统编北师大版九年级数学上册优质课件 2 用配方法求解一元二次方程
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北师大版九年级上册数学课件2.2用配方法解一元二次方程(共26张PPT)
解：两边都除以-3，得
x2 4x1 0
33
移项，得 x2 4 x 1
33
配方，得
x24x22 122 3 3 3 3
即 x 2 2 7
3 9
开方，得
x2 7
3
3
∴ 27
27
x1
3
3
x2
3
3
系数化为1 移项 配方
开方 求解 定解
例1：解下列方程
⑴ x28x10
⑵ 2x213x
⑶ 3x26x40
巩固练习 1
（１）方程 x2 0.25的根是 X1=0.5, x2=－0.5
（２）方程 2x2 18 的根是 X1＝3， x2＝—3 （3） 方程 (2x1)2 9的根是 X1＝2， x2＝－1
2. 选择适当的方法解下列方程：
（1）x2－ 81＝0 （2） x2 ＝50
(3)(x＋1)2=4
(4)x2＋2 5 x＋5=0
_
)
2
2
补充例1、用配方法解方程2x2-5x+2=0
解：两边都除以2，得 x2 5 x10 系数化为1
2
移项，得 x2 5 x 1
移项
2
配方，得 x25x52 125配方
2 4
16即x5294 16
开方，得
x5 3 44
∴ x1 2
x2
1 2
开方 求解 定解
补充例2、用配方法解方程-3x2+4x+1=0
例1：解下列方程
⑴ x28x10
⑵ 2x213x
⑶ 3x26x40
（3）移项，得
3x26x4
二次项系数化为1，得
配方
x2 2x 4 3
北师大版九年级上册2.用配方法求解简单的一元二次方程课件
问题2：那你会解下列的方程吗，你是怎么做到的？
(1) x2=5
解:∵( 5)²=5， ∴根据平方根的意
义，得 x = 5 x = - 5 x1=5
，
1
2
.
(2) 2x2+3=5
解：2x2 + 3 = 5
移项，得 2x2 = 2
x2 = 1 ∴根据平方根的意义，得 x1=1， x2=-1.
问题2：那你会解下列的方程吗，你是怎么做到的？
归纳小结 一般的，对于可化为方程 x2 = a (1)当a>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等
的实数根 x a ， x a ；
(2)当a=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 x2 0
(3)当a＜0 时，方程无解
利用平方根意义求解方程的根的方法叫做直接开平方法
例1 利用直接开平方法解下列方程:
（3）配方，得x²-6x+(-3)²=11+(-3)²， 即(x-3)²=20. 两边开平方， 得x-3=2 5 ，或x-3= 2 5 . ∴x1= 2 5 3 ，x2=2 5 3 .
（4）x²-9x+19=0.
（4）移项，得x²-9x=-19.
配方，得x²-9x+(9 )2=-19+(9 )2，
x2 +12 x - 15 = 0
你知道如何 求x的精确 值吗？
近似值：1.1＜x＜1.2
讲授新课—直接开平方法
问题1：说一说你会解哪些特殊的一元二次方程？
(1) x2=1
解:∵(±1)²=1， ∴根据平方根的意义， 得x1=1，x2=-1.
(2) x2=0
解:∵0²=0， ∴根据平方根的意义， 得x1=x2=0.
北师大版九年级数学上册用配方法求解一元二次方程第2课时课件
即 x–3=7 或 x–3= –7 ,
所以 x1=10，x2= –4.
回顾复习
将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答).
1. x2+2x+_____=
1
(x+_____
1 )2
2
4
2. x2–4x+_____=
(x–______)
2
2
3. x2 +____+36
= (x+______)
6
习题2.4 第1，3题.
第二章
2.2
第2课时
一元二次方程
用配方法求解一元二次方程
用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
第2课时 用配方法求解二次
项系数不为1的一元二次方程
知识梳理
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：
①
化二次项系数为1 ；②
③
移项
；④
开平方
配方
；⑤求解.
