2021年高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第讲一元二次不等式知能训练轻松闯关文北师大版
2021版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第一章集合与常用逻辑用语学案20210807223
第一章2021版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第一章集合与常用逻辑用语学案20210807223第1课时集合的概念了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．① 学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系.②学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化.③集合含义中把握集合的三要素.④不要求证明集合相等关系和包含关系．1. (必修1P7练习1改编)用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为______________．答案：{1，2}解析：∵ x2－3x＋2＝0，∴ x＝1或x＝2.故集合为{1，2}．2. (必修1P10习题5改编)由x2，x组成一个集合A，A中含有2个元素，则实数x的取值不能够是______________．答案：0和1解析：由 x2＝x可解得x＝0或x＝1.3. (必修1P9练习1改编)集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是__________．答案：7解析：A＝{x|0≤x<3且x∈N}＝{0，1，2}，∴真子集有7个．4. (必修1P10练习6改编)设A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}．若A⊆B，则m的取值范畴是____________．答案：[3，＋∞)解析：A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，A⊆B，将集合A，B在数轴上表示(图略)，可得m≥3.5. (必修1P10习题5改编)A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}中只有一个元素，则实数k的值为____________．答案：0或1解析：当k＝0时，集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}＝{x|x＝－1}，满足条件，当k≠0时，由判别式等于0可得16－16k＝0，解得k＝1，现在，集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}＝{x|x2＋4x＋4＝0}＝{－2}，满足条件，综上可得，k＝0或k＝1.1. 集合：一样地，一定范畴内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．(1) 若a 是集合A 的元素，记作a∈A；若b 不是集合A 的元素，记作b ∉A. (2) 集合中元素的特点：确定性、互异性、 无序性．确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情形必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于那个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复显现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合的不同与元素的排列顺序无关． (3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号{ }内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内． 具体方法：在大括号内先写上表示那个集合元素的一样符号及取值(或变化)范畴，再画一条竖线，在竖线后写出那个集合中元素所具有的共同特点．注意：列举法与描述法各有优点，应该依照具体问题确定采纳哪种表示法，要注意，一样集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采纳列举法．(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．应当专门注意空集是一个专门而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N ；正整数集记作N *或N ＋；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R ；复数集记作C ．2. 两类关系(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系．(2) 集合与集合之间的关系① 包含关系：假如集合A 中的每一个元素差不多上集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ，读作“集合A 包含于集合B”或“集合B 包含集合A”．② 真包含关系：假如A ⊆B ，同时A≠B，那么集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A ，读作“集合A 真包含于集合B”或“集合B 真包含集合A ”．③ 相等关系：假如两个集合所含的元素完全相同，即A 中的元素差不多上B 中的元素且B 中的元素差不多上A 中的元素，则称这两个集合相等．(3) 简单关系 ① A ⊆A ； ② ∅⊆A ；③ 若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；④ 含有n 个元素的集合的子集共有2n 个，真子集共有2n －1个，非空子集共有2n－1个，非空真子集有⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝0，2n －2，n ≥1个．[备课札记]1集合的差不多概念1已知集合A含有两个元素a－3和2a－1.若－3∈A，试求实数a的值．解：∵ －3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0.现在集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1，现在集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.变式训练已知集合A中有且仅有三个数1，0，a，若a2∈A，求a的值．解：若a2＝0，则a＝0，不符合集合中元素的互异性，∴ a2≠0.若a2＝1，则a＝±1，由元素的互异性知a≠1，∴ a＝－1时适合．若a2＝a，则a＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求．综上可知a＝－1.2 集合间的差不多关系2已知A＝{－1，1}，B＝{x|x2－ax＋b＝0}≠∅.若B⊆A，求实数a，b的值．解：∵ B⊆A，A＝{－1，1}，B≠∅，∴ B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1，1}．若B＝{－1}，则方程x2－ax＋b＝0有且只有一个实数根－1，即Δ＝(－a)2－4b＝0，且(－1)2－a×(－1)＋b＝0，现在a＝－2，b＝1.若B＝{1}，则方程x2－ax＋b＝0有且只有一个实数根1，即Δ＝(－a)2－4b＝0，且12－a×1＋b＝0，现在a＝2，b＝1.若B＝{－1，1}，则方程x2－ax ＋b＝0有两个不相等的实数根－1，1，即(－1)2－a×(－1)＋b＝0，12－a×1＋b＝0，现在a ＝0，b ＝－1.综上所述，当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1时，B ⊆A., 3) 已知集合M ＝{a ，a ＋d ，a ＋2d}，N ＝{a ，aq ，aq 2}(a 为非零常数)．若M ＝N ，求q 的值．解：由题意，若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋d ＝aq ，a ＋2d ＝aq 2，则a(q －1)2＝0，q ＝1(a≠0)．然而q ＝1与集合中元素的互异性矛盾，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＋d ＝aq 2，a ＋2d ＝aq ⇒a(q －1)(2q ＋1)＝0.因为a≠0，q ≠1，因此q ＝－12.故所求q 的值为－12.变式训练已知A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，B ⊆A ，求m 的取值范畴．解：当m ＋1>2m －1，即m<2时，B ＝∅，满足B ⊆A ，即m<2；当m ＋1＝2m －1，即m ＝2时，B ＝{3}，满足B ⊆A ，即m ＝2；当m ＋1<2m －1，即m>2时，由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，即2<m≤3.综上，得m≤3.备选变式（教师专享）一个含有三个实数的集合可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，1，b a ，也可表示为{a ＋b ，0，a 2}，则a 2 018＋b2 018＝________．答案：1解析：若集合相等，则集合的元素对应相等，同时集合还需满足确定性、互异性、无序性，因此b a ＝0，得b ＝0，现在{a ，1，0}＝{a ，0，a 2}，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ≠1，故a ＝－1，因此a 2 018＋b 2 018＝1., 3 依照集合的关系求参数的取值范畴), 4) 已知集合A ＝{x|x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }．若B ⊆A ，求实数a 的取值范畴．解：B ⊆A 可分为B A 和B ＝A 两种情形，易知A ＝{0，－4}．(1) 当A ＝B ＝{0，－4}时，∵ 0，－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧16－8（a ＋1）＋a 2－1＝0，a 2－1＝0， ∴ a ＝1.(2) 当B A 时，有B≠∅或B ＝∅.① 当B≠∅时，B ＝{0}或B ＝{－4}，∴ 方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有相等的实数根0或－4，∴ Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，∴ a ＝－1，∴ B ＝{0}满足条件．② 当B ＝∅时，Δ<0，∴ a<－1.综上，所求实数a 的取值范畴是a≤－1或a ＝1. 变式训练已知集合A ＝{x|－2≤x≤a}，B ＝{y|y ＝2x ＋3，x ∈A}，C ＝{z|z ＝x 2，x∈A}，且C ⊆B ，求正数a 的取值范畴．解：B ＝{x|－1≤x≤2a＋3}，当0<a≤2时，C ＝{x|0≤x≤4}，而C ⊆B ，则2a ＋3≥4，即a≥12，即12≤a ≤2；当a>2时，C ＝{x|0≤x≤a 2}，而C ⊆B ，则2a ＋3≥a 2，即 2<a≤3.综上，得 12≤a ≤3.备选变式（教师专享）设集合A ＝{1，2，3，…，10}，求集合A 的所有非空子集元素的和．解：含有1的子集有29个，含有2的子集有29个，含有3的子集有29个，…，含有10的子集有29个，∴ (1＋2＋3＋…＋10)×29＝28 160.1. (2020·溧阳中学周练)已知集合S ＝{0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x∈A 时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个．答案：6解析：由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}，如此的集合共有6个．2. 已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y)|x ，y ∈R ，且y ＝x}，则A∩B 的元素个数为________________________________________________________________________．答案：2解析：直截了当解方程组可得两组解，即A∩B 的元素个数为2.3. 若x∈A，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．答案：3解析：具有伙伴关系的元素是－1，12，2，因此具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，{12，2}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.4. (2021·溧阳中学月考)若集合A ＝{x|ax 2－3x ＋2＝0}的子集至多有两个，则实数a 的取值范畴是________．答案：{0}∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞ 解析：若集合A 的子集只有两个，则A 中只有一个元素．当a ＝0时，x ＝23符合要求．当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴ a ＝98.故a ＝0或98.若集合A 的子集只有一个，则A ＝∅，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，a ≠0，解得a>98，故实数a 的取值范畴是{0}∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞.5. 已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x|0<x<5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．答案：4解析： 用列举法表示集合A ，B ，依照集合关系求出集合C 的个数．由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴ A ＝{1，2}．由题意知B ＝{1，2，3，4}，∴ 满足条件的C 可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．, 1. 遗忘空集致误)典例 若集合M ＝{x|x 2＋x －6＝0}，N ＝{x|ax ＋1＝0}，且N ⊆M ，则由a 的可取值组成的集合为________．易错分析：从集合的关系看，N ⊆M ，则N ＝∅或N≠∅，易遗忘N ＝∅的情形． 解析：M ＝{－3，2}．当a ＝0时，N ＝∅，满足N ⊆M ；当a≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a，为满足N ⊆M 可使－1a ＝－3或－1a＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12专门提醒：(1) 依照集合间的关系求参数的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特点；(2) 在解答本题时，一是不要忽略对空集的讨论，如a ＝0时，N ＝∅；二是注意对字母的讨论，如－1a能够为－3或2.一定要注意分类讨论，幸免漏解．1. (2020·溧阳中学期初)已知集合A ＝{2＋a ，a}，B ＝{－1，1，3}，且A ⊆B ，则实数a 的值是________．答案：1解析：易知a>0.当a ＝1时，A ＝{1，3}，B ＝{－1，1，3}，满足题意；当a ＝3时，A ＝{3，2＋3}，B ＝{－1，1，3}，不满足题意．因此实数a 的值为1.2. 若集合A ＝{－1，1}，B ＝{0，2}，则集合{z ︱z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为________．答案： 3解析：容易看出x ＋y 只能取－1、1、3这三个数值．故共有3个元素.3. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ax －1x －a <0，且2∈A，3∉A ，则实数a 的取值范畴是________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪(2，3] 解析：因为2∈A，因此2a －12－a ＜0，即(2a －1)(a －2)＞0，解得a ＞2或a ＜12.①若3∈A，则3a －13－a ＜0，即(3a －1)(a －3)＞0，解得a ＞3或a ＜13，因此3∉A 时，13≤a≤3.②由①②可知，实数a 的取值范畴是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪(2，3]． 4. 已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{(x ，y )|x∈A，y ∈A ，x －y ∈A}，则B 中所含元素的个数为________．答案：10解析：由x －y∈A 及A ＝{1，2，3，4，5}得x>y.当y ＝1时，x 可取2，3，4，5，有4个；当y ＝2时，x 可取3，4，5，有3个；当y ＝3时，x 可取4，5，有2个；当y ＝4时，x 可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10(个)．1. 研究一个集合，第一要看集合中的代表元素是什么，然后再看元素的限制条件，即有何属性，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y ＝f(x)}、{y|y ＝f(x)}、{(x ，y)|y ＝f(x)}三者的不同．关于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ⊆B ，则需考虑A ＝∅和A≠∅两种可能的情形．3. 判定两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中查找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中查找关系．4. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图关心分析．第2课时集合的差不多运算(对应学生用书(文)、(理)4～5页)明白得两个集合的交集与并集的含义；会求两个简单集合的交集与并集，明白得给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集，会用Venn图表示集合的关系及运算．① 在给定集合中会求一个子集的补集，补集的含义在数学中确实是对立面.②会求两个简单集合的交集与并集；交集的关键词是“且”，并集的关键词是“或”.③会使用Venn图表示集合的关系及运算；关于数集有时也能够用数轴表示．1. (必修1P13练习1改编)设集合A＝{平行四边形}，B＝{对角线相等的四边形}，则A∩B ＝________．答案：{矩形}解析：对角线相等的平行四边形为矩形．2. (必修1P13练习3改编)已知集合A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2＋6x＋16，x∈R}，则A∪B＝________.答案：[－1，＋∞)解析：依题意知A＝[－1，＋∞)，B＝[7，＋∞)，因此A∪B＝[－1，＋∞)．3. (必修1P9练习2改编)设全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{x|x≤1}，B＝{－2，0，2}，则∁U(A∩B)＝__________．答案：{－1，1，2}解析：∵ A∩B＝{－2，0}∴∁U(A∩B)＝{－1，1，2}．4. (必修1P10习题4改编)已知集合A＝{0，2，4，6}，∁U A＝{－1，1，－3，3}，∁U B＝{－1，0，2}，则集合B＝__________．答案：{1，4，6，－3，3}解析：∵∁U A＝{－1，1，－3，3}，∴ U＝{－1，1，0，2，4，6，－3，3}．又∁U B＝{－1，0，2}，∴ B＝{1，4，6，－3，3}．5. (必修1P14习题10改编)设集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有__________个．答案：3解析：全集U＝A∪B＝{3，4，5，7，8，9}，A∩B＝{4，7，9}，∴∁U(A∩B)＝{3，5，8}，∴∁U(A∩B)中的元素共有3个．1. 集合的运算(1) 交集：由所有属于A且属于B的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(2) 并集：由所有属于A或属于B的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．(3) 全集：假如集合S含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么那个集合就能够看作一个全集，通常用U来表示．一切所研究的集合差不多上那个集合的子集．(4) 补集：集合A是集合S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合叫做A 的补集，记作∁S A，即∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．2. 常用运算性质及一些重要结论(1) A∩B＝B∩A，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A∩B＝A ⇔A ⊆B. (2) A∪B＝B∪A，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B. (3) ∁S (∁S A)＝A ，∁S ∅＝S ， (∁S A )∪(∁S B)＝∁S (A∩B)， (∁S A )∩(∁S B)＝∁S (A∪B)．[备课札记], 1 集合的运算), 1) 已知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1x ≥1，B ＝{y|y ＝x 2＋x ＋1，x ∈R }．(1) 求A ，B ；(2) 求A∪B，A ∩(∁R B)．解：(1) 由1x ≥1，得1x －1＝1－xx≥0，即x(x －1)≤0且x≠0，解得0<x≤1，因此A ＝(0，1]．由y ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，得B ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.(2) 因为∁R B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，34，因此A∪B＝(0，＋∞)，A ∩(∁R B)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34. 变式训练已知A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x|x 2－mx ＋2＝0}，且A∪B ＝A ，A ∩C ＝C ，求实数a 及m 的值．解：∵ A＝{1，2}，B ＝{x|(x －1)[x －(a －1)]＝0}，又A∪B＝A ，∴ B ⊆A. ∴ a －1＝2⇒a ＝3(现在A ＝B)， 或a －1＝1⇒a ＝2(现在B ＝{1})．由A∩C＝C ⇒C ⊆A ，从而C ＝A 或C ＝∅(当C ＝{1}或C ＝{2}时，可检验不符合题意)． 当C ＝A 时，m ＝3；当C ＝∅时，Δ＝m 2－8<0⇒－22<m<2 2.综上可知a ＝2或a ＝3，m ＝3或－22<m<2 2. 备选变式（教师专享）已知两个正整数集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，B ＝{a 21，a 22，a 23，a 24}，其中a 1<a 2<a 3<a 4.若A∩B ＝{a 1，a 4}，且a 1＋a 4＝10，且A∪B 的所有元素之和是124，求集合A ，B.分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要依照“交、并”的意义及元素的差不多性质解决，注意“正整数”那个条件的运用．解：∵ 1≤a 1<a 2<a 3<a 4，∴ a 21<a 22<a 23<a 24，∵ A ∩B ＝{a 1，a 4}，∴ 只可能有a 1＝a 21⇒a 1＝1，而a 1＋a 4＝10，∴ a 4＝9，∴ a 24≠a 4.