2008优秀的数学建模论文

数码相机定位问题研究

摘要：本文对数码相机定位问题进行了深入研究。

问题一，首先阐明物像空间的坐标关系，然后综合考虑影响数码相机摄像效果的外方位因素和内方位因素，在传统照相机成像原理的基础上，建立中心投影的构像方程,针对得到的构像方程式，采用直接线性变换（DLT）的算法,最终确定靶标上圆的圆心在相机像平面的像坐标。

问题二，由图3可知，背景影像的灰度与目标影像灰度具有足够的对比度，根据颜色特征利用自适应单阈值影像分割法获得二值图像，实现目标与背景分离。依据直接线性变换（DLT）的方式，获得目标近似位置，再对目标影像进行精确定位。得到靶标上圆的圆心的像坐标（单位：mm）为：

A(-49.919,51.562，41.720),B(-23.675,49.537，41.720)，C(33.805,45.176，41.720),D(18.632,-31.422，41.720),E(-60.120,-31.199，41.720)。

问题三，首先把图3还原成原始大小，通过边缘跟踪和二值处理，并采用尺规作图确定靶标上圆的圆心在像平面的像坐标，并与问题二中得到的结果相比较，采用平面距离法求解出实际值与理论值的平均偏差为1mm，验证了模型的精确度。

问题四，首先从照相机获取的图像信息出发，根据照相机成像的几何原理,得到较高精度的内、外参数矩阵，建立相对定向线性变换模型。然后结合实际情况，考虑到透镜的径向畸变，最终建立双目立体视觉系统的定位模型，从而就可以确定照相机的相对位置。

本文综合考虑多种影响摄像效果的因素，所建立的模型结构严谨、逻辑性强。最后并对模型进行了推广。

关键词：直接线性变换（DLT）单阈值影像分割法径向畸变双目立体视觉系统

一、问题的重述

1.1基本信息

数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。

标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，

同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平

面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到

这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平

面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际

的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的

圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图1

所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像

精确地找到，标定就可实现。

有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方

形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm图1靶标上的像为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。

图 2 靶标示意图

用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。

图3 靶标的像

1.2需要解决的问题

(1) 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标

系原点取在该相机的光学中心，y

x 平面平行于像平面；

(2) 对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标,

该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768；

(3) 设计一种方法对模型进行检验，并对方法的精度和稳定性进行讨论；

(4) 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。

二、问题分析与名词解释

2.1问题的初步分析

用解析法说明相机摄影构象所形成的中心投影，需要用公式表达出像点与相对应的物点间的数学关系。因此，必须要在像方和物方的空间内建立坐标系统，使其间的点和数值有明确的对应关系，也就是问题所求的模型和算法。

对问题一，欲建立一个数学模型以确定靶标上光学上圆的圆心在相机像平面的像坐标，并得到精确值。首先，应根据数码相机摄像原理和成像原理，建立像空间坐标系统和物空间坐标系统，这样便于在三维空间中找到物点坐标与像点坐标、物点坐标与CCD 上的坐标仪坐标之间的关系。然后，确定影响数码相机成像的因素（相机倾角、相机方位角、物距等），这些因素是如何影响成像的，给出它们之间的量化关系。最后，建立数码相机定位模型并求解。

对问题二，根据题目中给出的图2和图3，将图像进行识别和边缘化处理，得到一个二值图象，再利用相关软件得到靶标上的圆的圆心在像平面上的坐标。

对问题三，是在一和二的基础上对模型的检验，利用题目中给出的图3对模型的合理性进行分析，并结合得到的结果说明模型的精度。模型的稳定性则是考察模型的适用情况，运用建立的模型是否能够尽最大可能的体现现实中的操作情况，模型中的参数的变化对模型的适用性的影响程度等等。

对问题四，主要建立两个相机的相对位置的模型。这里主要考察对两个相机相对位

置的理解，相机相对位置理解为两相机中的CCD平面的相对位置，相机的相对位置确

定以后，对物体上的一个特征点摄像，于是就可以利用几何关系得到靶标平面中这个特征点的坐标，利用建立的模型就可以精确的知道特征点在固定一部相机坐标系中的坐标。

2.2名词解释

物距：是指物体离凸透镜的距离。摄像的物距是被摄体到镜头光学中心的距离，一般是在最近对焦距离之外，通常用u表示。

像距：是指物体的像到凸透镜光学中心的距离。它是镜头的属性,如果是定焦头,焦距是不可变的，如果是变焦镜头的话,焦距可以在一定的范围内进行变化，通常用v表示。

焦距：照相机镜头的焦点到光心的距离。通常用f表示。

CCD：即为电子耦合组件，它就像传统相机的底片一样，是感应光线的电路装置，可以将它想象成一颗颗微小的感应粒子，铺满在光学镜头后方，当光线与图像从镜头透过、投射到CCD表面时，CCD就会产生电流，将感应到的内容转换成数码资料储存起来。CCD像素数目越多、单一像素尺寸越大，收集到的图像就会越清晰。它是相机等级的重要判准之一。

