数值分析实习第一题
2014级硕士研究生数值分析上机实习报告
2014级硕士研究生数值分析上机实习（第一次） 姓名：学号：学院： 实习题目：分别用二分法和Newton迭代法求方程x3■ 2x210x-20=0的根.实习目的：掌握两种解法，体会两种解法的收敛速度. 实习要求：用C程序语言编程上机进行计算，精确到8位有效数字. 报告内容： 1.确定实根的个数以及所在区间 2.将最后两次计算结果填入下表（保留8位数字）： 3.实习过程中遇到哪些问题？如何解决？有何心得体会?
4.两种解法的计算程序（此页写不下时可以加页）：
2014级硕士研究生数值分析上机实习（第二次）姓名：学号：学院： 实习题目：计算8阶三对角矩阵A=tridiag（0.235, 1.274, 0.235）的行列式.实习目的：掌握计算行列式的方法. 实习要求：首先选择一种算法，然后用C程序语言编程上机进行计算.报告内容： 1.简单描述所采用的算法: 2?计算结果： A 3.实习过程中遇到哪些问题？如何解决？有何心得体会?
4.写出C语言计算程序（此页写不下时可以加页）：
2014级硕士研究生数值分析上机实习（第三次） 姓名：学号：学院： 分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组实习题目： 2lx + 9.8y+ 3.4z= 6.7 <2.7x + 1.8y+ 7.2z= 2.4 8.6x + 1.5y + 3.4z = 1.9 实习目的：感受两种迭代法的收敛速度. 首先构造收敛的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法，然后用实习要求： C程序语言编程上机进行求解，初始值均取为0,精确到4位小 数. 报告内容： 1.写出收敛的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法:
数值计算方法比较
有限差分方法(FDM:Finite Difference Method)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。有限差分法主要集中在依赖于时间的问题（双曲型和抛物型方程）。有限差分法方面的经典文献有Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value Problems》；R. LeVeque《Finite Difference Method for Differential Equations》；《Numerical Methods for C onservation Laws》。 注：差分格式： （1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。 （2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。 （3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。 目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法： 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 有限差分法的不足：由于采用的是直交网格，因此较难适应区域形状的任意性，而且区分不出场函数在区域中的轻重缓急之差异，缺乏统一有效的处理自然边值条件和内边值条件的方法，难以构造高精度(指收敛阶)差分格式，除非允许差分方程联系更多的节点(这又进一步增加处理边值条件韵困难)。另外它还有编制不出通用程序的困难。 有限差分法的优点：该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念 直观，表达简单，精度可选而且在一个时间步内，对于一个给定点来说其相关的空间点只是 与该相邻的几点，而不是全部的空间点。是发展较早且比较成熟的数值方法 广义差分法（有限体积法）（GDM:Generalized Difference Method）：1953年，Mac—Neal 利用积分插值法(也称积分均衡法)建立了三角网格上的差分格 式，这就是以后通称的不规划网格上的差分法．这种方法的几何误差小，特别是给出了处理自然边值条件(及内边值条件)的有效方法，堪称差分法的一大进步。1978年，李荣华利用有限元空间和对偶单元上特征函数的推广——局部Taylor展式的公项，将积分插值法改写成广义Galerkin法形式，从而将不规则网格差分法推广为广义差分法.其基本思路是，将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
数值分析(计算方法)总结
第一章绪论 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差 是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限） 为的相对误差，当较小时，令 相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即： 绝对误差有量纲，而相对误差无量纲 若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。 例：设x==…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。 科学计数法：记有n位有效数字，精确到。 由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为 由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字 令 1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限）的 和 2.x-y近似值为 3.xy近似值为 4. 1．避免两相近数相减 2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章非线性方程求根 1.逐步搜索法 设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为(a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)