(1) 若a 22＝a 4，则a 2＝3，∴ A ∪B ＝{1，3，a 3，9，a 23，81}，∴ a 3＋a 23＋94＝124⇒a 3＝5；(2) 若a 23＝a 4，则a 3＝3，同样可得a 2＝5>a 3，与条件矛盾，不合题意． 综上，A ＝{1，3，5，9}，B ＝{1，9，25，81}．, 2 依照集合的运算求参数的取值范畴), 2) 设A ＝{x|a≤x≤a＋3}，B ＝{x|x<－1或x>5}，当a 为何值时， (1) A∩B≠∅； (2) A∩B＝A ；(3) A∪(∁R B)＝∁R B. 解：(1) A∩B≠∅，∵ 集合A 的区间长度为3，∴ 由图可得a<－1或a ＋3>5，解得a<－1或a>2，∴ 当a<－1或a>2时，A ∩B ≠∅.(2) ∵ A∩B＝A ，∴ A ⊆B.由图得a ＋3<－1或a>5，即a<－4或a>5时，A ∩B ＝A.(3) 由补集的定义知∁R B ＝{x|－1≤x≤5}， ∵ A ∪(∁R B)＝∁R B ，∴ A ⊆∁R B.由图得⎩⎪⎨⎪⎧a≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a≤2.变式训练设全集是实数集R ，A ＝{x|2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x|x 2＋a<0}． (1) 当a ＝－4时，求A∩B 和A∪B；(2) 若(∁R A )∩B＝B ，求实数a 的取值范畴．解：(1) A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x≤3.当a ＝－4时，B ＝{x|－2<x<2}，∴ A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x<2，A ∪B ＝{x|－2<x≤3}．(2) ∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<12或x>3. 当(∁R A )∩B＝B 时，B ⊆∁R A ，即A∩B＝∅. ① 当B ＝∅，即a≥0时，满足B ⊆∁R A ；② 当B≠∅，即a<0时，B ＝{x|－－a<x<－a}，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a<0.综上可得，a 的取值范畴是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a≥－14.备选变式（教师专享）设集合A ＝{x|x 2－2x ＋2m ＋4＝0}，B ＝{x|x<0}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范畴． 解：(解法1)命题⇔方程x 2－2x ＋2m ＋4＝0至少有一个负实数根，设M ＝{m|关于x 的方程x 2－2x ＋2m ＋4＝0两根均为非负实数}，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（－2m －3）≥0，x 1＋x 2＝2>0，x 1x 2＝2m ＋4≥0，⇒－2≤m≤－32，∴ M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|－2≤m≤－32.设全集U ＝{m|Δ≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|m≤－32，∴ m 的取值范畴是∁U M ＝{m|m<－2}．(解法2)命题⇔方程的小根x ＝1－－2m －3<0 ⇒－2m －3>1⇒－2m －3>1⇒m<－2., 3 集合的综合应用), 3) 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －5x ＋1≤0，B ＝{x|x 2－2x －m<0}． (1) 当m ＝3时，求A∩(∁R B)；(2) 若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m 的值．解：因为x －5x ＋1≤0，因此－1<x≤5，因此A ＝{x|－1<x≤5}．(1) 当m ＝3时，B ＝{x|－1<x<3}， 则∁R B ＝{x|x≤－1或x≥3}， 因此A∩(∁R B)＝{x|3≤x≤5}．(2) 因为A ＝{x|－1<x≤5}，A ∩B ＝{x|－1<x<4}，因此有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8. 现在B ＝{x|－2<x<4}，符合题意， 故实数m 的值为8. 备选变式（教师专享）已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝1，x ∈R ，y ∈R ，B ＝{(x ，y)|y ＝ax ＋2，x ∈R ，y ∈R }，若A∩B＝∅，求实数a 的值．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －2＝1，y ＝ax ＋2得(1－a)x ＝1，当a ＝1时，方程组无解；当a≠1时，x ＝11－a ，若11－a ＝2，即a ＝12，现在x ＝2为增根，因此方程组也无解． 从而a ＝1或a ＝12时，A ∩B ＝∅.反思：本题也可利用数形结合方法解．, 4 与集合运算有关的新定义问题), 4) 定义集合运算A*B ＝{x|x∈A，或x∈B，但x ∉A ∩B}，设A ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，2，5，6，7}，则(A*B)*A ＝________．答案：{1，2，5，6，7}解析：A*B ＝{3，4，5，6，7}，∴ (A*B)*A ＝{1，2，5，6，7}． 变式训练(必修1P 14习题13改编)设A ，B 是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且x ∉A ∩B}．若A ＝{x|y ＝x 2－3x}，B ＝{y|y ＝3x}，则A×B＝__________．答案：(－∞，3)解析：集合A 即为函数f(x)＝x 2－3x 的定义域，由x 2－3x≥0⇒x ≤0或x≥3，故集合A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，集合B 即为函数g(x)＝3x的值域，故B ＝(0，＋∞)，从而有A∪B ＝R ，A ∩B ＝[3，＋∞)，由定义知A×B＝(－∞，3)．备选变式（教师专享）(2020·洪泽中学单元卷)关于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x|x ∈A 且x ∉B}，A*B ＝(A －B)∪(B－A)，记A ＝{y|y ≥0}，B ＝{x|－3≤x≤3}，则A*B ＝________．答案：[－3，0)∪(3，＋∞) 解析：由题意知，A －B ＝{x|x ＞3}，B －A ＝{x|－3≤x＜0}，A*B ＝(A －B)∪(B－A)＝[－3，0)∪(3，＋∞)．反思：本题考查集合的运算新定义问题，属于难题．新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情形，要求考生在阅读明白得的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．本题定义一种运算A －B ＝{x|x∈A 且x ∉B}，A*B ＝(A －B)∪(B－A)达到考查集合运算的目的．1. (2020·四川雅安中学月考)已知M ＝{y|y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y|x 2＋y 2＝1，x ∈R ，y ∈R }，则M∩N＝________．答案：[0，1]解析：由题意得M ＝[0，＋∞)，由x 2＋y 2＝1，得到－1≤y≤1，即N ＝[－1，1]，则M∩N ＝[0，1]．2. 已知集合A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}．若A∪B＝{0，1，2，3}，则实数a 的值为__________． 答案：2解析：A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，A ∪B ＝{0，1，2，3}，则a ＝2. 3. 已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，那么A ∪(∁U B)＝__________． 答案：{1，2，5}解析：∵ ∁U B ＝{1，5}，∴ A ∪(∁U B)＝{1，2，5}．4. 已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{1，3，5，7，9}，C ＝A∩B，则集合C 的子集的个数为__________．答案：8解析：C ＝{1，3，5}，则集合C 的子集的个数为8.5. 设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{a －1，a ＋1a}，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为__________．答案：1解析：0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，由 a ＋1a ≠0，则a －1＝0，则实数a 的值为1., 2. 集合关系不能转化)典例 设A ＝{(x ，y)|y 2－x －1＝0}，B ＝{(x ，y)|4x 2＋2x －2y ＋5＝0}，C ＝{(x ，y)|y ＝kx ＋b}，是否存在k ，b ∈N ，使得(A∪B)∩C＝∅，并证明你的结论．易错分析：难点在于对集合关系的不明白得，对题目所给出的条件不能认清事实上质内涵，因而可能感受无从下手．解：∵ (A∪B)∩C＝∅， ∴ A∩C＝∅且B∩C＝∅.∵ ⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ＋1，y ＝kx ＋b ，∴ k 2x 2＋(2bk －1)x ＋b 2－1＝0. ∵ A ∩C ＝∅，∴ Δ1＝(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0，∴ 4k 2－4bk ＋1<0，此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0，即b 2>1 ①.∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋2x －2y ＋5＝0，y ＝kx ＋b ， ∴ 4x 2＋(2－2k)x ＋(5－2b)＝0.∵ B ∩C ＝∅，∴ Δ2＝(1－k)2－4(5－2b)<0，∴ k 2－2k ＋8b －19<0，从而8b<20，即b<2.5 ②.由①②及b∈N ，得b ＝2，代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得⎩⎪⎨⎪⎧4k 2－8k ＋1<0，k 2－2k －3<0，∴k ＝1.故存在自然数k ＝1，b ＝2，使得(A∪B)∩C＝∅.专门提醒：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C＝∅转化为A∩C＝∅且B∩C＝∅.要能够借助Venn 图充分明白得集合的交、并、补之间的关系及熟练转化．1. (2020·遂宁射洪中学入学考试)设集合U ＝{x|x ＜5，x ∈N *}，M ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}，则∁U M ＝________．答案：{1，4}解析：集合U ＝{x|x<5，x ∈N *}＝{1，2，3，4}，M ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}，则∁U M ＝{1，4}．2. 设集合A ＝{x∈R |⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －3≤0}，B ＝{x ∈Z |x －2>0}，则A∩B＝________．答案：{3}解析：∵ A＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x∈Z |x>2}，∴ A ∩B ＝{x ∈Z |2<x ≤3}＝{3}．3. 设U ＝R ，集合A ＝{x|x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B＝∅，则m 的值是________．答案：1或2解析：A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B＝∅，得B ⊆A.∵ 方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴ B ≠∅. ∴ B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ① 若B ＝{－1}，则m ＝1；② 若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴ B ≠{－2}；③ 若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件． ∴ m 的值是1或2.4. 某校高一年级举行语、数、英三科竞赛，高一(2)班共有32名 同学参加三科竞赛，有16人参加语文竞赛，有10人参加数学竞赛，有16人参加英语竞赛，同时参加语文和数学竞赛的有3人，同时参加语文和英语竞赛的有3人，没有人同时参加全部三科竞赛，问：同时参加数学和英语竞赛的有多少人？只参加语文一科竞赛的有多少人？解：设所有参加语文竞赛的同学组成的集合用A 表示，所有参加数学竞赛的同学组成的集合用B 表示，所有参加英语竞赛的同学组成的集合用C 表示，设只参加语文竞赛的有x 人，只参加数学竞赛的有y 人，只参加英语竞赛的有z 人，同时参加数学和英语竞赛的有m 人．依照题意，可作出如图所示Venn 图，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＋3＋y ＋m ＋z ＝32，x ＋3＋3＝16，y ＋m ＋3＝10，z ＋m ＋3＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝3，z ＝9，m ＝4.答：同时参加数学和英语竞赛的有4人，只参加语文一科竞赛的有10人．1. 集合的运算结果仍旧是集合．进行集合运算时应当注意： (1) 勿忘对空集情形的讨论； (2) 勿忘集合中元素的互异性；(3) 关于集合A 的补集运算，勿忘A 必须是全集的子集； (4) 已知两集合间的关系求参数或参数范畴时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观．还要注意“回代检验”，从而对所求数值进行合理取舍．2. 在集合运算过程中应力求做到“三化”(1) 意义化：第一明确集合的元素的意义，它是如何样类型的对象(数集、点集，图形等)？是表示函数的定义域、值域，依旧表示方程或不等式的解集？(2) 具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．(3) 直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．[备课札记]第3课时简单的逻辑联结词、量词(对应学生用书(文)、(理)6～8页)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；明白得必要条件、充分条件、充要条件的意义；了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；了解全称量词与存在量词的意义；了解含有一个量词的命题的否定的意义．①会分析四种命题的相互关系.②会判定必要条件、充分条件与充要条件.③能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容(真值表不作要求).④能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容.⑤能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1. 写出命题“若a＝0，则ab＝0”的逆否命题：________________________________________________________________________.答案：若ab≠0，则a≠02. 原命题“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有________个．答案：13. (改编题)已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的____________条件．答案：充分不必要解析：a＝3时，A＝{1，3}，明显A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.因此a＝3是A⊆B的充分不必要条件．4. (改编题)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1 对称的充要条件是____________．答案：m＝－2解析：已知函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．因此函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.5. (改编题)已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1＜0，则綈p为__________．答案：∀x∈R，x2＋x－1≥0解析：含有存在量词的命题的否定，需将存在量词改为全称量词，并将结论否定，即綈p：∀x∈R，x2＋x－1≥0.1. 四种命题及其关系(1) 四种命题①假如第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题；②假如一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，那个命题叫做原命题的否命题；③假如一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题互为逆否命题，那个命题叫做原命题的逆否命题．命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2)(3) 四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2. 充分条件与必要条件(1) 假如p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2) 假如p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充要条件，记作p⇔q.(3) 假如p⇒q，q⇒/__p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 假如q⇒p，p⇒/__q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 假如p⇒/ q，且q⇒/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．3. 简单的逻辑联结词(1) “或”“且”“非”叫做逻辑联结词．①或：两个简单命题至少一个成立.②且：两个简单命题都成立.③非：对一个命题的否定．(2) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(3) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(4) 一个命题p的否定记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．(5) 命题p∧q，p∨q，綈p的真假判定p∧q中p，q有一假为假，p∨q中p，q有一真为真，p与非p必定是一真一假．4. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“∀x”表示“对任意x”．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“∃x”表示“存在x”．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“M中存在一个x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．5. 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x)∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x)[备课札记], 1 四种命题及其相互关系), 1) (1) 命题“若a ＞b ，则2a ＞2b－1”的否命题为______________；(2) (2020·溧阳中学摸底)命题“∃x<0，有x 2>0”的否定是________________．(3) 命题“若x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0”是________命题．(选填“真”或“假”)答案：(1) 若a≤b，则2a ≤2b －1 (2) ∀x<0，有x 2≤0 (3) 真解析：(3) 专门可能许多同学会认为它是假命题(缘故m ＝0时明显方程有根)，事实上不然，由x 2＋x －m ＝0没有实根可推得m<－14，而⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|m<－14是{m|m≤0}的真子集，由m<－14可推得m≤0，故原命题为真．事实上，用逆否命题专门容易判定它是真命题．【精要点评】 本题考查了命题间的关系，由原命题写出其否命题、逆否命题．原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．变式训练下列命题中不是真命题的是__________．(填序号) ① “若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆命题；② “若x 2＋y 2≠0，则x, y 不全为零”的否命题；③ “∃x ∈R ，使x 2＋1>3x”的否定；④ “若m>0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题． 答案：③解析：①中命题的逆命题为若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题，故①正确；②中命题的否命题为若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零，为真命题，故②正确；③中命题的否定为∀x∈R ，使x 2－3x ＋1≤0 ，因为Δ＝(－3)2－4＝5>0，故③错误；④中命题x 2＋x －m ＝0有实根⇔Δ＝1＋4m≥0⇒m ≥－14⇒若m>0，则x 2＋x －m ＝0有实根为真命题⇒其逆否命题也为真命题，故④正确．故填③.备选变式（教师专享）命题“若x ，y 差不多上偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是____________________________________．答案：若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不差不多上偶数解析：由于“x，y 差不多上偶数”的否定表达是“x，y 不差不多上偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不差不多上偶数”., 2 充分条件和必要条件)●典型示例, 2) 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x|x ＋m 2≥1}．p ：x∈A，q ：x∈B，同时p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范畴．【思维导图】 对集合进行化简→将条件间的关系转化为集合间的包含关系→利用集合间的关系列出关于m 的不等式→求出实数m 的范畴【规范解答】 解： 化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1配方得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716.∵ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴ y min ＝716，y max ＝2.∴ y∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2.