LCD取景器：即液晶显示屏。有黑白和彩色，彩色中又有真彩和伪彩，数码相机中用于取景和回放的LCD几乎都是目前最好的TFT真彩。

量化误差：是由图像采集时将模拟信号转化成数字信号过程中引入的误差，与相机的分辨率及图像信号的D

A/转换频率有关。

三、模型假设

（1）本题目中相机焦距保持不变；

（2）不考虑外界环境因素对摄影效果的影响；

（3）不考虑量化误差和操作误差对图像的影响；

（4）摄像时，透镜光学中心、CCD中心、靶标中心三点共线；

（5）坐标系原点取在该相机的光学中心，y

x-平

x-平面平行于像平面，z轴垂直于y 面，且取摄影方向的反方向为正方向；

（6）在对模型进行检验问题中，不考虑径向畸变，即：将LCD上的像处理后近似看成椭圆；

四、模型的建立与求解

从所要解决的问题和所做的假设出发，我们对问题进行了如下处理：

问题Ⅰ本问中确定物、像空间的坐标关系，考虑外方位因素和内方位因素，建立中心投影的构像方程,采用直接线性变换（DLT）的算法,最终确定靶标上圆的圆心在相机像平面的像坐标。

问题Ⅱ本问中首先将图3导入到Matlab中，并进行图像识别、边缘化处理，然后对图像矩阵化，采用直接线性变换（DLT）算法，对问题进行解答。

问题Ⅲ通过边缘跟踪和二值处理，并采用尺规作图确定靶标上圆的圆心在像平面的像坐标，对问题进行解答。

问题Ⅳ从照相机获取的图像信息出发，确定内、外参数矩阵，建立相对定向线性变换模型。然后结合实际情况，考虑到透镜的径向畸变，最终建立双目立体视觉系统的定位模型。

4.1基本知识

4.1.1数码相机知识

数码相机的成像原理，简单的说就是景物通过镜头光学成像系统把景象聚焦在

A/转换成二进制表示的数据，二进制数据能够被计算CCD芯片表面上，再经过告诉D

机识别。影响数码相机成像质量的因素是多方面的，主要有四部分：CCD芯片的综合性能、镜头质量、数码相机的色彩深度和其他因素。

数码相机的分辨率使用图像的绝对像素数量来衡量（而不采用每英寸多少像素的指标），像素数常被用作划分数码相机档次的主要依据，像素的大小直接决定所拍摄的图像的清晰度、色彩还原的准确性。

数码相机的镜头是影响图像质量的关键因素，它好比相机的“眼睛”，镜头越好，聚焦点越准确，拍出的照片越清晰。在部分数码相机中，提供了远距及广角两种镜头，在使用广角镜头摄像过程中，可以获得几个方面的效果：一是能增加摄影画面的空间纵深感；二是景深较长，能保证被摄主体的前后景物在画面上均可清晰的再现；三是拍摄的景物的范围广；四是在相同的拍摄距离处所拍摄的景物，比使用标准镜头拍摄的景物在画面中的影像小；五是画面中容易出现透视变形和景物畸变的缺陷，镜头的焦距越短，拍摄景物的距离越近，这种缺陷也就越显著。

通常大家所看到的场景和所拍摄的画面，两者之间还是存在一些差别的，这是因为我们的眼睛和相机镜头是不同的。景物通过我们的双眼可以呈现出立体感，加上大脑的分析可以辨别景物之间的距离，而镜头所记录下的只是一个平面画面。我们可以控制观察的重点以及范围，但是镜头无法做到这一点，一旦成像，画面中的重点和范围都已经固定，无法进行更改，这就是为何所拍摄的和所看到的有区别的原因。

不仅如此，由于镜头的光学特性以及我们拍摄的位置和角度，在所拍摄的画面中还会出现变形的情况，也就是我们常说的“畸变”。可以这样说，任何镜头都存在畸变的情况，这是由于镜头中央区域与边缘区域的横向放大率不一致而引起的。

4.1.2 凸透镜成像（见图4）时，物距、像距、焦距三者关系

三者关系如下：f

+

/1=

u/1

v

/1

1．f

u2

<成虚像，焦点是实像和虚像的分界点。

u>时成实像，f

2．f

<时成放大实像。

u2

u2

>时成缩小实像，f

3．成实像时，当物距减小，像距变大，像变大；物距增大时，像距变小，像变小。

4．成实像时，像与物在凸透镜异侧，成虚像时，像与物在凸透镜同侧。

图4凸透镜成像图

4.2问题一的解答

4.2.1模型的建立

1）像空间坐标系统（见图5）

像空间坐标系统用于描述像点的空间位置。像点在像片平面（P ）上的位置总是由其像点的平面坐标x ，y 所确定的。为了便于像点位置与其对应点空间位置间的相互换算，在解析摄影测量中常常引入下述的像空间坐标系统。

