习题课10--二重积分部分
高等数学(下)课件D10_习题课
f ( x, y )dy
(2) I= ∫1 dy ∫1 f ( x, y )dx + ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
2 y 1 y
2
2
2
2
解：根据积分限可得积分区域
1 1 D = {( x, y ) | ≤ y ≤ 1, ≤ x ≤ 2} 2 y U{( x, y ) |1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ 2}
2 2 1 1 D − x 1
1 1 1[+−)1x 1(|−x 2 2 2 d − | 31 = ∫( x y ] = ∫ x ) − 1 d x − − 1 1 3 3 1 2 x1 = =∫3 ) 1 − ( −x . d 0 3 2 3
D 直x 及 2 3 ∫ y ,其是 =2 物 线 线 例算 σ 中由y − 抛yx 计x = d ∫
6、会用二重积分计算质量、质心、一阶矩和转动惯 量等。 7、掌握第一型曲面积分的概念，会确定曲面在坐标 平面上的投影区域，会计算简单曲面上的第一型 曲面积分。 8、对三重积分可以理解为密度函数为的所占的区域 为的物体的质量。理解这一点对三重积分的许多 性质的理解有极大的帮助。 9、还应将三重积分和以前各类积分比较，一方面可 以加强理解，另一方面也使同学不易忘记和混淆。
xσ [ xx d ∫ y = yy] ∫ d ∫∫ dy 1
22 D
3 4 2 x2y 2 yyd [2 y2 9 = y ] = 2 ) = −] . [ ( y 1 ∫ ⋅2d ∫ − y y 8= 1 1 8 2 2
D 直1 = 2 ∫ +−d 其是 = x 1 线 − 例算12 yσ 中由y 、 计y x 2 , ∫
10-习题课
dxdy e
D2 y2 D2
max{ x 2 , y 2 }
dxdy
x
e
D1
x 0
D1
x2
dxdy e dxdy
dy dy e dx xe dx ye dy e 1.
y2 1 y
dx e
0
x2
0
0
0
1
x2
0
1
y2
测 验 题
一,选择题: 1,0 dx 0
1 1 x 1 1 x
相关的知识点 1,强调积分是一个数值,只和被积函数和积 分区域有关,与积分变量的记法无关.
2,对于二重积分:
(1)根据被积函数和积分区域选择合适的坐 标系(直角坐标,极坐标).先作出图形,若 积分区域为扇形或圆,圆环,最好用极坐标; 若被积函数用直角坐标积分积不出,例如 ( e dx),试选择极坐标.(注意积分次序.)
D
a 2 x 2 y 2 dxdy .
1 ;
3
(A) (C)
(B) (D)
3
3 ; 4
3
3 2 1 2
; .
3,当 D 是( A )围成的区域时,二重积分 dxdy =1.
D
x 轴,y 轴及 2 x y 2 0 ;(B) x 1 , y 1 ; (A) 2 3 (C) x 轴,y 轴及 x 4, y 3 ;(D) x y 1, x y 1.
2 x 2y 1 1 x 2 y 2 dv 1dx 0 x 2 y 2 dy 0 dz 2 x 2y dx 2 dy 2 1 0 x y
[ln( 2 x 2 ) ln x 2 ]dx
2 1
ln 2.
例4 计算
其中 ( x z )dv, 由 z
高数二重积分习题加答案
高数二重积分习题加答案用二重积分求立体的表面积二重积分习题课例1 比较I 1 = ∫∫ ( x + y ) 2 dσ 与I 2 = ∫∫ ( x + y ) 3 dσ 的大小,D D其中D 由( x 2 ) 2 + ( y 1) 2 = 2 围成 .y由重积分的性质x+y1I1 I21212xx + y =1用二重积分求立体的表面积例2 将二重积分化成二次积分I = ∫∫ f ( x , y )d xdy ,D: x + y =1 , x C y = 1,x = 0 所围所围. ,1 yD先对y 积分y =1C xI =01∫ dx ∫011 xx 1f ( x , y )d yxy = x C1 C1用二重积分求立体的表面积先对x 积分1 yI =x =1C yD1∫∫ + ∫∫D1 D21 y=1∫ dy ∫01f ( x , y )d x +y +10D2x+∫dy ∫f ( x , y )d xx = y +1 C1用二重积分求立体的表面积例3 将二次积分换序I = D: x ≤ y ≤ 2ax x 2∫0 dx ∫xya2 ax x 2f ( x , y )dy .ax = a a2 y20≤ x≤ay 2 = 2ax x 2即y + ( x a) = a又Q x ≤ a,∴x a = a y2 2222a xI=ady∫y2 2a a yf ( x , y )d x用二重积分求立体的表面积例4 将I = ∫ d y ∫ 0 0 区域边界：区域边界：边界y 2R2 Ry y 2f ( x , y )d x 变为极坐标形式 .