抵偿任意带高斯投影平面坐标系选择的研究

文章编号:049420911(2005)0720021203中图分类号:P282.1 文献标识码:B

抵偿任意带高斯投影平面坐标系选择的研究

陈顺宝,任建春,亓　月,陈海刚

(山东省莱芜市国土资源局,山东莱芜271100)

A Study of Selection of P lane Coordinate System of Arbitrary Compensation Zone

CHE N Shun 2bao ,RE N Jian 2chun ,QI Y ue ,CHE N Hai 2gang

摘要:根据最小二乘法原理,在使长度综合变形V S 平方之和为最小的条件下直接求得长度变形抵偿值ΔS 1′和相应的抵偿投影面

高程H m ′,抵偿零点Y 0以及用于测边控制网实量边直接进行抵偿投影改正V S ′的计算公式。另在每千米抵偿投影长度变形小于2.

5cm 的条件下明确了抵偿任意带的分带宽度限值为110km 。

关键词:最小二乘法;长度变形抵偿值;抵偿任意带宽度

收稿日期:2004205221;修回日期:2004209203

作者简介:陈顺宝(19522),男,山东莱芜人,工程师,主要从事工程测量、地籍测量工作。

一、前　言

地图投影的方法有多种,各种方法都会因球面转换为平面产生系统性非线性变形。高斯投影是国际上普遍采用的投影方法,它具有保角映射之特点,长度变形随投影边地面高度和地理位置而异,在应用上则根据测量工程的需要和规范要求(每千米长度变形不应大于2.5cm ),设法削弱和限制长度变形,如文献[1～3]分别对高程抵偿面的选择问题作了一些有益探索,并给出了计算公式。

经对文献的仔细分析,认为给出的两种方法没有遵循最小二乘法原理,即没有在[V S V S ]为最小的前提下选取抵偿面和抵偿点,致使抵偿后综合变形总量由本来的正变形改成了负变形,这对本属真误差的变形来说,显然是不合理的,也违背了条件平差原则,这将从本文表1、表2中看到。对此,笔者提出一种利用最小二乘法原理与求函数平均值的算法,直接求得长度变形的抵偿值ΔS 1′,进而求出对应的抵偿投影面高程H m ′和抵偿零点Y 0以及抵偿后综合变形V S ′的计算公式,并对测区距中央子午线较远或测区东西范围较大(如东西向带状测区)时采用抵偿投影中央子午线的选择,任意带的分带宽度都作了较为详尽的分析,并推出了确切的计算公式。

二、长度变形抵偿值与抵偿后长度综合

变形计算

1.高斯投影长度变形计算公式

由高斯投影知,将地面实量边长归算到参考椭球面上的变形ΔS 1可按下式计算

ΔS 1=-SH m /R

(1)

式中,S 为归算边的长度;H m 为归算边高出参考椭球面的平均高程R 为归算边方向参考椭球面的曲率半径。可见,将地面实量长度归算到参考椭球面上,其长度总是缩短,且|ΔS 1|与H m 成正比。将参考椭球面上边长归算到高斯投影面上的变形ΔS 2可按下式计算

ΔS 2=S 0y 2m /2R 2

m

(2)

式中,S 0为投影归算边长(S 0=S +ΔS 1);y m 为归算边两端点横坐标自然值的平均值;R m 为参考椭球面平均曲率半径。

显然,将椭球面上长度投影到高斯投影面上,其长

度总是伸长,且ΔS 2与y m 的平方成正比。由高斯投影知,长度综合变形V S 等于两次投影变形之和,即

V S =ΔS 1+ΔS 2

(3)

由此可见,高斯投影的本身其长度变形已有不同程度的抵消,现在的问题是如何才能使其达到最大限度的抵偿。

2.长度变形抵偿值与抵偿后长度综合变形

计算

分析上面3式,可见决定V S 大小的是ΔS 1和ΔS 2。容易看出,当测区内Y ∈(y min ,y max )确定后,其对应的ΔS 2便有相应定值,那么ΔS 1就是确定V S 的惟一因子。因以上公式中ΔS 1相对于S 很小,R 与R m 极为接近,对计算结果影响甚微,故下文中将