；
课时学业质量评价
知识梳理
课时学业质量评价
2. 设 a ， b 是两个整数，若定义一种运算“△”， a △ b ＝ a2＋ b2＋
ab ，则方程( x ＋2)△ x ＝1的实数根是(
C
)
A. x1＝ x2＝1
B. x1＝0， x2＝1
C. x1＝ x2＝－1
D. x1＝1， x2＝－2
3. 代数式4 x2＋ y2－2 y －4 x ＋15的最小值是(
＝ .
∴ x － ＝±
.
+
−
∴ x 1＝
， x2＝
所以 x1=10，x2= –4.
回顾复习
将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答).
1. x2+2x+_____=
1
(x+_____
1 )2
2
4
2. x2–4x+_____=
(x–______)
2
2
3. x2 +____+36
= (x+______)
6
习题2.4 第1，3题.
第二章
2.2
第2课时
一元二次方程
用配方法求解一元二次方程
用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
第2课时 用配方法求解二次
项系数不为1的一元二次方程
知识梳理
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：
①
化二次项系数为1 ；②
③
移项
；④
开平方
配方
；⑤求解.
；
课时学业质量评价
知识梳理
课时学业质量评价
2. 设 a ， b 是两个整数，若定义一种运算“△”， a △ b ＝ a2＋ b2＋
ab ，则方程( x ＋2)△ x ＝1的实数根是(
C
)
A. x1＝ x2＝1
B. x1＝0， x2＝1
C. x1＝ x2＝－1
D. x1＝1， x2＝－2
3. 代数式4 x2＋ y2－2 y －4 x ＋15的最小值是(
＝ .
∴ x － ＝±
.
+
−
∴ x 1＝
， x2＝
北师大版九年级数学上册课件2-2用配方法求解一元二次方程(共9张PPT)
(4) x2 共同点：
px
(
p 2
)2=(
x
p
2 )2
适用于(4)吗?
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方. 右边:所填常数等于一次项系数的一半.
合作交流探究新知
现在你会解方程 x2 6x 15 0吗?
解: 把常数项移到方程右边得：
x2 6x 15
如何配方?
两边同加上32得： x2 6x 32 15 32 x1 3 2 6, 即 (x 3)2 24
(3) x2 6x 15 0
合作交流探究新知
大胆试一试：
填上适当的数或式,使下列各等式成立.
(1) x2 6x 32 =( x+ 3)2 (2) x2 8x 42 =( x 4)2
观察(1)(2)看所填的常 数与一次项系数之间
有什么关系?
(3) x2 4x 22=( x 2 )2
(1)(2)的结论 适合于(3)吗?
用配方法求解一元二次方程
创设情境 温故探新
1开、心用直练接一开练平：方法解下列方程:
(1) 9x2 1
(2) (x 2)2 2
静心想一想：
复习 引入
2、下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1) x2 4x 4 2
(2) x2 12x 36 9
能否把(3)转化成 (x+b)2=a(a≥0)的 形式呢?
知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直接
开平方求出方程的解的方法。 2、用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤：(1)化二次项系数为1 （2）移项
（3）配方（4）开平方（5）写出方程的解
思考题：1.已知x是实数,求y=x2-4x+5的最小值.
北师版九年级数学 2.2用配方法求解一元二次方程(学习、上课课件)
的形式
x2＋3x－12=0 x2＋3x＋(32)2－(32)2－12=0，
即(x＋32)2－141=0
感悟新知
知2－讲
三 移项， 使方程变为(x＋m)2=n 移 的形式
四 如果n ≥ 0，就可以左右两边 开 同时开平方，得x＋m=± n
方程的根为x=－m± n .另 五 外，如果是解决实际问题，那 解 么还要注意判断结果是否符合
巧将1＋x看作整体进行配 方，可达到简化的效果.
感悟新知
知2－练
2-1.[中考·赤峰] 用配方法解方程x2－4x－1=0 时，配方后 正确的是( C ) A. (x＋2)2=3 B. (x＋2)2=17 C. (x－2)2=5 D. (x－2)2=17
感悟新知
知2－练
2-2.[中考·聊城] 用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1=0 时， 将它化为(x＋a)2=b的形式， 则a＋b 的值为( B )
注意：方程左 边同时加上和 减去一次项系 数一半的平方， 其前提是二次
∴
x1=3＋4
13
，x2=
3－ 4
13.