作为像空间坐标系统的原点取用其投影中心S ，坐标的正z 轴为摄影方向的反方向与oS 相合。通过点S 作平行与像片面上x 和y 轴的轴线即为像空间坐标系的x 和y 轴，与z 轴组成一个像空间直角坐标系统xyz S 。在这个系统中的每个像点的z 坐标都等于摄影的主距f ，但符号为负。

像片主点o 应与框标连线的交点相合。如果在x 和y 轴方向有偏差，并分别设为0x 和0y 时，可以通过数码相机的检定求出。0x ，0y 和f 一起称之为内方位元素。

2）物空间坐标系统

物点A 可以确定于一个任意定向的直角坐标系统X ，Y ，Z 或X ，Y ，H 中，如图5所示。当所摄像物体为地面时，则Z （或者H ）轴与坐标系原点处的天顶方向相合。轴X 和Y 则形成为一个水平面，其轴方向由一个地面坐标系，由一个摄影测量仪的轴线系统所确定。图5如下`

图5 物、像空间系统

3）外方位因素

当一个中心投影的内方位为已知时，则通过其投影中心S 在物空间坐标系中的坐标S X ，S Y ，S Z 连同其空间轴系在物空间轴系中的角定向元素，可以唯一地确定出这个中心投影在物空间坐标系中的方位。

角定向元素一般通过三个独立的角（或三个独立的参数）来描述。这三个独立的角可以有不同的选择，连同S X ，S Y ，S Z 称为该摄像的外方位元素。在单像的摄影中，采用A ，v ，k 转角系统（图6），三个转角的空间转轴中以Z 轴为主轴，主轴系定义为在旋转过程中空间方向不变的一个固定轴，其余的轴则随着摄影光束的旋转而改变其方向。此时三个角元素的定义为：

倾角v —为摄影方向与铅垂方向间的交角。

方向角A （或方位角）—摄影方向的水平投影与在水平面上某一个方向（一般取一个地面坐标系统的零方向）间的夹角。

旋转k —在像片上yy 轴线与像片主纵线键的交角。

图6 转角系统

4）单相机成像模型的建立

为了便于问题的理解，首先，我们考虑最简单的情况。此时像空间坐标系统与物空间坐标系统的轴线相互平行，这就相应于严格的正直（方位端正、位置水平）的摄影情况。假设取用X 和x 轴方向与物体上某一方向相平行。则如图7所示，对物点A 的坐标X ，Y ，Z 而言，根据相似三角形的关系得出：

z Z Z y Y Y x X X S S S :)(:)(:)(-=-=-

或者为 x X X S ?=-λ

y Y Y S ?=-λ （1）

f z Z Z S ?-=?=-λλ

比例系数λ表达构象的比例尺，由f z Z Z S ?-=?=-λλ可得到λ，由此得出相应于物点坐标X ，Y ，Z 的像点坐标x ，y 为

???

?

???

---=---=S S S S Z Z Y Y f y Z Z X X f x （2）

对（2）变形，得到像点坐标与物方坐标的比值，为

f x Z Z X X S S -=-- f

y

Z Z Y Y S S -=-- （3） 上式可知，单张像片无法确定物体的空间坐标，只能得到物点的方向。

图7 单相机成像图

一般情况下，像空间坐标轴系并不与物空间坐标系平行。因此（1）中的比例不适用于像空间坐标x ，y ，f -本身，而是适用于像点平行于物空间坐标轴系的坐标u ，v ，

w （以S 为原点，见图8）

。当像空间坐标系的定向为已知时，这些数值就可以确定。

图8 实际情况下的像空间坐标系统

为要确定坐标系x ，y ，)(f z -和坐标系u ，v ，w 间的坐标变换关系，照相机的坐

标在物方坐标中与各轴线的夹角分别为α，β和γ，所以便可以得到矩阵R 为：

???

?

??????=321321321c c c b b b a a a R （4）

这个矩阵R 是一个正交矩阵。因为在这种变换过程中，对任何一个空间矢量，在变换前后其长度保持不变。具有这种特征的变换是一个正交变换，相应的矩阵为正交矩阵。 其中：

βαcos .cos 1=a

βαcos .sin 1-=b βsin 1=c

γβαγαsin sin cos cos sin 2+=a γβαγαsin sin sin cos cos 2-=b γβsin .cos 2-=c

γβαγαcos sin cos sin sin 3-=a γβαγαcos sin sin sin .cos 3+=b γβcos cos 3=c

把某像点a 的像空间坐标x ，y ，f -转化为其平行于物空间坐标X ，Y ，Z 的坐标u ，v ，w 时，其关系式为：

??

?

??-+=-+=-+=f

c y c x c w f b y b x b v f a y a x a u 321321321 （5）

将（5）式用旋转矩阵表示可以得到下式：

????

?

?????-=??????????f y x R w v u （6）

设对矢量>

-Sa 变换前的分量列矩阵为：

??????????=>

-z y x x 变换后的分量列矩阵为：

????

?

?????=>

-w v u u 则>

->-?=x R u ，变换后有：222222w v u z y x ++=++，写成矩阵形式为： u E u x E x T T ??=?? 将>

->

-?=x R u 代入上式中得到

x R E R x x E x T T T ????=??

