00唐山市2009-2010学年度高三年级第三次模拟考试数学理科试卷(2010-05-13)word版
河北省唐山市高三第三次模拟考试数学试题(理)含答案
唐山市—高三年级第三次模拟考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|20},{|lg(1)}A x x x x y x =-<==-，则A B =A ．(0,)+∞B ．(1,2)C ．(2,)+∞D ．(,0)-∞ 2、已知i 为虚数单位，(21)1z i i -=+，则复数z 的共轭复数为 A ．1355i -- B ．1355i + C ．1355i -+ D ．1355i - 3、总体由编号为01,02,03,,49,50的50各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为A ．05B ．09C ．11D ．204、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y +=，则C 的离心率为 A ．52 B ．52或5 C ．2 D ．5 5、执行右侧的程序框图，若输出4y =，则输入的x 为 A ．3-或2-或1 B ．2- C ．2-或1 D ．16、数列{}n a 首项11a =，对于任意,m n N +∈，有3n m n a a m +=+，则{}n a 前5项和5S =A ．121B ．25C ．31D ．35 7、某几何体的三视图如图所示，则其体积为A ．4B ．8C ．43 D ．838、函数()1(1)x xe f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为9、若9290129(1)x a a x a x a x -=++++，则1239a a a a ++++=A ．1B ．513C ．512D ．511 10、函数()cos()(0)6f x wx w π=+>在[0,]π内的值域为3[1,]2-，则w 的取值范围是 A ．35[,]23 B ．53[,]62C ．5[,)6+∞ D ．55[,]6311、抛物线2:4C y x =的焦点F ，N 为准线上一点，M 为轴上一点，MNF ∠为直角，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则MNF ∆的面积为 A ．22B ．2C ．322D ．3212、已知函数()32f x x ax bx =++有两个极值点12,x x ，且12x x <，若10223x x x +=，函数()()0()g x f x f x =- ，则()g xA ．恰有一个零点B ．恰有两个零点C ．恰有三个零点D ．至多两个零点第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13、已知向量(3,1),(2,1)a b =-=，则a 在b 方向上的投影为 14、直角ABC ∆顶的三个顶点都在球的球面O 上，且2AB AC ==，若三棱锥O ABC -的体积为2，则该球的表面积为15、已知变量,x y 满足约束条件102100x y x y x y a -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2z x y =+的最小值为5-，则实数a =16、数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214()2n n n S a n N +-+=-∈，则n a =三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,,cos a b c a b b C -=． （1）求证：sin tan C B =；（2）若2,a C =为锐角，求c 的取值范围．18、（本小题满分12分）某学校简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间：（单位：分钟）进行调查，结果如下：若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”（1）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？ （2）从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动． ①求抽取的4为同学中有男同学又有女同学的概率；②记抽取的“读书迷”中男生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．19、（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中，024,60,,,BC AB ABC PA AD E F ==∠=⊥分别为,BC PE 的中点，AF ⊥平面PED ．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求直线BF 与平面AFD 所成角的正弦值．20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>经过点1(3,)2E 3（1）求椭圆Γ的方程；（2）直线l 与圆222:O x y b +=相切于点M ，且与椭圆Γ相较于不同的两点,A B ， 求AB 的最大值．21、（本小题满分12分）已知函数()2ln(1),(0)f x x ax a =++>．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在区间(1,0)-有唯一的零点0x ，证明2101e x e --<+<．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程点P 是曲线221:(2)4C x y -+=上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C ． （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线(0)3πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，定点(2,0)M ，求MAB ∆的面积．23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲已知函数()21f x x a x =++-． （1）若1a =，解不等式()5f x ≤；（2）当0a ≠时，()1()g a f a=，求满足()4g a ≤的a 的取值范围．唐山市—高三年级第三次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：ABBDC DCADD CB B 卷：ADBBC DDACD CB 二．填空题：（13） 5 （14）44π （15）－3 （16）n2n －1三．解答题： （17）解：（Ⅰ）由a －b ＝b cos C 根据正弦定理得sin A －sin B ＝sin B cos C ， 即sin(B ＋C )＝sin B ＋sin B cos C ，sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B ＋sin B cos C ， sin C cos B ＝sin B ， 得sin C ＝tan B ． …6分 （Ⅱ）由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝b 2＋4b －4＝(b ＋2)2－8， …8分由a －b ＝b cos C 知b ＝a 1＋cos C ＝21＋cos C ，由C 为锐角，得0＜cos C ＜1，所以1＜b ＜2． …10分 从而有1＜c 2＜8．所以c 的取值范围是(1，22)．…12分（18）解：（Ⅰ）设该校4000名学生中“读书迷”有x 人，则8100＝x4000，解得x ＝320.所以该校4000名学生中“读书迷”有320人．…3分（Ⅱ）（ⅰ）抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率P ＝1－C 45C 48＝ 1314．…6分（ⅱ）X 可取0，1，2，3．P (X ＝0)＝ C 45 C 48＝ 114，P (X ＝1)＝C 13C 35 C 48＝ 37，P (X ＝2)＝ C 23C 25 C 48＝ 37，P (X ＝3)＝ C 33C 15 C 48＝ 114，…10分X X 0 123 P1143 73 7114E (X )＝0× 1 14＋1× 3 7＋2× 3 7＋3× 1 14＝ 32．…12分（19）解：（Ⅰ）连接AE ，因为AF ⊥平面PED ，ED ⊂平面PED ，所以AF ⊥ED ．