即r =2Rsinθπ 即θ = 2x = 2 Ry y 2x=0r =2Rsinθ2R∴ I = ∫ dθ ∫0π 2 02 Rsin θf ( rcos θ , rsin θ )rdr用二重积分求立体的表面积1 x2 例5 计算∫∫ 2 dσ , 其中D由y = x, y = , x = 2 x D y 解围成. 围成. 1 D : ≤ y ≤ x , 1 ≤ x ≤ 2. x∫∫ y2 dσ = ∫1 dx∫Dx22x 1 xx y2D2dyx = ∫ 1 y222 3 dx= ( x x)dx = 9. 1 1 4x∫用二重积分求立体的表面积例6 计算∫∫ y x dσ , 其中D : 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.2 D 先去掉绝对值符号，解先去掉绝对值符号，如图∫∫Dy x2 dσ2D3D12=D +D2 1∫∫ ( x1 1y)dσ + ∫∫ ( y x )dσD3D2= ∫ dx ∫ ( x y )dy + ∫ dx ∫ 2 ( y x2 0 1 xx211211 )dy = . 15用二重积分求立体的表面积例7 证明∫a dx∫a ( x y)证b xxn 21 b f ( y)dy = (b y)n 1 f ( y)dy. n 1∫an 2∫a dx∫a ( x y)b bf ( y)dyy by= xD= ∫ dy∫ ( x y)n 2 f ( y)dxaya=∫ba1 n 1 f ( y) ( x y) dy n 1 yboabx1 b (b y)n 1 f ( y)dy. = n 1 ∫a用二重积分求立体的表面积例8 计算解1∫0 dy∫yy1ysin x dx. x∫0 dy∫y1 01 x sin x sin x dx = ∫ dx∫2 dy 0 x x x= ∫ (1 x)sin xdx= 1 sin1.用二重积分求立体的表面积x2 y2 例9 设D为圆域x 2 + y 2 ≤ R 2 , 求∫∫ 2 + 2 dxdy . a b D y解2由对称性1 y dxdy = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy 2 D2ORx∫∫ x dxdy = ∫∫D Dx2 y2 1 1 1 ∴ ∫∫ 2 + 2 dxdy = 2 + 2 ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy a b 2 a b D D R 2 1 1 1 2π 1 4 1 1 = 2 + 2 ∫ dθ ∫ r rdr = πR 2 + 2 . 0 4 b 2 a a b 0用二重积分求立体的表面积例10 求半球面z = 3a x y 与旋转抛物面2 2 2z x 2 + y 2 = 2az ( a 0 ) 所围成立体的表面积 .oxy用二重积分求立体的表面积S = S1 + S 2zz =3a 2 x 2 y 2 共同的D : 2 x + y 2 = 2azS1 S2x 2 + y 2 ≤ 2a 2 即z = 0oD2ayx用二重积分求立体的表面积S1 : z = 3a 2 x 2 y 23a z z dxdy dA1 = 1 + + dxdy = 2 2 2 3a x y x y 2 2x2 + y2 S2 : z = 2a 2a z z a2 + x2 + y2 dA2 = 1 + + dxdy = dxdy x y a2 2所求面积：所求面积：A = A1 + A2 = ∫∫D3a 3a x y2 2 2dxdy + ∫∫Da2 + x2 + y2 dxdy a用二重积分求立体的表面积= 3a ∫2π 0dθ ∫2a 02a 02a 1 2π rdr + ∫ dθ ∫ a 2 + r 2 rdr 0 a 0 3a 2 r 2 1= 6π a ∫2π rdr + a 3a 2 r 2 12a∫2a 0a 2 + r 2 rdr= 3π a ∫ +1 3a2 r 20 2ad (3a 2 r 2 )πa∫a 2 + r 2 d (a 2 + r 2 )4 2 2 2 = 6 3 + 6 π a . 3 3用二重积分求立体的表面积练习题交换下列二次积分的次序: 交换下列二次积分的次序1 2y 3 3 y1. ∫ dy ∫01 0f ( x , y )dx + ∫ dy ∫1f ( x , y )dx;2. ∫ dx ∫R 21+ 1 x 2 xf ( x , y )dy;计算下列二次积分：计算下列二次积分：二次积分3. ∫ey2dy ∫ e0yx2dx + ∫R R 2ey2dy ∫R2 y 2ex2dx;4.∫155 dx 1 dy ∫ . y ln x y用二重积分求立体的表面积练习题答案1.∫ dx ∫ x0 223 xf ( x , y )dy2 2 y y2 0 R22.∫ dy ∫01y2 0f ( x , y )dx + ∫ dy ∫1R r2f ( x , y )dx).3. I = ∫ π dθ ∫ e2 4 0πrdr =π8(1 e4. I = ∫ dx ∫15x 15 1 dy =∫ ln xdx = 4. 1 ln x y ln x用二重积分求立体的表面积设( x )为[0D关于直线y = x对称, 则若闭区域,1]上的正值连续函数, a ( x )∫∫ f b )( σ ) ∫∫ f ( y, x)dσ1 + (x, y dy = 证明：证明：∫∫ ( x ) D+ ( y ) d Dxdy = 2 (a + b) D为常数，其中a, b为常数，D = {( x , y ) 0 ≤ x , y ≤ 1}. y a ( x ) + b ( y ) 证设I = ∫∫ d xd y y= x 1 ( x) + ( y) Dy 由区域关于直线= x的对称性得a ( y ) + b ( x ) O I = ∫∫ d xd y ( y) + ( x) D1x1 所以, 所以2 I = ∫∫ (a + b )dxdy = a + b I = ( a + b ). 2 D。
