河北省容城县2013学年高中数学 3.2简单的三角恒等变换(1)教案 新人教A版必修4
人教A版高中数学必修四河北省容城学教案简单的三角恒等变换
3.2简单的三角恒等变换（三）教学目标知识与技能目标熟练掌握三角公式及其变形公式．过程与能力目标抓住角、函数式得特点，灵活运用三角公式解决一些实际问题． 情感与态度目标培养学生观察、分析、解决问题的能力．教学重点和、差、倍角公式的灵活应用．教学难点如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明． 教学过程例1：教材P141面例4例1. 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.例2：把一段半径为R 的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）解：（1）如图，设矩形长为l ，则面积224l R l S +=，所以,4)()4(22222222l R l l R l S +-=-=当且仅当,224222R R l == 即R l 2=时，2S 取得最大值44R ，此时S 取得最大值22R ，矩形的宽为R R R 2222=即长、宽相等，矩形为圆内接正方形.（2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为θ，矩形长与宽分别为θsin 2R 、θcos 2R ，所以面积θθθ2sin 2sin 2cos 22R R R S =⨯=.而12sin ≤θ，所以22R S ≤，当且仅当12sin =θ时，S 取最大值22R ，所以当且仅当︒=902θ即︒=45θ时， S 取最大值，此时矩形为内接正方形.变式：已知半径为1的半圆，PQRS 是半圆的内接矩形如图，问P 点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值．解：设,α=∠SOP 则,sin α==OS SP 故S 四边形PQRS ααsin cos 2sin =⨯=故α为︒45时，1max =SO课堂小结建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题.课后作业1. 阅读教材P.139到P.142;2. 《习案》作业三十五.。
学高中数学三角恒等变换简单的三角恒等变换教师用书教案新人教A版必修
３．２简单的三角恒等变换学习目标核心素养１．能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．（重点）２．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法．（重点）３．能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用．（难点、易混点）１．通过进行三角函数式的化简、求值，培养数学运算素养.２．通过三角恒等式的证明，提升逻辑推理素养.３．通过三角函数的实际应用，培养数学建模素养.１．半角公式２．辅助角公式a sin x＋b cos x＝错误!sin（x＋θ）（其中tan θ＝错误!）．１．已知１80°＜α＜３60°，则cos错误!的值等于（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!C[∵１80°＜α＜３60°，∴90°＜错误!＜１80°，∴cos 错误!＜0，故应选Ｃ．]２．２sin θ＋２cos θ＝（）Ａ．sin错误!Ｂ．２错误!sin错误!Ｃ．２错误!sin错误!Ｄ．错误!sin错误!C[原式＝２错误!错误!＝２错误!错误!＝２错误!sin错误!.]３．函数f（x）＝２sin x＋cos x的最大值为．错误![f（x）＝错误!sin（x＋θ）＝错误!sin（x＋θ）≤错误!.]４．已知２π＜θ＜４π，且sin θ＝—错误!，cos θ＜0，则tan错误!的值等于．—３[由sin θ＝—错误!，cos θ＜0得cos θ＝—错误!，∴tan错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—３．]化简求值问题【例１】）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!（２）已知π<α<错误!，化简：错误!＋错误!.思路点拨：（１）先确定错误!的范围，再由sin２错误!＝错误!得算式求值．（２）１＋cos α＝２cos２错误!，１—cos α＝２sin２错误!，去根号，确定错误!的范围，化简．（１）D[∵５π＜θ＜6π，∴错误!∈错误!，错误!∈错误!.又cos错误!＝a，∴sin错误!＝—错误!＝—错误!.]（２）[解] 原式＝错误!＋错误!.∵π＜α＜错误!，∴错误!＜错误!＜错误!，∴cos错误!＜0，sin错误!＞0，∴原式＝错误!＋错误!＝—错误!＋错误!＝—错误!cos错误!.１．化简问题中的“三变”（１）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．（２）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．（３）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．２．利用半角公式求值的思路（１）看角：看已知角与待求角的２倍关系．（２）明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．（３）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan错误!＝错误!＝错误!，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin２错误!