S 0取为S ,R m 取为R ,取值为6371km 。现令S 1=S 2=…=S n ,则相应有ΔS 1,1=ΔS 1,2=…=ΔS 1,n 于

是式(3)可改写为

1

22005年　第7期 测　绘　通　报

V S ,i =ΔS 1+ΔS 2,i

(4)

很明显,上式中,ΔS 2,i 是V S ,i 的对应定量,满足

[V S V S ]为最小的ΔS 1是一未知常量(设为ΔS 1′)。根据最小二乘法原理

[V S V S ]=V 2S ,1+V 2S ,2+…+V 2

S ,n =(ΔS 1′+ΔS 2,1)2+

(ΔS 1′+ΔS 2,2)2+…+(ΔS 1′+ΔS 2,n )2=最小

应用函数求极值的方法,对上式ΔS 1′取一阶导数等于零并整理后得

ΔS 1′=-[ΔS 2]/n =-ΔS 2(5)根据定积分中值定理对式(2)求平均值

ΔS 2=

1

y max -y min

∫y max

y min

S Y 2m

2R 2

d y

m

=

S 6R

2(y 2max +y max y min +y 2min )于是

ΔS 1′=-ΔS 2=-S 6R

2(y 2max +y max y min +y 2

min )(6)式(6)就是长度变形抵偿值ΔS 1′的计算公式。将式(2)、式(6)代入式(3)中,便得抵偿后长度综合

变形(设为V S ′

)V S ′=-S 6R 2(y 2max +y max y min +y 2

min )+S

y 2m

2R 2

=S 6R

2(3y 2m -y 2max -y max y min -y 2min )(7)利用式(7)可直接对测边控制网进行抵偿投影计算。

将式(6)代入式(1)中,便得到抵偿高(设为H 0)

H 0=16R (y 2max +y max y min +y 2

min )(8)式(8)中,H 0为归算边高出抵偿高程面的平均高程;

抵偿高程面的高程H m ′为(H m -H 0)。将式(6)代入

式(2)中,便得

y 0=±

y 2

max +y max y min +y 2

min

3

(9)

式(9)中,若y min =0,则可简化为

y 0=1

3

y max

(10)若y max =0,则可简化为

y 0=1

3

y min

(11)上面两种情况前者只有一个正抵偿点,后者只有一个负抵偿点,其长度变形的抵偿效果较差。当|y min |≥|y 0|

三、算例比较与分析

1.测区位于中央子午线一侧

设某测区y ∈(20km ,50km ),平均海拔为H m =

2000m ,S =1000m ,R =6371km ,试确定抵偿投影面并计算和分析相应投影变形数据。

按文献[1]计算公式

y 0=

2

2

y 2max +y 2

min =38.07km

相应算得:ΔS 1=-0.018m ,H m ′=116m ,抵偿高程面

高程H =1886m 。按本文方法分别用式(6)、式(8)、

式(9)算得:ΔS 1′=-0.016m ,y 0=36.06km ,H 0=102

m ,抵偿投影面高程H m ′=1898m (表1)。

表1　y ∈(20km ,50km)时测区内不同抵偿面的长度综合变形比较表已知值y m /k m

文献[1]:H m ′=116m ,

y 0=38.07km 本文:H 0=102m ,y 0=36.06km ΔS 1=-0.018m

ΔS 1′=-0.016m

ΔS 2/m

ΔS i /m

ΔS i ΔS i

ΔS 2/m

V S ′/m V S ′V S ′

S =1000m

R =6371km

20.50.005-0.0130.00020.005-0.0110.000121.50.006-0.0120.00010.006-0.0100.000123.5

0.007

-0.011

0.0001

0.007

-0.009

0.0001

……………

……

47.50.028　0.010.00010.028　0.0120.000148.50.029　0.0110.00010.029　0.0130.000249.50.03

　0.0120.00010.03

　0.0140.0002[ΔS i ][ΔS i ΔS i ]

[V S ′]

[V S ′V S ′]