在平行四边形ABCD 中，BC ＝2AB ＝4，∠ABC ＝60°， 所以AE ＝2，ED ＝23， 从而有AE 2＋ED 2＝AD 2， 所以AE ⊥ED ． …3分又因为AF ∩AE ＝A ，所以ED ⊥平面PAE ，P A ⊂平面P AE ， 从而有ED ⊥PA ．又因为P A ⊥AD ，AD ∩ED ＝D ， 所以P A ⊥平面ABCD ． …6分（Ⅱ）以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (0，2，0)，D (23，0，0)，B (－3，1，0)．因为AF ⊥平面PED ，所以AF ⊥PE ， 又因为F 为PE 中点，所以P A ＝AE ＝2． 所以P (0，2，2)，F (0，1，1)，AF →＝(0，－1，1)，AD →＝(23，－2，0)， BF →＝(3，0，1)．…8分设平面AFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由AF →·n ＝0，AD →·n ＝0得，⎩⎨⎧－y ＋z ＝0，23x －2y ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，3，3)．…10分设直线BF 与平面AFD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈BF →，n 〉|＝|BF →·n ||BF →||n |＝232×7＝217，即直线BF 与平面AFD 所成角的正弦值为217．…12分（20）解：（Ⅰ）由已知可得3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2a ＝32，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆Γ的方程为x 24＋y 2＝1．…4分（Ⅱ）当直线l 垂直于x 轴时，由直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， 可知直线l 的方程为x ＝±1，易求|AB |＝3． …5分当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，得|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1，…6分将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，AFP BE C D xy z设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2，…8分|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2(－8km 1＋4k 2)2－16m 2－161＋4k 2＝41＋k 21＋4k 2－m 21＋4k 2，又因为m 2＝k 2＋1，所以|AB |＝43|k |k 2＋11＋4k 2≤2(3k 2＋k 2＋1)1＋4k 2＝2，当且仅当3|k |＝k 2＋1，即k ＝±22时等号成立． 综上所述，|AB |的最大值为2．…12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝ 1x ＋1＋2ax ＝2ax 2＋2ax ＋1x ＋1，x ＞－1．令g (x )＝2ax 2＋2ax ＋1，Δ＝4a 2－8a ＝4a (a －2)．若Δ＜0，即0＜a ＜2，则g (x )＞0，当x ∈(－1，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．若Δ＝0，即a ＝2，则g (x )≥0，仅当x ＝－ 12时，等号成立，当x ∈(－1，＋∞)时，f '(x )≥0，f (x )单调递增．若Δ＞0，即a ＞2，则g (x )有两个零点x 1＝－a －a (a －2)2a ，x 2＝－a ＋a (a －2)2a ．由g (－1)＝g (0)＝1＞0，g (－1 2)＜0得－1＜x 1＜－ 12＜x 2＜0． 当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f '(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f '(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f '(x )＞0，f (x )单调递增． 综上所述，当0＜a ≤2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当a ＞2时，f (x )在(－1，－a －a (a －2)2a )和(－a ＋a (a －2)2a，＋∞)上单调递增，在(－a －a (a －2)2a ，－a ＋a (a －2)2a)上单调递减．…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）及f (0)＝0可知：仅当极大值等于零，即f (x 1)＝0时，符合要求． 此时，x 1就是函数f (x )在区间(－1，0)的唯一零点x 0． 所以2ax 02＋2ax 0＋1＝0，从而有a ＝－12x 0(x 0＋1)． 又因为f (x 0)＝ln(x 0＋1)＋ax 02＝0，所以ln(x 0＋1)－x 02(x 0＋1)＝0． 令x 0＋1＝t ，则ln t －t －12t ＝0．设h (t )＝ln t ＋12t － 1 2，则h '(t )＝2t －12t2．再由（Ⅰ）知：0＜t ＜1 2，h '(t )＜0，h (t )单调递减．又因为h (e －2)＝e 2－52＞0，h (e －1)＝e －32＜0，所以e －2＜t ＜e －1，即e －2＜x 0＋1＜e －1．…12分（22）解：（Ⅰ）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ．设Q (ρ，θ)，则P (ρ，θ－ π 2)，则有ρ＝4cos (θ－ π2)＝4sin θ．所以，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ． …5分（Ⅱ）M 到射线θ＝ π 3的距离为d ＝2sin π3＝3，|AB |＝ρB －ρA ＝4(sin π 3－cos π3)＝2(3－1)，则S ＝ 12|AB |×d ＝3－3． …10分（23）解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋2|＋|x －1|,所以f (x )表示数轴上的点x 到－2和1的距离之和， 因为x ＝－3或2时f (x )＝5，依据绝对值的几何意义可得f (x )≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}． …5分（Ⅱ）g (a )＝| 1 a ＋2a |＋| 1a－1|，当a ＜0时，g (a )＝－ 2a－2a ＋1≥5，等号当且仅当a ＝－1时成立，所以g (a )≤4无解；当0＜a ≤1时，g (a )＝ 2a＋2a －1，由g (a )≤4得2a 2－5a ＋2≤0，解得 1 2≤a ≤2，又因为0＜a ≤1，所以 12≤a ≤1；当a ＞1时，g (a )＝2a ＋1≤4，解得1＜a ≤ 32，综上，a 的取值范围是[1 2， 32]． …10分。
河北省唐山市一中2009届高三仿真考试(三)(数学文)
唐山一中2009届高三年级仿真训练考试（三）文科数学说明：1.本试卷共8页，包括三道大题，22道小题，共150分。
其中第一大题为选择题。
2.答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
3.所有题目的解答均应在答题卡上做答，在本试卷上和草稿纸上做答无效。