项系数为1.
感悟新知
知2－练
(3)2x2－4x＋5=0；
解：移项，得2x2－4 x=－5 .
二配次方项，系得数x2－化2为x1＋，(－得22x)22－=－2 x52=＋－(−5222. )2，
是x2=p中的p ≥ 0.
感悟新知
知1－讲
2. 适合用直接开平方法求解的一元二次方程的三种类型
类型
方程的根
x2=p(p ≥ 0) (x＋m)2=p(p ≥ 0)
x1= p，x2=－ p x1=－m＋ p，x2=－m－ p
(mx＋n)2=p(p ≥ 0，m ≠ 0)
x2＋3x－12=0 x2＋3x＋(32)2－(32)2－12=0，
即(x＋32)2－141=0
感悟新知
知2－讲
三 移项， 使方程变为(x＋m)2=n 移 的形式
四 如果n ≥ 0，就可以左右两边 开 同时开平方，得x＋m=± n
方程的根为x=－m± n .另 五 外，如果是解决实际问题，那 解 么还要注意判断结果是否符合
巧将1＋x看作整体进行配 方，可达到简化的效果.
感悟新知
知2－练
2-1.[中考·赤峰] 用配方法解方程x2－4x－1=0 时，配方后 正确的是( C ) A. (x＋2)2=3 B. (x＋2)2=17 C. (x－2)2=5 D. (x－2)2=17
感悟新知
知2－练
2-2.[中考·聊城] 用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1=0 时， 将它化为(x＋a)2=b的形式， 则a＋b 的值为( B )
注意：方程左 边同时加上和 减去一次项系 数一半的平方， 其前提是二次
∴
x1=3＋4
13
，x2=
3－ 4
13.
项系数为1.
感悟新知
知2－练
(3)2x2－4x＋5=0；
解：移项，得2x2－4 x=－5 .
二配次方项，系得数x2－化2为x1＋，(－得22x)22－=－2 x52=＋－(−5222. )2，
是x2=p中的p ≥ 0.
感悟新知
知1－讲
2. 适合用直接开平方法求解的一元二次方程的三种类型
类型
方程的根
x2=p(p ≥ 0) (x＋m)2=p(p ≥ 0)
x1= p，x2=－ p x1=－m＋ p，x2=－m－ p
(mx＋n)2=p(p ≥ 0，m ≠ 0)
北师大版九年级上册用配方法求解一元二次方程课件
对于形如 x2 + ax的式子， 如何配成完全平方？
x2
ax
a 2
2
x
a 2
2
视察：上面等式左边的常数项与一次项系数有什么关系？
左边的常数项为一次项系数一半的平方.
典例精析
例3、解方程：x2 + 8x - 9 = 0.
解：把常数项移到方程的右边,得
移项
x2 + 8x = 9 ,
两边都加42(一次项系数8的一半的平方),得
随堂测试
印度古算术中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一 再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数有多少， 两队猴子在一起？大意是说：一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之 一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？请同学们解决这个问题。
A. x≈9.025 B. x≈9.035
C. x≈9.045 D. x≈9.055
练习1
视察下列表格，一元二次方程 x2-x=1.1 的一个近似解是( D )
x
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
x2-x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71
配方
x2 + 8x + 42 = 9 + 42 ,
即
（x+4）2 = 25 .
两边开平方,得
用直接开平方法求解
即 所以
x+4=±5, x + 4 =5 或 x + 4 = -5.
x1 = 1 , x2= -9.
新知探究
配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解 一元二次方程的方法称为配方法.
北师大版九年级数学上册课件：2.2 用配方法求解一元二次方程(一) (共12张PPT)
第二章
一元二次方程
2.1 用配方法求解一元二次方程（一）
学习目标
1．会用开平方法解形如 （x+m）=n (n>0) 的方程． 2．理解一元二次方程的解法：配方法．
2
知识回顾
1、如果一个数的平方等于9，则这个数是
4
，
若一个数的数有几个平方根，它们具有怎样的关系？ 2、用字母表示因式分解的完全平方公式.
