高二数学数学归纳法

当n = k + 时,
+ k + k+ + k+ = (k + k ) + k + k + = (k + k ) + k (k + ) + . 由假设知k + k能够被 整除, 而k (k + )是偶数, 故
即(k + ) + (k + )能够被 整除.因此,当n = k + 时 命题成立. 由( ), ( )知, 命题对一切正整数成立, 即n + n (n ∈ N + )能够被 整除. , , 在证明归纳递推时要注意使用归纳假设把"证明 . 的目标" 牢记在心 k (k + )能够被 整除, 从而(k + k ) + k (k +
要证明这个问题 , 必须寻找一种有限个步 骤 , 就 能够处理完无限多个对 象的方法 .
我们先从多米诺骨牌游戏说起 .这是一种码 放骨牌的游戏, 码放时保证任意相邻的两块 骨牌, 若前一块骨牌倒下, 则一定导致后一块 骨牌倒下.这样, 只要推倒第1块骨牌,由于第1 块骨牌倒下, 就可导致第2块骨牌倒下; 而第 2 块骨牌倒下, 就可导致第3块骨牌倒下 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅最 后, 不论有多少块骨牌, 都能全部倒下.
( ) 证明当n = n 时命题成立; ( )假设当n = k (k ∈ N + , 且k ≥ n )时命题成立,
证明n = k + 时命题也成立. , 在完成这两个步骤后就可以断定命题对于 .这种证明方 不小于n 的所有正整数都成立 数学归纳法(mathematical induction ). 法称为
, 思考 结合上面的证明你认为数学归纳法的 ? 基本思想是什么
骤中, 第一步是奠基 第 , 在数学归纳法的两个步 . , 二步是假设与递推这两步都非常重要 缺一不 n , 可.第一步确定了 = n 时命题成立 n = n 成为 , 后面递推的出发点 没有它递推就成无源之 ; 水 第二步确认 一种递 推关系, 借助它, 命题 成 立 n 的范围就能从正整数 开始, 向后一个数一个 n , 数无限传递到 以后的每一个正整数从而完 限的飞跃 .因此, 成证明因此 递推是实现从有限到无
( )假设当n = k时, 命题成立, 即若k个正数的乘积
a a ⋅ ⋅ ⋅ a n = , 则a + a + ⋅ ⋅ ⋅ + a k ≥ k . 当 n = k + 时,已知 k + 个正数 a , a ,⋅ ⋅ ⋅, ak , ak + 满 足条件 a a ⋅ ⋅ ⋅ ak ak + = .
若这 k + 个正数 a , a ,⋅ ⋅ ⋅ak , ak + 都相等.则它们都 是 .其和为 k + , 命题成立. 请结合下 , 面的证明 若这 k + 个正数 a , a ,⋅ ⋅ ⋅ak , ak + 回味这样 不全相等.则其中必有大于 的数, 也有小于 的数(否则与a a ⋅ ⋅ ⋅ ak + 讨论的作 用. = 矛盾).不妨设a > , a < .
数学归纳法
一、提出问题
, , 在数学研究中人们会遇到这样的情况对于 任意正整数 n(n ∈ N + ) 或不小于某个数n 的 任意正整数 n (n ∈ N + , n ≥ n ) , 都有某种不等 . , 关系成立为表达这样的关系 就出现了与无 数多个正整数相关的不 等式, 例如 : | sin nθ |≤ n | sin θ | (n ∈ N + ) ,
四、例题讲解
例
关 证明: n + n (n ∈ N + )能被 整除 .
分析 这是一个与整除有关的命题, 它涉及全体 , 正整数, 若用数学归纳法证明第一步应证n = 时 够被 整除的前提下证明(k + ) + (k + )也能够 , 被 整除. 证明 ( )当n = 时, n + n 显然能够被 整除, 命题成立. ( ) 假设当n = k (k ≥ )时, 命题成立.即 k + k 能 够被 整除. , 命题成立; 第二步应明确目标即在假设 k + k 能
(k + )
+
例 平面上有n (n ∈ N + , n ≥ )个点, 其中任意三点 .过这些点中任意两点作 都不在同一条直线上 直线, ? . 这样的直线共有多少条 证明你的结论
分析 可以先从有限个点的情 ,归纳出一个猜想: 形中 然后再用数学归法证明 猜想成立.