作选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知1sin()2πα+=-，则3cos()2πα-=（ ）A ．12B ．12- C ．2 D ．22．函数()f x = ）A ．(,)e +∞B ．[,)e +∞C ．(0,]eD ．(,]e -∞3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M N 、分别为1AB DD 、的中点，则异面直线1B M 与CN 所成角是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．904．已知()()1,0log 1≠>+=a a x x f a 的反函数是()x f 1-，若()x f 1-的图像过（3，4）则a 的值（ ）A ．2 B. 3 C. 33 D. 25．若平面向量, , a b c 两两所成角相等，且1,1,3,a b c ===则a b c ++等于（ ）A ．2B ．5C ．2或5D ．26．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小的1份为（ ）A ．53B ．103C ．56D ．116 7．已知1230a a a >>>，则使得2(1)1(1,2,3)i a x i -<=都成立的x 取值范围是（ ）A ．11(0,)aB ．12(0,)aC ．31(0,)aD ．32(0,)a 8．圆心在抛物线22(0)x y x =>上，并且与抛物线的准线及y 轴均相切的圆的方程是（ ）A ．221204x y x y +---= B ．22210x y x y ++-+= C ．22210x y x y +--+= D ．221204x y x y +--+= 9.P 是△ABC 所在平面内一点，PA PB PC AC ++=,则△APC 与△BPC 面积之比（ ） A ．1:4 B. 1:3 C. 1:2 D. 2:310．()14cos 4sin 22-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππx x x f 是（ ） A ． 周期为π的奇函数 B. 周期为π的偶函数C ． 周期为2π的奇函数 D. 周期为2π的偶函数11．用与球心距离为1的平面去截该球，所得截面面积为π，则该球的体积（ ）A.38πB.328πC.332π D. π28 12.函数()x y =的导函数()x fy '=的图像如图所示，则()x f 的解析式可能是（ ） A.ax y = B.2x a y -=C.2)(a x y -=D.3ax y =二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13．在2421(21)(1)x x-+的展开式中，常数项为 . 14．轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ，两艘轮船航行方向的夹角为120，轮船A 的航行速度是25海里/小时，轮船B 航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是 海里.15．已知区域D 满足220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，那么区域D 内离坐标原点O 距离最远的点P 的坐标为 .16．从星期一到星期六安排甲、乙、丙三人值班，每人值2天班，如果甲不安排在星期一，乙不安排在星期六，那么值班方案种数为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知()sin()sin()cos 66f x x x x ππα=++-++的最大值为1. （1）求常数α的值；（2）求使()0f x ≥成立的x 的取值范围.18．（本小题满分12分）每进行一次游戏，赢的话可领取1000元，输的话则要罚300元.在这种游戏中某人赢的概率是13，输的概率是23，如果这个人连续8次进行这种游戏. （1）在这8次游戏中，求赢了多少次才能保证在扣除罚款后至少可得6000元；（2）试求在这8次游戏中，扣除罚款后至少可得到6000元的概率.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，AB AC ⊥，且1AB =，2BC =，又PA ⊥底面ABCD ，PA =，又E 为边BC 上异于B C 、的点，且PE ED ⊥.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求A 到平面PED 的距离.20．（本小题满分13分）设无穷数列{}n a 满足关系：1121,2(1)(1)(2)n n n a a a n n n n +-=-=≥++ （1）求23,a a ；（2）若1(1)n n b a n n =-+，求证：数列{}n b 是等比数列； （3）若n S 为数列{}n a 的前n 项的和，求n S .21．（本小题满分13分）已知函数32()(,,0)f x mx nx m n R m n m =+∈>≠且的图象在(2,(2))f 处的切线与x 轴平行.（1）求m 与n 的关系式；（2）若函数()y f x =在区间[,]n m 上有最大值为2m n -，试求m 的值.22．（本小题满分13分）已知椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，且点(0),,0)A B 在椭圆C 上，又1(4)F .（1）求焦点2F 的轨迹Γ的方程；（2）若直线(0)y kx b k =+>与曲线Γ交于M N 、两点，以MN 为直径的圆经过原点，求实数b 的取值范围.唐山一中2009届高三年级仿真考试（三）文科数学答案一、选择题1．B 2．C 3．D 4．D 5．C 6．A 7．B 8．D 9．C 10.A 11.B 12.C二、填空题13．7 14．70 15．（2，3） 16．42三、解答题17．解：（1）由()sin()sin()cos 66f x x x x ππα=++-++ =2sinxcos cos 6x πα++cos x αα++=2sin(x+)+a 2+=16πα≤ 故1a =-…………………………………………………………（5分）（2）由()0f x ≥可知：2sin()106x π+-≥ 于是有1sin()62x π+≥ 522666k x k πππππ∴+≤+≤+ 故x 的取值范围为2|22()3x k x k k z πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭……………………（10分） 18．解：（1）设在8次游戏中赢了x 次，则输了8x -次依题意61000300(8)6000,613x x x --≥≥ 故7x ≥因此在这8次游戏中赢7次或8次，才能得证在扣除罚款后至少可得6000元.………………………………………………………………………………（6分）（2）在8次游戏中，至少要赢7次，才能使扣除罚款后至少可得到6000元，必须在8次游戏中赢7，8次由于这两个事件互不相容，因此所求的概率887718811217()()()3336561P C C =+=…………………………………………（12分） 19．解：（1）在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，90BAC ∠=︒又AB=1，BC=2，则60,ABC AC ∠=︒=∴四边形ABCD 面积S=1又1,33P ABCD PA ABCD PA V -⊥==面故…………………（6分） （2）,PE ED PA ED ⊥⊥，则ED PAE ⊥面，从而DE AE ⊥在平行四边形ABCD 中，设BE=x ，则222211211,2AE x x x x =+-⋅⋅⋅=-+ 222211(2)21(2)572ED x x x x =+-+⋅⋅-⋅=-+ 由222AD AE DE =+可知：2320x x -+=，故1,2x x ==（舍）DE PAE ⊥面，故面PAE PED ⊥面.故A 到面PED 之距而转化为A 到棱PE 之距在Rt PAE ∆中，1PA AE BE ===故A 到PE 之距d ==从而A 到平面PED （12分） 20．解：（1）由1122(1)1(1)(2)n n n a a n a n n n +--=≥=++及 2122111552,21,12366612a a a a --==-=-==⋅⋅ 同理可求3524a =……………………………………………………………（4分） （2）1(1)n n b a n n =-+可知1(1)n n a b n n =++代入递推式中， 11122()()(1)(2)(1)(1)(2)n n n b b n n n n n n n +-+-+=+++++ 12222(1)(2)(1)(2)(1)(2)n n n n n b b n n n n n n n n n ++-∴-+-=++++++ 111112,22n n b b b a +∴==-=且 {}n b ∴是首项为12，公比亦为12的等比数列………………………………（9分） （3）由（2）可知1()2n n b =，从而11()2(1)n n a n n =++ 从而{}n a 的前n 项和112()21n n S n =--+…………………………………（12分）21．解：（1）由图象在(2,(2))f 处的切线与x 轴平行，知'(2)0f =3n m ∴=- ① 0m >…………………………………………………（5分）（2）令22'()32360f x mx nx mx mx =+=-=得02x x ==或易证0x =是()f x 的极大值点，2x =是极小值点. 令()(0)0,03f x f x x ====得或.