2
想一想 1.你能解哪些一元二次方程？
试一试 2.你会解下列一元二次方程吗？ （1）x2=5 （2）2x2+3=5 （3）(x+6)2+72=102 （4）x2+2x+1=5
核心归纳
解一元二次方程的思路是将方程转化 2 为（x+m）=n 的形式，它的一边是一个 完全平方式，另一边是一个常数，当时， 两边同时开平方，转化为一元一次方程， 便可求出它的根.这种解一元二次方程的 方法叫做直接开平方法．
自主探究
例1: 解方程：x2+8x-9=0
解:可以把常数项移到方程的右边，得 x2+8x＝9 两边都加上一次项系数8的一半的平方，得 x2+8x＋42=9＋42. （x+4）2=25 开平方，得 x+4=±5, 即 x+4=5,或x+4=-5. 所以 x1=1, x2=-9.
做一做
解下列方程：
(1)x2-10x+25=7 ; (3)x2+3x=10;
做一做：填上适当的数，使下列等式成立.
1、x2+12x+
2、 3、 4、
62
=(x+6)2
=(x-3)2
x2-6x+
x2-4x+
一元二次方程
2.1 用配方法求解一元二次方程（一）
学习目标
1．会用开平方法解形如 （x+m）=n (n>0) 的方程． 2．理解一元二次方程的解法：配方法．
2
知识回顾
1、如果一个数的平方等于9，则这个数是
4
，
若一个数的数有几个平方根，它们具有怎样的关系？ 2、用字母表示因式分解的完全平方公式.
2
想一想 1.你能解哪些一元二次方程？
试一试 2.你会解下列一元二次方程吗？ （1）x2=5 （2）2x2+3=5 （3）(x+6)2+72=102 （4）x2+2x+1=5
核心归纳
解一元二次方程的思路是将方程转化 2 为（x+m）=n 的形式，它的一边是一个 完全平方式，另一边是一个常数，当时， 两边同时开平方，转化为一元一次方程， 便可求出它的根.这种解一元二次方程的 方法叫做直接开平方法．
自主探究
例1: 解方程：x2+8x-9=0
解:可以把常数项移到方程的右边，得 x2+8x＝9 两边都加上一次项系数8的一半的平方，得 x2+8x＋42=9＋42. （x+4）2=25 开平方，得 x+4=±5, 即 x+4=5,或x+4=-5. 所以 x1=1, x2=-9.
做一做
解下列方程：
(1)x2-10x+25=7 ; (3)x2+3x=10;
做一做：填上适当的数，使下列等式成立.
1、x2+12x+
2、 3、 4、
62
=(x+6)2
=(x-3)2
x2-6x+
x2-4x+
北师大课标版初中数学九年级上册第二章2.2 用配方法求解一元二次方程(共19张PPT)
只含有一个未知数x的整式方程并且都 可以化为ax²+bx+c=0(a,b,c为常数， a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次 方程。
一元二次方程的一般形式： ax2bxc0 (a,b,c为常， 数 a0)
例x： 28x200；x21x215 0
（1）你能解哪些一元二次方程？ （2）你会解下列一元二次方程吗？
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
因式分解的完全平方公式
a22abb2 (ab)2; a22abb2 (ab)2.
x2 ＋ 8x ＋ 42 ＝( x＋4 )2 a2 ＋2 a b ＋ b2 ＝( a + b )2
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月31日星期二2021/8/312021/8/312021/8/31 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/312021/8/31August 31, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/31
一元二次方程的一般形式： ax2bxc0 (a,b,c为常， 数 a0)
例x： 28x200；x21x215 0
（1）你能解哪些一元二次方程？ （2）你会解下列一元二次方程吗？
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
因式分解的完全平方公式
a22abb2 (ab)2; a22abb2 (ab)2.
x2 ＋ 8x ＋ 42 ＝( x＋4 )2 a2 ＋2 a b ＋ b2 ＝( a + b )2
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月31日星期二2021/8/312021/8/312021/8/31 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/312021/8/31August 31, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/31
北师大版九年级数学上册 (用配方法求解一元二次方程)一元二次方程教育教学课件(第2课时)
例4、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？
解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距
墙___6_ m.如果设梯子底端滑动x m ,那么 滑动后梯子底端距墙 x+6 m.