∴ A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|716≤y≤2.化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x≥1－m 2，B ＝{x|x≥1－m 2}．∵ 命题p 是命题q 的充分条件，∴ A ⊆B.∴ 1－m 2≤716，解得m≥34或m≤－34.∴ 实数m 的取值范畴是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 【精要点评】 本例涉及参数问题，直截了当解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一样地，在涉及字母参数的取值范畴的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．●总结归纳充要关系的几种判定方法(1) 定义法：直截了当判定若p 则q 、若q 则p 的真假．(2) 等价法：即利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ；B ⇒A 与綈A ⇒綈B ；A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，关于条件或结论是否定形式的命题，一样运用等价法．(3) 利用集合间的包含关系判定：设A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)}，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．●题组练透1. “m<14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的______________(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤14.2. 已知p ：x≥k，q ：(x ＋1)(2－x)＜0，假如p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范畴是____________．答案：(2，＋∞)解析：由q ：(x ＋1)(2－x)＜0，得x ＜－1或x ＞2，又p 是q 的充分不必要条件，因此k ＞2，即实数k 的取值范畴是(2，＋∞)．3. 设n∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝__________． 答案：3或4解析：已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n∈N *，逐个分析，当n ＝1，2时，方程没有整数根；而当n ＝3时，方程有整数根1，3；当n ＝4时，方程有整数根2.4. 若命题p ：∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1＜0，则綈p ：__________________．答案：∀x ∈R ，使x 2＋ax ＋1≥0 解析：存在性命题的否定需要将存在量词∃改为全称量词∀，同时将命题的结论进行否定．因此命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，使x 2＋ax ＋1≥0”．, 3 逻辑联结词), 3) 已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m 的取值范畴是____________．答案：[2，＋∞)解析：依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m≥0，m ≤－2或m≥2，即m≥2. 变式训练已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a 的取值范畴是____________．答案：[e ，4]解析：若命题“p∧q”是真命题，那么命题p ，q 差不多上真命题．由∀x ∈[0，1]，a ≥e x ，得a≥e ；由∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a≥0，a ≤4，因此e ≤a ≤4.备选变式（教师专享）已知命题p ：|x 2－x|≥6，q ：x∈Z ，若“p∧q”与“綈q”差不多上假命题，求x 的值． 解：∵ 綈q 假，∴ q 真．又p∧q 假，∴ p 假．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－x|＜6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－6＜x 2－x ＜6，x ∈Z ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜3，x ∈Z ， ∴ x ＝－1，0，1，2., 4 全称命题与。
高考数学一轮复习第一章 集合与常用逻辑用语、不等式答案
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式第1讲 集合及其运算链教材·夯基固本 激活思维 1. D 2. A 3.ABD【解析】 因为x 2－3x ＋2≤0，所以1≤x ≤2，所以A ＝{x |1≤x ≤2}．因为2<2x ≤8，所以1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}，所以A∪B ＝{x |1≤x ≤3}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．4.4【解析】因为集合A 必须含有元素5，元素1和3不确定，所以集合A 的本质是{1,3}的所有子集与元素5组成的集合，共4个．5.7【解析】A ＝{x∈Z |－1≤x ≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B ＝{x |1<x <e 2}，所以A ∩B ＝{2,3,4}，所以A ∩B 的真子集的个数为23－1＝7.知识聚焦1. (1) 确定性 互异性 无序性2. 2n 2n －1 4. U A 研题型·融会贯通 分类解析【答案】 (1) D (2) B (3) A 【题组·高频强化】 1. C 2. C3. C【解析】 由题意知A ∩B 中的元素满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *，所以满足条件的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，故A ∩B 中元素的个数为4.故选C.4.B【解析】由x 2－4≤0，得A ＝{x |－2≤x ≤2}．由2x ＋a ≤0，得B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≤－a 2.因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.5. B【解析】 由图可知，阴影区域为∁U (A∪B )．由题知A ∪B ＝{1,3,5}，U ＝{1,3,5,7}，则由补集的概念知，∁U (A ∪B )＝{7}．故选B.(1) 【答案】 {1，－1} 【解析】若集合{x |x 2＋2kx ＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x 2＋2kx ＋1＝0有且只有一个实数根，即Δ＝(2k )2－4＝0，解得k ＝±1，所以k 的取值集合是{1，－1}．(2) 【答案】 －1 【解析】因为A ∩B 中只有一个元素，又a ≠0且a ≠2.若a ＝1，则a 2－a ＝0，不满足题意；若a ≠1，显然a 2－a ≠0，故a 2－a ＝2或a 2－a ＝a ，解得a ＝－1.综上，a ＝－1.(3) 【答案】 [0，＋∞) ∅ 【解析】由题知集合A 是函数y ＝x 2的定义域，即A ＝R ，集合B 是函数y ＝x 2的值域，即B ＝[0，＋∞)，所以A ∩B ＝[0，＋∞)，集合C 是函数y ＝x 2的图象上的点集，故A ∩C ＝∅.(1) 【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，14 【解析】 当k ＝0时，A ＝{－1}，符合题意；当k ≠0时，若集合A 只有一个元素，由一元二次方程判别式Δ＝1－4k ＝0，得k ＝14.综上，当k ＝0或k ＝14时，集合{x |kx 2＋x ＋1＝0}中有且只有一个元素．(2) 【答案】 －2或1 【解析】因为集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.(1) 【答案】 D【解析】 当B ＝∅时，a ＝0，此时B ⊆A .当B ≠∅时，则a ≠0，所以B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝－1a . 又B ⊆A ，所以－1a∈A ，所以a ＝±1.综上可知，实数a 的所有可能取值的集合为{－1,0,1}． (2) 【答案】 [2,3]【解析】 由A ∩B ＝B 知，B ⊆A .(例3(2))又B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3，则实数m 的取值范围为[2,3]．【答案】 B【解析】 由log 2(x －1)<1，得0<x －1<2，所以A ＝(1,3)． 由|x －a |<2得a －2<x <a ＋2，即B ＝(a －2，a ＋2)． 因为A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤1，a ＋2≥3，解得1≤a ≤3.所以实数a 的取值范围为[1,3]．【解答】 (1) 由题知⎩⎪⎨⎪⎧x<0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －3<1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x<1，解得－2<x <0或0≤x <1， 所以A ＝{x |－2<x <1}． (2) 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .(ⅰ) 当B ＝∅时，2a >a ＋1，所以a >1满足题意；(ⅱ) 当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋1，2a>－2，a ＋1<1，解得－1<a <0.综上，a ∈(－1,0)∪(1，＋∞)． 课堂评价1. BCD 【解析】 对于选项A ，因为xy >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y>0或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，y<0，所以集合{(x ，y )|xy >0}表示直角坐标平面内第一、三象限的点的集合，故A 正确；对于选项B ，方程|x －2|＋|y ＋2|＝0的解集为{(2，－2)}，故B 错误； 对于选项C ，集合{(x ，y )|y ＝1－x }表示直线y ＝1－x 上的点， 集合{x |y ＝1－x }表示函数y ＝1－x 中x 的取值范围，故集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }不相等，故C 错误；对于选项D ，A ＝{x ∈Z |－1≤x ≤1}＝{－1,0,1}，所以－1.1∉A ，故D 错误． 2. ABC3. B 【解析】 由x 2－3x －4>0得x <－1或x >4， 所以集合A ＝{x |x <－1或x >4}．由x 2－3mx ＋2m 2<0(m >0)得m <x <2m ， 所以集合B ＝{x |m ＜x ＜2m }． 又B ⊆A ，所以2m ≤－1(舍去)或m ≥4. 故实数m 的取值范围是[4，＋∞)． 4. [2 020，＋∞)【解析】 由x 2－2 021x ＋2 020<0，解得1<x <2020，故A ＝{x |1<x <2 020}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 020.(第4题)5.(－∞，2]【解析】当a >1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，当且仅当a －1≤1时，A ∪B ＝R ，故1<a ≤2；当a ＝1时，A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，A ∪B ＝R ，满足题意；当a <1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，又因为a －1<a ，所以A ∪B ＝R ，故a <1满足题意．综上可知a ∈(－∞，2]．第2讲 充分条件、必要条件、充要条件链教材·夯基固本 激活思维 1. A 2. B 3. BCD【解析】由x 2－x －2<0，解得－1<x <2，所以(－1，2)(－2，a )，所以a ≥2，所以实数a 的值可以是2,3,4.4. [－2,1] 【解析】 因为綈p ：x ≤－1或x ≥3，綈q ：x ≤m －2或x ≥m ＋5，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤－1，m ＋5≥3，且等号不能同时取到，解得－2≤m ≤1.5. 充要 必要 【解析】 因为q ⇒s ⇒r ⇒q ，所以r 是q 的充要条件．又q ⇒s ⇒r ⇒p ，所以p 是q 的必要条件．知识聚焦1. (1) 充分 必要 非充分 非必要 (2) ①充分不必要 ②必要不充分 ③充要 ④既不充分也不必要研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 A【解析】 因为1x >1，所以x ∈(0,1)．因为e x －1<1，所以x <1，所以“1x >1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．(2) 【答案】 A 【解析】当a >0，b >0时，得4≥a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5>4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．【题组·高频强化】 1. A 【解析】 由a 2>a 得a >1或a <0，据此可知“a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件．故选A.2.B【解析】由2－x ≥0，得x ≤2；由|x －1|≤1，得－1≤x －1≤1，即0≤x ≤2.所以“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要不充分条件．故选B.3.C【解析】当存在k∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β时，若k 为偶数，则sin α＝sin(k π＋β)＝sin β；若k 为奇数，则sin α＝sin(k π－β)＝sin[(k －1)π＋π－β]＝sin(π－β)＝sin β.当sin α＝sin β时，α＝β＋2m π或α＋β＝π＋2m π，m ∈Z ，即α＝k π＋(－1)k β(k ＝2m )或α＝k π＋(－1)k β(k ＝2m ＋1)，亦即存在k ∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β，所以“存在k∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的充要条件．故选C.4. B【解析】 依题意知m ，n ，l 是空间不过同一点的三条直线，当m ，n ，l 在同一平面内时，可能m ∥n∥l ，故不一定得出m ，n ，l 两两相交．当m ，n ，l 两两相交时，设m ∩n ＝A ，m ∩l ＝B ，n ∩l ＝C ，可知m ，n 确定一个平面α，而B ∈m ⊂α，C ∈n ⊂α，可知直线BC 即l ，l ⊂α，所以m ，n ，l 在同一平面内．综上所述，“m ，n ，l 在同一平面内”是“m ，n ，l 两两相交”的必要不充分条件．故选B.(1) 【答案】 (－∞，－2]∪[2，＋∞) 【解析】由y ＝x ＋1x在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1上单调递减，在(1,2)上单调递增，得2≤y <52，所以A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪2≤y<52. 由x ＋m 2≥6，得x ≥6－m 2，所以B ＝{x |x ≥6－m 2}． 因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件， 所以A B ，所以6－m 2≤2，解得m ≥2或m ≤－2， 故实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2) 【答案】 (2，＋∞)【解析】 A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R＝{x |－1<x <3}， 因为x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， 所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.(1) 【答案】 (0,2]【解析】 由|2x ＋1|<m (m >0)，得－m <2x ＋1<m ，所以－m ＋12<x <m －12，且－m ＋12<0.由x －12x －1>0，得x <12或x >1. 因为p 是q 的充分不必要条件， 所以m －12≤12，所以0<m ≤2.(2) 【答案】 (0,2]【解析】 由题可得p ：x >3或x <－1，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0，[x －(1－a )]·[x －(1＋a )]≥0， 因为a ＞0，所以1－a ＜1＋a ，解得x ≥1＋a 或x ≤1－a . 因为q 是p 的必要不充分条件， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≤3，1－a ≥－1，a>0，解得0＜a ≤2.【解答】 因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0. 又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都有实根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m∈Z ，4m ∈Z ，4m2－4m －5∈Z ，所以m 为4的约数．又因为m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－54，1，所以m ＝－1或1. 当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数；当m ＝1时，两方程的根均为整数．所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1. 课堂评价 1. A 2. A【解析】 “∀x ∈[－1,1]，|x |＜a 恒成立”等价于“∀x ∈[－1，1]，a ＞|x |max ”，所以a ＞1.故充要条件为a ＞1.3. A 【解析】 因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (|x |)． 又y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若a >|b |，则f (a )>f (|b |)＝f (b )，即充分性成立； 若f (a )>f (b )，则等价于f (|a |)>f (|b |)，即|a |>|b |， 即a >|b |或a <－|b |，故必要性不成立．则“a >|b |”是“f (a )>f (b )”的充分不必要条件． 4. ABC【解析】 对于选项A ，由 A ∩B ＝A ，可得A ⊆B . 由 A ⊆B可得A ∩B ＝A ，故A 满足条件．对于选项B ，由∁S A ⊇∁S B 可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得∁S A ⊇∁S B ，故∁S A ⊇∁S B 是A ⊆B 的充要条件，故B 满足条件．对于选项C ，由∁S B ∩A ＝∅，可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得∁S B ∩A ＝∅，故∁S B ∩A ＝∅是A ⊆B 的充要条件，故C 满足条件．对于选项D ，由∁S A ∩B ＝∅，可得B ⊆A ，不能推出A ⊆B ，故∁S A ∩B ＝∅不是A ⊆B 的充要条件，故D 不满足条件．故选ABC.5.(－∞，0]【解析】由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－x －6≤1，得x 2－x －6≥0，解得x ≤－2或x ≥3，则A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}．由log 3(x ＋a )≥1，得x ＋a ≥3，即x ≥3－a ，则B ＝{x |x ≥3－a }．由题意知B A ，所以3－a ≥3，解得a ≤0.第3讲 全称量词和存在量词链教材·夯基固本 激活思维 1. C 2. B 3.(－∞，2)【解析】设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x＋1，x ∈[0，＋∞)，若p 为真命题，则a ＜f (x )max ＝f (0)＝2.4. (－∞，2] 【解析】 若“∃x 0∈(0，＋∞)，λx ＞x 2＋1”是假命题，则“∀x ∈(0，＋∞)，λx ≤x 2＋1”是真命题，所以当x ∈(0，＋∞)时，λ≤x ＋1x恒成立．又x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”，所以实数λ的取值范围是(－∞，2]． 5.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤54，2【解析】当命题p 为真命题时，x 2＋x ＋a >1恒成立，即x 2＋x ＋a －1>0恒成立，所以Δ＝1－4(a －1)<0，解得a >54.当命题q 为真命题时，2a ≤(2x 0)max ，x 0∈[－2,2]，所以a ≤2.故54<a ≤2，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤54，2. 知识聚焦1. 全体 全称量词 ∀x ∈M ，p (x )2. 部分 ∃ 存在量词 ∃x 0∈M ，p (x 0)3. ∃x ∈M ，綈p (x )4. 不是 不一定是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 一个也没有 至多有n －1个 至少有两个 存在一个x 不成立研题型·融会贯通 分类解析【解答】 (1) 綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题．(2) 綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3) 綈r ：所有的实数都有平方根，假命题．(4) 綈s ：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．(1) 【答案】 C(2) 【答案】 ∀x ∈R ，x 2－x ＋1≠0 (1) 【答案】 (－∞，－2] 【解析】由命题p 为真，得a ≤0.由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a≤－2.(2) 【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪⎪a ≤52【解析】 若命题p ：∃x ∈[2,3]，x 2－ax ＋1<0为假命题，则“∀x ∈[2，3]，x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x ”为真命题．令g (x )＝x ＋1x ，易知g (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ∈[2,3]时，g (x )∈[g (2)，g (3)]．又∀x ∈[2,3]，a ≤x ＋1x恒成立等价于∀x ∈[2,3]，a ≤g (x )min ，而g (x )min ＝g (2)＝52，所以“∀x ∈[2,3]，x 2－ax ＋1≥0”为真命题时，a ≤52.