＝错误!，cos２错误!＝错误!计算．（４）下结论：结合（２）求值．提醒：已知cos α的值可求错误!的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．错误!１．已知sin α＝—错误!，π＜α＜错误!，求sin 错误!，cos 错误!，tan 错误!的值．[解] ∵π＜α＜错误!，sin α＝—错误!，∴cos α＝—错误!，且错误!＜错误!＜错误!，∴sin 错误!＝错误!＝错误!，cos 错误!＝—错误!＝—错误!，tan 错误!＝错误!＝—２．（另tan错误!＝错误!＝错误!＝—２．）三角恒等式的证明【例２】求证：思路点拨：法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；法二：cos２α不变，直接用二倍角正切公式变形．[证明] 法一：用正弦、余弦公式．左边＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝sin错误!cos错误!cos α＝错误!sin αcos α＝错误!sin ２α＝右边，∴原式成立．法二：用正切公式．左边＝错误!＝错误!cos２α·错误!＝错误!cos２α·tan α＝错误!cos αsin α＝错误!sin ２α＝右边，∴原式成立．三角恒等式证明的常用方法１执因索果法：证明的形式一般化繁为简；２左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；３拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；４比较法：设法证明“左边—右边＝0”或“左边/右边＝１”；５分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.错误!２．求证：错误!＝错误!.[证明] 左边＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝右边．所以原等式成立.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合４错误!—２sin错误!cos错误!—sin４错误!.（１）求f（x）的对称中心和初相；（２）若x∈[0，π]，求函数f（x）的单调递减区间．[解] f（x）＝cos４错误!—２sin错误!cos错误!—sin４错误!＝cos２错误!—sin２错误!—sin错误!＝cos错误!—sin错误!＝—sin ２x—cos ２x＝—错误!sin错误!，（１）由２x＋错误!＝kπ，k∈Z，可得x＝错误!—错误!，k∈Z，∴f（x）的对称中心为错误!，k∈Z，又f（x）＝—错误!sin错误!＝错误!sin错误!，∴f（x）的初相为错误!.（２）由—错误!＋２kπ≤２x＋错误!≤错误!＋２kπ，k∈Z，可得kπ—错误!≤x≤kπ＋错误!，k∈Z，∴f（x）的递减区间为：错误!，k∈Z，又x∈[0，π]，∴f（x）的单调递减区间为错误!，错误!.应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤错误!↓错误!↓错误!错误!３．已知函数f（x）＝sin２错误!—sin２错误!＋错误!cos ２x，x∈R.（１）求f（x）的最小正周期；（２）求f（x）在区间错误!上的值域．[解] f（x）＝sin２错误!—sin２错误!＋错误!cos ２x＝错误!—错误!＋错误!cos ２x＝sin ２x＋错误!cos ２x＝２sin错误!.（１）f（x）的最小正周期为错误!＝π；（２）由x∈错误!，得２x＋错误!∈错误!，∴f（x）∈[—１,２]．即f（x）在区间错误!上的值域为[—１,２].三角函数在实际问题中的应用[探究问题]１．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．２．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？提示：化成y＝A sin（ωx＋φ）＋b的形式．【例４】如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？思路点拨：错误!→错误!→错误![解] 设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝R sin α，OB＝R cos α，∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋R sin α＋R cos α＝R（sin α＋cos α）＋R＝错误!R sin错误!＋R.∵0<α<错误!，∴错误!<α＋错误!<错误!，∴l的最大值为错误!R＋R＝（错误!＋１）R，此时，α＋错误!＝错误!，即α＝错误!，即当α＝错误!时，△OAB的周长最大．１．在本例条件下，求长方形面积的最大值．[解] 如图所示，设∠AOB＝α错误!，则AB＝R sin α，OA＝R cos α.设矩形ABCD的面积为S，则S＝２OA·AB，∴S＝２R cos α·R sin α＝R２·２sin αcos α＝R２sin ２α.∵α∈错误!，∴２α∈（0，π）．因此，当２α＝错误!，即α＝错误!时，S max＝R２.这时点A，D到点O的距离为错误!R，矩形ABCD的面积最大值为R２.２．若本例中的木料改为圆心角为错误!的扇形，并将此木料截成矩形，（如图所示），试求此矩形面积的最大值．[解] 如图，作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连接OE，设∠MOE＝α，α∈错误!，在Rt△MOE中，ME＝R sin α，OM＝R cos α，在Rt△ONH中，错误!