吉林省长春十一高、白城一中联考2018学年高二上学期期

2018-2018学年吉林省长春十一高、白城一中联考高二（上）期末数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜02．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B．C．D．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数5．dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln26．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞）D．（0，+∞）7．如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2=（）A．B．C．D．8．命题甲：双曲线C的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C的方程是：，那么甲是乙的（）A．分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知函数f（x）=x3﹣2x2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．a＞﹣4 B．a≥﹣4 C．a＞1 D．a≥110．设F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，点M在椭圆上，若△MF1F2是直角三角形，则△MF1F2的面积等于（）A．B．C．16 D．或1611．若点P在曲线y=x3﹣3x2+（3﹣）x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[0，）B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．[0，）∪（，]12．设函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．D．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i是虚数单位，则等于．14．过抛物线y2=8x焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的横坐标为4，则|AB|=．15．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V=．16．定义在（0，+∞）的函数f（x）满足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，则的取值范围是．三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a＜1，求证： +≥9．18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处的极小值为﹣1．（I）试求a，b的值，并求出f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F1，F2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F1PF2．20．已知直线l：y=x+m与抛物线y2=8x交于A、B两点，（1）若|AB|=10，求m的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．21．是否存在常数a，b，c使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c对一切n∈N*都成立？并证明的结论．22．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．2018-2018学年吉林省长春十一高、白城一中联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜0【考点】命题的否定．【分析】利用含量词的命题的否定形式是：将“∀“改为“∃”结论否定，写出命题的否定．【解答】解：利用含量词的命题的否定形式得到：命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x+2＜0”故选C2．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，故选D．3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将所给的双曲线方程化成标准方程，根据双曲线中的a，b，c的关系求解c，焦距2c即可．【解答】解：双曲线x2﹣4y2=1，化成标准方程为：∵a2+b2=c2∴c2==解得：c=所以得焦距2c=故选：C．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c 中至少有一个偶数”写出否定即可．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．5．dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln2【考点】定积分．【分析】根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可．【解答】解：∵（lnx）′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2故选D6．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞）D．（0，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f（x）的单调递增区间．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得：f′（x）=2x﹣2﹣，令f′（x）＞0，可得2x﹣2﹣＞0，∴x2﹣x﹣2＞0，∴x＜﹣1或x＞2∵x＞0，∴x＞2∴f（x）的单调递增区间为（2，+∞）故选C．7．如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2=（）A．B．C．D．【考点】导数的运算．【分析】解：由图象知f（﹣1）=f（0）=f（2）=0，解出b、c、d的值，由x1和x2是f′（x）=0的根，使用根与系数的关系得到x1+x2=．【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，由图象知，﹣1+b﹣c+d=0，0+0+0+d=0，8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2∴f′（x）=3x2+2bx+c=3x2﹣2x﹣2．由题意有x1和x2是函数f（x）的极值，故有x1和x2是f′（x）=0的根，∴x1+x2=，故选：A．8．命题甲：双曲线C的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C的方程是：，那么甲是乙的（）A．分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线C的方程是：，渐近线方程是：y=±，双曲线C的方程是：=﹣1，渐近线方程是：y=±，根据充分必要条件的定义可判断．【解答】解：∵双曲线C的方程是：，∴渐近线方程是：y=±，∵双曲线C的方程是：=﹣1，∴渐近线方程是：y=±，∴根据充分必要条件的定义可判断：甲是乙的必要，不充分条件，故选：B9．已知函数f（x）=x3﹣2x2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．a＞﹣4 B．a≥﹣4 C．a＞1 D．a≥1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数f'（x）=3x2﹣4x+a，在区间内大于或等于零，根据二次函数的性质可知，导函数在区间内递增，故只需f'（1）≥0即可．【解答】解：f（x）=x3﹣2x2+ax+3，∴f'（x）=3x2﹣4x+a，∵在[1，2]上单调递增，∴f'（x）=3x2﹣4x+a在区间内大于或等于零，∵二次函数的对称轴x=，∴函数在区间内递增，∴f'（1）≥0，∴﹣1+a≥0，∴a≥1，故选D．10．设F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，点M在椭圆上，若△MF1F2是直角三角形，则△MF1F2的面积等于（）A．B．C．16 D．或16【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】令|F1M|=m、|MF2|=n，由椭圆的定义可得m+n=2a①，Rt△F1MF2中，由勾股定理可得n2﹣m2=36②，由①②可得m、n的值，利用△F1PF2的面积求得结果．【解答】解：由椭圆的方程可得a=5，b=4，c=3，令|F1M|=m、|MF2|=n，由椭圆的定义可得m+n=2a=10 ①，Rt△MF1F2中，由勾股定理可得n2﹣m2=36 ②，由①②可得m=，n=，∴△MF1F2的面积是•6•=故选A．11．若点P在曲线y=x3﹣3x2+（3﹣）x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[0，）B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．[0，）∪（，]【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角．【分析】先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．