(1) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫56，＋∞ 【解析】由“∀x∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方，故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫56，＋∞. (2) 【答案】 (－2，－1]【解析】 由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0为真命题，可得m ≤－1；由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立为真命题，得Δ＝m 2－4<0，可得－2<m <2.综上，m ∈(－2，－1]．【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫14，＋∞ ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】 ①当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，对任意x 1∈[0,3]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x 1)min ≥g (x 2)min ，即0≥14－m ，所以m ≥14.②当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，对任意x 1∈[0,3]，任意x 2∈[1,2]，有f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ，即0≥12－m ，所以m ≥12.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】 依题意知对x 1∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1，x 2∈[2,3]，f (x 1)max ≤g (x 2)max . 因为f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1上是减函数， 所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝172.又g (x )＝2x ＋a 在[2,3]上是增函数，所以g (x )max ＝8＋a ， 因此172≤8＋a ，则a ≥12.课堂评价 1. ABC 2. D3. A 【解析】 因为命题“∃x ∈[1,2]，x 2＋ln x －a ≤0”为假命题，所以当x ∈[1,2]时，x 2＋ln x ＞a 恒成立，只需a ＜(x 2＋ln x )min ，x ∈[1，2]．又函数y ＝x 2＋ln x 在[1,2]上单调递增，所以当x ＝1时，y min ＝1，所以a ＜1.故选A.4. B 【解析】 由题可知，命题“∀x ∈R ，(k 2－1)x 2＋4(1－k )x ＋3>0”是真命题． 当k 2－1＝0，得k ＝1或k ＝－1.若k ＝1，则原不等式为3>0，恒成立，符合题意；若k ＝－1，则原不等式为8x ＋3>0，不恒成立，不符合题意． 当k 2－1≠0时，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧k2－1>0，16(1－k )2－4(k 2－1)×3<0，即⎩⎨⎧(k ＋1)(k －1)>0，(k －1)(k －7)<0，解得1<k <7. 综上所述，实数k 的取值范围为{k |1≤k <7}． 5.(－3，＋∞) 【解析】 假设∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0.设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3.因为假设成立，所以a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．第4讲 不等式的性质、一元二次不等式链教材·夯基固本 激活思维 1. AC 2.ACD【解析】由1a<1b<0，得a <0，b <0且a >b ，所以a ＋b <0，ab >0，A 正确；|a |<|b |，B 错误；a 3>b 3，C 正确；因为函数y ＝2x 在R 上单调递增，故D 正确．故选ACD.3. ABD4. －112 7125.(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】由x 2－2x ＋k 2－2>0，得k 2>－x 2＋2x ＋2.设f (x )＝－x 2＋2x ＋2＝－(x －1)2＋3，当x ≥2时，f (x )max ＝2，则k 2>f (x )max ＝2，所以k >2或k <－2.知识聚焦2. {x |x <x 1或x >x 2} R {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅ 研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 AC【解析】 因为1a ＜1b ＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以B 错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以D 错误．因为1a <1b<0，所以a ＋b <0，但ab >0，所以1a ＋b <1ab ，A 正确；a －1a －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －1b ＝a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －1b ＝a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －a ab ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1ab ，因为1a<1b <0，所以0>a >b ，所以a －b >0,1＋1ab>0，所以a －1a－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －1b >0，所以a －1a >b －1b ，C 正确． (2) 【答案】 B 【解析】 p －q ＝b2a ＋a2b －a －b＝b2－a2a ＋a2－b2b ＝(b 2－a 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －1b ＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a )ab ， 因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ； 若a ≠b ，则p －q <0，故p <q . 综上，p ≤q .故选B. (3) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π，π8 【解析】 设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32，即2α－β＝12(α＋β)＋32(α－β)．因为π<α＋β<5π4，－π<α－β<－π3，所以π2<12(α＋β)<5π8，－3π2<32(α－β)<－π2，所以－π<12(α＋β)＋32(α－β)<π8，即－π<2α－β<π8，所以2α－β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π，π8. 【题组·高频强化】 1.A【解析】 若a >b ，则a ＋c >b ＋c ，故B 错；设a ＝3，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac <bd ，a c<bd，所以C ，D 错，故选A. 2.C【解析】因为a ＋b ＋c ＝0，且a ＜b ＜c ，所以a ＜0，c ＞0.因为b ＜c ，a ＜0，所以ab ＞ac ，所以B 不成立；因为a ＜b ，c ＞0，所以ac ＜bc ，所以C 成立；当b ＝0时，A ，D 都不成立．故选C.3. BD4. ABC 【解析】 取a ＝13，b ＝12，可知A ，B ，C 错误．因为0<a <b <1，所以b －a∈(0,1)，所以lg(b －a )<0，故D 正确．故选ABC.5.(－4,2) (1,18)【解析】因为－1<x <4,2<y <3，所以－3<－y <－2，所以－4<x －y <2.因为－3<3x <12,4<2y <6，所以1<3x ＋2y <18.【解答】(1)原不等式转化为6x 2＋5x －1>0，因为方程6x 2＋5x －1＝0的解为x 1＝16，x 2＝－1，所以根据二次函数y ＝6x 2＋5x －1的图象可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<－1或x>16.(2) 若a ＝0，原不等式转化为－x ＋1<0，即x >1. 若a <0，原不等式转化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)>0， 此时对应方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)＝0的两个根为x 1＝1a ，x 2＝1， 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<1a 或x>1.若a >0，原不等式转化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)<0， 此时对应方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)＝0的两个根为x 1＝1a ，x 2＝1. 当1a＝1，即a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当1a >1，即0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1<x<1a ；当1a <1，即a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1a <x<1. 综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}； 当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<1a 或x>1；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1<x<1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1a <x<1.【解答】 (1) 由不等式x －3x >－2，可得x >2或x <1.由x>2，得x >4；由x<1，得x <1且x ≥0，即0≤x <1.所以不等式的解集为{x |x >4或0≤x <1}．(2)原不等式转化为(x －a )(x －a 2)<0.当a 2>a ，即a >1时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}；当a 2<a ，即0<a <1时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }；当a 2＝a ，即a ＝1时，不等式的解集为∅.(1) 【答案】 [0,4] 【解析】当a ＝0时，原不等式变为1≥0，恒成立，符合题意；当a ≠0时，由ax 2－ax ＋1≥0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，实数a 的取值范围为[0,4]．(2) 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】 方法一：当a ＝0时，原不等式可化为x <0，易知不合题意；当a ≠0时，令f (x )＝ax 2－x ＋a ，要满足题意，需⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a ≤1，f (1)≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a>1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a >0，解得a ≥12，所以a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞. 方法二：ax 2－x ＋a >0⇔ax 2＋a >x ⇔a >x x2＋1，因为x ∈(1，＋∞)时，x x2＋1＝1x ＋1x<12，所以a ≥12. (3) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋72，1＋32 【解析】已知不等式可化为(x 2－1)m ＋(1－2x )<0.设f (m )＝(x 2－1)m ＋(1－2x )，这是一个关于m 的一次函数(或常数函数)，从图象上看，要使f (m )<0在－2≤m ≤2时恒成立，其等价条件是⎩⎨⎧f (2)＝2(x 2－1)＋(1－2x )<0，f (－2)＝－2(x 2－1)＋(1－2x )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x2－2x －1<0，2x2＋2x －3>0，解得－1＋72<x <1＋32，所以实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋72，1＋32. 【解答】 (1) 因为当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 所以Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， 解得－6≤a ≤2，所以实数a 的取值范围是[－6,2]．(2) 由题意，可转化为x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2,2]上恒成立， 则(x 2＋ax ＋3－a )min ≥0(x ∈[－2,2])． 令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，x ∈[－2,2]， 函数图象的对称轴方程为x ＝－a2.当－a 2<－2，即a >4时，g (x )min ＝g (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，舍去；当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，g (x )min ＝g⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2＝－a24－a ＋3≥0，解得－6≤a ≤2，所以－4≤a ≤2；当－a2>2，即a <－4时，g (x )min ＝g (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，所以－7≤a <－4.综上，满足条件的实数a 的取值范围是[－7,2]． (3) 令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立， 只需⎩⎪⎨⎪⎧h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4x ＋3≥0，x2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋6， 所以实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．课堂评价 1.C【解析】 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，n ＝0，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b||a|<|b|＋1|a|＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，因为a <b <0，所以|b |<|a |成立，故选C. 2. C3. ABCD 【解析】 关于实数x 的一元二次不等式a (x －a )(x ＋1)>0，则a ≠0. 当a ＝－1时，原不等式的解集为∅，故A 正确；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1)∪(a ，＋∞)，故D 正确； 当－1＜a ＜0时，原不等式的解集为(－1，a )，故B 正确； 当a ＜－1时，原不等式的解集为(a ，－1)，故C 正确． 4.BCD【解析】对于A ，因为2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，所以由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x>1或x <－12，所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x>1或x<－12，故A 错误；对于B ，因为－6x 2－x ＋2≤0，所以6x 2＋x －2≥0， 所以(2x －1)(3x ＋2)≥0，所以x ≥12或x ≤－23，故B 正确；对于C ，由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，所以－7×(－1)＝21a，所以a ＝3，经检验符合题意，故C 正确； 对于D ，依题意知q,1是方程x 2＋px －2＝0的两个根，则q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故D 正确．故选BCD.5.－3【解析】因为函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b∈R )的值域为(－∞，0]，所以Δ＝0，即a 2＋4b ＝0，所以b ＝－14a 2.又关于x 的不等式f (x )＞c －1的解集为(m －4，m )，所以方程f (x )＝c －1的两根分别为m －4，m ，即方程－x 2＋ax －14a 2＝c －1的两根分别为m －4，m .又方程－x 2＋ax －14a 2＝c －1的根为x ＝a2±1－c ，所以两根之差为21－c ＝m －(m －4)＝4，解得c ＝－3.第5讲 基本不等式链教材·夯基固本 激活思维1. C 【解析】 因为x >0，y >0，所以x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时取等号，故(xy )max ＝81. 2. D【解析】 因为1x ＋3y ＝1，所以x ＋3y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋3y ＝10＋3y x ＋3x y ≥10＋23y x ·3x y ＝16，当且仅当3y x ＝3x y 且1x ＋3y＝1，即x ＝y ＝4时取等号，故选D. 3.BD【解析】A 不正确，因为a ，b 不满足同号，故不能用基本不等式；B 正确，因为lg x 和lg y 一定是正实数，故可用基本不等式；C 不正确，因为x 和4x 不是正实数，故不能直接利用基本不等式；D 正确，因为 2x 和2－x 都是正实数，且2x ≠1,2－x ≠1，故2x ＋2－x >22x ·2－x ＝2成立，故D 正确．故选BD.4. 5 【解析】 令t ＝sin x ∈(0,1]，由y ＝t ＋4t 在(0,1]上单调递减，得y min ＝1＋41＝5.5. 1【解析】 因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时取等号，故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.知识聚焦1. (1) a ＞0，b ＞02. (1) x ＝y 2p (2) x ＝yp24研题型·融会贯通 分类解析【解答】 (1) 当a ＝0时，xy ＝x ＋4y ，两边同除以xy 得1y＋4x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1y ＋4x ＝x y ＋4y x ＋1＋4≥2x y ·4y x ＋5＝9，当且仅当xy＝4y x，即x ＝6，y ＝3时取“＝”，即当a ＝0时，x ＋y 的最小值为9.(2) 当a ＝5时，xy ＝x ＋4y ＋5≥24xy ＋5＝4xy ＋5，即有(xy )2－4xy －5＝(xy －5)(xy ＋1)≥0， 所以xy ≥5，即xy ≥25，当且仅当x ＝4y ，即x ＝10，y ＝52时取“＝”，即当a ＝5时，xy 的最小值为25. 【题组·高频强化】 1.20【解析】 因为log 5x ＋log 5y ＝2，所以x 和y 均为正数，由指数和对数的关系可得xy ＝52＝25，所以x ＋4y ≥2x ·4y＝20，当且仅当x ＝4y ，即x ＝10且y ＝52时等号成立，所以x ＋4y 的最小值是20.2. 45 【解析】 因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以y ≠0且x 2＝1－y45y2，所以x 2＋y 2＝1－y45y2＋y 2＝15y2＋4y25≥215y2·4y25＝45，当且仅当15y2＝4y25，即x 2＝310，y 2＝12时取等号，所以x 2＋y 2的最小值为45.3. 5＋26 【解析】 因为x ＋y ＝1，所以x ＋2xy ＝x ＋2(x ＋y )xy ＝3x ＋2y xy ＝2x ＋3y＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋3y (x ＋y )＝2y x ＋3x y ＋5≥5＋26，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝3x y ，x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2，y ＝3－6时取等号．4. 6 【解析】 方法一(换元消元法)： 由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号， 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0， 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 方法二(代入消元法)：由x ＋3y ＋xy ＝9，x ＞0，y ＞0，得x ＝9－3y1＋y ，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y (1＋y )1＋y ＝9＋3y21＋y ＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23(1＋y )·121＋y －6＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y )＝121＋y，即y ＝1，x ＝3时取等号，所以x ＋3y 的最小值为6.5. 94 【解析】 1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·(a ＋1)＋(b ＋1)4 ＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4(a ＋1)b ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2b ＋1a ＋1·4(a ＋1)b ＋1＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4(a ＋1)b ＋1，即a ＝13，b ＝53时取等号，所以1a ＋1＋4b ＋1的最小值为94.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，174 【解析】 对于正实数x ，y ，由x ＋y ＋4＝2xy ， 得x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22，解得x ＋y ≥4.不等式x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0可化为(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令t ＝x ＋y (t ≥4)，则该不等式可化为t 2－at ＋1≥0，即a ≤t ＋1t 对于任意的t ≥4恒成立．令u (t )＝t ＋1t(t ≥4)，则u ′(t )＝1－1t2＝t2－1t2>0对于任意的t ≥4恒成立，从而函数u (t )＝t ＋1t(t ≥4)为单调增函数，所以u (t )min ＝u (4)＝4＋14＝174，所以a ≤174.