一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而 f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|
数值分析学期期末考试试题与答案(A)
期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩
数值分析实验2014
数值分析实验（2014,9,16~10,28） 信计1201班，人数34人 数学系机房 数值分析 计算实习报告册 专业 学号 姓名 2014~2015年第一学期
实验一 数值计算的工具 Matlab 1.解释下MATLAB 程序的输出结果 程序： t=0.1 n=1:10 e=n/10-n*t e 的结果：0 0 -5.5511e-017 0 0 -1.1102e-016 -1.1102e-016 0 0 0 2.下面MATLAB 程序的的功能是什么？ 程序： x=1;while 1+x>1,x=x/2,pause(0.02),end 用迭代法求出x=x/2,的最小值 x=1;while x+x>x,x=2*x,pause(0.02),end 用迭代法求出x=2*x,的值，使得2x>X x=1;while x+x>x,x=x/2,pause(0.02),end 用迭代法求出x=x/2,的最小值，使得2x>X 3.考虑下面二次代数方程的求解问题 02=++c bx ax 公式a ac b b x 242-+-=是熟知的，与之等价地有a c b b c x 422-+-=，对于 1,100000000,1===c b a ，应当如何选择算法。 应该用a ac b b x 242-+-=计算，因为b 做分母 4.函数)sin(x 有幂级数展开...! 7!5!3sin 7 53+-+-=x x x x x 利用幂级数计算x sin 的MATLAB 程序为
function s=powersin(x) s=0; t=x; n=1; while s+t~=s; s=s+t ； t=-x^2/（(n+1)*(n+2)）*t ； n=n+2； end t1=cputime; pause(10); t2=cputime; t0=t2-t1 (a)解释上述程序的终止准则。 当s+t=s ，终止循环。 (b)对于2/21,2/11 ,2/πππ=x 计算的进度是多少？分别计算多少项？ X=pi/2时，s =1.0000 x=11pi/2时，s=-1.0000 x=21pi/2时，s =0.9999 Cputime 分别是0.1563 0.0469 0.0156 5.考虑调和级数∑∞ =11 n n ，它是微积分中的发散级数，在计算机上计算该级数的部 分和，会得到怎么样的结果，为什么？ function s=fun(n) s=0; t=1/n; for i=1:n s=s+1/i; end 当n=100时s =5.1874 当n=80时s =4.9655 当n=50时，s =4.4992 当n=10时，s =2.9290 6.指数函数的级数展开...! 3!213 2++++=x x x e x ，如果对于0 目录 第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20) 4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28) 数值计算方法 第一章非线性方程求根 1.1迭代法 程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10） 1.2牛顿法 程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10） 《计算机数学基础(下)》数值分析试题 2000、8 之六(2002、7已用) 一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1.数值x *的近似值x =0.1215×10－ 2，若满足≤-*x x ( )，则称x 有4位有效数字. (A) 21×10－3 (B) 21×10－4 (C) 21×10－5 (D) 2 1×10－6 2. 设矩阵A ＝?? ?? ? ?????------52111021210，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅可比迭代矩阵为( ) (A)??????????04.02.01.002.01.02.00 (B) ???? ? ?? ???14.02 .01.012.01.02.01 (C) ??????????------04.02.01.002.01.02.00 (D) ???? ??????021 102120 3. 