（I ）当03m <≤时，2max ()(0)0,0f x f m n ==∴-=由①，②解得19m =，符合前提03m <≤. （II ）当3m >时，42max ()()f x f m m m n ==+422.m m n m n ∴+=- ③由①，③得32323910,()391m m m g m m m m -+-==-+-记， 22'()3693(1)60g m m m m =-+=-+>，()g m ∴在R 上是增函数，又3,()(3)260m g m g >∴>=>，()0g m ∴=在(3,)+∞上无实数根.综上讨论可知，m 的值为19m =.……………………………………（12分） 22．解：（1）|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|2211||||||||642AF BF BF AF ∴-=-=-= 故轨迹Γ为以A 、B 为焦点的双曲线的右支.设其方程为：22221(0,0,0)x y a b x a b-=>>> 22222,1,4a abc a =∴==-=. 故轨迹方程为221(0)4y x x -=>………………………………………………（6分） （2）由221(0)4y x x y kx b ⎧-=>⎪⎨⎪=+⎩消去y 整理得 方程222(4)2(4)0k x kbx b ---+>有两个正根x 1, x 2.2222212212244(4)(4)0 (1)40 (2)420 (3)4k b k b b x x k kb x x k ⎧∆=+-+>⎪⎪+⎪∴=>⎨-⎪-⎪+=>⎪-⎩设1122(,),(,)M x y N x y ，由条件知12120x x y y +=. 而2212121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++ 221212(1)()0k x x kb x x b ∴+++==. 即2222222(1)(4)2044k b k b b k k ++-+=-- 整理得2234(1)b k =+，即224(1)3b k =+ 由（1）知2222440,(1)403b k k k -+>+-+>即显然成立. 由（2），（3）知240k kb ⎧>⎨<⎩而0,0k b >∴<.224420(1)(41)333b k ∴=+>+=b ∴<=. 故b的取值范围为（,3-∞-）.…………………………………………（12分）。
2009-2010学年河北唐山高三年级摸底考试文
2009-2010学年度河北省唐山市高三年级摸底考试数学（文）试卷本试卷分第Ⅰ卷（1~2页，选择题）和第Ⅱ卷（3~8页，非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷 （选择题， 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试卷科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅⋅如果事件A 在一次实验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k k n n P P C k P --⋅⋅=)1()(球的表面积公式24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式334R V π=其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．已知全集},6,5,4,3,2,1{=U },5,3,1{M },6,5,4{N 则=⋂)(N C M U （ ）A ．}5,3,1{B ．}4,2{C ．}6,4,2{D ．}3,1{ 2．不等式0412>--x x 的解集是（ ） A ．),2(+∞ B ．),2()1,2(+∞⋃-C ．)1,2(-D ．),1()2,(+∞⋃--∞3．α为三角形的一个内角，125tan -=α，则=αcos （ ）A ．1312-B ．135-C ．135 D ．1312 4．l 、m 是异面直线，α、β为两个平面，若α⊂l ，β⊂m ，n =⋂βα，则（ ） A ．n 与l 、m 分别相交 B ．n l 、m 都不相交C ．n 至少与l 、m 中的一条相交D ．n 至多与l 、m 中的一条相交5．椭圆的长轴为21A A ，B 为短轴的一个端点，若∠021120=BA A ，则椭圆的离心率为（ ）A ．21B ．36 C ．33 D ．23 6．在nx )21(-展开式中，各项系数的和是（ ）A ．1B ．-1C ．n2 D ． 1或1 7．函数x x x f 2sin )2cos 1()(+=是（ ） A ．周期为2π的偶函数 B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为π的奇函数8．一个球的表面积等于π16，它的一个截面的半径为3，则球心到该截面的距离为（ ）A ．23B ．21 C ．1D ．39．抛物线x y 42=上点M 的横坐标为1，则点M 到该抛物线的焦点的距离为 （ ）A ．3B ．2C ．1.5D ．0.510．函数)(lg x f 的定义域是[0.1，100]，则函数)2(xf 的定义域是 （ ）A ．[0.2，200]B ．[-1，2]C ．[0.1，100]D ．[-2，4] 11．已知实数a 、b 满足1=+b a ，则ba22+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．22D ．2412．函数)(x f y =的反函数为)(1x f y -=，则)1(+=x f y 的图象与)1(1+=-x fy （ ）A ．关于直线x y =对称B ．关于直线1+=x y 对称C ．关于直线1-=x y 对称D ．关于直线1=x 对称第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上． 13．n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，115=a ，则9S = ． 14．直线)2(+=x k y 与圆4)2(22=+-y x 相切，则k = ．15．某产品的加工需要经过5道工序，其中某一工序不能放在最后加工，有 种排列加工顺序的方法．（用数字作答）16．已知二面角βα--l 的大小为0120，α∈A ，β∈B ，点A 、B 在l 上的射影为1A 、1B ，若21=AA ，41=BB ，10=AB ，则=11B A ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3=a ，3222=-+bc cb ．（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）设54cos =B ，求边c 的大小． 18．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，1=AB ，21=AA ，N 是D A 1的中点，∈M 1BB ，异面直线MN 与A A 1所成的角为090．（Ⅰ）求证：点M 是1BB 的中点；（Ⅱ）求直线MN 与平面11A ADD 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角1A MN A --的大小．19．（本小题满分12分）已知数列}{n a 中，已知11=a ，),3,2,1(221⋅⋅⋅=+=+n a nn a n n ． （Ⅰ）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 20．（本小题满分12分）箱子装有20个苹果，其中有16个是合格品，4个是次品，从箱子中任意抽取3个苹果．（Ⅰ）所抽取的3个苹果中没有次品的概率； （Ⅱ）所抽取的3个苹果中次品至多为2个的概率． 21．（本小题满分12分）已知函数d cx bx ax x f +++=23)(在)1,(-∞上单调递减，在（1，3）上单调递增，在),3(+∞上单调递减，且函数图象在))2(,2(f 处的切线与直线05=+y x 垂直． （Ⅰ）求实数a 、b 、c 的值；（Ⅱ）设函数)(x f 的一个极值是0，求d 的值． 22．（本小题满分12分）已知直线01=+-y kx 与双曲线1222=-y x 相交于两个不同点A 、B ． （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）若AB 的垂直平分线通过点)0,3(M ，求k 的值．。
唐山市—学年度高三年级第三次模拟考试——数学理(图