(1) 【答案】 4【解析】 原不等式变形为k (x －1)＋4x －1＋k ≥12， 则原问题转化成不等式k (x －1)＋4x －1≥12－k 在(1，＋∞)上恒成立，所以只需12－k ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤k (x －1)＋4x －1min 即可．根据均值定理可知，k (x －1)＋4x －1≥2k (x －1)·4x －1＝4k ，当且仅当k (x －1)＝4x －1时等号成立，所以只需12－k ≤4k 成立，即(k＋6)(k －2)≥0，所以k ≥4，即k min ＝4.(2) 【答案】 (－∞，22]【解析】 因为x >y >0，且xy ＝1，所以由x 2＋y 2≥a (x －y )， 得a ≤x2＋y2x －y.又x2＋y2x －y＝(x －y )2＋2xyx －y ＝x －y ＋2x －y≥2(x －y )·2x －y＝22，所以a ≤22.【解答】 (1) 设休闲区的宽为a m ，则长为ax m ， 由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20) ＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x ＞1)． (2) 由(1)知， S (x )＝8010⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋5x ＋4 160 ≥8010×22x ×5x ＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760， 当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100 m ，宽40 m.【解答】 (1) 设污水处理池的宽为x m ，则长为162x m ，总造价y ＝400×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋2×162x ＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋100x ＋12 960 ≥1 296×2x ×100x＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号，所以当污水处理池的长为16.2 m ，宽为10 m 时总造价最低，最低为38 880元． (2) 由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x ≤16，所以818≤x ≤16.设g (x )＝x ＋100x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫818≤x ≤16，则g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤818，16上是增函数， 所以当x ＝818时，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即y min ＝1 296×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫818＋80081＋12 960＝38 882(元)． 所以当污水处理池的长为16 m ，宽为818 m 时总造价最低，最低为38 882元．课堂评价 1.BCD【解析】不等式a ＋b ≥2ab 恒成立的条件是a ≥0，b ≥0，故A 不正确；当a 为负数时，不等式a ＋1a≤2成立，故B 正确；由基本不等式可知C 正确；2x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋1y (x ＋2y )＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝12，y ＝14时取等号，故D 正确． 2. ABD 【解析】 若m ，n ＞0，m ＋n ＝2，则1m ＋2n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m ＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋n m ＋2m n ≥3＋222，当且仅当n ＝2m ＝4－22时等号成立，A 正确．m ＋n ＝2≥2mn ，解得mn ≤1，所以mn 2≤12，(m＋n )2＝m ＋n ＋2mn ≤4，即m ＋n ≤2，B 正确，C 错误．m 2＋n 2≥(m ＋n )22＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，D 正确．故选ABD.3. (－1,4) 【解析】 由正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，则x ＋y4＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋4y ＝2＋4x y ＋y 4x≥2＋24x y ·y4x＝4，当且仅当y ＝4x ＝8时取等号，所以x ＋y 4的最小值为4.由x＋y4>m2－3m恒成立，可得m2－3m<4，解得m∈(－1,4)．4. 4 【解析】因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab＝1，所以12a＋12b＋8a＋b＝b2ab＋a2ab＋8a＋b＝a＋b2＋8a＋b≥2a＋b2·8a＋b＝4，当且仅当a＋b＝4时取等号，结合ab＝1，解得a＝2－3，b＝2＋3或a＝2＋3，b＝2－3时等号成立．5. 2105【解析】因为4x2＋y2＋xy＝1，所以(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－32·2xy＝1，所以(2x＋y)2－32·⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x＋y22≤1，解得(2x＋y)2≤85，即2x＋y≤2105。
2021高考理科数学一轮总复习课标通用版课件：第1章 集合与常用逻辑用语 1-1
命题规律分析
高频考点 考查 年份
高考试题 题
试卷 号
分值
考查方式、角 度、方法
难度
核心素养
集合运算 2018 全国Ⅰ卷 2 5
补集
易 数学运算
集合的描述、
集合运算 2018 全国Ⅱ卷 2 5
易 数学运算
元素个数
集合运算 2018 全国Ⅲ卷 1 5
交集
易 数学运算
集合运算 2018 浙江卷 1 5
x∈B}
全集 U 中________属于集合 {x|x∈U，
A 的元素组成的集合
x________A}
_____ ___
_____ ___
4.集合问题中的几个基本结论： (1)集合 A 是其本身的子集，即________； (2)子集关系的传递性，即 A⊆B，B⊆C⇒________； (3)A∪A＝A∩A＝________，A∪∅＝________， A∩∅＝__________，∁UU＝__________，∁U∅＝________．
则集合 C＝{a＋b|a∈A，b∈B}中元素的个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】 (1)由题意列表计算所有可能的值，然后结合集合元素的互异性确定集合
M，最后确定其元素的个数即可．结合题意列表计算 M 中所有可能的值如下：
2
3
4
1
2
3
4
2
4
6
8
3
6
9
12
观察可得：M＝{2，3，4，6，8，9，12}，
补集
易 数学运算
集合运算 2018 北京卷 1 5
交集
易 数学运算
集合运算 2018 天津卷 1 5 交集、补集 易 数学运算
2021届高中数学一轮复习基础知识手册第一编 集合与常用逻辑用语
第一编 集合与常用规律用语 集合1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义，体会元素与集合的从属关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简洁集合的并集与交集． (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算． 常用规律用语(1)理解命题的概念．(2)了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． (3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． (4)了解规律联结词“或”“且”“非”的含义． (5)理解全称量词与存在量词的意义．(6)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．第一讲 集合 学问力量解读知能解读 (一)集合的基本概念及表示方法 1．集合的概念一般地，我们把争辩对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集．通常用大写字母A ，B ，C ，…表示．集合中的每个对象叫做这个集合的元素．通常用小写字母a ，b ，c ，…表示． 2．集合中元素的三个特征(1)确定性设A 是一个给定的集合，a 是某一具体的对象，则a 是A 的元素，或者不是A 的元素，两种状况必有一种且只有一种成立．这个特性常用来推断涉及的总体能否构成集合．(2)互异性集合中的元素必需是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．即集合中的元素不重复，两个或两个以上的相同元素都认为是一个元素，在用列举法表示时也只能写一个．例如方程2210x x ++=的解组成的集合A ，必需写成{}1A =-．这个特性常被用来推断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．(3)无序性集合中的元素不考虑挨次，对于元素相同而排列次序不同的集合认为是相同的集合．例如集合{}1,2,3,4与集合{}4,3,2,1是相同的集合．这个特性常用来推断两个集合的关系．3．集合的分类(1)集合可以依据它含有的元素的个数分为两类：含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．留意：①空集中没有任何元素．要区分∅和{}0，集合{}0中有1个元素0，而∅中没有任何元素，两者有着本质的不同．②空集在实际问题中是实实在在存在的，如在实数范围内方程110x +=的解集和不等式210x +<的解集都是空集．4．集合的表示方法(1)列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法． 使用列举法时，需留意以下几点： ①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无挨次；④对于含较多元素的集合，假如构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必需把元素间的规律显示清楚后才能用省略号．如：从1到100的全部整数组成的集合可以表示为{}1,2,3,,100⋅⋅⋅． (2)描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，即(){}x A p x ∈．其中竖线“｜”左边表示集合中的代表元素，右边表示集合中元素满足的条件．如：全部的直角三角形的集合可以表示为{x x 是直角三角形}．(3)图示法为了形象地表示集合，我们经常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合．如图所示，表示集合{}1,3,5,8．1,3,5,85．常用数集的符号知能解读 B 或B AA ⊆，(B B ∅≠∅提示：①“”是表示集合中的元素与集合关系的符号，而“”与“”是表示两个集合间包含和真包含关系的符号，在书写时应留意区分．②A B ⊆有两种状况：A B =和A B ．若AB ，则B 中至少存在一个元素不属于A ．Venn 图表示的元素组成的集合，称为集合B ，读作B ={x x x B ∈}的全部元素组成的集合，称为B ，读作“B ={x x x B ∈} 假如一个集合含有我们所争辩问题中涉及的全部元素，称这个集合为全集，通常记作对于一个集合A ，由全集的全部元素组成的集合称为UA ．UA ={x x ∈x A ∉}U A(1)若A B ⊆，B A ⊆，则A B =；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆． (2)A ∅⊆；若A ≠∅，则A ∅．(3)A A A =，A B B A =，A ∅=∅． (4)A A A =，A B B A =，A A ∅=．(5)()UA A =∅，()UA A U =． (6)()()AB A A B ⊆⊆．(7)()()()UUUAB A B =，()()()UUUAB A B =．(8)若A B ⊆，则A B A =，A B B =，反之变成立． 知能解读 (四)有限集的子集个数公式设有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，其中真子集的个数为21n-，非空子集的个数为21n-，非空真子集的个数为22n-． 解题方法荟萃Ⅰ．数学思想方法思想方法 (一)分类争辩思想它是依据数学对象本质属性的相同点和不同点确定划分标准，进行分类，然后对每一类分别求解，并综合得出答案的一种数学思想．在划分中要求始终使用同一标准，这个标准应当是科学的、合理的，要满足无重复、无遗漏、最简的原则． (二)数形结合思想数形结合的解题方法，就是把数学问题中的数量关系和几何图形结合起来进行探究分析的思维方法．其实质就是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，抽象思维和形象思维结合起来，使抽象问题具体化，简单问题简洁化，通过“数”和“形”的联系与转化，化难为易，增加直观性，从而使问题得到解决．数形结合包含两重意义：(1)以形助数；(2)以数解形．所谓“以形助数”就是将待争辩的代数问题转化为争辩其对应的几何图形，通过几何图形的直观性查找原问题的解题思路，从而获解；所谓“以数解形”就是借助代数计算等确定几何图形的某些属性． (三)补集思想 (四)分析法 (五)列举法 (六)Venn 图法 Ⅱ．解题规律技巧(一)集合语言与集合思想在解题中的应用 (二)利用数轴解决集合间的关系问题 (三)集合中元素的“三性”及应用 (四)点集运算转化处理Ⅲ．易混易错辨析(一)因没有弄清集合的代表元素而导致错误 (二)勿忘空集防“陷阱” 高考命题争辩纵观近几年高考试题，集合部分以考查基础学问为主，涉及集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算等．核心考点是集合的交集、并集和补集运算，既有列举法表示的集合，又有描述法表示的集合，有时还会与不等式、函数、方程等学问结合，题型为选择题或填空题，难度不大． 高考热点 (一)集合的基本概念 (二)集合间的基本关系的判定与应用 (三)集合的基本运算 (四)集合中的新定义题 附录 常用公式定理1．常用符号 ∈——属于 ∉——不属于⊆——包含于——真包含于 ⊇——包含——真包含 ——不包含于——不包含 ∅——空集符号＝——集合相等符号 ——交集符号——并集符号 U ——全集符号 ——补集符号 N ——自然数集Z ——整数集()*+N N ——正整数集Q ——有理数集R ——实数集 RQ ——无理数集C ——复数集{}21,x x n n =-∈Z ——奇数集{}2,x x n n =∈Z ——偶数集2．常用公式 A A A = A ∅=∅ A U A = A A A =A A ∅=A U U =()UAA =∅()UAA U =()UUA A =()()()UUUAB A B =()()()UUUAB A B =3．常用定理传递性：若集合A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若集合AB ，BC ，则AC ．其次讲 常用规律用语 学问力量解读知能解读 (一)四种命题及其关系1．命题的定义用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句称为命题．其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．例如：“3是12的约数”“0.5是整数”都是命题．说明：(1)并不是任何语句都是命题．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命一题．(2)一个命题，一般可以用小写英文子母表示，如p ，q ，r ，…．2．四种命题对于两个命题，假如一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．把其中一个命题叫做原命题，另一个命题就叫做原命题的否命题．一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做原命题的逆否命题．3．表示形式一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用p ⌝和q ⌝分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p ，则q ；逆命题：若q ，则p ；否命题：若p ⌝，则q ⌝；逆否命题：若q ⌝，则p ⌝． 4．四种命题的关系四种命题的关系如图所示：点拨：互为逆否的两个命题的真假性相同，互逆或互否的两个命题的真假性没有关系． Q ，则P Q ，则P Q =，则P Q 且Q P ，则P 分也不必要条件 说明：由上表可知，推断充分条件、必要条件、充要条件时应接受以下方法：p 是什么，结论q 是什么；(2)尝试从条件推结论，假如p q ⇒，则充分性成立，p 是q 的充分条件；(3)再考虑从结论推条件，假如q p ⇒，则p 是q 的必要条件，必要性成立；(4)证明命题的条件是充要的，则既要证明充分性又要证明必要性． (三)规律联结词：“或”“且”“非”(1)或：联结两个命题p ，q ，得到新命题p 或q ．记作p q ∨． (2)且：联结两个命题p ，q ，得到新命题p 且q ．记作p q ∧． (3)非：对一个命题p 全盘否定，得到新命题非p ．记作p ⌝． (四)真值表提示：“p q ∧”与“p ”真假相反． (五)命题的否定与否命题(1)命题的否定只否定命题的结论，它和原命题真假相反；而否命题是既否定条件，又否定结论，它和原命题的真假性无关．(2)写“非p ”或否命题时，必需使用否定词语对正面叙述的词语进行否定．因此把握常见的正面叙述词(3)①()()()p q p q ⌝∧=⌝∨⌝；②()()()p q p q ⌝∨=⌝∧⌝．(六)量词与命题1．全称量词短语“全部”在陈述中表示所述事物的全体，规律中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． 2．全称命题含有全称量同的命题，叫做全称命题．全称命题就是形如“对M 中的全部x ，有()p x 成立”的命题，用符号简记为(),x M p x ∀∈．3．存在量词短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，规律中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．4．特称命题(存在性命题)含有存在量词的命题，叫做特称命题(存在性命题)，用符号简记为()00,x M p x ∃∈． 5解题方法荟萃 Ⅰ．数学思想方法思想方法 (一)转化与化归思想在处理问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题，最终解决问题，这就是转化与化归思想．转化后的新问题与原问题实质一样时，这样的转化我们叫它等价转化．(二)数形结合思想 (三)分类争辩思想 (四)反证法(1)反证法是常用的间接证法之一．它的实质是当证明“若p ，则q ”感到困难时，改证命题“若p ，则q ⌝”不成立．(2)反证法证题的步骤：第一步，假设结论的反面成立；其次步，从这个假设动身，推理论证，得出冲突；第三步，由冲突判定假设不成立，从而确定结论正确．由于反证法是很有用的方法，所以应当学会使用反证法来证明用直接法证明感到困难的问题，在立体儿何中经常使用这种方法．证明否定形式的命题也经常用反证法．Ⅱ．解题规律技巧规律技巧 (一)应用互为逆否命题的等价性解题由于原命题与它的逆否命题等价，即具有相同的真假性，在直接证明原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题，这种方法是间接证明命题的方法． (二)利用集合关系推断充要条件设与p 相应的集合为(){}A x p x =，与q 相应的集合为(){}B x q x =，则有如下结论：(1)若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； (2)若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，若B A ，则p 是q 的必要不充分条件；(3)若A B =，则p 与q 互为充要条件(也称等价条件)；(4)若AB 且B A ，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(三)全称命题与特称命题的真假判定方法要判定全称命题“(),x M p x ∀∈”是真命题，必需对限定集合M 中的每一个元素x 验证()p x 成立；若要判定全称命题“(),x M p x ∀∈是假命题，只要能找出某一个0x x M =∈，使得()0p x 不成马上可(举反例法)．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，能找到一个0x x =，使得()0p x 成马上可；假如在集合M 中，使()p x 成立的元素不存在，那么这个特称命题是假命题．Ⅱ．易混易错辨析易混易错 (一)分不清条件的充分性与必要性而致误在利用充分条件、必要条件解题时，常因弄反条件的充分性与必要性致错． (二)对命题的否定与否命题区分不清而致误命题的否定只否定命题的结论，不否定命题的条件，而否命题既要否定命题的结论，又要否定命题的条件．高考命题争辩命题、规律联结词与充要条件在高考中的考查，以命题的基本概念及充要条件为主，重点考查命题真假的判定、充要条件的判定，考题多为选择题．另外，高考中这部分学问也可以和其他学问如函数、方程、不等式、数列、解析几何等相结合在学问交汇点处命制综合性大题，以考查同学分析问题和解决问题的力量．全称命题、特称命题的否定及其真假推断也是高考的热点． 高考热点 (一)命题的四种形式与关系及其真假推断结合其他章节内容来考查命题的概念及其真假推断是常考题，应加以重视． (二)充要条件的判定充要条件的判定，重在“从定义动身”，利用命题“若p ，则q ”的真假进行区分，具体解题时，要留意分清“谁是条件”“谁是结论”，防止南辕北辙． (三)含有规律联结词的命题的真假推断推断含有规律联结词的命题的真假关键是理解规律联结词“或”“且”“非”的含义，利用真值表推断命题的真假．(四)全称命题与特称命题(存在性命题)的真假推断要推断全称命题“(),x M p x ∀∈”是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明()p x 成立；假如在集合M 中找到一个元素0x ，使得()0p x 不成立，那么这个命题就是假命题．要推断特称命题“()00,x M q x ∃∈”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x ，使()q x 成马上可；假如在集合M 中，使()q x 成立的元素x 不存在，那么这个特称命题就是假命题． (五)全称命题与特称命题(存在性命题)的否定 附录 常用公式定理1．常用符号p q ∨——p 或q p q ∧——p 且qp ⌝——非p ∀——任意∃——存在A B ⇒——A 是B 成立的充分条件 B A ⇒——A 是B 成立的必要条件 A B ⇔——A 是B 成立的充要条件A B ⇒，B ⇒A ——A 是B 成立的充分不必要条件A ⇒B ，B A ⇒——A 是B 成立的必要不充分条件A B ⇒，B A ⇒——A 是B 成立的充要条件2．常用结论(1)原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题先进价． (2)原命题与逆命题互逆，否命题与逆否命题互逆． (3)原命题与否命题互否，逆命题与逆否命题互否． (4)在p 或q 命题中，一真为真． (5)在p 且q 命题中，一假为假．(6)非p 命题，与命题p 的真假相反．(7)全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．。
2021版高考数学一轮讲义：第1章 集合与常用逻辑用语+1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．2 命题及其关系、充分条件与必要条件
[知识梳理]
1．命题
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题，在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.