已知y =f (x )的均差f (x 0,x 1,x 2)=314，f (x 1,x 2,x 3)=315，f (x 2,x 3,x 4)=15 91，f (x 0,x 2,x 3)=318 , 那么均差f (x 4,x 2,x 3)=( ) (A) 315 (B) 318 (C) 1591 (D) 3 14 4. 已知n =4时牛顿－科茨求积公式的科茨系数,15 2,4516,907)4(2)4(1) 4(0===C C C 那么 )4(3C ＝( ) 90 39 152********)D (152)C (4516)B (907)A (=--- 5.用简单迭代法求方程的近似根，下列迭代格式不收敛的是( ) (A) e x －x －1＝0，[1,1.5]，令x k +1=1e -k x (B) x 3－x 2－1=0，[1.4,1.5], 令211 1k k x x +=+ (C) x 3－x 2－1=0，[1.4,1.5], 令32 11k k x x +=+ (D) 4－2x =x ，[1,2], 令)4(log 21x x k -=+ 二、填空题(每小题3分，共15分) 6.sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是 . 7.设矩阵A 是对称正定矩阵，则用 迭代法解线性方程组A X =b ，其迭代解数列一定收敛. 8. 已知f (1)=1,f (2)=3,那么y =f (x )以x =1，2为节点的拉格朗日线性插值多项式为 . 9. 用二次多项式2210)(x a x a a x ++=?,其中a 0, a 1, a 2是待定参数，拟合点(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ). 那么参数a 0, a 1, a 2是使误差平方和 取最小值的解. 10. 设求积公式 ∑?=≈n k k k b a x f A x x f 0 )(d )(，若对 的多项式积分公式 指导教师： 姓名： 学号： 专业： 联系电话： 上海交通大学 目录 序言 (3) 实验课题(一) 雅可比迭代法和高斯-塞得尔迭代法的收敛性和收敛速度 (4) 数值分析 (5) 实验课题(二) 松弛因子对SOR法收敛速度的影响 (6) 数值分析 (12) 总结 (13) 附录（程序清单） (14) 1.雅可比迭代法和高斯-塞得尔迭代法的收敛性和收敛速度 (14) 雅可比迭代法： (14) 高斯-塞得尔迭代法： (16) 2.松弛因子对SOR法收敛速度的影响 (18) 松弛法（SOR） (18) 序言 随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在实际解决这些计算问题的长期过程中，形成了计算方法这门学科，专门研究各种数学问题的数值解法（近似解法），包括方法的构造和求解过程的误差分析，是一门内容丰富，有自身理论体系的实用性很强的学科。 解决工程问题，往往需要处理很多数学模型，这就要花费大量的人力和时间，但是还有不少数学模型无法用解析法得到解。使用数值方法并利用计算机，就可以克服这些困难。事实上，科学计算已经与理论分析、科学实验成为平行的研究和解决科技问题的科学手段，经常被科技工作者所采用。作为科学计算的核心内容——数值分析（数值计算方法），已逐渐成为广大科技工作者必备的基本知识并越来越被人重视。 由于数值方法是解数值问题的系列计算公式，所以数值方法是否有效，不但与方法本身的好坏有关，而且与数值问题本身的好坏也有关，因此，研究数值方法时，不但需要研究数值方法的好坏，即数值稳定性问题，而且还需要研究数值问题本身的好坏，即数值问题的性态，以及它们的判别问题。 数值计算的绝大部分方法都具有近似性，而其理论又具有严密的科学性，方法的近似值正是建立在理论的严密性基础上，根据计算方法的这一特点。因此不仅要求掌握和使用算法，还要重视必要的误差分析，以保证计算结果的可靠性。数值计算还具有应用性强的特点，计算方法的绝大部分方法如求微分方程近似解，求积分近似值，求解超越方程，解线性方程组等都具有较强的实用性，而插值法，最小二乘法，样条函数等也都是工程技术领域中常用的，有实际应用价值的方法。 应用数值计算方法解决科学研究和工程中的实际问题，首先要建立描述具体问题的适当数学模型；其次，要选择一定的计算方法并制定相应的计算方案；并编制、设计合理的计算机程序；最后由计算机计算出数值结果。其中，计算方案的设计和计算方法的选择是上述求解过程中极为重要的环节，是程序设计和分析数值计算结果准确性的基础。 本实验所使用的是Visual C++ 6.0程序设计语言。 C++是在C语言的基础上拓展而来的。C++引入了面向对象的机制，同时又充分保留了C语言的简洁性和高效性，并且与C语言完全兼容，具有C语言高效灵活、功能强大、可移植性好等诸多优点，是面向对象程序设计的最佳语言之一。 《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001- 太原科技大学硕士研究生 2014/2015学年第1学期《数值分析》课程试卷 一、填空题（每空4分，共32分） 1、设?????≤≤-++<≤+=2 1,1321 0,)(2 323x x bx x x x x x s 是以0,1,2为节点三次样条函数，则b=__-2___ 2、解线性方程组12312312388 92688 x x x x x x x x x -++=-?? -+=??-+-=? 的Jacobi 迭代格式（分量形式）为 ?? ???+--=++-=++=+++)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2) (3)(2)1(1882/)96(88k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，其相应的迭代矩阵为??????????