解 当n = 时, 过 个点中任意两点作直线, 这样 的直线共有 条. 当n = 时, 共有 个点, 记它为P , P , P , P .过点P , P , P 有 条直线, 过P , P , P 中任意一个点与点P 作直线, 共有 条.因此, 过 个点共有 + 条直线.
)(
k
k−
) = (− )
k
k.
)+ k+ k k+ (− ) [ (k + ) − ] = (− ) k + (− ) [ (k + ) − ]. k+ k+ = (− ) [− k + (k + ) − ] = (− ) (k + ) = 右边. 所以当n = k + 时等式(∗)成立.由( ), ( )可知 n n − + − + ⋅ ⋅ ⋅ + (− ) ( n − ) = (− ) n (n ∈ N + ).
当n = 时, 共有 个点, 记它为P , P , P , P , P .同前, 在过点 P , P , P , P 的 条直线的基础上, 过 P , P ,
P , P 中任意一个点与点P 作直线, 共有 条.因此, 过 个点共有 + + 条直线.
我们猜想, 过n个点(任意三点不共线)中任意两点 作直线, 共有 + + + ⋅ ⋅ ⋅ + (n −
证明等式(∗ ) : 下面按照上述思路具体
证明 ( )当n = 时, 式(∗)左右两边都等于 − , 即这 时等式(∗)成立. ( ) 假设当n = k (k ≥ )时等式(∗)成立, 即 − + − +
⋅ ⋅ ⋅ + (−
左边 = − + − + ⋅ ⋅ ⋅ + (−
在这个假设下, 再考虑n = k + 时式(∗)的左右两边.
的关键, 没有它我们就只能停留 在对有限情况 的把 握上. 以上就是数学归纳法的 基本原理.
下面的框图表示了数学归纳法的基本过程.
( )证明 : n = n (n ∈ N + )
时命题成立.
( )证明 : 若n = k (k ≥ n )
时命题成立 , 则 n = k + 时命题也成立.
奠基
假设与递推
, 由小 类比多米诺骨牌游戏我们设想将全部正整数 到大依次排列为无限长 一队 , , ,⋅ ⋅ ⋅, k , k + ,⋅ ⋅ ⋅.
可以验证, ( )当n = 时, 等式 (∗)的左右两边都等于− ,即这时等 式 (∗ ) 成立.
可以想象, ( ) 若从 " n = k 时等式(∗) 成立"能推出 n = k + 时等 " 式 (∗ ) 也成立" , 则可以建立一种像多米 诺骨牌那样 " . 的"由前到后 的自动递推关系
综合(
)( ), 就自然地想到一种证明 这个等式的方法:
首先证明( ) n = 时等式(∗ ) 成立;
. 然后证明( )中的递推关系
完成以上两步后就可由n = 时等式(∗)成立为起点 , , 递推出n = 时等式(∗)成立; 再由n = 时等式(∗ )成立, 递推出n = 时等式(∗)成立 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅如此继续自动递推 n 下去, 就可以说 : 对于任意正整数 , 等式(∗ )成立.
)个点 , 相应的直
)条 .
, 思考 结合上述证明过程你认为 数学归纳法有什么特殊 作用?
与无限多 数学归纳法是证明一些 有力工具, 个正整数相关的命题的 它用有限的步骤
( )奠基和( )
递 推 , 取 代了难以实现的无限 验 证 ,实现了由有限到无限的飞跃.
五、课时小结
1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个 ．用数学归纳法证明，要完成两个步骤， 步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析， 步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证 明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设， 明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设， 做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在 到 的转化， 做好命题从 的转化 变化过程中结构不变． 变化过程中结构不变． 2．数学归纳法也不是万能的，也有不能解决的 ．数学归纳法也不是万能的， 问题． 问题．

六、课后探究 证明 : 如果n ( n为正整数 ) 个正数a1 , a2 , ⋅⋅⋅, an 的乘积a1a2 ⋅⋅⋅ an = 1, 那么它们的和a1 + a2 + ⋅⋅⋅ + an ≥ n. , 分析 这是与正整数密切相关 的不等式 它的形式
. , 简洁和谐用数学归纳法证明它时应注意利用n 个 正数的乘积为的条件, 并对什么是归纳假设和 由它 . 要递推的目标心中有数 证明 ( )当n = 时, 有a = , 命题成立.
)(
n
n − )的结果
别是 ,− , ,− ,由此猜想: 上面四个式子的结果分 − + − + ⋅ ⋅ ⋅ + (−
)n (
n−
) = (− )n n .
(∗)