(3)写一个命题的其他三种命题时，需注意：
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
②当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提；
③对于有多个并列条件的命题，应把其中一个作为大前提．
3．充要条件
(1)集合与充要条件
(2)充分条件与必要条件的两个特征
①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p ⇒q”⇔“q⇐p”．
②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()
(2)命题“若p，则q”的否定是“若綈p，则綈q”．()
(3)若命题“若p，则q”为真命题，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真. ()
(4)“x>－1”是“x>0”的充分不必要条件. ()。
2023年高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑用语不等式5一元二次方程不等式练习含解析
一元二次方程、不等式考试要求 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．知识梳理1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1，或x >x 2}错误!Rax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅ ∅2.分式不等式与整式不等式 (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；(2)f xg x≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.3．简单的绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)，|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a )． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(x 1，x 2)，则a <0.( √ ) (3)若ax 2＋bx ＋c >0恒成立，则a >0且Δ<0.( × )(4)不等式x －ax －b≥0等价于(x －a )(x －b )≥0.( × ) 教材改编题1．若集合A ＝{x |x 2－9x >0}，B ＝{x |x 2－2x －3<0}，则A ∪B 等于( ) A ．R B ．{x |x >－1} C ．{x |x <3或x >9} D ．{x |x <－1或x >3} 答案 C解析 A ＝{x |x >9或x <0}，B ＝{x |－1<x <3}， ∴A ∪B ＝{x |x <3或x >9}．2．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a ＋b ＝________. 答案 －14解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.3．一元二次不等式ax 2＋ax －1<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－4,0)解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2＋4a <0，∴－4<a <0.题型一 一元二次不等式的解法 命题点1 不含参的不等式例1 (1)不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <32 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－1或x >32 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－32或x >1答案 C解析 －2x 2＋x ＋3<0可化为2x 2－x －3>0， 即(x ＋1)(2x －3)>0， ∴x <－1或x >32.(2)(多选)已知集合M ＝{}x ||x －1|≤2，x ∈R ，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5x ＋1≥1，x ∈R ，则( ) A ．M ＝{}x |－1≤x ≤3 B ．N ＝{}x |－1≤x ≤4 C ．M ∪N ＝{}x |－1≤x ≤4 D ．M ∩N ＝{}x |－1<x ≤3 答案 ACD解析 由题设可得M ＝[－1,3]，N ＝(－1,4]， 故A 正确，B 错误；M ∪N ＝{x |－1≤x ≤4}，故C 正确；而M ∩N ＝{x |－1<x ≤3}，故D 正确． 命题点2 含参的不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.所以当a >1时，解得1a<x <1； 当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解得1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1.延伸探究 在本例中，把a >0改成a ∈R ，解不等式． 解 当a >0时，同例2，当a ＝0时， 原不等式等价于－x ＋1<0，即x >1， 当a <0时，1a<1，原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x >1或x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1， 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}，当a <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a或x >1. 教师备选解关于x 的不等式x 2－ax ＋1≤0. 解 由题意知，Δ＝a 2－4，①当a 2－4>0，即a >2或a <－2时，方程x 2－ax ＋1＝0的两根为x ＝a ±a 2－42，∴原不等式的解为a －a 2－42≤x ≤a ＋a 2－42.②若Δ＝a 2－4＝0，则a ＝±2.当a ＝2时，原不等式可化为x 2－2x ＋1≤0， 即(x －1)2≤0，∴x ＝1；当a ＝－2时，原不等式可化为x 2＋2x ＋1≤0， 即(x ＋1)2≤0，∴x ＝－1. ③当Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2时， 原不等式的解集为∅.综上，当a >2或a <－2时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a －a 2－42≤x ≤a ＋a 2－42； 当a ＝2时，原不等式的解集为{1}； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <2时，原不等式的解集为∅.思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1 (1)(多选)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x |x ≤－3或x ≥4}，则下列说法正确的是( ) A ．a >0B ．不等式bx ＋c >0的解集为{x |x <－4}C ．不等式cx2－bx ＋a <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－14或x >13 D ．a ＋b ＋c >0 答案 AC解析 关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)， 所以二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口方向向上，即a >0，故A 正确； 对于B ，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为－3,4，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－ba＝－3＋4，ca ＝－3×4，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a .bx ＋c >0⇔－ax －12a >0，由于a >0，所以x <－12，所以不等式bx ＋c >0的解集为{}x |x <－12， 故B 不正确；对于C ，由B 的分析过程可知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a ，所以cx 2－bx ＋a <0⇔－12ax 2＋ax ＋a <0⇔12x 2－x －1>0⇔x <－14或x >13，所以不等式cx 2－bx ＋a <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－14或x >13，故C 正确； 对于D ，a ＋b ＋c ＝a －a －12a ＝－12a <0，故D 不正确． (2)解关于x 的不等式(x －1)(ax －a ＋1)>0.解 ①当a ＝0时，原不等式可化为x －1>0，即x >1； 当a ≠0时，(x －1)(ax －a ＋1)＝0的两根分别为1,1－1a.②当a >0时，1－1a<1，∴原不等式的解为x >1或x <1－1a.③当a <0时，1－1a>1，∴原不等式的解为1<x <1－1a.综上，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当a >0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1或x <1－1a ； 当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1－1a . 题型二 一元二次不等式恒(能)成立问题 命题点1 在R 上恒成立问题例3 (2022·漳州模拟)对∀x ∈R ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a ≤2 B ．－2≤a ≤2 C ．a <－2或a ≥2 D ．a ≤－2或a ≥2答案 A解析 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立，满足题意；当a －2≠0时，要使不等式恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，即有⎩⎪⎨⎪⎧a <2，4a －22＋16a －2<0，解得－2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(－2,2]． 命题点2 在给定区间上恒成立问题例4 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，则实数m 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67 解析 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上单调递增， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上单调递减， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0在x ∈[1,3]上恒成立， 所以m <6x 2－x ＋1在x ∈[1,3]上恒成立．令y ＝6x 2－x ＋1，因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 (2022·宿迁模拟)若不等式x 2＋px >4x ＋p －3，当0≤p ≤4时恒成立，则x 的取值范围是( ) A ．[－1,3] B ．(－∞，－1] C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析 不等式x 2＋px >4x ＋p －3 可化为(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0，由已知可得[(x －1)p ＋x 2－4x ＋3]min >0(0≤p ≤4)， 令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3(0≤p ≤4)，可得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝x 2－4x ＋3>0，f4＝4x －1＋x 2－4x ＋3>0，∴x <－1或x >3.教师备选函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.若当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 若当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，则实数x 的取值范围是________________． 答案 [－7,2](－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)解析 若x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2,2]上恒成立， 令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则有①Δ≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a2<－2，g －2＝7－3a ≥0.或③⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a 2>2，g 2＝7＋a ≥0，解①得－6≤a ≤2，解②得a ∈∅， 解③得－7≤a <－6.综上可得，满足条件的实数a 的取值范围是[－7,2]． 令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)． 思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R 上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．跟踪训练2 (1)已知关于x 的不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－1≤a ≤4}B ．{a |－1<a <4}C ．{a |a ≥4或a ≤－1}D ．{a |－4≤a ≤1}答案 A解析 因为关于x 的不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解， 即x 2－4x ＋a 2－3a ≤0在R 上有解，只需y ＝x 2－4x ＋a 2－3a 的图象与x 轴有公共点， 所以Δ＝(－4)2－4×(a 2－3a )≥0， 即a 2－3a －4≤0，所以(a －4)(a ＋1)≤0， 解得－1≤a ≤4，所以实数a 的取值范围是{a |－1≤a ≤4}．(2)当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，－5) C ．(－∞，－5] D ．(－5，－4)答案 C解析 令f (x )＝x 2＋mx ＋4， ∴当x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，解得m ≤－5.课时精练1．不等式9－12x ≤－4x 2的解集为( ) A ．RB ．∅C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝32 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠32 答案 C解析 原不等式可化为4x 2－12x ＋9≤0，即(2x －3)2≤0， ∴2x －3＝0，∴x ＝32，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝32. 2．(2022·揭阳质检)已知p ：|2x －3|<1，q ：x (x －3)<0，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．必要不充分条件 答案 B解析 ∵p ：|2x －3|<1，则－1<2x －3<1， 可得p ：1<x <2，又∵q ：x (x －3)<0，由x (x －3)<0，可得q ：0<x <3， 可得p 是q 的充分不必要条件．3．(2022·南通模拟)不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1<0的解集为∅，则m 的取值范围是( ) A ．m <－1 B ．m ≥233C ．m ≤－233D ．m ≥233或m ≤－233答案 B解析 ∵不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1<0的解集为∅， ∴不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≥0恒成立．①当m ＋1＝0，即m ＝－1时，不等式化为x －2≥0， 解得x ≥2，不是对任意x ∈R 恒成立，舍去； ②当m ＋1≠0，即m ≠－1时，对任意x ∈R ， 要使(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≥0，只需m ＋1>0且Δ＝(－m )2－4(m ＋1)(m －1)≤0， 解得m ≥233.综上，实数m 的取值范围是m ≥233.4．(2022·合肥模拟)不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈[1,3]恒成立，则a 的最小值是( ) A ．－5B ．－133C ．－4D ．－3答案 C解析 ∵x ∈[1,3]时，x 2＋ax ＋4≥0恒成立，则a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x 恒成立，又x ∈[1,3]时，x ＋4x≥24＝4，当且仅当x ＝2时取等号．∴－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≤－4，∴a ≥－4.故a 的最小值为－4.5．(多选)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是( ) A ．(－2，－1) B ．(－3，－6) C ．(2,4) D.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32答案 AD解析 不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2， ∴方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2，且⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，故选AD.6．(多选)(2022·湖南长郡中学月考)已知不等式x 2＋ax ＋b >0(a >0)的解集是{x |x ≠d }，则下列四个结论中正确的是( ) A ．a 2＝4b B ．a 2＋1b≥4C ．若不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则c ＝4 答案 ABD解析 由题意，知Δ＝a 2－4b ＝0， 所以a 2＝4b ，所以A 正确； 对于B ，a 2＋1b ＝a 2＋4a2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当a 2＝4a2，即a ＝2时等号成立，所以B 正确；对于C ，由根与系数的关系， 知x 1x 2＝－b ＝－a 24<0，所以C 错误；对于D ，由根与系数的关系，知x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b －c ＝a 24－c ，则|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝a 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24－c ＝2c ＝4， 解得c ＝4，所以D 正确． 7．不等式3x －1>1的解集为________． 答案 (1,4) 解析 ∵3x －1>1， ∴3x －1－1>0，即4－x x －1>0， 即1<x <4.∴原不等式的解集为(1,4)．8．一元二次方程kx 2－kx ＋1＝0有一正一负根，则实数k 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 kx 2－kx ＋1＝0有一正一负根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k 2－4k >0，1k<0，解得k <0.9．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值； (2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×－4＝－b ，解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0， 即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0. 当a ＋1＝－1，即a ＝－2时， 原不等式的解集为∅； 当a ＋1<－1，即a <－2时， 原不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＋1>－1，即a >－2时， 原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅； 当a >－2时，不等式的解集为(－1，a ＋1)．10．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (x ＋2)－f (x )＝16x 且f (0)＝2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)由f (0)＝2，得c ＝2， 所以f (x )＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)，由f (x ＋2)－f (x )＝[a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋2]－(ax 2＋bx ＋2)＝4ax ＋4a ＋2b ， 又f (x ＋2)－f (x )＝16x ， 得4ax ＋4a ＋2b ＝16x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝16，4a ＋2b ＝0，故a ＝4，b ＝－8，所以f (x )＝4x 2－8x ＋2. (2)因为存在x ∈[1,2]， 使不等式f (x )>2x ＋m 成立，即存在x ∈[1,2]，使不等式m <4x 2－10x ＋2成立， 令g (x )＝4x 2－10x ＋2，x ∈[1,2]， 故g (x )max ＝g (2)＝－2，所以m <－2， 即m 的取值范围为(－∞，－2)．11．(多选)已知函数f (x )＝4ax 2＋4x －1，∀x ∈(－1,1)，f (x )<0恒成立，则实数a 的取值可能是( )A ．0B ．－1C ．－2D ．－3 答案 CD解析 因为f (x )＝4ax 2＋4x －1， 所以f (0)＝－1<0成立．