【解答】解：∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3﹣=3（x﹣1）2﹣≥﹣，∴tanα≥﹣，又0≤α＜π，∴0≤α＜或≤α＜π，故选B．12．设函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当x＞0时，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则≤，可求k的范围．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 =2e，∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e，∵g（x）=，∴g′（x）=，当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e，∵恒成立且k＞0，∴≤，∴k≥1，故选：A．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i是虚数单位，则等于．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：，则=．故答案为：．14．过抛物线y2=8x焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的横坐标为4，则|AB|=12．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由中点坐标公式可知：x1+x2=2×4，则丨AA1丨+丨BB1丨=x1++x2+=x1+x2+p=8+4=12，则丨AA1丨+丨BB1丨=丨AF丨+丨BF丨=丨AB丨，即可求得|AB|．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），M（4，y0），过A，B，M做准线的垂直，垂足分别为A1，B1及M1，由中点坐标公式可知：x1+x2=2×4=8，∴丨AA1丨+丨BB1丨=x1++x2+=x1+x2+p=8+4=12∴丨AA1丨+丨BB1丨=12由抛物线的性质可知：丨AA1丨+丨BB1丨=丨AF丨+丨BF丨=丨AB丨，∴丨AB丨=12，故答案为：12．15．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S= r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V=R（S1+S2+S3+S4）．【考点】类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为：R（S1+S2+S3+S4）．16．定义在（0，+∞）的函数f（x）满足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，则的取值范围是（29，210）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件分别构造函数g（x）=和h（x）=，分别求函数的导数，研究函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）==，∵9f（x）＜xf'（x），∴g′（x）=＞0，即g（x）在（0，+∞）上是增函数，则g（2）＞g（1），即＞，则＞29，同理设h（x）=，∴h′（x）==，∵xf'（x）＜10f（x），∴h′（x）=＜0，即h（x）在（0，+∞）上是减函数，则h（2）＜h（1），即＜，则＜210，综上29＜＜210，故答案为：（29，210）三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a＜1，求证： +≥9．【考点】不等式的证明．【分析】0＜a＜1⇒1﹣a＞0，利用分析法，要证明≥9，只需证明（3a ﹣1）2≥0，该式成立，从而使结论得证．【解答】证明：由于0＜a＜1，∴1﹣a＞0．要证明≥9，只需证明1﹣a+4a≥9a﹣9a2，即9a2﹣6a+1≥0．只需证明（3a﹣1）2≥0，∵（3a﹣1）2≥0，显然成立，∴原不等式成立．18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处的极小值为﹣1．（I）试求a，b的值，并求出f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据极值的定义得出a，b的值，利用导函数得出函数的单调区间；（Ⅱ）利用导函数得出函数的极值，根据极值求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6ax+2b∵在x=1处的极值为﹣1，∴，∴f′（x）=3x2﹣2x﹣1当f′（x）≥0时，或x≥1，∴增区间为当f′（x）≤0时，，∴减区间为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，f（x）取极大值为，当x=1时，f（x）取极大值为﹣1∴当时，关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F1，F2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F1PF2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由于椭圆焦点为F（0，±4），离心率为e=，可得双曲线的离心率为2，结合双曲线与椭圆=1有公共焦点F1，F2，求出a，b，c．最后写出双曲线的标准方程；（2）求出|PF1|=7，|PF2|=3，|F1F2|=8，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2．【解答】解：（1）椭圆=1的焦点为（0，±4），离心率为e=．∵双曲线与椭圆的离心率之和为2，∴双曲线的离心率为2，∴=2∵双曲线与椭圆=1有公共焦点F1，F2，∴c=4，∴a=2，b=，∴双曲线的方程是；（2）由题意，|PF1|+|PF2|=10，|PF1|﹣|PF2|=4∴|PF1|=7，|PF2|=3，∵|F1F2|=8，∴cos∠F1PF2==﹣．20．已知直线l：y=x+m与抛物线y2=8x交于A、B两点，（1）若|AB|=10，求m的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m 的值．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）x2+（2m﹣8）x+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，﹣﹣﹣﹣∵m＜2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2m2+m（8﹣2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣经检验m=﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．是否存在常数a，b，c使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c对一切n∈N*都成立？并证明的结论．【考点】数学归纳法．【分析】可假设存在常数a，b使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c对于任意的n∈N+总成立，令n=1与n=2，n=3列方程解得a，b，c再用数学归纳法证明．【解答】解：n=1时，a﹣b+c=0，n=2时，16a﹣4b+c=3，n=3时，81a﹣9b+c=18解得c=0，证明（1）当n=1是左边=0，右边=0 左边=右边，等式成立．（2）假设n=k时（k≥1，k∈N*）等式成立，即，则当n=k+1时1•[（k+1）2﹣1]+2•[（k+1）2﹣22]+…+k•[（k+1）2﹣k2]+（k+1）[（k+1）2﹣（k+1）2]，=1•（k2﹣1）+2•（k2﹣22）+…+k•（k2﹣k2）+（1+2+…+k）（2k+1），=，===所以当n=k+1时等式也成立．综上（1）（2）对于k≥1，k∈N*所有正整数都成立．22．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．∴f′（x）==，∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=±，则函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．因此要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则必有0＜a＜1，又f（x）的极值点值可能是x1=，x2=﹣，且由f（x）的定义域可知x＞﹣且x≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a≠，则x1，x2分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，∴f（x1）+f（x2）=ln[1+ax1]﹣+ln（1+ax2）﹣=ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]﹣=ln（2a﹣1）2﹣=ln（2a﹣1）2+﹣2．令2a﹣1=x，由0＜a＜1且a≠得，当0＜a＜时，﹣1＜x＜0；当＜a＜1时，0＜x＜1．令g（x）=lnx2+﹣2．（i）当﹣1＜x＜0时，g（x）=2ln（﹣x）+﹣2，∴g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（﹣1，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣1）=﹣4＜0，∴当0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．2018年2月6日。