由于x 是任意的一个矢量，所以比较上式等号左右得出：E R R T =?，所以1-=R R T ，即R 的转置矩阵与其逆矩阵相同。

旋转矩阵R 用来把像坐标系统)(xyz S -转换到平行于物空间系统)(uvw S -中，它在摄影测量解析中有着重要的作用。

现在可以把式（1）扩充应用到像片定向的一般情况为：

????

??????-+?-+?-+??=??????????-?=???????????=??????????---f c y c x c f b y b x b f a y a x a f y x R w v u Z Z Y Y X X S S S 321321321λλλ （7）

式（7）是空间点),,(Z Y X A 和与它相应的像点),(y x a 位在通过投影中心),,(S S S Z Y X S 的一根直线的解析表达，称为共线条件方程式。

由式（7），通过消去λ，得出与式（3）相仿的式子，如下：

????????-?+??-?+?=--?-?+??-?+?=--f

c y c x c f b y b x b Z Z Y Y f c y c x c f a y a x a Z Z X X S S S S 3213213

21321 （8）

由式（7）求反算公式为：

?????

?????-?=??????????-??=????

??????-----f y x f y x R R Z Z Y Y X X R S S S λλ11 （9）

????

??????-+-+--+-+--+-+-=??????????---??????????=??????????-

)()()()()()()()()(333222111333222

111S S S S S S S S S S S S Z Z c Y Y b X X a Z Z c Y Y b X X a Z Z c Y Y b X X a Z Z Y Y X X c b a c b a c b a f y x

λ

从而得出

???

?

???-+-+--+-+--=-+-+--+-+--=)()()()()()()()()()()()(333222333111S S S S S S S S S S S S Z Z c Y Y b X X a Z Z c Y Y b X X a f y Z Z c Y Y b X X a Z Z c Y Y b X X a f x （10）

这个式子就是摄影测量中的中心投影的构像模型。 4.2.2模型的算法的确定

从物方坐标变换成为像方坐标，一般以下列形式完成：

?????++=++=--

y

a x a a y y

a x a a x 654321 （11）

式中：

-

x ，-

y 是像方坐标；

x ，y 是物方坐标。

这样一种变换是考虑到物方x 轴和y 轴的垂直性误差和可能有的沿物方x 轴和y 轴的线性变形。

从像坐标变换成物方空间坐标的变换为：

???

?

???=-+-+--+-+-+=-+-+--+-+-+-

-

)

()()()

()()(0

)

()()()

()()(333231232221333231131211S S S S S S S S S S S S Z Z a Y Y a X X a Z Z a Y Y a X X a f y Z Z a Y Y a X X a Z Z a Y Y a X X a f x （12）

将式（15）代入（16）有：

???

?

???

=-+-+--+-+-++++=-+-+--+-+-++++--0)()()()

()()(0)()()()()()(333231232221654333231131211321S S S S S S S S S S S S Z Z a Y Y a X X a Z Z a Y Y a X X a f y y a x a a Z Z a Y Y a X X a Z Z a Y Y a X X a f x y a x a a （13） 从式（13）中消去y ，得到：

)()()()

)(())(())(()()(33323123361322361221361135623461=-+-+---+--+--+

-+-S S S S S S Z Z a Y Y a X X a Z Z a a a a Y Y a a a a X X a a a a f

x a a a a a a a a （14） 从式（13）中消去x ，得到：

)()()())(())(())(()()(33323123251322551221251126532451=-+-+---+--+--?

+

-+-S S S S S S Z Z a Y Y a X X a Z Z a a a a Y Y a a a a X X a a a a f y a a a a a a a a （15） 式（14）和式（15）可以表达为：

12111098

7654312

111094

32121=++++++++=+++++++

+b Z b Y b X b b Z b Y b X b y d d b Z b Y b X b b Z b Y b X b x d d

从上式中消去1d 和3d 得到：

00'

12

'11'10'9'

8'

7'6'54'

12

'11'10'9'

4

'3'2'12=+++++++=+++++++b Z b Y b X b b Z b Y b X b y d b Z b Y b X b b Z b Y b X b x d 从上式中消去2d 和4d 得到：

00'

12

'11'10'98765'

12

'11'10'94321=+++++++=+++++++*

****

***b Z b Y b X b b Z b Y b X b y b Z b Y b X b b Z b Y b X b x 再从上式中消去'

12b 得到：

???

?

??

?

=++++++-=++++++-0

1

1

111098

765111094

321Z L Y L X L L Z L Y L X L y Z L Y L X L L Z L Y L X L x （16）

式（16）是直接线性变换运算方法的基础。

从式（16）求得的11个L 值可用以算得摄影内方位元素的数值，但关系比较复杂。假如从（13）式出发，而假定下式（式（17））成立，即

???

?

???

