6，解得q=，代入

等比数列的通项公式a10=a3q7

解答：解：设正项等比数列{a n}的公比为q，

则由已知得a1q4=8a1q6，解得q=，或q=﹣（舍去），

所以a10=a3q7=×（）7=．

故选D

点评：本题主要考查了等比数列中利用基本量表示数列中的项，解决问题时灵活利用等比数列的通项公式a n=a m q n﹣m是解决本题的关键．

8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，为了得到函数

的图象，只需将y=f（x）的图象（）

A．向左平移个单位B．向右平移个单位

C．向左平移个单位D．向心平移个单位

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

专题：计算题；三角函数的图像与性质．

分析：函数f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0）的图象可知其周期T，从而可求得ω，继而可求得φ，利用三角函数的图象变换及可求得答案．

解答：解：依题意，f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0）的周期T=2×（﹣）=π=，∴ω=2，

又2×+φ=π，

∴φ=．

∴f（x）=sin（2x+）=cos[﹣（2x+）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）；

∴f（x+）=cos[2（x+）﹣]=cos（2x+）；

∴为了得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将y=f（x）的图象向左平移个单位．

故选C．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得ω与φ是关键，考查推理分析与运算能力，属于中档题．

9．现有四个函数：①y=x?sinx；②y=x?cosx；③y=x?|cosx|；④y=x?2x的图象（部分）如下：

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）

A．①④③② B．③④②① C．④①②③ D．①④②③

考点：函数的图象．

专题：函数的性质及应用．

分析：从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于y轴对称，是一个偶函数，第二个图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，是一个非奇非偶函数；第三、四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在y轴左侧，函数值不大于0，分析四个函数的解析后，即可得到函数的性质，进而得到答案．

解答：解：分析函数的解析式，可得：

①y=x?sinx为偶函数；②y=x?cosx为奇函数；③y=x?|cosx|为奇函数，④y=x?2x为非奇非偶函数

且当x＜0时，③y=x?|cosx|≤0恒成立；

则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③

故选：D．

点评：本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中函数的图象或解析式，分析出函数的性质，然后进行比照，是解答本题的关键．

10．函数f（x）=2sinπx与函数f（x）=的图象所有交点的横坐标之和为（）

A．8 B．9 C．16 D．17

考点：函数的零点与方程根的关系；正弦函数的图象．

专题：函数的性质及应用．

分析：根据函数的对称性，利用数形结合即可得到结论．

解答：解：函数f（x）=关于点（1，0）对称，而f（x）=2sinπx也关于点（1，0）对称，

由=2，解得x=9，

由=﹣2，解得x=﹣7，

作出两个函数的图象，由图象可知两个图象共有17个交点，除（1，0）外，

其余16个交点分别关于（1，0）对称，

设对称的两个交点的横坐标分别为x1，x2，

则x1+x2=2，

则所有交点的横坐标之和为2×8+1=17，

故选：D

点评：本题主要考查函数零点的应用，根据方程和函数之间的关系，利用数形结合，结合函数的对称性是解决本题的关键．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题中横线上）

11．已知，是两个单位向量，若向量=﹣2，=3+4，且?=﹣6，则向

量与的夹角是．

考点：平面向量数量积的运算．

专题：平面向量及应用．

分析：设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π]，由数量积的定义可得cosθ的方程，解得cosθ可得θ的值，可得答案．

解答：解：设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π]