＝tan错误!，得ON＝错误!NH＝错误!R sin α，则MN＝OM—ON＝R（cos α—错误!sin α），设矩形EFGH的面积为S，则S＝２ME·MN＝２R２sin α（cos α—错误!sin α）＝R２（sin ２α＋错误!cos ２α—错误!）＝２R２sin错误!—错误!R２，由α∈错误!，则错误!＜２α＋错误!＜错误!，所以当２α＋错误!＝错误!，即α＝错误!时，S max＝（２—错误!）R２.应用三角函数解实际问题的方法及注意事项１方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.２注意：在求解过程中，要注意三点：１充分借助平面几何性质，寻找数量关系.２注意实际问题中变量的范围.３重视三角函数有界性的影响.提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.１．研究形如f（x）＝a sin x＋b cos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如sin x±cos x＝错误!sin错误!；sin x±错误!cos x＝２sin错误!等．２．常用的三角恒等变换思想方法（１）常值代换用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式，化简得以顺利进行．我们把这种代换称为常值代换．（２）切化弦当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切，利用同角的基本三角函数关系式tan α＝错误!，将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称．（３）降幂与升幂由C２α变形后得到公式：sin２α＝错误!（１—cos ２α），cos２α＝错误!（１＋cos ２α），运用它就是降幂．反过来，直接运用倍角公式或变形公式１＋cos ２α＝２cos２α，１—cos ２α＝２sin２α，就是升幂．（４）角的变换角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝（α＋β）—β，α＝β—（β—α），α＝错误![（α＋β）＋（α—β）]，α＝错误![（α＋β）—（β—α）]，α＋β＝（２α＋β）—α等．１．下列叙述错误的是（）Ａ．若α≠kπ，k∈Z，则tan错误!＝错误!＝错误!恒成立．Ｂ．若函数f（x）＝A１sin（ωx＋φ１），g（x）＝A２sin（ωx＋φ２）（其中A１＞0，A２＞0，ω＞0），则h（x）＝f（x）＋g（x）的周期与f（x）和g（x）的一致．Ｃ．辅助角公式a sin x＋b cos x＝错误!sin（x＋φ），其中φ所在的象限由a，b的符号决定，φ与点（a，b）同象限．Ｄ．sin x＋错误!cos x＝２sin错误!.D[A、B、C均正确，D应该是sin x＋错误!cos x＝２sin错误!.]２．（２0１8·全国卷Ⅱ）若f（x）＝cos x—sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．πC[f（x）＝cos x—sin x＝错误!cos错误!.当x∈[0，a]时，x＋错误!∈错误!，所以结合题意可知，a＋错误!≤π，即a≤错误!，故所求a的最大值是错误!.故选Ｃ．]３．函数f（x）＝sin２x的最小正周期为．π[因为f（x）＝sin２x＝错误!，所以f（x）的最小正周期T＝错误!＝π.]４．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果小正方形的面积为１，大正方形的面积为２５，直角三角形中较小的锐角为θ，求cos ２θ.[解] 由题意，得５cos θ—５sin θ＝１，θ∈错误!，所以cos θ—sin θ＝错误!.由（cos θ＋sin θ）２＋（cos θ—sin θ）２＝２，所以cos θ＋sin θ＝错误!，所以cos ２θ＝cos２θ—sin２θ＝（cos θ＋sin θ）（cos θ—sin θ）＝错误!.。
教学设计1：3.2 简单的三角恒等变换
必修四第3章 三角恒等变形3.2 简单的三角恒等变换教学目的：知识目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式能用所学知识解决有关综合问题情感目标：创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求.教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式教学难点：二倍角的正弦、余弦、正切公式教学过程：导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sin α=53,α∈(2π,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：()22sin sin sin cos cos sin sin cos ααααααααα=+=+=的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式.提出问题①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写) ②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？ ③在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )-sin 2( ). ⑦思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sin α吗？cos2α=2cos α吗？