根据题意，可得：
72 + (x + 6)2 = 102. 整理得，x2 + 12 x - 15 = 0.
归纳总结
用配方法解一元二次方程的一般步骤大致概括如下： (1)化二次项系数为1； (2)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； (3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使原方程 变为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式； (4)开平方； (5)解：方程的解为x＝－m± .
练一练
解：根据题意得15t－5t2＝10； 方程两边都除以－5，得 t2－3t＝－2；
配方，得
t2－3t＋322＝－2＋322；
t－322＝14；t－32＝±12；
t1＝2，t2＝1；
答：当t＝2 s或t＝1 s时，小球达到10 m的高度．
课堂小结与作业
方法
在方程两边都配上（一次项系数）2.
2
特别提醒：
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得 a 32 b 42 c 5 0,
由代数式的性质可知
a 32 0, b 42 0, c 5 0,
a 3，b 4，c 5,
a2 b2 32 42 52 c2 ,
所以，△ABC为直角三角形.
随堂练习
1．方程3x2－1＝2x 的两个根是__x_1_＝_－__13_，__x_2＝__1__．
解：方程两边都除以 3，得 x2 8 x 1 0
北师大版九年级数学上册《用配方法求解一元二次方程》优质课课件(共15张PPT)
解：设一个正方形的边长为 x cm，根据题意，得 x2＋ 64－4x ( 4 )2＝160，解得 x1＝12，x2＝4.答：两个正方形的边长分 别为 12 cm 和 4 cm
18．已知三角形的一边长是 10，另两边长是 x2－14x＋ 48＝0 的两根，试判断这个三角形的形状并求出这个三角形 的面积．
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月29日星期四2021/7/292021/7/292021/7/29
解：x2－14x＋48＝0 得 x1＝6，x2＝8，故该三角形为直 角三角形，面积为 S＝12×6×8＝24
19．用配方法证明： (1)a2－a＋1 的值为正； (2)－9x2＋8x－2 的值小于 0.
解：证明：(1)∵a2－a＋1＝a2－a＋14＋34＝(a－12)2＋34≥34 >0，∴a2－a＋1 的值为正 (2)∵－9x2＋8x－2＝－9[x2－89x＋(49)2] ＋196－2＝－9(x－49)2－29≤－29<0，∴－9x2＋8x－2 的值不小于 0
0(a≠0)，此方程可变形为( A )
A．(x＋2ba)2＝b2－4a42ac B．(x＋2ba)2＝4a4c－a2 b2
C．(x－2ba)＝b2－4a42 ac
D．(x－2ba)2＝b2－4a42 ac
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做 ；要学 生学的 知识， 教职员 躬亲共 学；要 学生守 的规则 ，教职 员躬亲 共守。2 021/7 /2920 21/7/2 9Thur sday, July 29, 2021
18．已知三角形的一边长是 10，另两边长是 x2－14x＋ 48＝0 的两根，试判断这个三角形的形状并求出这个三角形 的面积．
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月29日星期四2021/7/292021/7/292021/7/29
解：x2－14x＋48＝0 得 x1＝6，x2＝8，故该三角形为直 角三角形，面积为 S＝12×6×8＝24
19．用配方法证明： (1)a2－a＋1 的值为正； (2)－9x2＋8x－2 的值小于 0.
解：证明：(1)∵a2－a＋1＝a2－a＋14＋34＝(a－12)2＋34≥34 >0，∴a2－a＋1 的值为正 (2)∵－9x2＋8x－2＝－9[x2－89x＋(49)2] ＋196－2＝－9(x－49)2－29≤－29<0，∴－9x2＋8x－2 的值不小于 0
0(a≠0)，此方程可变形为( A )
A．(x＋2ba)2＝b2－4a42ac B．(x＋2ba)2＝4a4c－a2 b2
C．(x－2ba)＝b2－4a42 ac
D．(x－2ba)2＝b2－4a42 ac
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9、要学生做的事，教职员躬亲共做 ；要学 生学的 知识， 教职员 躬亲共 学；要 学生守 的规则 ，教职 员躬亲 共守。2 021/7 /2920 21/7/2 9Thur sday, July 29, 2021
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是什么？你能设法将这个方程转化成上面方程的形 式吗？与同伴进行交流.
