长郡中学2015届高三月考理科数学试卷(一)

长郡中学2015届高三月考试卷(一)

数 学(理科)

总分:150分 时量:120分钟

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.

1.如果复数

212bi

i

-+(其中i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b = ( )

A. B. 23 C. 2

3

- D. 2

【解】选

由222(4)125bi b b i i ---+=

+,依题有2240b b ---=,即2

3

b =-. 2.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体

m 被抽到的概率为( )

A.

1

100 B.

120 C.

1

99

D.

150 【解】选 由抽样的公平性可知,每个个体入样的概率均为51

10020

P ==

. 3.设偶函数满足()24(0)x

f x x =-≥,则{|()0}x f x >=( ) A. {|24}x x x <->或 B. {|04}x x x <>或 C. {|22}x x x <->或

D. {|06}x x x <>或

【解】选 当0x ≥时,由()240x f x =->,得2x >,由图象对称性可知选C. 4.若21()n x x

-展开式中的所有二项式系数之和为512,则该开式中常数项为( )

A. 84-

B. 84

C. 36-

D. 36 【解】选 由二项式系数之和为2512n =,即9n =,又18319(1),r r r r T C x -+=- 令1830r -=,则6r =故常数项为784T =.

5.设条件:|2|3p x -<,条件:0q x a <

<,其中a 为正常数.若p 是q 的必要不充分条件,则a 的取值范围是( ) A. (0,5]

B. (0,5)

C.[5,+∞)

D. (5,+∞) 【解】选 由条件p 对应的集合为(1,5)A =-, 条件q 对应(0,)(0)B a a =>.且依题意A B =≠=?,

可知5a ≤,又0a >,故05a <≤.

6.按照如图所示的程序运行,

已知输入的x 的值为21log 3+, 则输出y 的值为( )

A. 112

B. 38

C. 712

D. 1124

【解】选

由于输入的初始值为21log 34+<,故

221log 312log 3x =++=+,即2log 3211111

()()224312

y =?=?=.故选A.

7.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.

【解】选

由该几何体的

为直观图如右所示,(由简到繁)

由俯视图

→侧视图→正视图→直观图

, 其为四棱锥P ABCD -,

所以13P ABCD ABCD V S -==矩,选B.

8.设2(),0,()1

,0x a x f x x a x x -≤??

=?++>??

,若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为( ) A. [-1,2]

B. [-1,0]

C. [1,2]

D. [0,2]

【解】选 当0a <时,显然(0)f 不是()f x 的最小值,当0a ≥时,可知0x ≤时,

2()(0)f x f a ≥=,而当0x >时,1

()2f x x a a x

=++≥+,依题意22a a +≥,得12a -≤≤,

所以02a ≤≤即求.

9.已知锐角A 是ABC ?的一个内角,,,a b c 是三角形中各角的对应边,若221

sin cos 2

A A -=,

则下列各式正确的是( ) A. 2b c a += B. 2b c a +< C. 2b c a +

≤ D. 2b c a +≥

【解】选 由221

sin cos 2

A A -=得,1cos22A =-,又A 为锐角,故02A π<<,

于是223A π=,即3

A π

=.于是由余弦定理有2222()3a b c bc b c bc =+-=+-,

即2222

3()()()44

b c a b c b c +≥+-+=,解得2a b c ≥+,选C.

【一点开心】事实上在ABC ?中,如果三边,,a b c 成等差或等比数列,即22b a c b ac =+=或, 那么我们都可以结合重要不等式知识得到60B ≤.

10.如图,

圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,

P 是圆上的动点,

角x 的始边为射线

OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线 OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示 为x 的函数()f x ,则()y f x =在[0,]π上的图象大致为( )

正视图 1 1

2

2

2 2 侧视图 俯视图

【解】选

由OP HM PM OM ?=?,于是HM PM OM =?,由三角函数线有, 1

|s i n ||c o s |

|s i n 2|2H M x x x =?=,于是1()|sin2|2f x x =

的最大值为1,22

T π

=,故选C.

二、填空题:本大题共5小题,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11.

已知直线的极坐标方程为sin()4

π

ρθ+=

则极点到直线的距离为 .

由sin(

)4πρθ+=1x y +=,于是极点 (0,0)O 到该直线的距离为d =

=

即求. 12.设,,x y z 均为正数,满足230x y z -+=,则2

y xz

的最小值是 .

由230x y z -+=可化为23y x z =+,得224(3)43y x z x z =+≥?, 其中运用了重要不等式的变形式2

()4,,a b ab a b R +≥∈,故2

3y xz

≥(当3x z =时取等号). 13.数列{}

a 的前n 项和为n S ,若*

111,3,n n a a S n N +==∈,则2014a = .

若填为201234?形式则视为错误,得分为

0.

*3,n S n N =∈……①,可推出,21133,3,2n n a a a S n -===≥……②

①-②式得,14,2n n a a n +=≥,于是224n n a a -=?,2n ≥,故2012201434a =?.