tan2α=2tan α？活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉.sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin2α=2sin αcos α（S 2α）;cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin βcos2α=cos 2α-sin 2α(C 2α); tan(α+β)=)(tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan 22ααααβαβαT -=⇒-+ 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin 2α+cos 2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠21kπ+4π和α≠kπ+2π(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+2π,k ∈Z 时,虽然tan α不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a 的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍，2π-α是4π-2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如:sin 2a =2sin 4a cos 4a ,cos 3a =cos 26a -sin 26a 等等. 问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4a cos 4a =2(2sin 4a cos 4a )=2sin 2a ,40tan 140tan 22-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，tan2α=2tanα(1-tan 2α)等等. 问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.若sin2α=2sin α,则2sin αcos α=2sin α,即sin α=0或cos α=1,此时α=kπ(k ∈Z ).若cos2α=2cos α,则2cos 2α-2cos α-1=0,即cos α=231-(cos α=231+舍去). 若tan2α=2tan α,则aa 2tan 1tan 2-=2tan α,∴tan α=0,即α=kπ(k ∈Z ). 解答：①—⑧（略）二、例题讲解例1 已知2sin 3α=，(,)2παπ∈，3cos 5β=-，3(,)2πβπ∈．求sin()αβ+的值．解 由2sin 3α=，(,)2παπ∈，得cosα又由3cos 5β=-，3(,)2πβπ∈，得sinβ＝－45，∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+＝234()()355-+-=． 点拨 本例主要介绍正弦和角公式的“正用”．让学生从条件、求解结果等方面展开讨论，自己改编习题，并予以解答.预设三：条件不变，求sin()αβ-的值．预设四：改变角的范围，仍然求sin()αβ+的值.期望学生出现改编后，角度范围与三角函数值不配套，对于预设四要请学生对改变条件的合理性进行探讨，如学生改变了角的取值范围，可能会出现矛盾等．教师再予以点拨.期望学生出现改编后，角度范围与三角函数值不配套，如已知2sin 3α=-，(,)2παπ∈，3cos 5β=-，3(,)2πβπ∈．求sin()αβ+的值． 预设五：把角度限制去掉，即已知2sin 3α=-，3cos 5β=-，求sin()αβ+的值．让学生讨论解的情况，通过以上讨论使学生能从正面熟练应用公式．例2 化简（1）sin14°cos16°＋sin16°cos14°＝ 12； （2）sin()cos cos()sin αββαββ-+-＝ sinα ；（3）cos （70°＋α）sin （170°－α）－sin （70°＋α）cos （10°＋α）＝2． 点拨 本例目的在于让学生能熟悉两角和与差的正弦公式的逆用． 预设六：怎样求 3 sin15°＋cos15°的值？引导学生利用特殊角的三角函数构造两角和的三角函数公式，为后面学习辅助角公式打下伏笔．例3 已知,,.()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈，4cos 5β=，α，β均为锐角，求sinα．帮助学生分析条件，寻找解题的突破口.即让学生发现α＝（α＋β）－β，这样问题就可以得到解决.解 ∵α，β均为锐角，则0°<α＋β<180°，∴sinβ>0，sin （α+β）>0， 由5cos()13αβ+=得12sin()13αβ+=，由4cos 5β=得3sin 5β=． ∴sin[()]sin()cos cos()sin αββαββαββ+-=+-+124533313513565=⨯-⨯=． 点拨 本例主要介绍利用“变角”，创造应用和角公式的条件，使问题获得解决．常见变角有β＝（α＋β）－α，2α＋β＝（α＋β）＋α，2α＝（α＋β）＋（α－β），2β＝（α＋β）－（α－β）……预设七：让学生讨论问题：“已知15cos(30),(30,90)17αα-︒=∈︒︒，求sinα的值”.请同学们提出解题方案． 可能性解决方案一：将15cos(30)17α-︒=展开，得到115sin 2217αα+=，由α∈（30°，90°）知sinα>0，cosα>0，再结合22sin cos 1αα+=，可求得sinα的值.必须指出此方案运算量大，不易求解．