由题意可得?=（﹣2）?（3+4）

=3﹣2﹣8

=3﹣2cosθ﹣8

=3×1﹣2×1×1×cosθ﹣8

=﹣5﹣2cosθ=﹣6，

解得cosθ=，

∴θ=

故答案为：

点评：本题考查平面向量的数量积的运算，属基础题．

12．若sin（π﹣a）=，a∈（0，），则sin2a﹣cos2的值等于．

考点：二倍角的余弦；二倍角的正弦．

专题：计算题；三角函数的求值．

分析：由正弦的诱导公式，得sina=，再根据同角三角函数的关系算出

cosa==（舍负）．化简sin2a﹣cos2得到关于sina、cosa的式子，将前面算出的数据代入即可得到所求的值．

解答：解：∵，∴sina=．

又∵，∴cosa==（舍负）

因此，sin2a﹣cos2=2sinacosa﹣（1+cosa）

=2××﹣（1+）=﹣=

故答案为：

点评：本题着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和三角函数的诱导公式等知识，属于基础题．

13．一物体沿直线以速度v（t）=2t﹣3（t的单位为：秒，v的单位为：米/秒）的速度作

变速直线运动，则该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程是．

考点：定积分．

专题：计算题．

分析：先求出v（t）=2t﹣3在t∈（0，5）的符号，然后分别求出每一段的定积分，最后相加即可求出所求．

解答：解：∵当时，；

当时，．

∴物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程

S==（3t﹣t2）+（t2﹣3t）=（米）故答案为：

点评：本题主要考查了定积分几何意义，以及定积分的应用，解题的关键是弄清位移与路程的区别，属于基础题．

14．在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7= 20 ．

考点：等差数列的通项公式．

专题：等差数列与等比数列．

分析：根据等差数列性质可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）．

解答：解：由等差数列的性质得：

3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，

故答案为：20．

点评：本题考查等差数列的性质及其应用，属基础题，准确理解有关性质是解决问题的根本．

15．数列{a n}通项公式a n=nsin（π）+1的前n项和S n，则S2013= 3019 ．

考点：数列的求和．

专题：等差数列与等比数列．

分析：当n=4k（k∈Z）时，sin（π）1；当n=4k+1（k∈Z）时，sin（π）=0；

当n=4k+2（k∈Z）时，sin（π）=﹣1；当n=4k+3（k∈Z）时，sin（π）=0．由此能求出S2013．

解答：解：当n=4k（k∈Z）时，sin（π）=sin=1；

当n=4k+1（k∈Z）时，sin（π）=sinπ=0；

当n=4k+2（k∈Z）时，sin（π）=sin=﹣1；

当n=4k+3（k∈Z）时，sin（π）=sin2π=0．

由此可得

S2013=（1×sinπ+1）+（2×sin +1）+（3×sin2π+1）+…+（2013sin+1）

=[2×（﹣1）+4×1+6×（﹣1）+8×1+…+2010×（﹣1）+2012×1]+2013×1

=（﹣2+4﹣6+8﹣10+…+2008﹣2010+2012）+2013

=1006+2013=3019．

故答案为：3019．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意总结规律．

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a+b=5，c=，且

．

（1）求角C的大小；

（2）求△ABC的面积．

考点：解三角形；二倍角的余弦；余弦定理．

专题：计算题．

分析：（1）由三角形的内角和定理及诱导公式化简已知的等式，

再根据二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后得到关于cosC的方程，求出方程的解得到cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；

（2）利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC，再根据完全平方公式变形后，将a+b，c及cosC的值代入求出ab的值，然后再由ab，sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵A+B+C=180°，

∴=90°﹣，

由得：，

∴，

整理得：4cos2C﹣4cosC+1=0，

解得：，

∵0°＜C＜180°，

∴C=60°；

（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，

∴7=（a+b）2﹣3ab=25﹣3ab?ab=6，

∴．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：诱导公式，二倍角的余弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．

17．在数列{a n}中，a1=3，a n=2a n﹣1+n﹣2（n≥2，且n∈N*）

（Ⅰ）求a2，a3的值；

（Ⅱ）证明：数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式．

考点：数列递推式．

专题：等差数列与等比数列．

分析：（I）赋值：令n=2，n=3，能求出a2，a3的值．

（II）涉及到等差数列，等比数列的证明问题，只需按照定义证明即可，利用等比数列的定义证明，利用等比数列通项公式可求出{a n+n}的通项公式，从而求出a n．

解答：解：（I）令n=2，得a2=2a1=6，

令n=3，得a3=2a2+1=13．（4分）

（II）∵，

∴数列{a n+n}是首项为4，公比为2的等比数列，（7分）

∴，

∴．（10分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意赋值法和等比数列性质的合理运用．

18．设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，

（Ⅰ）求ω的值

（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．

考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．

分析：（Ⅰ）通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的正确求出ω的值

（Ⅱ）通过x 的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域与单调性直接求解f（x）在区间[]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx

=

=

=．

因为y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故周期为π

又ω＞0，所以，解得ω=1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=﹣sin（2x﹣），

当时，，

所以，

因此，﹣1≤f（x），

所以f（x）在区间[]上的最大值和最小值分别为：．

点评：本题考查二倍角的三角函数以及两角和的正弦函数，三角函数的周期，正弦函数的值域与单调性的应用，考查计算能力．

19．在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．

（Ⅰ）求d，a n；

（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．

考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．

专题：等差数列与等比数列．

分析：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．

解答：解：（Ⅰ）由题意得，即

，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．

当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．

当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．

所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；

（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．

则当n≤11时，．

当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．

综上所述，

|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．

点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．

20．已知函数 f（x）=x2﹣2alnx+（a﹣2）x，a∈R．

（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值．

（Ⅱ）当a=﹣1时，求证：无论c 取何值，直线y=﹣6x+c均不可能与函数f（x）相切；（Ⅲ）是否存在实数a对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，有

恒成立，若存在求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题：导数的综合应用．

分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求导后得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性，从而求出函数f（x）的最小值；

（Ⅱ）把a=﹣1代入原函数，求出导函数后利用基本不等式求出导函数的值域，从而说明无论c 取何值，直线y=﹣6x+c均不可能与函数f（x）相切；

（Ⅲ）假设存在实数a使得对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有

恒成立，假设0＜x1＜x2，则f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1恒成立，构造辅助函数g（x）=f （x）﹣ax，只要使函数g（x）在定义域内为增函数即可，利用其导函数恒大于等于0可求解a的取值范围．

解答：解；（Ⅰ）：（Ⅰ）显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），

当a=1时，．

∴当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0．

∴f（x）在x=2时取得最小值，其最小值为f（2）=﹣2ln2；

（Ⅱ）∵a=﹣1，∴，

假设直线与f（x）相切，设切点为（x0，y0），则．

∵x＞0，∴，所以，

所以无论c取何值，直线均不可能与函数f（x）相切；

（Ⅲ）假设存在实数a使得对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有

恒成立，

不妨设0＜x1＜x2，则f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1恒成立．

令g（x）=f（x）﹣ax，只要g（x）在（0，+∞）为增函数．

又函数．

考查函数．

要使g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，只要﹣1﹣2a≥0，即，

故存在实数对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有

恒成立．

点评：本题考查了利用导数研究曲线在某点出的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造函数法证明不等式恒成立问题，是难题．