参考答案一、选择题A 卷：BCAAD BCCBB ADB 卷：BCAAD BBCDC AD二、填空题（13）4 （14）43π （15）－1（16）(－3，0) 三、解答题（17）解：（Ⅰ）因为2a ＋b cos B ＝－c cos C ，所以由正弦定理可得：2sin A ＋sin B cos B ＝－sin C cos C， 所以2sin A cos C ＝－(sin B cos C ＋sin C cos B )＝－sin A ．因为sin A ≠0，所以cos C ＝－ 1 2． 又0＜C ＜π，故C ＝ 2π 3． …5分（Ⅱ）sin A sin B ＝sin A sin ( π 3－A )＝sin A (32cos A － 1 2sin A ) ＝34sin 2A － 1 2sin 2A ＝34sin 2A －1－cos 2A 4＝ 1 2sin (2A ＋ π 6)－ 1 4． 因为0＜A ＜ π 3，所以当A ＝ π 6时，sin A sin B 有最大值为 1 4． …12分 （18）解：（Ⅰ）该组数据的中位数为87，众数为92，打印的15件产品中，合格品有10件，由此可估计该打印机打出的产品为合格品的概率为 2 3． …5分 （Ⅱ）随机变量X 可以取－54，18，90，162，P (X ＝－54)＝C 03×(1－ 2 3)3＝ 1 27， P (X ＝18)＝C 13× 2 3×(1－ 2 3)2＝ 2 9，P (X ＝90)＝C 23×( 2 3)2×(1－ 2 3)1＝ 4 9， P (X ＝162)＝C 33×( 2 3)3＝ 8 27， X 的分布列为 ∴随机变量X 的期望E (X )＝(－54)× 1 27＋18× 2 9＋90× 4 9＋162× 8 27＝90． …12分（19）解：（Ⅰ）∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AE ，又∵PB ⊥AE ，PB ∩P A ＝P ，∴AE ⊥平面P AB ，又∵AB ⊂平面P AB ，∴AE ⊥AB ．又∵PA ⊥AB ，P A ∩AE ＝A ，∴AB ⊥平面P AE ，又∵PE ⊂平面P AE ，∴AB ⊥PE ． …6分（Ⅱ）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则B (23，0，0)， P (0，0，2)，C (－3，3，0)，D (－3，1，0)，∴BC →＝(－33，3，0)，PC →＝(－3，3，－2)，DC →＝(0，2，0).设平面PBC 的一个法向量m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·PC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－33x ＋3y ＝0，－3x ＋3y －2z ＝0， 令x ＝1，得n ＝(1，3，3)．同理可求平面PCD 的一个法向量n ＝(2，0，－3)．∴cos 〈m ,n 〉＝m ·n |m ||n |＝－17·7＝－ 1 7． ∵二面角B -PC -D 为钝二面角，∴二面角B -PC -D 的余弦值为－ 1 7． …12分（20）解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0），由已知可得： ⎩⎨⎧2b 2a ＝3，c ＝1，a 2＝b 2＋c 2．解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3．故所求椭圆C 的方程为 x 24＋ y 23＝1． …4分（Ⅱ）假设存在满足条件的点T (t ，0)，当直线AB 斜率不为0时，可设直线AB 为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将x ＝my ＋1代入C 得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，显然Δ＞0，且y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2，x 1＋x 2＝84＋3m 2，x 1x 2＝4－12m 24＋3m 2． 所以TA →·TB →＝(x 1－t )(x 2－t )＋y 1y 2＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋y 1y 2＝(6t －15)m 2－94＋3m 2＋t 2－2t ＋1， 要使TA →·TB →为定值须有6t －153＝－94，得t ＝118， 此时T (118，0)，TA →·TB →为定值－ 135 64． 当直线AB 斜率为0时，TA →·TB →＝－ 135 64． 故存在点T (118，0)满足题设. …12分（21）解：（Ⅰ）m＝1时，f(x)＝e x－ln x－2，f'(x)＝e x－1x，x＞0．显然f'(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f'(12)＜0，f'(1)＞0，故存在唯一实数t∈(12，1)，使得f'(t)＝0．…4分（Ⅱ）f'(x)＝m e mx－1x＝m(e mx－1mx)，由0＜m＜1得f'(x)在(0，＋∞)上单调递增，由（Ⅰ）得mx0＝t时，f'(x0)＝0，所以f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，即f(x)的最小值为f(x0)＝f(tm)＝et－ln t＋ln m－2，∵e t－1t＝0，∴et＝1t，t＝－ln t．于是f(x0)＝f(tm)＝1t＋t＋ln m－2，所以当ln m＞2－(1t＋t)时，f(x)＞0．取k＝2－(1t＋t)＜0，故m∈(e k，1)时成立．…12分（22）解：（Ⅰ）证明：连接CQ，BC，AB，因为PQ是圆O的切线，所以∠PQC＝∠CBD，因为B为AC⌒的中点，所以∠CQB＝∠ACB，所以∠PQC＋∠CQB＝∠CBD＋∠ACB，即∠PQD＝∠CDQ，故△DPQ为等腰三角形.…5分（Ⅱ）设CD＝t，则PD＝PQ＝1＋t，P A＝2＋2t，由PQ2＝PC·P A得t＝1，所以CD＝1，AD＝PD＝2，所以BD·QD＝CD·AD＝2.…10分（23）解：（Ⅰ）设A (x ，y )，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x B ＝ρcos (θ＋ π 3)＝ 1 2x －32y ；y B ＝ρsin (θ＋ π 3)＝32x ＋ 12y ， 故B ( 12x －32y ，32x ＋ 1 2y )．由|BM |2＝1得( 12x －32y ＋2)2＋(32x ＋ 1 2y )2＝1，整理得曲线C 的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1． …5分 （Ⅱ）圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋cos α，y ＝3＋sin α（α为参数），则|OA |2＋|MA |2＝43sin α＋10，所以|OA |2＋|MA |2∈[10－43，10＋43]．…10分 （24）解：（Ⅰ）由a ＞b ＞c ＞d ＞0得a －d ＞b －c ＞0，即(a －d )2＞(b －c )2， 由ad ＝bc 得(a －d )2＋4ad ＞(b －c )2＋4bc ，即(a ＋d )2＞(b ＋c )2， 故a ＋d ＞b ＋c ．…5分 （Ⅱ）a a b b c d d c a b b a c c d d ＝( a b )a －b ( c d )d －c ＝( a b )a －b ( dc )c －d，由（Ⅰ）得a －b ＞c －d ，又 ab ＞1，所以( a b )a －b＞( a b )c －d，即( a b )a －b ( d c )c －d ＞( a b )c －d ( d c )c －d ＝(ad bc )c －d＝1，故a a b b c d d c ＞a b b a c c d d ． …10分。
河北省唐山市高考第三次模拟考试理科数学试卷包括