可能性解决方二：变角α＝（α－30°）＋30°，由α∈（30°，90°）知sin(30)0α-︒>，利用正弦的和角公式可以较快地解决此问题.必须指出通过变角，构造应用公式的条件，这是一种创造性的学习，有利于培养学生的创新精神．例4 求证： sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A+-+=． 预设八：由学生自主完成对本题的分析，找出解决本题的突破口，即将等式中的角统一用A ＋B 及A 来表示，以消除角的差异．证 左边＝sin[()]2cos()sin sin A B A A B A A++-+ sin()cos cos()sin 2cos()sin sin A B A A B A A B A A+++-+=sin()cos cos()sin sin A B A A B A A +-+=sin[()]sin sin sin A B A B A A+-==＝右边. ∴等式成立.点拨 本题是通过变角达到灵活运用公式的一个典范，通过角的变换消除角的差异，这是三角变换的重要思路之一.例5 求2cos10sin 20cos 20︒-︒︒的值. 预设九：学生讨论，寻找角度之间的关系，使非特殊角与特殊角挂上钩.让学生发现解决本题的关键在于统一角度，不难得到10°＝30°－20°.解 原式＝2cos(3020)sin 202(cos30cos 20sin 30sin 20)sin 20cos 20cos 20︒-︒-︒︒︒+︒︒-︒=︒︒＝12(cos 20sin 20)sin 2022cos 20︒+︒-︒=︒点拨 非特殊角的三角函数求值问题，通常要挖掘题目中的隐含条件，以达到创造使用公式的条件.课堂小结：二倍角的正弦、余弦、正切公式222cos cos sin ααα=-22sin sin cos ααα=22tan tan 21tan ααα=- 板书设计：。
321简单的三角恒等变换教学设计
根据角度在直角三角形中的对边、邻边和斜边的比值，定义了正弦、余弦和正 切等三角函数。
三角函数的性质
包括周期性、奇偶性、增减性、最值等。例如，正弦函数和余弦函数具有周期 性，周期为2π；正切函数具有周期性，周期为π，并且在每一个周期内是增函 数。
三角函数图像与变换
三角函数图像
正弦函数、余弦函数和正切函数的图像分别是正弦曲线、余 弦曲线和正切曲线。这些图像具有特定的形状和性质，如振 幅、周期、相位等。
三角函数问题具有重要意义。
通过本课程的学习，学生将掌握 三角恒等变换的基本方法和技巧 ，提高数学素养和解决问题的能
力。
教学目标与要求
知识目标
掌握基本的三角恒等变换公式， 如和差化积、积化和差、倍角公
式等。
能力目标
能够运用三角恒等变换解决简单的 三角函数问题，如求值、化简、证 明等。
情感目标
培养学生对数学的兴趣和热爱，提 高学生的数学素养和审美能力。
角的变换法
通过角的变换，将所求角用已知角表示，然后代 入公式计算。
3
公式变形法
将公式进行变形，使得所求值能够直接代入计算 。
证明类问题解决方法
分析法
从结论出发，逆向思维， 寻找使结论成立的条件， 逐步推导至已知条件。
综合法
从已知条件出发，通过逐 步推导，得出结论。
比较法
通过比较两个表达式之间 的差异，寻找联系，从而 证明结论。
题目二
化简 $sin^2alpha cos^2beta + cos^2alpha sin^2beta$。
题目三
求 $sin 2alpha cos 2beta + cos 2alpha sin 2beta$ 的值。
高中数学 3.2 简单的三角恒等变换教案6 新人教版必修4
简单的三角恒等变换〔一〕一、主要知识：1．同角三角函数的基本关系式：〔1〕平方关系：_______〔2〕商数关系：_______2．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．二、主要方法及须知：1、利用平方关系时，要注意开方后符号的选取；2、诱导公式的作用在于将任意角的三角函数转化为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内角的三角函数值，其解题思路是化负角为正角，化复杂角为简单角，运用时应充分注意符号；3、利用商数关系能够完成切化弦；4、涉及sin ,cos αα的二次齐次式〔如22sin sin cos cos a b c αααα++〕的问题常采用“1〞代换法求解；5、涉及sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-⋅的问题常采用平方法求解；6、涉及sin ,cos αα的齐次分式〔如sin cos sin cos a b c d αααα++〕的问题常采用分式的基本性质进行变形．三、例题分析：例1 .(1)〔某某卷1〕sin330︒等于〔 〕A ．B ．12-C ．12D (2)〔某某卷12〕假设3sin()25πθ+=，那么cos 2θ=_________。
例2．.cos cos sin 21,2)4tan(2的值求已知ααααπ+=+变式1.40,sin 25παα<<=〔Ⅰ〕求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值； 〔Ⅱ〕求5tan()4πα-的值。
例3．51cos sin ,02=+<<-x x x π. 〔I 〕求sin x －cos x 的值； 〔Ⅱ〕求xx x x x x tan 1tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值.变式1.假设ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，那么sin cos A A +=A.3 B．3- C ．53 D ．53- 变式2.sin α·cos α＝18，且4π＜α＜2π，那么cos α－sin α的值为.四、课后作业：1.sin 210=〔 〕 A．2 B．2- C ．12 D ．12- 2.cos330=〔 〕A ．12B ．12- C．2 D．2- 3.tan690°的值为〔 〕Ａ．Ｄ．4.α是第四象限角，5tan 12α=-，那么sin α=〔 〕 A ．15 B ．15- C ．513 D ．513- 5.〔2009文〕假设4sin ,tan 05θθ=->，那么cos θ=.6.(某某卷)sin 5α=，2παπ≤≤，那么tan α=。