=-++-+--+-+-+-=-++-+--+-+-+-0)()()()

()()(0)()()()()()(33323123222103332311312110S S S S S S y S S S S S S x Z Z a Y Y a X X a Z Z a Y Y a X X a f y y Z Z a Y Y a X X a Z Z a Y Y a X X a f x x （17）

式中：

0x ，0y 为像主点的坐标；

x f ，y f 分别在x 和y 方向的摄影主距，此时假定其有效值可能不相等。

按推导式（16）相仿的步骤，得出：

???

?

??

?=++++++-=++++++-01

01

'

11'10'9'8

'7'6'5'

11'10'9'4

'3'2'

1Z L Y L X L L Z L Y L X L y Z L Y L X L L Z L Y L X L x （18）

摄影的内方位元素0x ，0y ，f 和外方位元素?，ω，κ，S X ，S Y ，S Z 都已包含在

'1L 至'

11L 的系数中，其关系式为：

'11310'1/)(L a f a x L x -=， '21310'5/)(L a f a y L y -=

'12320'2/)(L a f a x L x -=， '22320'6/)(L a f a y L y -= '13330'3/)(L a f a x L x -=， '23330'7/)(L a f a y L y -=

'1312110'4/)(L Z a Y a X a f x L S S S x +++=， '2322210'8/)(L Z a Y a X a f y L S S S y +++=

'31'9/L a L =，'32'10/L a L =， '33'11/L a L =

式中： )(333231'S S S Z a Y a xX a L ++-= 或经反算得出：

''11'3'10'2'9'10/)(L L L L L L L x ++=, ''

11'7'10'6'9'50/)(L L L L L L L Y ++= '23'22'21'2

02)(L L L L x f x +++-=, '2

7'26'25'20

2)(L L L L y f y +++-= 2/)(y x f f f +=

其中：

2

11'210'29'2

'

1

L L L L ++=

通过1）、2）对图像的处理、识别，利用解析几何关系建立的物方空间系统、像方空间系统、摄影的内、外方位因素，对模型可进行精确求解。 4.3问题二的解答

1）图像的识别（分割法）

在图3上靶标的像呈现黑色，背景色完全是浅灰色。当图像上的像素呈现黑色时，其B 值（像素黑色颜色分量）大于W 值（像素灰色颜色分量）；当像素呈现灰色时，其W 值大于B 值；当像素呈现介于黑色和灰色之间的颜色时，虽然B 值也大于W 值，但是二

者的差值远小于黑色像素的B值与W值的差值。根据这个特征，可以实现对图像的两次分割。令W

T-

=。

B

第一次分割：如果0

T，认为是背景像素，令该像素的B值、G值、W值都为0；

≤

如果0

T，认为该像素可能属于靶标的像，令该像素的B值、G值、W值都为T。

>

经过第一次分割后，图像转变为灰度图像。属于靶标部分的像素的灰度值大部分集中在高灰度区域，非靶标部分的像素的灰度值大部分集中在低灰度区域，选择适合的阈值进行第二次分割。阈值确定后，把灰度小于阈值的像素变为黑色像素（灰度值为221），灰度值大于阈值像素的变为白色像素（灰度值为0），这样图像就转化为二值图像，可进行下一步处理。为适用于在不同光照条件下拍摄到的图像，阈值需要根据具体图像自动设定，阈值确定可以采用迭代法。

为显示第一次分割和第二次分割的效果，特对第一次分割后的图像作如下处理：令

>

T的像素保持原来原始≤

T的像素颜色值为（221，221，221），即为黑色像素，令0

图像中的颜色。图9（a）为原始图像，图9（b）为第一次分割后的效果图，图9（c）为第二次分割后的图像，图9（d）为识别结果。

（a）原始图像(b)第一次分割后的效果图

(c)第二次分割后的图像(d)识别结果

图9靶标的识别

2）图像边缘的检测

两个具有不同灰度值的相邻区域之间总存在边缘，边缘是灰度值不连续的结果，在一幅图像中，边缘有方向和幅度两个特性。沿边缘走向的灰度变化平缓，而垂立于边缘走向的灰度变化剧烈，这种变化可能是阶跃形或斜坡形，在边缘上灰度的一阶导数幅值较大，而二阶导数在边缘上的值为0，其左右分别为一正一负两个峰。也就是说，边缘点对应于一阶微分幅度大的点，也对应于二阶微分的零交叉点。因此，利用梯度最大值或二阶导数过零点提取边界点就成为一种有力的手段。求解二维实函数的梯度之后，选取合适的阈值以提取边缘，通常称之为梯度阈值法。这种微分算子运算简单，但抗干扰

性能差。于是有了曲面拟合的各种边缘检测算法，其基本思想是用一个平滑的曲面的一阶或二阶导数。微分算子通常采用相对较小的窗口进行运算，比如33?或77?窗口，它们一般对噪声较敏感，二阶导数算子尤甚。

索贝尔算子的一个主要问题是计算方向差分时对噪声敏感。索贝尔提出了一种将方向差运算与局部平均相结合的方法，即索贝尔算子。该算法是在以),(y x f 为中心的33?领域上计算x 和y 方向的偏导数，即：