-0.061

0.0015-0.001

0.0014

m =±0.0071

m =±0.0068

22

测　绘　通　报 2005年　第7期

2.测区位于中央子午线两侧

设某测区y∈(-20km,40km),其余同上,试确定抵偿投影面并计算和分析相应投影变形数据。

按文献[1]计算公式

H m′=

1

2

×402

2×6371

=63m

相应的抵偿投影面高程为H=1937m,y0=

28.28km,ΔS1=-0.010m。按本文方法分别用式

(6)、式(8)、式(9)算得:ΔS1′=-0.005m,y0=

20km,H0=31m,抵偿投影面高程H m′=1969m(表

2)。

表2　y∈(-20km,40km)时测区内不同抵偿面的长度综合变形比较表

已知值y m/k m 文献[1]:H m′=63m,

y0=28.28km

本文:H0=31m,

y0=±20km

ΔS

1

=-0.010mΔS1′=-0.005m

ΔS

2

/mΔS i/mΔS iΔS iΔS2/m V S′/m V S′V S′

S=1000m R=6371km -19.50.005-0.00500.00500

-18.50.004-0.00600.004-0.0010

-17.50.004-0.00600.004-0.0010…………………

　37.50.0170.00700.017　0.0120.0001

　38.50.0180.0080.00010.018　0.0130.0002

　39.50.0190.0090.00010.019　0.0140.0002

[ΔS i][ΔS iΔS i][V S′][V S′V S′]

-0.3050.003-0.0050.001　

m=±0.0071m=±0.0041

表1、表2表明,文献[1]的方法使综合变形总量由正变形改成了负变形,且[ΔS iΔS i]不为最小,这也说明了其方法的理论依据不正确,计算公式也不严密,如

y0=】2〈/2max{|y min|,y max}

的计算公式就不严密,事实上y0完全取决于y min和y max,这从本文给出的y0计算公式可以看出。文献[2]的方法也是思路性的错误,经计算分析证实测区位于中央子午线两侧时抵偿效果很差。

本文的方法依据正确,能合理地抵偿区内各长度变形,并使得[V S′V S′]最小,长度变形中误差m最小。达到了区内长度综合变形总量为零(见式(5)),即测区最远点y max与最近点相对横向位移为零,这也符合条件平差原则。

四、任意带分带宽度的确定

测区平面控制网坐标系统最理想的是和国家坐标系统取得一致,使之成为国家网的组成部分。但是控制网要求根据平面控制点坐标反算的边长与实量边长尽可能相符(每千米的长度变形不应大于2.5cm),因此,当测区为东西跨度较大的线状工程(公路、铁路工程等)时,要使投影变形得以最大限度的削弱,使其满足工程测量精度的要求,就必须采用任意带抵偿投影的方法来实现。现依每千米长度变形不大于0.025m为前提,按式(7)反求任意带分带宽度(|y min|,y max),即

V S′=

1000(3y2m-y2max-y max y min-y2min)

6R2

<0.025

(12)由式(12)不难看出,当y m取最大值时V S′为最大,顾及y min和y max互为相反数,故上式经相互替换计算得

|y min|<55.174km

y max<55.174km

(13)

所以抵偿任意带的分带宽度应小于110km,基本等同于1°分带的最大宽度。

五、结　论

1.长度变形的抵偿实质上是一种合理平差,其抵偿值ΔS1′的求定必须遵循最小二乘法原理。

2.抵偿值只与测区的地理位置和东西宽度(y min,y max)有关,与测区高度无关,与抵偿投影面有对应关系。

3.改变测区投影带中央子午线,使其为对称投影,是缩小投影变形的主要措施,采用抵偿任意带投

(下转第31页)

小,立镜人员不走冤枉路,并能很好地控制边界。分区的大小应适中,以编辑操作灵活为准。

碎部点采集过程中,仪器设备的安全是首要问题,应严格遵守规范的作业程序与要求。测站定向时应顺便检查一下两点的相互关系,不要因为人员、车辆太多而放弃用其他已知点作检核。碎部点测量时要做重合点检查,即归零检查。作业员在定向完成后,马上找一远处高大明显目标,照准并读取水平角数据,随时检查测站情况。

