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− ( P {X ≤ x 2 , Y ≤ y1 } − P {X ≤ x 1 , Y ≤ y1 }) = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 1 , y 2 ) − F ( x 2 , y1 ) + F ( x 1 , y1 )
y
( x1 , y 2 )
y2 y1
( x1 , y1 )
( x2 , y2 )
第五章 二维随机变量及其分布
第一节 二维随机变量及分布函数 第二节 二维离散型随机变量 第三节 二维连续型随机变量 第四节 边缘分布 第五节 随机变量的独立性
第一节 二维随机变量及分布函数
1、二维随机变量的定义 、
定义1.1 设E为一个随机试验 其样本空间 为一个随机试验, 定义 为一个随机试验 ={ω}, X=X(ω)和Y=Y(ω)是定义在 上的两个 和 是定义在 随机变量, 则由它们构成的联合变量(X,Y)称为 随机变量 则由它们构成的联合变量 称为 二维随机变量或二维随机向量。 二维随机变量或二维随机向量。
2、二维离散型随机变量的分布律
定义2.2 设二维离散型随机变量 设二维离散型随机变量(X,Y)的所有可 定义 的所有可 能取值为(x ， 能取值为 i,yj)，i,j=1,2,…，令 ，
pij = P {X = x i , Y = y j } 1° 2°
∞ ∞
i , j = 1, 2, ⋯ i , j = 1, 2, ⋯
y
F ( x1 , y )
F ( x2 , y )
0
x1
x2
x
性质2 性质
0≤F(x,y)≤1 ≤ ≤
对固定的 x ， F ( x , −∞ ) = y， 对固定的 y ， F ( −∞ , y ) = 0
F ( −∞ , −∞ ) = 0，F ( +∞ , +∞ ) = 1
性质3 F(x,y)关于变量 和y均是右 关于变量x和 均是右 性质 关于变量 连续的。 连续的。
求常数A, 求常数 B, C。 。
解：
π π F(+∞+∞ = A B+ C + =1 , ) 2 2
π y F(−∞ y) = A B− C +ar , ctan = 0 2 2
x π F(x,−∞ = A B ar ) － =0 ＋ ctan C 2 2
例2.2 一射手向一目标射击, 击中目标的概率为p 一射手向一目标射击 击中目标的概率为 (0<p<1), 射击到击中两次目标为止。设以 表示首次 射击到击中两次目标为止。设以X表示首次 击中目标所进行的射击次数, 击中目标所进行的射击次数 以Y表示总共进行的射 表示总共进行的射 击次数, 为二维离散型随机变量, 击次数 则(X,Y)为二维离散型随机变量 其可能取值 为二维离散型随机变量 为: (X,Y)=(m,n) m=1,2,…,n–1; n=2,3,…
( X , Y )可能取值为 ( x , y ) ∈ R 2，即其值域 若 B ⊂ R 2，则 D = {( x , y ) X (ω ) = x , Y (ω ) = y, ∀ ω ∈ Ω} ⊂ R 2
ω 为一随机事件。 集合 { ( x , y ) = ( X (ω ), Y (ω ) ) ∈ B} ⊂ Ω 为一随机事件。
不满足性质4, 故F(x,y)不能作为分布函数。 不满足性质 不能作为分布函数。 不能作为分布函数 不右连续, 不满足性质3。 且F(x,y)不右连续 如(0,0), 不满足性质 。 不右连续
设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 例1.2 设二维随机变量 的分布函数为
x y F(x, y) = A B+arctan C +arctan 2 2 −∞< x < +∞, −∞< y < +∞
1 1 1 × = 4 3 12 1 2 1 p 32 = P {X = 3, Y = 2} = P {X = 3}P { = 2 X = 3} = × = Y 4 3 6 1 p 33 = P {X = 3, Y = 3} = P {X = 3}P { = 3 X = 3} = × 0 = 0 Y 4 即：
y
1 4
(1,1)
一口袋中有四个球, 例2.3 一口袋中有四个球 其上分别标有 1, 2, 2, 3, 从中任取一球后 不放回袋中 从中任取一球后, 不放回袋中, 再从袋中任取一球, 依次用X, 表示第一 表示第一、 再从袋中任取一球 依次用 Y表示第一、 二次取得的球上标有的数字。 二次取得的球上标有的数字。 (1)求(X,Y)的分布律； 求 的分布律； 的分布律 (2)求P(X≥Y)。 求 ≥ 。
其中P{X≤x,Y≤y}=P{ω|X(ω)≤x,Y(ω)≤y}可视为随 ≤ ≤ 其中 ≤ ≤ 可视为随 机点(X,Y)落在下图所示的，以(x,y)为顶点的位 落在下图所示的， 机点 落在下图所示的 为顶点的位 于该点左下方的无穷矩形域内的概率。 于该点左下方的无穷矩形域内的概率。