推进新课
例1 解方程：x2 8x 9 0.
解：可以把常数项移到方程的右边，得
x2 8x 9.
两边都加4（2 一次项系数8的一半的平方）.得
x2 8x 42 9 42, 即
（x 4）2 25. 两边开平方，得
x 4 5, 即
12m
解 : 设小路的宽为xm, 根据题意得
16 2x12 2x 16 12 .
2 即x2 14x 24 0.
解这个方程, 得 x1 2, x2 12(不合题意,舍去).
答 : 小路的宽为2m.
老师提示:在检验时,方程 的根一定要符合问题的实
际意义.否则,舍去.
我—小亮
,是最棒的设计师
解:(1)设养鸡场的宽为xm,根据题意得
x40 2x 180.
25m
即x2 20x 90 0. 解这个方程, 得
180m2
x
x1 10 10; x2 10 10.
40-2x
当x2 10 10时, 长40 2x 20 2 10 25不合题意, 舍去.
答:鸡场的面积能达到180m2,这时鸡场的宽为 10+ 10 m.
所以
x 4 5,或x 4 5. x1 1, x2 9.
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方
程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
(solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a.
答 : 扇形的半径约为5.5m.
我—
,来挑战最棒的设计师!
你还有其它的设计方案吗?
16m
12m
我—小颖
,也是最棒的设计师!
我的设计方案如图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,
且它的宽都相等.
你能通过解方程,帮我得
16m
到小路的宽x是多少吗?
解 : 设小路的宽为xm, 根据题意得
16 x12 x 16 12 .
x1 ＝5;
x2 ＝-70(不合题意,舍去).
答:金边的宽应是5cm.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙 长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
(1) 鸡场的面积能达到180m2 吗?
(2) 鸡场的面积能达到200m2 吗?
(3) 鸡场的面积能达到250m2 吗?
25m 180m2
随堂演练
根据题意，列出方程：
1.在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色 纸边，制成一幅挂图.如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%. 那么金边的宽应是多少？
解：设金边的宽为 x cm，根据题意得
90 2x40 2x 72% 90 40.
即 x2+65x-350 ＝0. 解这个方程,得
x1 20 2 10; x2 20 2 10.
x
x1 20 2 10 20 40 20 25 25不合题意, 舍去.
答:鸡场的面积能达到180m2 ,这时鸡场的长为 20-2 10 m.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙
长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
2 即x2 28x 96 0.
12m xm
解这个方程, 得
xm
x1 4, x2 24(不合题意, 舍去).
答 : 小路的宽为4m.
小结 拓展
•
本节课通过对矩形花园的设计,你复习了哪些旧
知识呢？
•
列方程解应用题步骤:一审;二设;三深对“配方法”
如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m), 另外三边用木栏围成,木栏长40m.
解:(1)设养鸡场的长为xm,根据题意得
x 40 x 180. 2
即x2 40x 360 0. 解这个方程, 得
25m 180m2
40 x 2
我是最棒的设计师
在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一个 花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.
你能给出设计方案吗?
16m
12m
我—小明
,是最棒的设计师
我的设计方案如图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过
解方程,我得到小路的宽为2m或12m.
你认为小明的结果对吗?为什么?
16m
你能将小明解答的过程重现吗?
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
回顾与复习 2
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
2 用配方法求解一元二次方程
北师大版 九年级上册
新课导入
议一议
（1）你能解哪些特殊的一元二次方程？ （2）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？
x2 5, 2x2 3 5, x2 2x 1 5, (x 6)2 72 102. （3）你能解方程x2 12x 15 0吗？你遇到的困难
的理解运用:
平方根的意义:
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
• 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
我的设计方案如图所示.其中花园每个角上的扇形都相
同.你能通过解方程,帮我得到扇形的半径x是?m吗?
你能通过解方程,帮我
16m
得到扇形的半径x是?m吗?
12m xm
解 : 设扇形的半径为xm, 根据题意得
x2 16 12 .
2
即x2 96.