唐山市2017— 2018 学年度高三年级第三次模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题5 分 , 共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的 .1. 已知会集M x1x 3 , N x x0，则会集 x 0 x3（）A．M N B． MN C.MC R N D． C R MN2. 复数 z 满足2i z34i （i为虚数单位），则 z（）A．2i B． 2 i C. 2 i D． 2 i3. 已知 tan61 ，则 tan（）6A． 2 3B． 23 C.23D． 234. 已知命题p :在ABC 中，若 sin A sin B ，则A B ；命题q : x0,12 . 则以下命题为真， sin xsin x命题的是（）A．p q B． p q C.p q D．p q5. 已知双曲线x2y2l1 ,l 2l1l 2 E :a2b2 1 a0,b0 的两条渐近线分别为，若 E 的一个焦点 F 关于的对称点 F 在上，则 E 的离心率为（）A． 5B． 2 C.23D．5 326. 某几何体的三视图以下列图，则该几何体的体积为（）A． 6B．7C.15D．23237.已知函数 f x sin x20 的图象与 x 轴相切，则f（）3A．3B．131D．31 22C.228.已知 P 是抛物线 y24x 上任意一点，Q是圆x21上任意一点，则PQ 的最小值为（）4y2A．5B． 3 C. 3 1D． 2 3 1 29.利用随机模拟的方法可以估计圆周率的值，为此设计以下列图的程序框图，其中rand表示产生区间0,1 上的平均随机数（实数) ，若输出的结果为786，则由此可估计的近似值为（）A． 3.134B．3.141D． 3.14710. 在ABC 中，点 G 满足GA GB GC0 . 若存在点O，使得 OG 1nOC ，则 m n BC ，且 OA mOB6（）A． 2B． 2C. 1D． 111.若异面直线 m, n 所成的角是60，则以下三个命题:①存在直线l ，满足l 与m,n的夹角都是60；②存在平面，满足m， n 与所成角为60 ；③存在平面,，满足m, n，与所成锐二面角为60 .其中正确命题的个数为（）A． 0B．1C. 2D．312. 已知a0, fxe x，若 f x 的最小值为 1 ，则a（）xe x aA．1B．1C.eD． e2 e2e第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）x y10,13.设变量 x, y 满足拘束条件y1,则 z x y 的最大值为．x 2 y50,14.某种袋装大米的质量X（单位：kg）遵从正态分布N 50,0.01 ，任意选一袋这种大米，质量在 49.8 50.1kg 的概率为．15.设函数 f x x2 , x0,则使得 f x f x 建立的x得取值范围是．x, x0,16.ABC 的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，角A的内角均分线交BC 于点D，若a 1,11 2 ，则AD的b c取值范围是．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.已知数列 a n是等差数列，b n是等比数列， a11,b1 2 ， a2b2 7, a3 b313 .（ 1）求a n和b n的通项公式；a n ,n为奇数c n的前2n项和 S2 n .（ 2）若 c n，求数列b n , n为偶数18. 某球迷为认识A, B 两支球队的攻击能力，从本赛季老例赛中随机检查了20 场与这两支球队有关的比赛 .两队所得分数分别以下：A 球队：122 110 105 105 109 101 107 129 115 100114 118 118 104 93 120 96 102 105 83B 球队：114 114 110 108 103 117 93 124 75 10691 81 107 112 107 101 106 120 107 79（ 1）依照两组数据完成两队所得分数的茎叶图，并经过茎叶图比较两支球队所得分数的平均值及分别程度（不要求计算出详尽值，得出结论即可）；（ 2）依照球队所得分数，将球队的攻击能力从低到高分为三个等级：球队所得分数低于100 分100 分到119 分不低于120 分攻击能力等级较弱较强很强记事件 C :“A 球队的攻击能力等级高于 B 球队的攻击能力等级”. 假设两支球队的攻击能力相互独立.依照所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率.19. 如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形，BAC PAD PCD90.（ 1）求证：平面PAB平面 ABCD ；（ 2）若AB AC PA3， E 为BC的中点， F 为棱 PB 上的点，PD / /平面 AEF ，求二面角 A DF E 的余弦值 .20. 已知点 A2,0，点 B1,0 ，点 C1,0 ，动圆O与 x 轴相切于点A，过点B的直线 l1与圆O相切于点D，过点 C 的直线l2与圆 O 相切于点E（ D , E 均不同样于点A），且 l1与 l2交于点P，设点P的轨迹为曲线.（ 1）证明： PB PC 为定值，并求的方程；（ 2）设直线 l1与的另一个交点为Q ，直线CD与交于 M , N 两点，当 O , D ,C 三点共线时，求四边形 MPNQ 的面积 .21. 已知a 0，函数 f x ln x4a2 2 . x a（1）记g af a2，求 g a 的最小值；（2）若 y f x 有三个不同样的零点，求 a 的取值范围 .请考生在22、 23 两题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程已知点 A在椭圆 C : x22y24上，将射线OA绕原点O逆时针旋转，所得射线OB 交直线l : y 2 于点B .2以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（ 1）求椭圆C和直线l的极坐标方程；（ 2）证明： : Rt OAB 中，斜边AB 上的高h为定值，并求该定值.23.选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 f xx 1 2x 3 .（ 1）求不等式 f x0 的解集；（ 2）设 g x f x f x ，求 g x 的最大值 .试卷答案一、选择题1-5: CADBB6-10: BBDCD 11、12：DA二、填空题13. 415.(- , 1)0,1 ?16.3 ,1 2三、解答题17.解：（ 1）设数列 {a n} 的公差为 d，数列 {b n} 的公比为q，依意有，1＋ d＋ 2q＝ 7，解得d＝2，q＝2，1＋ 2d＋ 2q2＝ 13，故a n＝ 2n－ 1， b n＝ 2n，（2）由已知 c2n－1＝ a2n－1＝4n－ 3， c2n＝b2n＝ 4n，所以数列 {c n} 的前 2n 和S2n＝ (a 1＋ a3＋⋯ a2n－1) ＋(b 2＋ b4＋⋯ b2n)＝ n(1 ＋ 4n－ 3)＋4(1 － 4n) ＝2n2－n＋4(4 n－ 1) ．21－ 4318．解：（ 1）两所得分数的茎叶以下A 球B 球7593813693152407195510836771678845011440720921240通茎叶可以看出， A 球所得分数的平均高于 B 球所得分数的平均； A 球所得分数比集中， B 球所得分数比分别．（ 2） C A1表示事件：“ A 球攻能力等”，C A2表示事件：“ A 球攻能力等很”；C B1表示事件：“ B 球攻能力等弱”，C B2表示事件：“ B 球攻能力等弱或”，C A1与 C B1独立， C A2与 C B2独立， C A1与 C A2互斥， C＝ (C A1C B1) ∪(C A2C B2) ．P (C) ＝ P(C A1C B1)+P (C A2C B2) ＝ P(C A1)P (C B1) ＋ P (C A2)P (C B2) ．由所数据得C A1， C A2， C ，C 生的率分143518，，，，故B1B220202020A114A23B15B218P (C ) ＝20， P (C) ＝20，P (C )＝20， P(C ) ＝20，145318P (C) ＝20×20＋20×20＝ 0.31 ．19．解：（1）∵ AB∥ CD，PC⊥ CD，∴ AB⊥ PC，∵ AB⊥AC， AC∩PC＝ C，∴ AB⊥平面 PAC，∴ AB⊥PA，又∵ PA⊥ AD，AB∩ AD＝ A，∴ PA⊥平面 ABCD， PA 平面 PAB，∴平面 PAB ⊥平面 ABCD ．（ 2）连接 BD 交 AE 于点 O ，连接 OF ，∵ E 为 BC 的中点， BC ∥ AD ，BOBE 1∴OD ＝ AD ＝ 2，∵ PD ∥平面 AEF ，PD 平面 PBD ，平面 AEF ∩平面 PBD ＝ OF ，∴ PD ∥OF ，BFBO 1∴FP ＝ OD ＝ 2，以 AB ， AC ， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 A －xyz ，则 A(0 ，0， 0) ，B(3 ， 0，0) ， C(0 ，3， 0) ，D(－ 3，3， 0) ，3 3P(0 ， 0， 3) ， E( 2 ， 2 ， 0)， F(2 ， 0， 1) ， 设平面 ADF 的法向量 m ＝ (x 1 ，y 1 ， z 1) ， → → － 3， 3， 0) ， ∵ AF ＝(2， 0， 1)， AD ＝(→→2x 1＋ z 1＝0，由 AF ·m ＝ 0， AD · m ＝ 0 得 － 3x 1＋ 3y 1＝ 0， 取 m ＝ (1 ， 1，－ 2) ．