在充分利用已有控制的基础上,对一些测量死角应尽量用全站仪测量,这些地方的地物往往几何形状不规范,丈量起来既费时精度又没保障。一些规整又有明显分界的建筑物,采用两端实测,方向交汇法完成分界点采集,这样图形的表示即美观又准确,但要注意交角应在30°～150°之间。一个测站完成后,不要急于搬站,花几分钟时间检查一下测站及周边地形地物情况,发现异常,核对确认,保证无错漏。

作业中粗差产生的原因及其解决的办法。数字化测图中,误差不再是主要的因素,而粗差是我们面对的主要问题。如不同属性的点连在一起,相同属性点连错方向。为此,当完成一个区域后,成果回放到白纸上,实地100%检查是非常必要的。

作业组可由4个人组成。作业中显示,2个立镜人员比1个立镜人员一天下来要多出1/3工作量。如果你想节约费用,不妨找2个年轻工人,经过一段时间磨合会很快配合默契的。但是一定要经常提醒注意设备的安全。

既然是数字化成图,就要涉及图层、颜色、符号和注记等问题,这也是数字化测图和手工作业的主要区别。作业前根据要求,把什么样的地物用什么颜色放在那一层,一一对应好。对于符号的表达形式,应用软件是开放的,为此,作业中应设置好这些信息。对于注记管理文件,每种分类号对应一种注记控制信息,作业员注记时,根据注记属性的不同要求,在注记分类一栏输入正确的代码,就会得到标准尺寸的注记内容。

每个分区完成之后,接下来是数据的合并整理。接边时注意属性和弧段及其走向的匹配,不要有人为的痕迹。确认数据的完整性之后是数据交换和图幅输出。作业员熟悉几种应用软件是非常必要的,像清华山维、AutoC AD、瑞得、南方K ASS、Arc/Info等,可以方便与更多的用户进行交流。

四、前景与展望

1.电子技术飞速发展,面向对象的技术开发和仪器设备的不断更新换代必将为测绘市场的发展带来生机。内外业一体化成图的最重要的特点是可以重复使用已有的数字化的地图数据成果,可以对数字地图进行任意比例尺、任意范围的绘图输出。可以方便地与卫星影像、航空照片等其他信息源结合,生成新的图种。利用一体化形成的等高线和高程点可以生成数字高程模型,将地表起伏以数字形式表现出来,可以直观立体地表现地貌形态。其高精度的作业方法,适合于房产地籍法定边界所用的数据以及某些高精度工程测量。总之,数字城市的建设,房产和地籍测量市场的不断开发,工程测量应用范围拓展,内外业一体化成图需求会更广泛。

2.微电子技术的不断发展,测量应用软件开发不断完善,一体化成图设备会越来越方便生产需求。目前,市场上生产的掌上电脑完全可以胜任测量外业数据的采集和编辑工作。1台全站仪、1个掌上电脑的配置简单适用。软件开发厂商也已经生产出在掌上电脑运行的测量应用软件。测量员只需忠实记录下碎部点坐标和点间的相互关系,回家后传输给微机,按其记载内容编辑成图。为此,内外业一体化成图设备会大大简化,应用的市场会更广阔。

参考文献:

[1]　陈述彭,等.数字地球百问[M].北京:科学出版社,

2001.

[2]　李志林,朱　庆.数字高程模型[M].武汉:武汉大学出

版社,2001.

[3]　C JJ821999,城市测量规范[S].

(上接第23页)

影是解决大测区长度变形的最佳方案。

4.采用抵偿任意带高斯投影,应对起算点作相应的换带计算和投影面改算。

5.本方法理论依据正确,计算公式的推导严密完整,均可用于三、四等控制网的抵偿投影计算。 参考文献:

[1]　范一中,等.抵偿投影面的最佳选取问题[J].测绘通

报,2000,(2):20221.

[2]　秦菊芳,等.高等级公路测设综合变形问题的研究

[J].测绘通报,2002,(9):28230.

[3]　范一中.再谈工程投影面的最佳选取问题[J].测绘通

报,2003,(8):46247.