y
F(x, y)
( x, y)
即 ∀x , y ∈ ( −∞ ,+∞ ) F ( x + 0, y ) = lim F ( x + ε , y ) = F ( x , y )
ε →0 +
F ( x , y + 0 ) = lim F ( x , y + ε ) = F ( x , y )
ε →0 +
性质4 对于任意的 1≤x2，y1≤y2， 对于任意的x 性质 下述不等式成立： 下述不等式成立：
F ( x 2 , y2 ) − F ( x1 , y2 ) − F ( x 2 , y1 ) + F ( x1 , y1 ) ≥ 0
注：满足上述性质1~4的二元函数 满足上述性质 的二元函数 可作为某个二维随机变量的分布函 数。
0 x + y ≤ 0 例1.1 二元函数 F ( x , y ) = 1 x + y > 0 可否为某个二维随机变量的分布函数。 可否为某个二维随机变量的分布函数。
解: 先求(X,Y)的分布律 X,Y的可能取值为 先求 的分布律, 的可能取值为1,2,3。 。 的分布律 的可能取值为
p11 = P {X = 1, Y = 1} = P {X
p12 = P {X = 1, Y = 2} = P {X p13 = P {X = 1, Y = 3} = P {X p 21 = P {X = 2 , Y = 1} = P {X p 22 = P {X = 2 , Y = 2} = P {X p 23 = P {X = 2 , Y = 3} = P {X
0 1/6 1/12 1/6 1/6 1/6 1/12 1/6 0
第三节
二维连续型随机变量
1、二维连续型随机变量的定义
定义3.1 如果二维随机变量 如果二维随机变量(X,Y)的分布函数 定义 的分布函数 F(x,y), 存在一个非负可积的二元函数 存在一个非负可积的二元函数f(x,y), 使 对于任意实数x,y, 均有 对于任意实数
0
x
定义， 由 F ( x , y ) 定义，容易得出随机点 ( X , Y ) 落入有限矩 内的概率， 形域 {x 1 < X ≤ x 2 , y1 < Y ≤ y 2 } 内的概率，即 P {x 1 < X ≤ x 2 , y1 < Y ≤ y 2 } = P {X ≤ x 2 , Y ≤ y 2 } − P {X ≤ x 1 , Y ≤ y 2 }
p 31 = P {X = 3, Y = 1} = P {X = 3}P { = 1 X = 3} = Y
Y X 1 2 3
P{X≥Y}=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=1} ≥
1
2
3
+P{X=2,Y=2}+P{X=3,Y=1} +P{X=3,Y=2}+P{X=3,Y=3} =0+1/6+1/6+1/12+1/6+0 =7/12
ij
( 2.1)
若其满足
pij ≥ 0
∑∑ p
i =1 j =1
=1
则称(2.1)式为二维离散型随机变量 式为二维离散型随机变量(X,Y)的概率 则称 式为二维离散型随机变量 的 分布(或分布律)，或称为随机变量X和 的 分布 或分布律 ，或称为随机变量 和Y的联合 分布或联合概率分布。 分布或联合概率分布。
分布律通常用表格表示为 X Y
y1 ⋯
p11
yj ⋯
⋯
x1 ⋮ xi
⋮
⋯ p1j
⋮
pi1
⋯ ⋮ ⋯ ⋯ pij ⋯
⋯
⋮
⋮ ⋯
如例2.1中 如例 中，(X,Y)分布律为 分布律为
p ij
Y X 0 1 0 1/4 1/4 1 1/4 1/4
x
1 即P {X = 0, Y = 0} = = P {X = 0, Y = 1} 4 1 1 = P {X = 1, Y = 0} = P {X = 1, Y = 1} = × 2 2
1 Y = 1}P { = 1 X = 1}= × 0 = 0 4 1 2 1 Y = 1}P { = 2 X = 1}= × = 4 3 6 1 1 1 Y = 1}P { = 3 X = 1}= × = 4 3 12 2 1 1 Y = 2}P { = 1 X = 2}= × = 4 3 6 2 1 1 Y = 2}P { = 2 X = 2}= × = 4 3 6 2 1 1 Y = 2}P { = 3 X = 2}= × = 4 3 6
2、二维随机变量的分布函数
定义1.2 设(X,Y)是定义在 上的二维随 定义 是定义在 机变量, 对于任意实数x,y, 二元函数 机变量 对于任意实数 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y} x,y∈R ≤ ≤ ∈ 称为二维随机变量 的分布函数, 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数 或 二维随机变量 的分布函数 称为随机变量 随机变量X与 的联合分布函数 的联合分布函数。 称为随机变量 与Y的联合分布函数。