-0812/102/9810。 3、方程03 =-a x 的牛顿法的迭代格式为__3 12 3k k k k x a x x x +-=-__________，其收敛的阶为 2 。 4、已知数x 的近似值0.937具有三位有效数字，则x 的相对误差限是310534.0-? 解：x 1≈0.937， 31102 1 )(-?≤ x ε 3 31111 10(x )2 (x )0.53410x 0.937 r εε--?=≤=? 5、用列主元高斯消去法解线性方程组 ??? ??=--=++=++2333220221 321321x x x x x x x x 作第1次消元后的第2，3个方程分别为? ? ?=+--=-5.35.125 .15.03232x x x x 6、设???? ??-=3211A ，则=∞)(A Cond __4____. ￥ 数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 4、取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么（1）(3 3-，（2）(2 7-，（3） ()3 1 3+ ，（4） ()6 1 1 ，（5）99- , 数值实验 数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。 Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。 数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题 实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 $ r e x x e x x ** * ** - == 141 . ≈)61 数值分析上机报告 班级：20级学隧2班 姓名：000000000 学号：00000000000 目录 1 序言 (6) 2 题目 (7) 2.1 题2 (7) 2.1.1 题目内容 (7) 2.1.2 MATLAB程序 (8) 2.1.3 计算结果 (8) 2.1.4 图形 (9) 2.1.5 分析 (14) 2.2 题3 (14) 2.2.1 题目内容 (14) 2.2.2 程序 (14) 2.2.3 计算结果 (14) 2.2.4 图形 (15) 2.2.5 分析 (16) 2.3 选做题5 (16) 2.3.1方法介绍 (17) 2.3.2计算结果及分析 (17) 3总结 (18) 4．附录 (19) 4.1 题1程序代码 (19) 4.2 题2程序代码 (22) 4.3 题3程序代码 (26) 数值分析2015上机实习报告要求 1．应提交一份完整的实习报告。具体要求如下： （1）报告要排版，美观漂亮（若是纸质要有封面，封面上）要标明姓名、学号、专业和联系电话； （2）要有序言，说明所用语言及简要优、特点，说明选用的考量； （3）要有目录，指明题目、程序、计算结果，图标和分析等内容所在位置，作到信息简明而完全； （4）要有总结，全方位总结机编程计算的心得体会； （5）尽量使报告清晰明了，一般可将计算结果、图表及对比分析放在前面，程序清单作为附录放在后面，程序中关键部分要有中文说明或标注， 指明该部分的功能和作用。 2．程序需完好保存到期末考试后的一个星期，以便老师索取用于验证、询问或质疑部分内容。 3．认真完成实验内容，可以达到既学习计算方法又提高计算能力的目的，还可以切身体会书本内容之精妙所在，期间可以得到很多乐趣。 4．拷贝或抄袭他人结果是不良行为，将视为不合格。 5．请按任课老师要求的时间和载体（电子或纸质）提交给任课老师。 航空航天大学 《数值分析》计算实习报告 第一大题 学院：自动化科学与电气工程学院 专业：控制科学与工程 学生姓名： 学号： 教师： 电话： 完成日期： 2015年11月6日 航空航天大学 Beijing University of Aeronautics and Astronautics 实习题目： 第一题 设有501501?的实对称矩阵A ， ??? ???? ?????????=5011A a b c b c c b c b a 其中，064.0,16.0),501,,2,1(64.0)2.0sin()024.064.1(1 .0-==???=--=c b i e i i a i i 。矩阵A 的特征值为)501,,2,1(???=i i λ，并且有 ||min ||,501 150121i i s λλλλλ≤≤=≤???≤≤ 1.求1λ，501λ和s λ的值。 2.求A 的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,,2,1(???=k k i λ。 3.求A 的(谱数)条件数2)A (cond 和行列式detA 。 说明： 1.在所用的算法中，凡是要给出精度水平ε的，都取12-10=ε。 2.选择算法时，应使矩阵A 的所有零元素都不储存。 3.打印以下容： （1）全部源程序； （2）特征值），，39,...,2,1(,s 5011=k k i λλλλ以及A det ,)A (cond 2的值。 4.采用e 型输出实型数，并且至少显示12位有效数字。 一、算法设计方案 1、求1λ，501λ和s λ的值。 由于||min ||,501 150121i i s λλλλλ≤≤=≤???≤≤，可知绝对值最大特征值必为1λ和501 λ其中之一，故可用幂法求出绝对值最大的特征值λ，如果λ=0，则1λ=λ，否则 501λ=λ。将矩阵A 进行一下平移： I -A A'λ= （1） 对'A 用幂法求出其绝对值最大的特征值'λ，则A 的另一端点特征值1λ或501λ为'λ+λ。 