注意定义域了吗?

14.若,x y 满足约束条件0,22,2y x y ≥??

≥-??≤,且z kx y =+取得最小值的点有无数个,则k = .

首先作出可行域如右图

: 0k -≠,所以

①当0k ->,即0k <时,依题意有目标直线//l BC 时,当其运动

至与BC 重合时,最优解有无数个,符合题意,即2k -=,即2k =-; ②同理当0k -<,即0k >时,必有//l AB ,即1k -=-,即1k =, 综上①

②可知,1k =或 2-为所求.

15.已知椭圆22221(0)x y a

b a b +=>>过椭圆上一点M 作直线MA MB 、分别

交椭圆于A B 、两点,且斜率为12k k 、,若点A B 、

【解】填13

- 由22

2619b e a =-=,得2213b a =,如右图所示 取BM 中点D ,连结OD ,,

2213O D B M

b k k a ?=-=-,又//OD AM ,故1OD k k =,即121

3k k ?=- 【一点开心】显然,本题有一般性结论,即过椭圆2222:1(x y

a b

Γ+= l 交椭圆Γ于A B 、两点,P 是椭圆Γ上异于A B 、的任意一点,且当PA PB k k 、都存在时,则

有2

2PA PB b k k a

?=-.

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)

2014年巴西世界杯的志愿者中有这样一组志愿者:有几个人只通晓英语,还有几个人只

通晓俄语,剩下的人只通晓法语,已知从中任抽一人恰是通晓英语的概率为1

2

,恰是通晓俄语

的人的概率为3

10

,且通晓法语的人数不超过3人.

(Ⅰ)求这组志愿者的人数; (Ⅱ)现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1人,若甲通晓俄语,乙通晓法

语,求甲和乙不全被选中的概率; (Ⅲ)现从这组志愿者中抽取3人,求3人所会的语种数X 的分布列. 【解】(Ⅰ)设通晓英语、俄语、法语人分别有,,x y z 人,且*,,,3x y z N z ∈≤;

则依题意有1,23,10x x y z y x y z ?

=?++?

??=?++?,即,733,x y z y x z =+??=+?…………………………………………2分

消去x 得,*32

z

y N =∈,当且仅当2z =时,3y =符合正整数条件,

所以5x =,也即这组志愿者有10人;………………………………………………………3分 (Ⅱ)记事件A 为“甲、乙不全被选中”,则A 的对立事件A 表示“甲、乙全被选中”,

于是1155

()1()15326

P A P A ??=-=-=??;…………………………………………………7分

(Ⅲ)随机变量X 的可能取值为1,2,3,且由古典概型知

33212121

5355372833

10101179

(1),(2)120120

C C C C C C C C P X P X C C +++====== 1115323

1030

(3)120

C C C P X C ===.………………………………………………………………11分

:

. ……………………………………………………………12分 17.(本小题满分12分)

如图,

点A 是单位圆与x 轴的正半轴的交点,点1(2B -. (Ⅰ)若AOB α∠=,求sin 2α; (Ⅱ)设点P 为单位圆上的动点,点Q 满足,OQ OA OP =+

2(

),62

AOP π

π

θθ∠=≤≤()f OB OQ θ=?,求()f θ的取值范围.

【解】(Ⅰ)由三角函数定义可知31sin ,cos 22y x r r αα=

===-, 所以313sin 22sin cos 2()222

ααα==??-=-,即求…………………………………5分 (Ⅱ)由三角函数定义知(cos2,sin 2)P θθ,所以(1cos2,sin2),OQ OA OP θθ=+=+

所以131

()(1cos 2)sin 2sin(2)2262

f OB OQ πθθθθ=?=-++

=--, 又因

62π

π

θ≤≤

,故

52666

π

π

π

θ≤-

≤

,即1sin(2)126πθ≤-≤,

于是10()2f θ≤≤,所以()f θ的取值范围是1

[0,]2

.……………………………………12分

18.(本小题满分12分)

直三棱柱111ABC A B C -中,5,4,3,AB AC BC ===

14AA =,点D 在AB 上. (Ⅰ)若D 是AB 中点,求证:1//AC 平面1B CD ;

(Ⅱ)当13BD AB =时,求二面角1B CD B --的余弦值.

【解】(Ⅰ)连接1BC 交1B C 于点E ,连接DE , 因为直三棱柱中侧面11BCC B 为矩形,所以 E 为1BC 的中点,又D 是AB 中点,

于是1//DE AC ,且D E ?面1B CD ,1AC ?面1B CD , 所以1//AC 平面1B CD ;…………………………6分 (Ⅱ)由5,4,3,AB AC BC ===知90ACB ∠=,即AC CB ⊥, 又直三棱柱中1AA ⊥面ABC ,于是以C 为原点建立空间 直角坐标系C xyz -如右图所示,于是1(3,0,0),(3,0,4)B B 又

13

BD AB =,由平面几何易知4

(2,,0)3D ,

显然平面BCD 的一个法向量为1(0,0,1)=n ,

又设平面1B CD 的一个法向量为2(,,)x y z =n ,则由

212

(3,0,4),4(2,,0),3CB CD ?⊥=?