{}{}

)1,1(),1(2)1,1()1,1(),1(2)1,1(+-+-+---

+++++-+=y x f y x f y x f y x f y x f y x f S x （19）

{}{}

)1,1()1,(2)1,1()1,1()1,(2)1,1(-++

-+---

++++++-=y x f y x f y x f y x f y x f y x f S y （20）

实际上，上式应用了),(y x f 领域的图像强度的加权平均差值。其梯度大小为：

)(),(2

2y

x S S S y x g +=≈ （21） 或取绝对值：

y x S S S y x g +=≈),( （22） 其中x S 和y S 由下面的模板计算：

图（10）Sobel 卷积x S 的模板 图（11）Sobel 卷积y S 的模板

利用灰度特征分割图像，并进行边缘化处理，得到一个二值图像，通过Matlab 软件

得到靶标上的圆的圆心在像平面上的点阵为：

A 的点阵为（323，189）

，B 的点阵为（423，197），C 的点阵为（640，213），D 的点阵为（582，503），E 的点阵为（285，502）。

再将得到的各个点的点阵坐标转换到物方空间中，得到各点在三维空间中的坐标为：

A 点坐标为（-49.9，51.6，41.7）

，B 点坐标为（-23.7，49.5，41.7），C 点坐标为（33.8，45.1，41.7），D 点坐标为（18.6，-31.4，41.7），E 点坐标为（-60.1，31.2，41.7）。

4.4问题三的解答

对于问题三中的要求，我们设定一个算法对得到的模型的稳定性进行分析，对得到的结果进行精确性分析。依据假设条件，将像片中的得到的几个畸变后的圆通过二值处理和边界拟合，将其近似看成椭圆，利用解析几何的数学关系求椭圆中心点，即得到像片中各像的中心点坐标。

1）椭圆中心点求法原理

①先作两平行弦，及两平行弦的中点连线，如法炮制平行弦的中点连线；两中点连线交于O ，此即椭圆中心；

②以O 为圆心，任意长为半径作弧，再作弦PQ ，作PQ 的垂直平分线x 轴； ③过O 作y 轴；

④对轴、y 轴上的顶点A 、B ，显然a OA =，b OB =，以B 为圆心，OA 长为半径作弧交x 轴于F ，如图12， c BO BF OF =-=

2

2

图12 椭圆中心算法图

2）利用上理论，对像片中的各个中心点坐标进行求解，得到如下结果：A 点坐标为（-51.3，52.0），B 点坐标为（-25.0，49.5）C 点坐标为（33.1，45.9）D 点坐标为（18.8，-30.9）E 点坐标为（-60.8，31.0）。

将其与问题二中得到的结果相比较，验证模型的精确性。建立表格如下：

表[1] 测量坐标与实际坐标距离值一览表（单位：）

0.5-1.5mm 之间，也就是说，通过模型对靶标上的畸变图像的求解，它的中心与实际偏差在0.5-1.5mm 之间，平均偏差距离为1.01mm ，模型的精确性非常高。 4.5问题四的解答

4.5.1相对定向线性变换模型

相对标定的目的是为了恢复构成立体像对的两张像片的相对方位，缉拿里被测物体的几何模型，获得物方空间点的三维坐标，对问题四有如下讨论：

图13 左右照相机拍摄原理

图13显示的是左右照相机的拍摄原理。图中， S 、'S 分别为左右照相机的光学中心，现在以左照相机的光学中心S 作为坐标原点，以照相机的摄影方向OS 作为Z 轴方向，并令X ，Y 两轴分别平行于像片坐标系的X ，Y 轴，由此可以建立一个左观察坐标系XYZ S -。

设点),,(Z Y X M 为空间中的任意一个物点，它在左右影像平面的投影分别为),,(z y x m 和),,(''''z y x m ，

由于图像平面到光学中心S 的距离即为相机的焦距，且摄像方向与Z 轴方向重合，因此可得到：f z -=，''f z -=，其中f ，'f 分别为左右照相机的

焦距。

设R 和B 分别是坐标系XYZ S -到''''Z Y X S -的旋转矩阵和平移矩阵，则左、右观察坐标系之间的转换关系式为：

)('''B Z Y X R Z Y X -???

????????=????

?????? （23） 其中

????

??????=321321321c c c b b b a a a R ， ?????

?????=Z Y X B B B B

显然，只要求出矩阵R ，B 就可以从（23）中消去'X ，'Y ，'Z ，从而得到物点M

在坐标系XYZ S -中的坐标与它的两个像点),,(z y x m 和),,(''''z y x m 在各自像片坐标体系中的相互关系。

分别以S 、'S 为坐标原点建立辅助坐标系uvw S -和''''w v u S -，其中u ，v ，w 三轴及'u ，'v ，'w 三轴分别平行于X ，Y ，Z 三轴。当摄影光线Sm 、''m S 与'SS 共面时，有数学模型：

0'

'

'

=w v u w v u B B B Z

Y X （24）

其中

????

??????-=??????????f y x w v u ????