《简单的三角恒等变换》教案新人教A
数学：3.2《简单的三角恒等变换》教案
（新人教A必修4）
3.2简单的三角恒等变换
教学目的：能运用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换，包括浓度导出积
化和差、和差化积、半角公式，但不要求记住公式。
教学重点：用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换。
教学难点：例4的教学是本课的难点。
教学过程
一、复习提问
二倍角公式的正弦、余弦、正切。
二、新课
在倍角公式中，"倍角"与"半角"是相对的
例1、求证：
证明：1?在中，以?代2?，代? 即得：∴2?在中，以?代2?，代? 即得：∴3?以上结果相除得：
注意：1?左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方。
2?公式的"本质"是用?角的余弦表示角的正弦、余弦、正切3?上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆）
补充：万能公式：求证：
例2、求证：
（1）sin?cos?＝［sin（?＋?）+sin（?－?）］
（2）sin＋sin＝2
例3、求函数y＝sinx＋cosx的周期，最大值和最小值。
解：y＝sinx＋cosx
＝2（）
＝2（）
＝2
所以，所求函数的周期为2π，最大值为2，最小值为－2。
例4、如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的点，ABCD是扇形的内接矩形。
记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积。
练习：P155－156
作业：P156 1、2、3、4、5。
高中数学3.2简单的三角恒等变换导学案新人教版必修4
3. 2简单的三角恒等变换（导学案）课前预习学案一、 预习目标：回顾复习两角和与差的正弦、 的三角恒等变换。
二、 预习内容：1、回顾复习以下公式并填空：2、阅看课本 P139---141 例 1、2、3。
三、提出疑惑：课内探究学案一、 学习目标：会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，会推导半角公式， 积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆） ，进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。
学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训 练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。
学习难点：认识三角变换的特点， 并能运用数学思想方法指导变换过程的设计， 不断提高从整体上把握变换过程的能力。
二、 学习过程：探究一：半角公式的推导（例1）请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。
1、 2a 与a 有什么关系？ a 与a /2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的 应用。
2、 半角公式中的符号如何确定？ 3 、二倍角公式和半角公式有什么联系？4、代数变换与三角变换有什么不同？探究二：半角公式的推导（例 2）请同学们阅看例2,思考以下问题，并进行小组讨论。
COS ( a + 3 )=Cos( sin( t an(sin( tan( a + 3 )= a + 3 )=sin2a=ta n2cos2a =a - 3 )= a - 3 )= a - 3 )= a =余弦和正切公式及二倍角公式，预习简单1、两角和与差的正弦、 余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？2 、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？ 3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？探究三：三角函数式的变换（例 3）请同学们阅看例1,思考以下问题，并进行小组讨论。