解这个方程, 得
x1 x2
96 5.5.其中x 5.5不合题意, 舍去.
推进新课
例1 解方程：x2 8x 9 0.
解：可以把常数项移到方程的右边，得
x2 8x 9.
两边都加4（2 一次项系数8的一半的平方）.得
x2 8x 42 9 42, 即
（x 4）2 25. 两边开平方，得
x 4 5, 即
12m
解 : 设小路的宽为xm, 根据题意得
16 2x12 2x 16 12 .
2 即x2 14x 24 0.
解这个方程, 得 x1 2, x2 12(不合题意,舍去).
答 : 小路的宽为2m.
老师提示:在检验时,方程 的根一定要符合问题的实
际意义.否则,舍去.
我—小亮
,是最棒的设计师
解:(1)设养鸡场的宽为xm,根据题意得
x40 2x 180.
25m
即x2 20x 90 0. 解这个方程, 得
180m2
x
x1 10 10; x2 10 10.
40-2x
当x2 10 10时, 长40 2x 20 2 10 25不合题意, 舍去.
答:鸡场的面积能达到180m2,这时鸡场的宽为 10+ 10 m.
所以
x 4 5,或x 4 5. x1 1, x2 9.
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方
程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
(solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a.
答 : 扇形的半径约为5.5m.
我—
,来挑战最棒的设计师!
你还有其它的设计方案吗?
16m
12m
我—小颖
,也是最棒的设计师!
我的设计方案如图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,
且它的宽都相等.
你能通过解方程,帮我得
16m
到小路的宽x是多少吗?
解 : 设小路的宽为xm, 根据题意得
16 x12 x 16 12 .
x1 ＝5;
x2 ＝-70(不合题意,舍去).
答:金边的宽应是5cm.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙 长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
(1) 鸡场的面积能达到180m2 吗?
(2) 鸡场的面积能达到200m2 吗?
(3) 鸡场的面积能达到250m2 吗?
25m 180m2
随堂演练
根据题意，列出方程：
1.在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色 纸边，制成一幅挂图.如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%. 那么金边的宽应是多少？
解：设金边的宽为 x cm，根据题意得
90 2x40 2x 72% 90 40.
即 x2+65x-350 ＝0. 解这个方程,得
x1 20 2 10; x2 20 2 10.
x
x1 20 2 10 20 40 20 25 25不合题意, 舍去.
答:鸡场的面积能达到180m2 ,这时鸡场的长为 20-2 10 m.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙
长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
2 即x2 28x 96 0.
12m xm
解这个方程, 得
xm
x1 4, x2 24(不合题意, 舍去).
答 : 小路的宽为4m.
小结 拓展
•
本节课通过对矩形花园的设计,你复习了哪些旧
知识呢？
•
列方程解应用题步骤:一审;二设;三深对“配方法”
如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m), 另外三边用木栏围成,木栏长40m.
解:(1)设养鸡场的长为xm,根据题意得
x 40 x 180. 2
即x2 40x 360 0. 解这个方程, 得
25m 180m2
40 x 2
我是最棒的设计师
在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一个 花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.
你能给出设计方案吗?
16m
12m
我—小明
,是最棒的设计师
我的设计方案如图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过
解方程,我得到小路的宽为2m或12m.
你认为小明的结果对吗?为什么?
16m
你能将小明解答的过程重现吗?
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
回顾与复习 2
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
2 用配方法求解一元二次方程
北师大版 九年级上册
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议一议
（1）你能解哪些特殊的一元二次方程？ （2）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？
x2 5, 2x2 3 5, x2 2x 1 5, (x 6)2 72 102. （3）你能解方程x2 12x 15 0吗？你遇到的困难
的理解运用:
平方根的意义:
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
• 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
我的设计方案如图所示.其中花园每个角上的扇形都相
同.你能通过解方程,帮我得到扇形的半径x是?m吗?
你能通过解方程,帮我
16m
得到扇形的半径x是?m吗?
12m xm
解 : 设扇形的半径为xm, 根据题意得
x2 16 12 .
2
即x2 96.
解这个方程, 得
x1 x2
96 5.5.其中x 5.5不合题意, 舍去.