问题1.1 集合与其他知识的交汇问题-2018届高三数学成功在我之尖子生提分精品(江苏版)(解析版)

专题一 集合、函数与导数

问题一：集合与其他知识的交汇问题

一、考情分析

集合是高中数学的基础知识,也是高老必考内容之一,它渗透到高中数学的各个领域,以简易逻辑、函数、方程、不等式、向量、解析几何等为背景的集合问题在试卷中频频出现,其特点是综合性高．解题时要求首先其集合语言,脱去其外衣,挖掘其本质的数量关系,再利用相关知识解决．江苏高考中专门考集合的题一般是试卷的第一题或第二题,主要考查集合的运算与集合的概念,此外集合与其他知识的交汇问题也会出现在解答题中．

二、经验分享

(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别： ①{}220x x x -=；②{}22x y x x =-；③{}22y y x x =-；④(){}

2,2x y y x x =-. (2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy =的整数解集可表示为

()()()(){}1,2,2,1,1,2,2,1----.

(3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

(4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.

(5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况．

(6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质．

(7)对于复杂的集合与其他知识的交汇问题,首先要看能否化简给定集合,然后看与哪一类知识的交汇,再把集合语言转化为该类知识的表达形式,最后利用有关知识去解决.

三、知识拓展

1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1.

2．A ?B ?A ∩B ＝A ?A ∪B ＝B ()()U U A B A B U ?=??= 痧 .

3．奇数集：{}{}{}

21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z .

4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F 是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F 中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F 中的数,即运算封闭,则称F 为数域.

四、题型分析

(一) 集合与函数的交汇

集合与函数的交汇问题主要有两类,一是与函数定义域及值域有关的集合运算问题,解决此类一般是先把参与运算的集合化为最简,然后再按集合的运算法则进行运算；另一类是具有某些性质的函数组成一个集合,解决此类问题是理解集合中元素的特征,根据其特征把问题转化为函数问题求解.

【例1】已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T,对任意x ∈R,有()()f x T Tf x +=成立.

（1）函数()f x x =是否属于集合M ？说明理由；

（2）设函数()(0x f x a a =>且1a ≠）的图象与y x =的图象有公共点,证明：()x

f x a =∈M ；（3）若函数()sin f x kx =∈M ,求实数k 的取值范围.

【分析】抓住集合M 元素的特征,集合M 是由满足()()f x T Tf x +=的函数构成．

（3）当k =0时,f （x ）=0,显然f （x ）=0∈M ．

当k ≠0时,因为f （x ）=sin kx ∈M ,所以存在非零常数T ,