设平面 DEF 的法向量 n ＝ (x 2 ，y 2 ， z 2) ， →93→13∵ DE ＝( 2 ，－ 2 ， 0)， EF ＝ ( 2 ，－ 2 ， 1)，→→9 x － 3 y ＝0，2 2由 DE ·n ＝ 0， EF · n ＝ 0 得3取 n ＝ (1 ， 3，4) ．1 x － y ＋ z ＝ 0，2 2 2cosm ， nm · n 2 39＝| m|| n|＝－39 ，∵二面角 A-DF-E 为钝二面角，∴二面角A-DF-E 的余弦值为－2 3939 ．20．解：（1）由已知可得 |PD| ＝ |PE| ， |BA| ＝ |BD| ，|CE| ＝ |CA| ，所以 |PB| ＋ |PC| ＝ |PD| ＋|DB| ＋ |PC|＝|PE| ＋ |PC| ＋|AB|＝|CE| ＋ |AB|＝|AC| ＋ |AB| ＝4＞ |BC|所以点 P 的轨迹是以 B， C 为焦点的椭圆（去掉与x 轴的交点），x2y2可求的方程为4＋3＝ 1(y ≠ 0) ．（ 2）由 O， D，C 三点共线及圆的几何性质，可知PB⊥ CD，又由直线 CE， CA为圆 O的切线，可知CE＝CA， O A＝ O E，所以△ O AC≌△ O EC，进而有∠ ACO ＝∠ ECO ，所以 |PC| ＝ |BC| ＝ 2，又由椭圆的定义，|PB| ＋ |PC| ＝4，得 |PB| ＝ 2，所以△ PBC为等边三角形，即点 P 在 y 轴上，点 P 的坐标为 (0 ，± 3) (i) 当点 P 的坐标为 (0 ，3) 时，∠ PBC＝ 60，∠ BCD＝ 30，此时直线 l的方程为 y＝313(x ＋ 1) ，直线 CD的方程为 y＝－3 (x － 1) ，x2y2＋＝ 1，28 3 316，由43整理得 5x ＋ 8x＝ 0，得 Q(－，－)，所以 |PQ| ＝y＝3(x ＋ 1)555 x2y24＋3＝ 1，整理得 13x2－ 8x－ 32＝ 0，由3y＝－(x － 1)3832设M(x1， y1) ， N(x 2， y2) ，x1＋ x2＝13， x1x2＝－13，|MN| ＝1＋13|x1－x2|48＝13，所以四边形MPNQ的面积S＝12|PQ| · |MN| ＝38465 ．(ii)当点P 的坐标为(0 ，－3) 时，由椭圆的对称性，四边形MPNQ的面积为384 65 ．384综上，四边形MPNQ的面积为65．21．解：24a1（1） g (a) ＝ ln a ＋a2＋a2－ 2＝ 2(ln a＋a－ 1)，112(a －1)g (a) ＝2( a－a2 )＝a2，所以 0＜a＜ 1时， g(a) ＜ 0， g (a) 单调递减；a ＞ 1 时， g(a) ＞0， g (a) 单调递加，所以 g (a) 的最小值为 g (1) ＝ 0．（ 2） f (x)＝1 4a x 2＋ (2a 2－ 4a)x ＋ a 4－2 2＝x(x 2 2， x ＞ 0．x(x ＋a )＋ a )因为 y ＝f (x) 有三个不同样的零点，所以 f (x) 最少有三个单调区间，而方程 x 2＋ (2a 2－ 4a)x ＋ a 4＝ 0 至多有两个不同样正根， 所以，有2a 2－ 4a ＜ 0，解得， 0＜ a ＜ 1．2＝16a (1 － a) ＞ 0，由（ 1）得，当 x ≠ 1 时， g (x) ＞ 0，即 ln x ＋1 －1＞ 0，x1 ，则 x ＞ e －1所以 ln x ＞－x (x ＞ 0) ，xa 2a 22令 x ＝ 2 ，得 2 ＞ e －a 2 ．22 4 2(a － 1)2－2＞ 0，因为 f (e a 2 )＜－ 2 ＋ － 2＝－2＜0， f (a )aaa4a－ 2(a － 1) 224af (1) ＝1＋ a 2－ 2＝1＋ a 2＜ 0， f (e ) ＝e 2＋ a 2＞ 0，2所以 y ＝f (x)在 (e －a 2 ， a 2)， (a 2， 1) ，(1 ， e 2) 内各有一个零点，故所求 a 的范围是 0＜ a ＜1．22．解：（ 1）由 x ＝ ρ cos θ ， y ＝ρ sin θ 得椭圆 C 极坐标方程为 ρ2(cos 2θ ＋ 2sin 2θ) ＝ 4，即 ρ 2＝ 4 2θ ； 1＋ sin2直线 l 的极坐标方程为ρsin θ ＝ 2，即 ρ ＝sin θ ．（ 2）证明：设 A(ρ ， θ ) ， B(ρ ， θ＋2 )，－2 ＜θ ＜ 2 ．AB22 42 2 244 θ，由（ 1）得 |OA|＝ ρ ＝ 1＋ sin θ ， |OB|＝ρ ＝＝cosA2B2sin (θ ＋)2由 S＝×|OA| × |OB| ＝ 1 ×|AB| × h 可得，△OAB 12 22|OA| 2× |OB| 2 |OA| 2× |OB| 2h ＝ |AB| 2 ＝|OA| 2＋ |OB| 2＝2．故 h 为定值，且h ＝ 2．23．解：（ 1）由题意得 |x － 1| ≥ |2x － 3|,所以 |x － 1|2≥ |2x －3|224整理可得 3x － 10x＋8≤ 0，解得3≤x≤ 2，4故原不等式的解集为{x| 3≤ x≤ 2}．（2）显然 g (x) ＝f (x) ＋ f ( － x) 为偶函数，所以只研究 x≥0时 g (x) 的最大值．g (x) ＝ f (x) ＋ f ( － x) ＝ |x － 1| － |2x － 3| ＋ |x ＋ 1| － |2x ＋ 3| ，所以 x≥0时， g (x) ＝ |x －1| － |2x －3| － x－ 2－4， 0 ≤ x≤ 1，3＝2x－ 6， 1＜ x＜2，－ 2x，x≥32，3所以当x＝2时， g (x)获取最大值－3，3故 x＝±2时， g (x)获取最大值－3．。
河北省唐山市2009—2010学年度高三第一学期期末考试数学(理)
（ II ）由（ I）知当 n 2时 ,2bn bn 1 2n 2 ，
则 2n bn 2 n 1bn 1 (n 1) 2n ，于是
2 n bn 2 n 1bn 1 (n 1) 2n. ……………… 6 分
当 n 2时, 2 n bn 2b1 (22 b2 2b1 ) (23 b3 2 2b2 )
（）
A ．一定存在直线与 m 平行，也一定存在直线与 m 垂直 B ．一定存在直线与 m 平行，但不一定存在直线与 m 垂直 C．不一定存在直线与 m 平行，但一定存在直线与 m 垂直 D ．不一定存在直线与 m 平行，也不一定存在直线与 m 垂直
x2 y2 9．若双曲线 a 2 b 2 1(a 0, b 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的
（ I ）求函数 f (x) 的最大值及对应的 x 的取值集合；
（ II ）在给定的坐标系中，画出函数 y f (x)在[ 0, ] 上的图象。
18．（本小题满分 12 分）
甲与乙进行一场乒乓球单打比赛时，甲获胜的局数
的期望 E 2 ，每场比赛打
满 3 局。
（ I ）甲、乙进行一场比赛，通过计算填写下表（不必书写计算过程）
4
三、解答题
17．解：（ I） f (x) 3 sin 2x 1 2 sin 2 x 1 3 sin 2x cos2x 1
2 sin( 2x ) 1. ……………… 3 分 6
当 2x
2k
6
(k Z)时, f ( x) 取最大值 3， 2
此时 x 的取值集合为 { x | x k
（ II ）列表如下：
（）
A ．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C ．充要条件
唐山市度高三年级第三次模拟考试——数学理数学(理)
河北省唐山市2016—2017学年度高三年级第三次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：1．已知集合A＝{x|x2－2x＜0}，B＝{x|y＝lg（x－1）}，则A∪B＝A．（0，＋∞）B．（1，2）C．（2，＋∞）D．（－∞，0）2．已知i为虚数单位，z（2i－1）＝1＋i，则复数z的共轭复数为A．B．C．D．3．总体由编号为01，02，03，…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始山左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为66 67 40 67 1464 05 71 95 8611 05 65 09 6876 83 20 37 9057 16 00 11 6614 90 84 45 1175 73 88 05 9052 27 41 14 86A．05B．09C．11D．204．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x＋y＝0，则C的离心率为A．B．或C．2D．5．执行下侧程序框图，若输出y＝4，则输入的x为A．－3或－2或1B．－2C．－2或1D．16．数列{a n}首项a1＝1，对于任意m，n∈N*，有a n＋m＝a n＋3m，则{a n}前5项和S5＝A．121B．25C．31D．357．