二重积分的计算习题课
y= x
x x = ∫1 (− ) 1 dx y x
2
2
x
1
o
D
1
x=2
9 = ∫1 ( x − x)dx = . 4
2 3
2
x
型区域计算可以吗? 按Y-型区域计算可以吗 型区域计算可以吗
6
P155:15(2) P155:15(2)
∫∫
D
π 2 1 1− ρ 1 − x2 − y2 dxdy = ∫ 2 dθ ∫ ρ dρ 2 2 2 0 0 1+ x + y 1+ ρ
• 确定积分序
• 写出积分限
• 计算要简便 (充分利用对称性，几何意义和性质等 充分利用对称性， 充分利用对称性 几何意义和性质等)
2
P154:2(3) P154:2(3)
e x + y d σ , 其 中 D = {( x , y ) x + y ≤ 1 ∫∫
D
}.
1
0 ≤ x ≤1 解: X-型 D1： 型 x − 1 ≤ y ≤ 1 − x
12
6. (10分)计算二重积分 ∫∫ r 2 sin θ 1 − r 2 sin 2θ drdθ ,
D
π 其中D = ( r ,θ ) 0 ≤ r ≤ sec θ , 0 ≤ θ ≤ . 4
(10数学二 数学二) 数学二
7. (10分)计算二重积分 ∫∫ ( x + y )3 dxdy , 其中D由曲线x = 1 + y 2
二重积分复习课
1.∫∫ f ( x, y)d xdy = 极点在区域D的外部 D 极坐标系下计算 极点在区域D的边界上 极点在区域D的内部 y x =ψ ( y) y = ϕ ( x) y ρ = ρ2(θ) ρ = ρ(θ ) ρ = ρ(θ) d ρ=ρ (θ)
高等数学 二重积分习题课
y
1
D
1
dx
1 x 2e y2 dy
1
dy
y x 2e y2 dx
0
x
0
0
.
0
y x 1x
1 y 3 e y2 dy 1
03
6
1 y 2e y2 d( y 2 （) 令 y 2 u )
D
D1
D2
0
dx
1 x e x y dy
1
dx
1
x
e
x
y
dy
1
1 x
0
x 1
0 (e 2 x1 e 1 )dx
1
(e
e 2 x1 )dx
e e1
1
0
【例3】计算二重积分
D
y dxdy. x
其中D 是由圆周 x 2
y2
重积分的几何意义将所求立体的体积用二重积分来表示，再 利用极坐标计算即可。
解：令
Байду номын сангаас
2
x2
y2
x2
y2,
求得曲线
z
2 x2 y2
z x 2 y2
在xoy坐标面上的投影曲线方程为 x2 y2 1;
故立体在 xoy坐标面上投影区域为Dxy : x2 y2 1.
f (i ,
i ) i
2．几何意义：表示曲顶柱体的体积
V f ( x, y)d ( f ( x, y) 0)
D
顶 : z f ( x, y) 底 : D
二重积分习题课(简)
1
错误点：大多同学都做错了， 错误点：大多同学都做错了，可能是正切函数的导数 不清楚了。 不清楚了。
11
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第三次作业共有2 第三次作业共有2题 P13） 多元函数微分法 习题课二 （习题册第一本 P13） 填空 1. f ( x, y )在 ( x0 , y0 ) 处有极值，则 D 处有极值， (A) f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0 ) 内唯一驻点, (B) ( x0 , y0 ) 是D内唯一驻点,则必为最大值点;且 ) 内唯一驻点 则必为最大值点;
1 2 1 2 −0 ≤ x + y < × 2ε = ε 2 2 x2 + y2 xy
即
( x , y ) →(0,0)
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0).
处连续。 因此函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处连续。 错误作法： 取极限， 错误作法： 有的同学令 y = kx 取极限，得到
∆y →0
= lim
∆y ∆y
∆y →0
g (0, 0),
存在， 因为 f x (0, 0) 和 f y (0, 0) 存在，并且
∆x → 0
lim
∆x ∆x
不存在， 不存在，所以 g (0, 0) = 0.