s λ为按模最小特征值，||min ||501 1i i s λλ≤≤=，可对A 使用反幂法求得。 2、求A 的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,...,2,1(=k k i λ。 计算1)1,2,...,50=(i i λ-k μ，其模值最小的值对应的特征值k λ与k μ最接近。因此对A 进行平移变换： )39,,2,1k -A A k k ==（I μ （2） 对k A 用反幂法求得其模最小的特征值'k λ，则k λ='k λ+k μ。 3、求A 的(谱数)条件数2)(A cond 和行列式detA 。 由矩阵A 为非奇异对称矩阵可得： | | )(min max 2λλ=A cond （3） 其中max λ为按模最大特征值，min λ为按模最小特征值，通过第一问我们求得的λ和s λ可以很容易求得A 的条件数。 在进行反幂法求解时，要对A 进行LU 分解得到。因L 为单位下三角阵，行 列式为1，U 为上三角阵，行列式为主对角线乘积，所以A 的行列式等于U 的行列式，为U 的主对角线的乘积。 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--% 数值分析2016上机实习报告要求 1．应提交一份完整的实习报告。具体要求如下： （1） 报告要排版，美观漂亮；要标明姓名、学号、专业和联系电话； （2） 要有目录，指明题目、程序、计算结果，图标和分析等内容所在位置，作 到信息简明而完全； （3）要有总结，全方位总结机编程计算的心得体会； （4）尽量使报告清晰明了，一般可将计算结果、图表及对比分析放在前面，程序 清单作为附录放在后面，程序中关键部分要有中文说明或标注，指明该部分的功能和作用。 2．程序需完好保存到期末考试后的一个星期，以便老师索取用于验证、询问或质疑部分内容。 3．认真完成实验内容，可以达到既学习计算方法又提高计算能力的目的，还可以切身体会书本内容之精妙所在，期间可以得到很多乐趣。 4．拷贝或抄袭他人结果是不良行为，将视为不合格。 5．请按任课老师要求的时间和载体（电子或纸质）提交给任课老师。 6.提交电子邮件请务必按述格式命名邮件主题和文档名，以方便统计 学号姓名2016_2上机实习报告 如：2015201597张帅哥数值分析2016-2计算报告 数值分析上机试题 1． 编程计算∑∞11=n cn ， 其中c= 4.4942?10307， 给出并观察计算结果，若有问题，分析之。 2． 利用牛顿法求方程ln 2x x -=(x-ln x=2)于区间[2,4]的根，考虑不同初值下牛顿法的收敛情况。 3． 给出1251 2+=x y 在xk=0+0.25k 处的值yk, k=0,1,2,3,4. 请给出由节点 xk 确定的三次样 条插值函数S(x), 使其满足条件：S /(0)=0, S /(1)=-0.074, 分析逼近效果如何？ 4. 松弛因子对SOR 法收敛速度的影响。 用SOR 法求解方程组Ax =b ,其中 3-2-.2-2-3-B ,41141......14114 要求程序中不存系数矩阵A ,分别对不同的阶数取w=1.1, 1.2, ...,1.9进行迭代，记录近似解x (k)达到||x (k)-x (k-1)||<10-6时所用的迭代次数k ，观察松弛因子对收敛速度的影响，并观察当w ≤0或w ≥2会有什么影响？ 5. 用Ru n ge-Kutt a 4阶算法对初值问题y /=-20*y ，y (0)=1按不同步长求解，用于观察稳定区间的 作用，推荐两种步长h=0.1,0.2。 注：此方程的精确解为：y =e -20x 数值分析A 试题 2007.1 第一部分：填空题10?5 1.设3112A ?? = ??? ,则A ∞=___________ 2()cond A =___________ 2.将4111A ??= ??? 分解成T A LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________ ,请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数()bx f x ae =中的参数：a = ___________ b =___________ 4.方程13 cos 2044x x π--=在[0,1]上有 个根，若初值取00.95x =，迭代方法 113 cos 244 k k x x π+=-的收敛阶是 5.解方程2 210x x -+=的Newton 迭代方法为___________，其收敛阶为___________ 6.设()s x = 323 2 323,[0,1]31,[1,2] ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________ b =___________ 7.要想求积公式： 1 121 ()(()f x dx A f f x -≈+? 的代数精度尽可能高，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________ 8.用线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题 00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，该方法的局部截断误差为___________，设 ,0,f y μμ=?其绝对稳定性空间是___________ 9.