??????-=??????????-??????????=??????????''''''''3'2'1'3'2'1'

3'2'1'''f y x R f y x c c c b b b a a a w v u

将此共面方程（24）展开，可得：

0'9'8'7'6'5'4'3'2'1=-++-++-+xf L xy L xx L ff L fy L fx L yf L yy L yx L （25） 由于旋转矩阵R 本身就是一个正交矩阵，它满足正交矩阵特有的函数约束关系，也就是说它的各行（列）元素的自乘总和等于一，而互乘总和等于零，即：

?????=++=++=++1

11232323

2

22222212121c b a c b a c b a （26）

和

???

??=++=++=++0

00323232313131212121c c b b a a c c b b a a c c b b a a （27）

将这些关系式代入式（25）并进行消元、变形，最终可以得到下列计算旋转矩阵R

和平移矩阵B 中各元素得公式为：

()()()()()()()()()()()()()()????

???????????+=+=+=+=+=+=++---=++---=++---=++-=++-=---+++++=X

Z X Z X Z X Y X Y X Y Z Y X Y Z Z Y X Y Z Z Y X Y Z X Z

X Y X B L a B c B L a B c B L a B c B L a B b B L a B b B L a B b B B B L B L B L L L L a B B B L B L B L L L L a B B B L B L B L L L L a B

L L L L L L B B L L L L L L B L L L L L L L L L B /,/,//,/,//////23332221116315224112

2263514232

225243512222412653196857429382712

2

928272625242322212 (28) 在式（28）中，照相机得焦距为已知。显然，只要我们找出一定数目得同名像点i m ，

()n i m i 3,2,1=，将这些点的图像平面坐标()i i v u ,，()'',i i v u 转换成像平面坐标()i i y x ,，

()''

,i

i

y x ，然后将i

x ，i

y 及'i

x ，'i

y 代入式（25）中，就可以通过最小二乘法解出9

3

2

1

,,L

L L L 这九个系数求出左、右摄影像坐标之间的变换矩阵R 、B ，然后将其代入式（23）中，求解便可以得到物方空间点M 的空间三维坐标值。

但是当不知道倾斜摄影中的倾角近视值以及不知道摄影的内方位元素时，则必须采用相对定向的直接解法。即将等式（25）两边除以5L ，得

0'09'08'07'06'05'04'03'02'01=-++-++-+xf L xy L xx L ff L fy L fx L yf L yy L yx L （29） 其中50/L L L i i =，10

5=L 。方程（29）就是相应定向直接解（或称相对定向线性变

换—RLT ）的基本模型。它不需要任何近视值，就能直接解出8个系数0

80201,,,L L L 。

4.5.2双目立体视觉系统定位模型

通过双目定位的方法来确定两部固定相机的相对位置，考虑到两台相机的位置，我们通过模拟“电子警察”的方法采用了双目立体视觉系统的数学模型。双目立体视觉系统的标定是建立在被测对象表面点的二维投影图像坐标与三维世界坐标之间的桥梁。下

面是双目立体视觉系统成像的原理图。（如图14）

图14双目立体视觉系统

图14所示的双目立体视觉系统在理想的针孔成像模型基础上考虑了透镜的径向畸变因素。图中，),,(w w w Z Y X A 是三维世界坐标系w w w w Z Y X O 中对象点；l l l l Z Y X O 和

r r r r Z Y X O 分别为与左右照相机的坐标；坐标中心l O 和r O 分别为左右照相机的光学中

心；l z 和r z 轴分别与左右照相机光轴重合；l l il Y X O 和r r ir Y X O 分别是左右照相机成像平面的坐标系，图像中心il O 为光轴l z 与左照相机图像平面的交点，图像中心ir O 为光轴r z 与右照相机成像平面的交点；l X 和l Y 轴分别与左照相机坐标系的l x 和l y 轴平行，r X 和

r Y 轴分别与左照相机坐标系的r x 和r y 轴平行；l l l v u o 和r r r v u o 分别是左右照相机的成像在计算机中的图像坐标，采集到图像在计算机帧存中的坐标单位以像素表示。

),(u u Y X 是A 点在理想针孔成像模型下的图像坐标。),(d d Y X 是A 点实际成像坐标，因透镜的径向

变形而偏离了其理想图像坐标),(u u Y X 位置。有效焦距f 是光学中心到像平面的距离。

以左照相机的成像过程为例，将物体点的三维世界坐标),,(w w w Z Y X 变换到计算机图像平面坐标),(v u 的步骤如下：

1)从物体三维世界坐标),,(w w w Z Y X 到照相机三维坐标),,(z y x 的变换：

T Z Y X R z y x w w w +????

?

??????=?????????? （30） 其中，R 为33?的旋转变换矩阵，T 为13?的平移矢量。R 确定了照相机相对于世

界坐标系的方向，它可由三个欧拉角γ，β和α来表示。

??

??

?