错误：多数同学做得不好，从偏导数的形式得不到 错误：多数同学做得不好，
g (0, 0) = 0
x →0, y = kx →0
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0) 从而得到结论。 从而得到结论。
3
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第二节：（ ：（习题册第一本 P4） （2）第二节：（习题册第一本 P4）四 四、设 f ( x, y ) = x − y g ( x, y ), 其中 g ( x, y ) 在点 (0, 0) 的邻域内连续。 应满足什么条件， 的邻域内连续。问：g ( x, y ) 应满足什么条件，使
习题课 二重积分的计算
( x, y) 1 2. J . ( u, v ) ( u, v ) ( x, y)
二、例题分析
2 2 2 2 ( x y ) d 例1 计算 D : 2x x y 4 x D
解
积分区域由不等式给出 在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆 但它们围不成区域 要使 2 x x 2 , 4 x 2 都有意义 必须限制 x [0,2]
v
D
1 f ( x y )dxdy f ( u)dudv 2 D
0 A u A A u
u
1 1 f ( u)du dv f ( u)du dv 2 A 20 A u u A
1 f ( u)( A u)du f ( u)( A u)du 2 A 0
2 2 xyf ( x y )d 0 D
0
D D
D2
xd xd xdx dy D D
1
x
3
D1
1
x
3
2 5
2 I 5
例6 设 f (x) 在 [0,1] 上连续
求
dx f ( x ) f ( y )dy 0 x
1
1
f ( x )dx A 0
③若D关于原点对称
D3 ( x, y ) D, x 0, y 0
D3
④若 D 关于直线
y=x
对称
f ( x , y )dxdy f ( y , x )dxdy D D
——称为关于积分变量的轮换对称性 是多元积分所独有的性质
①、②、③简单地说就是
奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关 于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两 倍，完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的 性质
习题课(2)101二重积分概念
lim
0 k 1
(k , k ) k
(k ,k )
x
k
16
两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “分割, 近似, 求(近似)和,(取)极限”
(2) 所求量的结构式相同
曲顶柱体体积:
n
V
lim 0 k 1
f (k , k ) k
平面薄片的质量:
n
M
lim
0
(k , k ) k
k 1
y) 在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}.
7
设三元方程 xy z ln y exz 1, 根据隐函数存在定理，
存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程, ( (D) )
(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)． (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y)． (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y)． (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z)．
f y(P0 ) y (P0 )
5
多元函数极限同样具有极限的保号性.
已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且
A lim
x0
f (x, y) xy (x2 y2)2
1,
则(
).
y0
(A)点(0,0)不是f (x,y)的极值点；
(03考研 ) x2 y2
(B)点(0,0)是f (x,y)的极小值点；
偏连，非空显然满足 F xy z ln y exz 1,
(05数一)
Fx ( 0,1,1 ) (x zexz ) (0,1,1) ≠0
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9计算二重积分 ,其中
10计算二重积分 ，其中D是由直线 ， ， 以及曲线
所围成的平面区域。
11设函数 在区间 上连续，并设 ，
求 。
解法1：化为二重积分，然后利用二重积分的性质。
如图， ： ， ： 。
∵ ，
∴
。
解法2：更换二次积分顺序
∵
∴
。
解法3：利用定积分换元法。
。
解法3：利用分部积分
，
得所求二重积分的方程，解之得 。
宁波工程学院高等数学AI教案
习题课10--重积分
1选择填空
（1） ，其中 的大小
关系为:（ ）
(A) (B) (C) (D)无法判断
（2） ，且 在 上连续.
(A) (B) (C) (D)
（3） 区域 ,按Y型区域应为（ ）
(A) (B) (C) (D)
（4） 已知
，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
12设 连续，且 ，其中D是由 ， ，
所围成区域，则 等于（C）
（A） ；（B） ；（C） ；（D） 。
解：设 （常数）。在D上对 两边积分得：
，解得 ，
故 。
（5）设 连续,且 ,其中D由 所围成,则
(A) (B) (C) (D)
2 填空
（1） 在Y型区域下的二次积分为
（2） 将 转换为极坐标形式下的二次积分
（3） 所围成，且 连续。
（4）
（5） 。
解： 。
（6） 。
解：
。
（7） 。
解：该积分不是二重积分的二次积分。
。
（8） 在极坐标系下的二次积分
为 。
（二）、客观题
1设 在 上连续,证明： .
2交换下列积分次序
（1） (2)
3将下列二次积分化为极坐标系下的二重积分
（1） (2)
4将下列二次积分化为极坐标系下的二次积分并求其值
（1） (2)
5交换积分次序并计算
（1） 的闭区域。
(2)
（3）求 ,其中D为
7 求