1、 例3的过程中应用了哪些公式？2、 如何将形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin （ w x+ $ ）的函数？并求y=as in x+bcosx 的周期，最大值和最小值.课后练习与提高、选择题:1 .已知 cos ( a + 3 ) cos ( a —3)=-，则 cos2 a — Sin 2 卩的值为()3C2.在△ ABC 中，若 sin A sin B =cos 2 ，则△ ABC 是()C. 不等边三角形D.直角三角形V3口3. sin a +sin 3 =—— (cos 3 — cos a ), 且 a €( 0,n 3等于（）三、反思、总结、归纳：sin a /2= cos a /2=tansina cos 3 =cos a sin 3 =cos a cos 3 = sin a sin 3 =sin0 +sin $ = sin 0 -sin $ =cos 0 +cos $ =cos0 -cos $ =四、当堂检测：课本 p143 习题3.2 A 组 1、 (3) (7) 2、(1) B 组a /2=A .B .C. D.A. 等边三角形B. 等腰三角形,3^( 0 ,n)，贝U a — 3A. — 2 nB.—n c.上 D. 2 n3333二、填空题4. sin20 ° cos70° +sin10° sin50 ° =5.已知a —3 = 2 n，且cos a +cos卩：=1，则cos ( a+ 3 )等于33三、解答题.5 sin — x6.已知f ( X)=—1+ J , x€( 0,n).2 X2 2sin2(1)将f (x)表示成cosx的多项式；(2)求f (x)的最小值.谍后练习琴芳答案；—S选择题m 比E 3, D二、埴空題:4. 1 5. -I4 P三、解答题Sr r 3rsinsin—2 cos —smx * Y5. 解(1) fM =------ 2 ------ L = ----- 2------- =2cos —cos—YoarfooQjMosY——1.”勺.K * . s 222 sin—2511122⑵(r) -2(8Sl+£) 2—芝，且一1 £CCIS.\<L二当匚曲戶一—时！J'(A")取寻眾小值一2.寧EL；! 4F 客。
高中数学 3.2 简单的三角恒等变换教案1 新人教A版必修4
3.2简单的三角恒等变换一．教学目标1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。
3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 三、教学设想：（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式 （二）新课讲授：1、由二倍角公式引导学生思考：2αα与有什么样的关系？学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台． 例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例2．已知135sin =α，且α在第三象限，求2tanα的值。
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3.2简单的三角恒等变换（一）
一．教学目标
1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。
3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点
教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．
三、教学设想：
（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式 （二）新课讲授：
1、由二倍角公式引导学生思考：
2α
α与
有什么样的关系？
学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．
例1、试以cos α表示
2
2
2
sin
,cos
,tan
2
2
2α
α
α
．
解：我们可以通过二倍角
2
cos 2cos
12
α
α=-和
2
cos 12sin
2α
α=-来做此题．
因为
2
cos 12sin
2α
α=-，可以得到2
1cos sin
2
2α
α
-=
；
因为2
cos 2cos
1
2
α
α=-，可以得到2
1cos cos
2
2
α
α
+=
．
又因为
2
2
2sin
1cos 2tan
2
1cos cos
2α
αα
α
α-=
=+．
思考：代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，
因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
例2．已知135
sin =
α，且α在第三象限，求
2tan
α
的值。
例3、求证：
（１）、
()()1sin cos sin sin 2
αβαβαβ=
++-⎡⎤⎣⎦
；
（２）、
sin sin 2sin
cos
2
2
θϕ
θϕ
θϕ+-+=．
证明：（１）因为()sin αβ
+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边
着手．
()sin sin cos cos sin αβαβαβ
+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ
-=-．
两式相加得
()()2sin cos sin sin αβαβαβ
=++-；
即()()1sin cos sin sin 2
αβαβαβ=
++-⎡⎤⎣⎦
；
（２）由（１）得
()()sin sin 2sin cos αβαβαβ
++-=①；设,αβθαβϕ+=-=，
那么,2
2
θϕ
θϕ
αβ+-=
=
．
把,αβ的值代入①式中得
sin sin 2sin
cos
2
2
θϕ
θϕ
θϕ+-+=．
思考：在例3证明中用到哪些数学思想？ 例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，
（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式． 三．练习：P142面1、2、3题。
四．小结：要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．
五．作业：《习案》三十三。