用线性多步法 2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题 00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，希望该方法的阶尽可能高，那么a = ___________ b =___________，此时该方法是几阶的：___________ 北航数值分析计算实习报告一 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: 北京航空航天大学 《数值分析》计算实习报告 第一大题 学院：自动化科学与电气工程学院 专业: 控制科学与工程 学生姓名： 学号: 教师: 电话: 完成日期: 2015年11月6日 北京航空航天大学 Ｂeｉjing Univeｒsiｔy of Ａeｒｏnaｕtｉcs and Ａstroｎautｉcs 实习题目： 第一题 设有501501?的实对称矩阵A ， ??? ???? ?????????=5011A a b c b c c b c b a 其中，064.0,16.0),501,,2,1(64.0)2.0sin()024.064.1(1 .0-==???=--=c b i e i i a i i 。矩阵A 的特征值为)501,,2,1(???=i i λ,并且有 ||min ||,501 150121i i s λλλλλ≤≤=≤???≤≤ 1.求1λ,501λ和s λ的值。 2.求Ａ的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,,2,1(???=k k i λ。 ３.求Ａ的(谱范数)条件数2)A (cond 和行列式d ｅtA 。 说明： 1.在所用的算法中,凡是要给出精度水平ε的，都取12-10=ε。 2.选择算法时,应使矩阵A 的所有零元素都不储存。 3.打印以下内容： （1）全部源程序； （2）特征值），，39,...,2,1(,s 5011=k k i λλλλ以及A det ,)A (cond 2的值。 4.采用e 型输出实型数，并且至少显示１２位有效数字。 中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期 研究生期末考试试题A (闭卷考试) 课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位 一、填空题（共30分，每空3分） 1、 已知x =是由准确数a 经四舍五入得到的近似值，则x 的绝对误差 界为_______________。 2、数值微分公式()() '()i i i f x h f x f x h +-≈ 的截断误差为 。 3、已知向量T x =，求Householder 变换阵H ，使(2,0)T Hx =-。 H = 。 4、利用三点高斯求积公式 1 1 ()0.5556(0.7746)0.8889(0)0.5556(0.7746)f x dx f f f -≈-++? 导出求积分 4 0()f x dx ?的三点高斯求积公式 。 5、4 2 ()523,[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]_____.f x x x f =+-= 若则 6、以n + 1个互异节点x k ( k =0,1,…,n ),（n >1）为插值节点的 Lagrange 插值基函数为l k (x)( k =0,1,…,n )，则 (0)(1)__________.n k k k l x =+=∑ 7、已知3()P x 是用极小化插值法得到的cos x 在[0,4]上的三次插值多项式，则3()P x 的 截断误差上界为3()cos ()R x x P x =-≤_________. 8、已知向量(3,2,5)T x =-，求Gauss 变换阵L ，使(3,0,0)T Lx =。L =_________. 9、设3 2 ()(7)f x x =-, 给出求方程()0f x =根的二阶收敛的迭代格式_________。 10、下面M 文件是用来求解什么数学问题的________________________. function [x,k]=dd （x0） for k=1:1000 x=cos (x0); if abs(x-x0)<, break end x0=x; end 二、（15分）已知矛盾方程组Ax=b ，其中11120,1211A b ???? ????==???????????? ， （1）用施密特正交化方法求矩阵A 的正交分解，即A=QR 。 （2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b 的最小二乘解。 三、（10分）已知求解线性方程组Ax=b 的分量迭代格式 1 (1) (1) ()1 +1 /, 121,,i n k k k i i ij j ij j ii j j i x b a x a x a i n n -++===-- =-∑∑（），， （1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵； （2）若11a A a ?? = ??? ，推导上述迭代格式收敛的充分必要条件。 四、（15分）（1）证明对任何初值0x R ∈，由迭代公式11 1sin ,0,1,2, (2) k k x x k +=+ = 所产生的序列{}0k k x ∞ =都收敛于方程1 1sin 2 x x =+ 的根。 （2）迭代公式11 21sin ,0,1,2, (2) k k k x x x k +=-- =是否收敛。 五、（15分）用最小二乘法确定一条经过原点(0,0)的二次曲线，使之拟合下列数据数值计算方法大作业
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