当x ∈(－1,0)∪(0,1)时，由f (x )<0可得4ax 2<－4x ＋1，所以4a <⎝⎛⎭⎪⎫1x 2－4xmin ，当x ∈(－1,0)∪(0,1)时， 1x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以1x2－4x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －22－4≥－4，当且仅当x ＝12时，等号成立，所以4a <－4，解得a <－1.12．(2022·南京质检)函数y ＝lg(c ＋2x －x 2)的定义域是(m ，m ＋4)，则实数c 的值为________． 答案 3解析 依题意得，一元二次不等式－x 2＋2x ＋c >0，即x 2－2x －c <0的解集为(m ，m ＋4)，所以m ，m ＋4是方程x 2－2x －c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋4＝2，m m ＋4＝－c ，解得m ＝－1，c ＝3.13．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是________． 答案 [－4,3]解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3. 14．若不等式x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－235，＋∞解析 对于方程x 2＋ax －2＝0， ∵Δ＝a 2＋8>0，∴方程x 2＋ax －2＝0有两个不相等的实数根， 又∵两根之积为负， ∴必有一正根一负根， 设f (x )＝x 2＋ax －2，于是不等式x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0， 即5a ＋23>0， 解得a >－235.故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.15．(2022·湖南多校联考)若关于x 的不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0恰有两个整数解，则a 的取值范围是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪32<a ≤2 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－1<a ≤－12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－1<a ≤－12或32≤a <2D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－1≤a <－12或32<a ≤2答案 D解析 令x 2－(2a ＋1)x ＋2a ＝0，解得x ＝1或x ＝2a . 当2a >1，即a >12时，不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0的解集为{x |1<x <2a }， 则3<2a ≤4， 解得32<a ≤2；当2a ＝1，即a ＝12时，不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0无解， 所以a ＝12不符合题意；当2a <1，即a <12时，不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0的解集为{x |2a <x <1}，则－2≤2a <－1，解得－1≤a <－12.综上，a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－1≤a <－12或32<a ≤2. 16．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧fx >0，f x ＋k <0的正整数解只有一个，求实数k 的取值范围；(2)若对于任意x ∈[－1,1]，不等式t ·f (x )≤2恒成立，求t 的取值范围． 解 (1)因为不等式f (x )<0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＋5＝－b2，0×5＝c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10，c ＝0.所以f (x )＝2x 2－10x .不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f x >0，f x ＋k <0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－10x >0，2x 2＋2kx ＋k 2－10x ＋k <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >5，－k <x <5－k ，因为不等式组的正整数解只有一个， 可得该正整数解为6， 可得6<5－k ≤7， 解得－2≤k <－1，所以k 的取值范围是[－2，－1)． (2)tf (x )≤2，即t (2x 2－10x )≤2， 即tx 2－5tx －1≤0， 当t ＝0时显然成立，当t >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧t ·1－5t ·－1－1≤0，t ·1－5t ·1－1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＋5t －1≤0，t －5t －1≤0，解得－14≤t ≤16，所以0<t ≤16；当t <0时，函数y ＝tx 2－5tx －1在[－1,1]上单调递增， 所以只要其最大值满足条件即可， 所以t －5t －1≤0， 解得t ≥－14，即－14≤t <0，综上，t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，16.。
高考数学一轮复习第一章 《集合与常用逻辑用语、不等式》第5节二次函数与一元二次方程、不等式
第五节二次函数与一元二次方程、不等式课标要求1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.2.结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与一元二次方程根的关系.3.掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式.必备知识·整合〔知识梳理〕1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a，b，c为常数，且a≠0）.提醒解不等式ax2+bx+c＞0(＜0)时,不要忘记讨论当a=0时的情况.2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ=b2−4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+ bx+c=0(a>0)的根有两个相异实根x1，x2(x1<x2)有两个相等实根x1=x2=−b2a没有实根ax2+bx+c>0(a> 0)的解集{x|x<x1或x>x2}{xx≠−b2a}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}⌀⌀提醒a＞0时的一元二次不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间. 知识拓展1.简单分式不等式（1）f(x)g(x)≥0(≤0)⇔{f(x)g(x)≥0(≤0),g(x)≠0.（2）f(x)g(x)＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0).2.不等式ax2+bx+c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.（1）不等式ax2+bx+c＞0对任意实数x恒成立⇔{a=b=0, c＞0或{a＞0,Δ＜0.（2）不等式ax2+bx+c＜0对任意实数x恒成立⇔{a=b=0,c＜0或{a＜0,Δ＜0.〔课前自测〕1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.（1）ax2+bx+c<0为一元二次不等式.( × )（2）若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( × )（3）如果二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，那么不等式ax2+bx+ c<0的解集一定不是空集.( √ )（4）x−ax−b≥0等价于(x−a)(x−b)≥0.( × )2. [2020全国Ⅰ，1，5分]已知集合A={x|x2−3x−4<0}，B={−4,1,3,5}，则A∩B=( D )A. {−4,1}B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}[解析]由x2−3x−4<0解得−1<x<4，所以A={x|−1<x<4}，因为B={−4,1,3,5}，所以A∩B={1,3}.3. [2021辽宁大连质检]若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x−12<x<13}，则a−b的值是( A )A. −10B. −14C. 10D. 144. 易错题不等式(x−2)(3−2x)≥0的解集为( B )A. (32,+∞) B. [32,2] C. [2,+∞) D. (−∞,32][解析]由(x−2)(3−2x)≥0，得(x−2)(2x−3)≤0，解得32≤x≤2，故原不等式的解集为[32,2].易错提醒本题容易忽视二次项的符号致错.5. （新教材改编题）若关于x的不等式x2−2ax+18>0恒成立，则实数a的取值范围为(−3√2,3√2).[解析]由题意得4a2−4×18<0，解得−3√2<a<3√2.关键能力·突破考点一一元二次不等式的解法角度1 简单分式不等式的解法例1≥0的解集为( C )（1）不等式1−x2+xA. [−2,1]B. (−∞,−2)∪(1,+∞)C. (−2,1]D. (−∞,−2]∪(1,+∞)≥2的解集为( B )（2）[2022山东烟台二中模拟]不等式3x−2x+3A. (−∞,−3]∪[8,+∞)B. (−∞,−3)∪[8,+∞)C. (−3,8]D. (−∞,−3)∪(8,+∞)−2≥0，[解析]原不等式可化为3x−2x+3≥0，即(x−8)(x+3)≥0且x+3≠0，即x−8x+3∴x<−3或x≥8.所以原不等式的解集为(−∞,−3)∪[8,+∞).方法感悟将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式（组）即可求解.角度2 不含参数的不等式的解法例2（1）[2022重庆八中模拟]已知集合A={3,8},B={x|x2−x−6≤0}，则A∩(∁R B)=( B )A. {3}B. {8}C. {−2,3,8}D. {−2}[解析]由x2−x−6≤0，得−2≤x≤3，则B ={x|x 2−x −6≤0}=[−2,3],∁R B ={x|x <−2或x >3} ，则A ∩(∁R B)={8} .（2） [2022广东潮州月考]不等式0<x 2−x −2≤4 的解集为{x|−2≤x < −1或2<x ≤3} .[解析]原不等式等价于{x 2−x −2>0，x 2−x −2≤4，即{x 2−x −2>0，x 2−x −6≤0，即{(x −2)(x +1)>0，(x −3)(x +2)≤0，解得{x >2或x <−1，−2≤x ≤3. 借助数轴，如图所示，原不等式的解集为{x|−2≤x <−1或2<x ≤3} .方法感悟解一元二次不等式的步骤角度3 含参数的不等式的解法例3 解关于x的不等式ax2−2≥2x−ax(a∈R).[答案]原不等式可化为ax2+(a−2)x−2≥0.①当a=0时，原不等式可化为x+1≤0，解得x≤−1.②当a>0时，原不等式可化为(x−2a )(x+1)≥0，解得x≥2a或x≤−1.③当a<0时，原不等式化为(x−2a)(x+1)≤0.当2a >−1，即a<−2时，解得−1≤x≤2a；当2a=−1，即a=−2时，解得x=−1；当2a <−1，即−2<a<0时，解得2a≤x≤−1.综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x|x≤−1}；当a>0时，不等式的解集为{x|x≥2a 或x≤−1}；当−2<a<0时，不等式的解集为{x|2a≤x≤−1}；当a=−2时，不等式的解集为{−1}；当a<−2时，不等式的解集为{x|−1≤x≤2a}.方法感悟含参数的一元二次不等式的解题策略（1）二次项中若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；（2）当不等式对应方程的根的个数不确定时，需要讨论判别式Δ与0的关系；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，需要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.1. [2023广东湛江模拟]已知全集U=R，集合A={x|2x2−3x−2<0,x∈R}，B={x12<x<3}，则(∁U A)∩B=( B )A. (12,1)∪(1,3) B. [2,3) C. {0,1} D. {1}[解析]由2x2−3x−2=(2x+1)(x−2)<0，得−12<x<2，所以A={x−12<x<2}，则∁U A={xx≤−12或x≥2}，又B={x12<x<3}，则(∁U A)∩B={x|2≤x<3}=[2,3).2. [2023山东济南一模]不等式x−12x+1≥0的解集为(−∞，−12)∪[1,+∞).[解析]x−12x+1≥0⇒{(x−1)(2x+1)≥0，2x+1≠0⇒x≥1或x<−12.3. 求不等式12x2−ax>a2(a∈R)的解集. [答案]原不等式可化为12x2−ax−a2>0，即(4x+a)(3x−a)>0，令(4x+a)(3x−a)=0，解得x1=−a4，x2=a3.当a>0时，不等式的解集为{x<x−a4或x>a3}；当a=0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，不等式的解集为{x|x<a3或x>−a4}.考点二三个两次的关系例4 [2021广东东莞高三期末]多选题若不等式ax2−bx+c>0的解集是(−1,2)，则( AD )A. 相应的一元二次函数的图象开口向下B. b >0 且c >0C. a +b +c >0D. 不等式ax 2−cx +b ≤0 的解集是R[解析]由题意知a <0 ，所以A 正确；由题意可得−1 ，2是方程ax 2−bx +c =0 的两个根，所以{−1+2=ba ，−1×2=c a ，所以{b =a,c =−2a ，得b <0,c >0 ，所以B 不正确；因为−1 是方程ax 2−bx +c =0 的根，所以把x =−1 代入方程得a +b +c =0 ，所以C 不正确；把b =a ，c =−2a 代入不等式ax 2−cx +b ≤0 ，可得ax 2+2ax +a ≤0 ，因为a <0 ，所以x 2+2x +1≥0 ，此时不等式的解集为R ，所以D 正确. 方法感悟（1）一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.（2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数的图象开口方向及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.4. 已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0) 的解集是{x|−1<x <2} ，则不等式cx 2+bx +a <0 的解集是( A ) A. {x −1<x <12} B. {x <x −1或x >12} C. {x −12<x <1}D. {x <x −12或x >1}[解析]因为ax 2+bx +c >0(a ≠0) 的解集是{x|−1<x <2} ，所以−1 ，2是方程ax 2+bx +c =0 的两实数根，且a <0 ，由根与系数的关系得{−1+2=−ba ，−1×2=ca ， 所以b =−a ，c =−2a ，所以不等式cx 2+bx +a <0⇒−2ax 2−ax +a <0 ，即2x 2+x −1<0 ，解得−1<x <12 ,故不等式cx 2+bx +a <0 的解集为{x −1<x <12} .考点三 一元二次不等式恒成立问题角度1 在R 上的恒成立问题例5 不等式ax(x +1)−1<0 对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是 (−4,0] .[解析]由ax(x +1)−1<0 ，得ax 2+ax −1<0 .当a =0 时，−1<0 恒成立；当a ≠0 时，有{a <0，Δ=a 2+4a <0⇒−4<a <0 .综上所述，实数a 的取值范围是(−4,0] .角度2 在给定区间上的恒成立问题例6 [2022广东深圳月考]若对于任意的x ∈[0,2] ，不等式x 2−2x +a >0 恒成立，则a 的取值范围为( B ) A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (0,+∞)D. [1,+∞)[解析]不等式x 2−2x +a >0 可化为a >−x 2+2x ，设f(x)=−x 2+2x ，x ∈[0,2] ，则f(x)=−(x −1)2+1 ，当x =1 时，f(x)max =f(1)=1 ，所以实数a 的取值范围是(1,+∞) .角度3 给定参数范围的恒成立问题例7 若mx2−mx−1<0对任意m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围是(1−32,1+32).[解析]设g(m)=mx2−mx−1=(x2−x)m−1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，则{g(1)<0, g(2)<0,即{x2−x−1<0, 2x2−2x−1<0,解得1−√32<x<1+√32，故x的取值范围为(1−√32,1+√32).方法感悟（1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.（2）一元二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.对第一种情况，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论（也可采用分离参数的方法求解）.5. 函数f(x)=x2+ax+3.（1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；[答案]当x∈R时，x2+ax+3−a≥0恒成立，只需Δ=a2−4(3−a)≤0，即a2+4a−12≤0，解得−6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[−6,2].（2）当x∈[−2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；[答案]由题意，可得x2+ax+3−a≥0在[−2,2]上恒成立，令g(x)=x2+ ax+3−a,则有①g(x)中Δ≤0或②{Δ>0,−a2<−2,g(−2)=7−3a≥0或③{Δ>0,−a2>2,g(2)=7+a≥0,解①得−6≤a≤2，解②得无实数解，解③得−7≤a<−6.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[−7,2].（3）当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围. [答案]令ℎ(a)=xa+x2+3.当a∈[4,6]时，ℎ(a)≥0恒成立，只需{ℎ(4)≥0,ℎ(6)≥0,即{x2+4x+3≥0, x2+6x+3≥0,解得x≤−3−√6或x≥−3+√6.∴实数x的取值范围是(−∞,−3−√6]∪[−3+√6,+∞).考点四一元二次方程根的分布例8 [2023湖南益阳开学考]已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. [解析]设函数f(x)=x2+2mx+2m+1.（1）若方程有两根，其中一根在区间(−1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围；[答案]易知f(x)的图象与x轴的交点分别在区间(−1,0)和(1,2)内，画出示意图，得{ f(0)=2m +1<0，f(−1)=2>0，f(1)=4m +2<0，f(2)=6m +5>0，∴{m <−12，m ∈R m <−12，m >−56，∴−56<m <−12 .（2） 若方程两根均在区间(0,1) 内，求m 的取值范围.[答案]易知f(x) 的图象与x 轴的交点在区间(0,1) 内，画出示意图，得{ f(0)>0，f(1)>0，Δ≥0，0<−m <1，∴{ m >−12，m >−12，m ≥1+√2或m ≤1−√2，−1<m <0，∴−12<m ≤1−√2 .方法感悟一元二次方程根的分布一般要考虑以下几点： （1）一元二次函数图象的开口方向； （2）一元二次函数对应方程的根的判别式；（3）一元二次函数图象的对称轴与区间的关系； （4）一元二次函数在区间端点处函数值的符号.6. [2023广东茂名期中]已知方程2x 2−(m +1)x +m =0 有两个不等的正实根，则实数m 的取值范围为(0,3−2√2)∪(3+2√2,+∞) . [解析]设f(x)=2x 2−(m +1)x +m ， 由{Δ>0，−−(m+1)2×2>0，f(0)>0，得{(m +1)2−8m >0，m >−1，m >0，∴{m <3−2√2或m >3+2√2，m >−1,m >0，∴0<m <3−2√2 或m >3+2√2 ，即实数m 的取值范围为(0,3−2√2)∪(3+2√2,+∞) .分层突破训练 基础达标练1. 不等式−x 2+3x +10>0 的解集为( A ) A. (−2,5) B. (−∞,−2)∪(5,+∞) C. (−5,2)D. (−∞,−5)∪(2,+∞)[解析]由x 2−3x −10<0 ，解得−2<x <5 .2. 多选题 下列不等式的解集为R 的是( BC ) A. x 2+2√5x +5>0 B. x 2+6x +10>0 C. −x 2+x −2<0D. 2x 2−3x −3<0[解析]对于A 选项，x 2+2√5x +5=(x +√5)2>0 ，故解集为{x|x ≠−√5} ； 对于B 选项，x 2+6x +10=(x +3)2+1>0 ，解集为R ； 对于C 选项，−x 2+x −2=−(x −12)2−74<0 ，解集为R ；对于D 选项，2x 2−3x −3<0 ，对应的二次函数图象开口向上，Δ=9−4×2×(−3)=33>0 ，故不等式的解集不是R .故选BC.3. [2023山东东营模拟]设x ∈R ，则“x ≤3 ”是“x 2≤3x ”的( B ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件[解析]由x 2≤3x ，得0≤x ≤3 ，所以“x ≤3 ”是“x 2≤3x ”的必要不充分条件.4. [2022江苏南通模拟]当x ∈R 时，不等式x 2−2x −1−a ≥0 恒成立，则实数a 的取值范围是( A ) A. (−∞,−2]B. (−∞,−2)C. (−∞,0]D. (−∞,0)[解析]当x ∈R 时，不等式x 2−2x −1−a ≥0 恒成立，故Δ=(−2)2+4(1+a)≤0 ，解得a ≤−2 ，故实数a 的取值范围是(−∞,−2] . 