?⊥=??n n ,得340,4203x x y +=???+=??, 解得4,23x y =-=,取1z =,则24

(,2,1)3=-n ,设二面角1B CD B --的平面角为θ,

则1212||3361

|cos |||||61

θ?===

?n n n n ,又由图知θ为锐角, 361

…………………………………………………………………12分

A C D

B C 1 A 1

B 1

A

C D C 1 A 1

B 1 E y x z A C

D

B C 1 A 1

B 1

19.(本小题满分13分)

在数列{}n a 中,已知*111,21,n n a a a n n N +=-=-+∈. (Ⅰ)求证:{}n a n -是等比数列;

(Ⅱ)令,2n

n n n

a b S =

为数列{}n b 的前n 项和,求n S 的表达式. 【解】(Ⅰ)证明:由*111,21,n n a a a n n N +=-=-+∈ 可得11(1)2(),120n n a n a n a +-+=--=-≠

所以数列{}n a n -以是-2为首项,以2为公比的等比数列………………………………6分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得:1222n n n a n --=-?=-,所以2n n a n =-,12

n n n

b =-

所以12221212(1)(1)(1)()222222

n n n n n n

S b b b n =+++=-+-++-=+++-

令212222n n n T =+++,则2311122222

n n n T +=+++,

两式相减得2311111111122222222n n n n n n n

T ++=+++-=--

, 所以222n n n T +=-,即2

22

n n n S n +=--…………………………………………………13分

20.(本小题满分13分)

已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -,焦点在x 轴上.若右焦点到直线0x y -+的距

离为3. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设椭圆与直线(0)y kx m k =+≠相交于不同的两点M N 、.当||||AM AN =时,求m 的取

值范围.

【解】(Ⅰ)依题意可设椭圆方程为2

221x y a

+=,右焦点22(,0),1F c c a =-,

3=,得c 故22

13a c =+=;故椭圆的方程为2213x y +=………5分

化简得2231m k =+1>,得1

2

m >,又代入②式得,22m m <,解得02m <<, 综上可得

1

22

m <<,即为所求...…………………………………………………………13分 21.(本小题满分13分)

已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;

(Ⅱ)若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45,对于任意的[1,2]t ∈,函

数32()[()]2

m

g x x x f x '=++在区间(,3)t 上总不是单调函数,求m 的取值范围; (Ⅲ)求证:

*ln2ln3ln4

ln 1

(2,)234

n n N n n

????<≥∈. 【解】(Ⅰ)由(1)

()(0)a x f x x x

-'=>,.………………………………………………………1分

①当0a >时,显然01x <<时,()0f x '>,当1x >时,()0f x '<, 所以此时()f x 的单调递增区间为(0,1),递减区间为(1,)+∞,

②同理当0a <时, ()f x 的单调递增区间为(1,)+∞,递减区间为(0,1),

③当0a =时,()3f x =-不是单调函数;.……………………………………………………4分

(Ⅱ)由题知,(2)12a

f '=-=,得2a =-,所以()2ln 23f x x x =-+-.

所以32()(2)2,02

m

g x x x x x =++->,且2()3(4)2,0g x x m x x '=++->,……………6分

令()0g x '=时,可知2(4)240m ?=++>恒成立,即()0g x '=一定有两个不等实根12,x x ,

且注意到122

03

x x =-<,所以不妨设120x x <<,又0x >,于是可知

20x x <<时,()0g x '<,又2x x >时,()0g x '>

即()g x 在2(0,)x 上递减,在2(,)x +∞上递增,依题意可知2(,3)x t ∈,

于是只须2()0

3(4)20(3)03370g t t m t g m '<++-

'>+>??,…………………………………………7分 又以上事实对[1,2]t ∈恒成立.故(1)50

(2)21803370

g m g m m '=+

'=+?

,得3793m -<<-;……………9分

(Ⅲ)分析:要证

*ln2ln3ln4ln 1

(2,)234n n N n n

????<≥∈成立, 即证ln 2ln3ln 4ln 123(1),2n n n ????

ln 1,n n n <-≥2成立,下面用综合法证明. 由(Ⅰ)知当1a =-时,()f x =-在上递增,

所以)ln 3(1)2ln 1,1x x f x x x =-+->=-?<->………………………………11分 也所以在上式中分别令2,3,4,,x n =得, ln 21,ln32,ln 43,,ln 1,2n n n <<<<-≥,

ln 2ln3ln 4ln 123(1),2n n n ???

?

两边同除以!n 得,

*ln2ln3ln4

ln 1

(2,)234

n n N n n

????

<≥∈,即证.…………………13分