?????=??????????=333231232221131211321321321r r r r r r r r r c c c b b b a a a R 平移矢量T z y x T T T T ][=，则表明了照相机相对于世界坐标系的位置关系。

2)照相机三维坐标),,(z y x 在理想的小孔成像模型下经投影变换至图像，其坐标为),(u u Y X ：

z

y

f

Y z x

f

X u u == （31） 3)考虑照相机透镜的径向畸变因素，将理想图像坐标),(u u Y X 转换成实际图像，其

坐标为),(d d Y X ：

1

212)

1()1(--+=+=kr Y Y kr X X u d u d （32）

其中，2

2

d d Y X r +=

，表示图像中心i O 到实际图像坐标),(d d Y X 的距离；k 表示透镜

径向畸变系数。照相机镜头的非线性畸变包括径向畸变，离心畸变和薄棱畸变。实验表明：在一般情况下，非线性照相机模型只需采用上述第一项径向畸变已能足够描述非线性畸变因素的影响。如果考虑更多的非线性畸变参数（如离心畸变和薄棱镜畸变）会使照相机标定问题的求解需要使用非线性优化算法。过多的非线性参数的引入不但不能提高精度，反而会引起求解过程的不稳定。

4)图像坐标),(d d Y X 到计算机图像坐标),(v u 的变换：

0v N Y v u N X u y d x d +=+= （33）

其中，),(00v u 表示图像中心i O 的计算机图像坐标；x N 、y N 表示图像平面上单位距离内所包含的像素数。

从物体三维实际坐标),,(Z Y X w w 到计算机图像坐标),(v u 的变换表示了三维物体在单个照相机中的成像过程。根据立体视觉的三角测量原理可知，由左右两台照相机对空间物体进行观察所获取的两幅图像（其计算机图像坐标分别用),(11v u 和),(22v u 表示），则可以唯一确定物体的空间三维位置),,(Z Y X w w 。

5)以上四个步骤表示了单照相机在考虑径向畸变因素时的透视投变换过程，以下是双照相机立体在考虑径向畸变的情况下，由对象点A 的左右二维图像坐标),(11v u 和),(22v u 恢复三维世界坐标),,(Z Y X w w 的过程。为方便起见，分别用“1”和“2”表示左右照相机的相关参数。

对于左照相机，（30）可以写成：

????

??????+????????????????????=??????????111)1(31

)1(31

)1(31)1(21)

1(21

)1(21)

1(13)

1(12

)1(11111z y z w w w T T T z y x r r r r r r r r r z y x （34）

展开成方程组的形式：

1)

1(13)1(12)1(111x w w w T Z r Y r X r x +?+?+?=

1)

1(23)1(22)1(21

1y w w w T Z r Y r X r y +?+?+?= (35) 1)

1(33)1(32)1(311z w w w T Z r Y r X r z +?+?+?=

由（35）式可得到：

1

)1(33)1(32)1(311)

1(13)1(12)1(11

11z w w w x w w w T Z r Y r X r T Z r Y r X r z x +?+?+?+?+?+?= 1

)

1(33)1(32)1(311

)

1(23)1(22)1(2111z w w w y w w w T Z r Y r X r T Z r Y r X r z y +?+?+?+?+?+?= （36） (36)式中包含的所有照相机的参数1γ，1β，1α，1x T ，1y T 和1z T （称为照相机的外

部参数），它们确定了左照相机相对于世界坐标系的位置和姿态。

将式（32）和式（33）代入（31）中，得到：

112101121011110111111)(a f N v v N u u k N u u z x x x x =????????

??????????????? ??-+???? ??-+-= 11

2101121011110111111)(b f N v v N u u k N v v z y y x y =????????

??????????????? ??-+???? ??-+-= （37） 其中，1a 和1b 是为方便公式推导而设定的中间参数；),(11v u 对像点A 在左图像平面上的像素坐标、（37）式中包括的参数有1γ，1β，1α，1x T ，1y T 和1z T （称为照相机的内部参数），它们表示了照相机的内部特性。

于是，（36）式可以写成：

11

)

1(33)1(32)1(311

)1(13)1(12)1(11a T Z r Y r X r T Z r Y r X r z w w w x w w w =+?+?+?+?+?+? 11

)1(33)1(32)1(311

)1(23)1(22)1(21b T Z r Y r X r T Z r Y r X r z w w w y w w w =+?+?+?+?+?+? （38）

将（38）式简写为：

1131211d Z m Y m X m w w w =++

2232221d Z m Y m X m w w w =++ （39）

其中：

)1(311)1(1111r a r m -= )1(321)1(1212r a r m -= )

1(331)1(1313r a r m -= )1(311)1(2121r b r m -= )1(321)1(2222r b r m -= )1(331)1(2323r b r m -=

1111x z T T a d -= 1112y z T T b d -=

同样，对于右照相机有：

3333231d Z m Y m X m w w w =++

4434241d Z m Y m X m w w w =++ （40） 其中,

)2(312)2(1131r a r m -= )2(322)2(1232r a r m -= )

2(332)2(1333r a r m -= )2(312)2(2141r b r m -= )2(322)2(2242r b r m -= )2(332)2(2343r b r m -=