5. [2022湖北华中师大一附中模拟]不等式2x+1≤1 的解集是( A ) A. (−∞,−1)∪[1,+∞) B. (−∞,−1]∪[1,+∞) C. (−∞,−1)D. (−1,1)[解析]原不等式可化为2x+1−1≤0 ，即x−1x+1≥0 ，得(x −1)(x +1)≥0 且x +1≠0 ，得x <−1 或x ≥1 ，所以原不等式的解集为(−∞,−1)∪[1,+∞) . 6. [2022天津耀华中学模拟]对于任意实数x ，不等式(a −1)x 2−2(a −1)x −4<0 恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A. (−∞,3)B. (−∞,3]C. (−3,1)D. (−3,1][解析]当a =1 时，−4<0 恒成立； 当a ≠1 时，有{a −1<0,Δ<0, 解得−3<a <1 .综上，实数a 的取值范围是(−3,1] .7. 已知二次函数f(x)=(m +2)x 2−(2m +4)x +3m +3 的图象与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则实数m 的取值范围为(−2,−12) . [解析]由题意得，(m +2)⋅f(1)<0 ， 即(m +2)⋅(2m +1)<0 ， ∴−2<m <−12 ，即m 的取值范围为(−2,−12) .8. [2023辽宁丹东期末]某种杂志以每本2.5 元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1 元，销售量就可能减少2 000本.要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4元.[解析]设定价为x 元，销售总收入为y 元，由题意得，y =(80 000−x−2.50.1×2 000)x =−2 0000x 2+130 000x ，因为要使提价后的销售总收入不低于20万元，所以y =−20 000x 2+130 000x ≥200 000 ，解得52≤x ≤4 ，所以要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4元.9. [2023河北保定模拟]已知集合A ={x ∈R ||x +2|<3} ，集合B ={x ∈R ∣x−m x−2<0} ，且A ∩B =(−1,n) ，则m = −1 ，n = 1.[解析]A ={x ∈R ||x +2|<3}={x|−5<x <1} ，B ={x ∈R ∣x−m x−2<0}={x ∣(x −m)(x −2)<0} ，因为A ∩B =(−1,n) ，所以−1 是方程(x −m)(x −2)=0 的根，则−1−m =0 ，解得m =−1 ，所以B ={x|−1<x <2} ，A ∩B =(−1,1) ，则n =1 .10. [2022广东化州第三中学月考]已知集合A ={−5,−1,2,4,5} ，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A 有且只有一个公共元素，这个不等式可以是(x +4)(x −6)>0 （答案不唯一）.[解析]不等式(x +4)(x −6)>0 的解集为{x|x >6或x <−4} ，解集中只有−5 在集合A 中.11. [2021江西南昌莲塘第一中学模拟]已知f(x)=−3x 2+a(6−a)x +6 . （1） 解关于a 的不等式f(1)>0 ； [答案]∵f(x)=−3x 2+a(6−a)x +6 ， ∴f(1)=−3+a(6−a)+6=−a 2+6a +3 ， ∴ 原不等式可化为a 2−6a −3<0 ， 解得3−2√3<a <3+2√3 .∴ 原不等式的解集为{a|3−2√3<a <3+2√3} .（2） 若不等式f(x)>b 的解集为(−1,3) ，求实数a ,b 的值.[答案]f(x)>b 的解集为(−1,3) 等价于方程−3x 2+a(6−a)x +6−b =0 的两根为−1 ，3， 即{−1+3=a(6−a)3,−1×3=−6−b3,解得{a =3±√3,b =−3.能力强化练12. [2022重庆南开中学模拟]三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy ≤ax 2+2y 2 对任意x ∈[1,2] ，y ∈[2,3] 恒成立，求a 的取值范围”提出了各自的解题思路.甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析.” 乙说：“寻找x 与y 的关系，再进行分析.” 丙说：“把字母a 单独放在一边，再进行分析.”参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a 的取值范围是( B ) A. [1,+∞)B. [−1,+∞)C. [−1,4)D. [−1,6][解析]选择用丙的方法.因为xy ≤ax 2+2y 2 ，x ∈[1,2] ，y ∈[2,3] ， 所以xy −2y 2≤ax 2 等价于xy−2y 2x 2≤a ，即yx −2(yx )2≤a . 令y x =t ，则t ∈[1,3] .原式化为t −2t 2≤a 对任意t ∈[1,3] 恒成立，因为t −2t 2=−2(t −14)2+18 ，所以当t =1 时，(t −2t 2)max =−1 . 所以−1≤a ，即a ∈[−1,+∞) . 故选B.13. [2022重庆质量检测]若方程x 2+(m −2)x +6−m =0 的两根都大于2，则m 的取值范围是(−6,−2√5] .[解析]令f(x)=x 2+(m −2)x +6−m ，其图象的对称轴方程为x =2−m 2，由题意得，{2−m2>2，f(2)>0，Δ≥0，即{2−m2>2,4+2m −4+6−m >0,(m −2)2−4(6−m)≥0,解得−6<m ≤−2√5 ，故m 的取值范围是(−6,−2√5] .14. [2023江苏南京二模]已知定义在R 上的奇函数f(x) 满足f(1−x)+f(1+x)=2 ，当x ∈[0,1] 时，f(x)=2x −x 2 ，若f(x)≥x +b 对一切x ∈R 恒成立，则实数b 的最大值为−14 .[解析]因为f(1+x)+f(1−x)=2 ，所以f(x) 的图象关于点(1,1) 中心对称， 当x ∈[−1,0] 时，f(x)=−f(−x)=x 2+2x ，作出f(x) 的图象和直线y =x +b ，如图所示，结合图象可得，只需当x ∈[−1,0] 时，f(x)=x 2+2x ≥x +b 即可， 即b ≤(x +12)2−14 ， 故b ≤−14 .故b的最大值为−1.415. 某地区上年度电价为0.8元/kW⋅h，年用电量为a kW⋅h.本年度计划将电价降到0.55元/kW⋅h至0.75元/kW⋅h之间，而用户期望电价为0.4元/kW⋅h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区电力的成本价为0.3元/kW⋅h.（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y（元）与实际电价x（元/kW⋅h）的函数关系式；kW⋅h，∴下调电价后的总用电量为(a+ [答案]下调电价后新增的用电量为kx−0.4k)kW⋅h，x−0.4)(x−0.3)(0.55≤x≤0.75).∴y=(a+kx−0.4（2）设k=0.2a，问：电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%？注：收益＝实际用电量×（实际电价−成本价）.)(x−0.3)≥a×(0.8−0.3)×(1+20%)，0.55≤x≤[答案]由已知得(a+0.2ax−0.40.75，整理得x2−1.1x+0.3≥0,0.55≤x≤0.75,解得0.60≤x≤0.75.故电价最低定为0.60元/kW⋅h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.+b，关于x的不等式xf(x)<0的解集为(1,3). 16. 已知函数f(x)=x+ax（1）求实数a，b的值；[答案]因为关于x的不等式xf(x)<0的解集为(1,3)，所以不等式x2+bx+a<0的解集为(1,3)，所以{1+3=−b，1×3=a，解得{a=3,b=−4，所以f(x)=x+3x−4.（2）求关于x的不等式xf(x)<(m−3)(x−1)(m∈R)的解集；[答案]由xf(x)<(m−3)(x−1)(m∈R)，得x2+3−4x<(m−3)(x−1)，即x2−(m+1)x+m<0，即(x−1)(x−m)<0.所以当m<1时，不等式的解集为(m,1)；当m=1时，不等式无解；当m>1时，不等式的解集为(1,m).（3）若不等式f(2x)−k⋅2−x−2k≥0在R上恒成立，求实数k的取值范围.[答案]令t=2x(t>0)，则f(t)−kt−2k≥0在(0,+∞)上恒成立，即t+3t −4−kt−2k≥0在(0,+∞)上恒成立，即t 2−(2k+4)t+3−kt≥0在(0,+∞)上恒成立，即t2−(2k+4)t+3−k≥0在(0,+∞)上恒成立，令g(t)=t2−(2k+4)t+3−k.当2k+42≤0，即k≤−2时，g(t)图象的对称轴在y轴的左侧，所以g(0)=3−k≥0，即k≤3，所以k≤−2；当2k+42>0 ，即k >−2 时，g(t) 图象的对称轴在y 轴的右侧，则Δ=(2k −4)2−4(3−k)≤0 ，所以3−√52≤k ≤3+√52 .综上，k ≤−2 或3−√52≤k ≤3+√52 .素养综合练17. [2022河北石家庄二中模拟]若函数f(x) 满足对任意的x ∈[n,m](n <m) ，都有n k ≤f(x)≤km 成立，则称函数f(x) 在区间[n,m](n <m) 上是“被k 约束的”.若函数f(x)=x 2−ax +a 2 在区间[1a ,a](a >0) 上是“被2约束的”，则实数a 的取值范围是( A )A. (1,2]B. (1,√323]C. (1,√2]D. (√2,2] [解析]由题意得12a ≤x 2−ax +a 2≤2a 对任意的x ∈[1a ,a](a >0) 都成立.由a >1a 且a >0 ，得a >1 ，则f(1a )=1a 2−1+a 2>2−1=1>12a 恒成立. 由f(a)=a 2−a 2+a 2=a 2≤2a ，且a >1 ，得1<a ≤2 .因为a >1 ，所以f(1a )=1a 2−1+a 2<1−1+a 2=a 2 .f(x)=x 2−ax +a 2 图象的对称轴方程为x =a 2 ，由f(a 2)=3a 24≥12a ， 得a ≥√233 .因为√233<1 ，所以a 的取值范围为(1,2] .故选A.。
高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲一元二次不等式课件文北师大版
(1)(2015·高考广东卷)不等式－x2－3x＋4>0 的解 集为_(－__4_，_1_) __．(用区间表示) (2)求不等式 12x2－ax>a2(a∈R)的解集．
[解] (1)不等式－x2－3x＋4>0 等价于 x2＋3x－4<0，解得－ 4<x<1.所以不等式－x2－3x＋4>0 的解集为(－4，1)，故填(－ 4，1)．
1．辨明三个易误点 (1)对于不等式 ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论 a＝0 时 的情形． (2)当Δ <0 时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是 R 还是∅，要注 意区别． (3)不同 参数范围的解集切莫取并集，应分类 表述．
2．把握一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是ab>2－0，4ac<0. (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是ab<2－0，4ac<0.
ab 的值为( C )
A．－6
B．－5
C．6
D．5
解析：由不等式
ax2＋bx＋1>0
的解集为x－
1<x<1 ，知 3
a<0
且 ax2＋bx＋1＝0 的两根为 x1＝－1，x2＝13，由根与系数的
－1＋13＝－ba，
关系知
－1＝1， 3a
所以 a＝－3，b＝－2，ab＝6.
3．(必修 5 P83 练习 1T3(1)改编)不等式2xx－＋11≤0 的解集为 (A )
1．(必修 5 P80 练习 2T2 改编)不等式 x2－3x＋2<0 的解集为 (D ) A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B．(－2，－1) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(1，2) 解析：将 x2－3x＋2<0 化为(x－1)·(x－2)<0，解得 1<x<2.
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2021年高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲一元二次不等式知能训练轻松闯关文北师大版 1．(xx·高考上海卷)下列不等式中，与不等式x ＋8x 2＋2x ＋3
<2解集相同的是( ) A ．(x ＋8)(x 2＋2x ＋3)<2 B ．x ＋8<2(x 2＋2x ＋3)
C.1x 2＋2x ＋3<2x ＋8
D.x 2＋2x ＋3x ＋8>12
解析：选B.依题意，注意到x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2
＋2≥2>0，因此不等式x ＋8x 2＋2x ＋3<2等价于x ＋8<2(x 2＋2x ＋3)，故选B.
2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2
C ．－12 D.12
解析：选B.根据不等式与对应方程的关系知－1，－12
是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－1a ，所以a ＝－2，故选B. 3．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( ) A ．[－1，1] B ．[－2，2]
C ．[－2，1]
D ．[－1，2]
解析：选A.法一：当x ≤0时，x ＋2≥x 2，
所以－1≤x ≤0；①
当x >0时，－x ＋2≥x 2，所以0<x ≤1.②
由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．
法二：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图像，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1，1]．
4．(xx·广东省联合体联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧|3x －4|，x ≤2，
2x －1
，x >2，则使f (x )≥1的x 的取值范围为( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤53，3 C ．(－∞，1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ D ．(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤53，3 解析：选D.不等式f (x )≥1等价于⎩
⎪⎨⎪⎧x >2，2x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，|3x －4|≥1，解之得x ≤1或53≤x ≤3，所以
不等式的解集为(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤53，3，故选D. 5．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( )
A ．(4，5)
B ．(－3，－2)∪(4，5)
C ．(4，5]
D ．[－3，－2)∪(4，5]
解析：选D.原不等式可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时得1<x <a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a ≤5，当a <1时得a <x <1，则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4，5]．
6．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 均成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－2，2]
B ．(－2，2)
C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)
D ．(－∞，2]
解析：选A.原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0，①当m ＝2时，对任意的x 不等式都
成立；②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0，
所以－2<m <2，
综合①②，得m 的取值范围是(－2，2]．
7．(xx·合肥一模)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－|x ＋1|，x ≤0，x 2－1，x >0， 则不等式f (x )<0的解集为________．
解析：若x >0，由f (x )<0得x 2－1<0，解得0<x <1.若x ≤0，由f (x )<0得－|x ＋1|<0，解得
x ≤0且x ≠－1，综上不等式的解为x <1且x ≠－1，即不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1，
1)．
答案：(－∞，－1)∪(－1，1)
8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1a >0的解集是________． 解析：原不等式即(x －a )⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，所以a <x <1a . 答案：⎩⎨⎧x ⎪
⎪⎪⎭⎬⎫a <x <1a 9．(xx·九江一模)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取
值范围是________．
解析：不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－
4x －2，x ∈(1，4)，所以g (x )<g (4)＝－2，所以a <－2.
答案：(－∞，－2)
10．已知a ∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则实数x 的取值范围为
________．
解析：把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，
则由f (a )>0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，且f (1)＝x
2－3x ＋2>0即可，联立不等式解得x <1或x >3.
答案：{x |x <1或x >3}
11．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫12<x <2. (1)求实数a 的值；
(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．
解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12
，2，代入解得a ＝－2. (2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0，
即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12
， 即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝
⎛⎭⎪⎫－3，12.
1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3，4]，则有( )
A ．a ＝3，b ＝4
B ．a ＝3，b ＝－4
C ．a ＝－3，b ＝4
D ．a ＝－3，b ＝－4
解析：选D.法一：由题意得集合A ＝{x |x <－1或x >3}，又A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3，4]，所以集合B 为{x |－1≤x ≤4}，由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得a ＝－3，b ＝－4.
法二：易知A ＝{x |x <－1或x >3}，又A ∩B ＝(3，4]，可得4为方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，
则有16＋4a ＋b ＝0，经验证可知选项D 正确．
2．(xx·西安交大附中模拟)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥
a 恒成立，求a 的取值范围．
解：法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图像的对称轴为x ＝a .
①当a ∈(－∞，－1)时，
f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，
f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.
要使f (x )≥a 恒成立，
只需f (x )min ≥a ，
即2a ＋3≥a ，
解得－3≤a <－1；
②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，
由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.
综上所述，所求a 的取值范围是[－3，1]．
法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a 2
－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g （－1）≥0.
解得－3≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－3，1]．
3．某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP 公司可供选择．公司A 每小时收费
1.5元；公司B 在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP 公司较省钱？
解：假设一次上网x (x <17)小时，则公司A 收取的费用为1.5x 元，
公司B 收取的费用为 1.7＋(1.7－0.1)＋(1.7－0.2)＋…＋[1.7－(x －1)×0.1]＝x （35－x ）20
(元)． 由x （35－x ）20
>1.5x (0<x <17)， 整理得x 2－5x <0，解得0<x <5，
故当0<x <5时，公司A 收费低于公司B 收费，当x ＝5时，A ，B 两公司收费相等，当5<x <17时，公司B 收费低，所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A 的费用少；为5小时时，选择公司A 与公司B 费用一样多；超过5小时小于17小时时，选择公司B 的费用少．。