某几何体的三视图如图所示，则具体积为A．4B．8C．D．8．函数（其中e为自然对数的底数）的图象大致为A．B．C．D．9．若（1－x）9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝A．1B．513C．512D．51110．函数（ω＞0）在[0，π]内的值域为[－1，]，则ω的取值范围是A．B．C．[，＋∞）D．11．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，N为准线上一点，M为y轴上一点，∠MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为A．B．C．D．12．己知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，若x1＋2x0＝3x2，函数g（x）＝f（x）－f（x0），则g（x）A．恰有一个零点B．恰有两个零点C．恰有三个零点D．至多两个零点第Ⅱ卷二、填空题：13．己知向量a＝（3，－1），b＝（2，1），则a在b方向上的投影为________．14．直角△ABC的三个顶点都在球O的球面上，且AB＝AC＝2，若三棱锥O—ABC的体积为2，则该球的表面积为________．15．已知变量x，y满足约束条件10,210,0,x yx yx y a-+⎧⎪--⎨⎪+-⎩≥≤≥目标函数z＝2x＋y的最小值为－5，则实数a＝________．16．数列{a n}的前n项和为S n，若（n∈N*），则a n＝________．三、解答题：17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a－b＝bcosC．（Ⅰ）求证：sinC＝tanB；（Ⅱ）若a＝2，C为锐角，求c的取值范围．18．某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间t（单位：分钟）进行调若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”．（Ⅰ）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？（Ⅱ）从己抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动．（i）求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率；（ii）记抽取的“读书迷”中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．19．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB＝4，∠ABC＝60°．PA⊥AD，E，F分别为BC，PE 的中点，AF⊥平面PED．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD：（Ⅱ）求直线BF与平面AFD所成角的正弦值．20．己知椭圆Γ：（a＞b＞0）经过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）直线l与圆O：x2＋y2＝b相切于点M，且与椭圆Γ相交于不同的两点A，B，求AB的最大值．21．己知函数f（x）＝ln（x＋1）＋ax2，a＞0．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（－1，0）有唯一零点x0，证明：e－2＜x0＋1＜e－1．22．选修4—4：坐标系与参数方程点P是曲线C1：（x－2）2＋y2＝4上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，定点M（2，0），求△MAB的面积．23．选修4—5：不等式选讲己知函数f（x）＝|x＋2a|＋|x－1|．（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a≠0时，，求满足g（a）≤4的a取值范围．参考答案一．选择题：A 卷：ABBDC DCADD CB B 卷：ADBBC DDACD CB 二．填空题： （13） 5（14）44π（15）－3（16）n 2n －1三．解答题： （17）解：（Ⅰ）由a －b ＝b cos C 根据正弦定理得sin A －sin B ＝sin B cos C ， 即sin(B ＋C )＝sin B ＋sin B cos C ，sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B ＋sin B cos C ， sin C cos B ＝sin B ， 得sin C ＝tan B ． …6分 （Ⅱ）由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝b 2＋4b －4＝(b ＋2)2－8， …8分由a －b ＝b cos C 知b ＝a 1＋cos C ＝21＋cos C ，由C 为锐角，得0＜cos C ＜1，所以1＜b ＜2． …10分 从而有1＜c 2＜8．所以c 的取值范围是(1，22)．…12分（18）解：（Ⅰ）设该校4000名学生中“读书迷”有x 人，则8100＝x4000，解得x ＝320.所以该校4000名学生中“读书迷”有320人．…3分（Ⅱ）（ⅰ）抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率P ＝1－C 45C 48＝ 1314．…6分（ⅱ）X 可取0，1，2，3．P (X ＝0)＝ C 45C 48＝ 1 14，P (X ＝1)＝ C 13C 35C 48＝ 3 7， P (X ＝2)＝ C 23C 25 C 48＝ 37，P (X ＝3)＝ C 33C 15 C 48＝ 114， …10分X 的分布列为：114＋1×37＋2×37＋3×114＝32．…12分E(X)＝0×（19）解：（Ⅰ）连接AE ，因为AF ⊥平面PED ，ED ⊂平面PED ，所以AF ⊥ED ． 在平行四边形ABCD 中，BC ＝2AB ＝4，∠ABC ＝60°， 所以AE ＝2，ED ＝23， 从而有AE 2＋ED 2＝AD 2， 所以AE ⊥ED ． …3分又因为AF ∩AE ＝A ，所以ED ⊥平面PAE ，P A ⊂平面P AE ， 从而有ED ⊥PA ．又因为P A ⊥AD ，AD ∩ED ＝D ， 所以P A ⊥平面ABCD ． …6分（Ⅱ）以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (0，2，0)，D (23，0，0)，B (－3，1，0)． 因为AF ⊥平面PED ，所以AF ⊥PE ， 又因为F 为PE 中点，所以P A ＝AE ＝2． 所以P (0，2，2)，F (0，1，1)，AF →＝(0，－1，1)，AD →＝(23，－2，0)， BF →＝(3，0，1)．…8分设平面AFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由AF →·n ＝0，AD →·n ＝0得，⎩⎨⎧－y ＋z ＝0，23x －2y ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，3，3)．…10分设直线BF 与平面AFD 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈BF →，n 〉|＝|BF →·n ||BF →||n |＝232×7＝217， 即直线BF 与平面AFD 所成角的正弦值为217． …12分（20）解：（Ⅰ）由已知可得3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2a ＝32，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆Γ的方程为x 24＋y 2＝1．…4分（Ⅱ）当直线l 垂直于x 轴时，由直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，可知直线l 的方程为x ＝±1，易求|AB |＝3．…5分当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，得|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1，…6分将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2，…8分|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2(－8km 1＋4k 2)2－16m 2－161＋4k 2＝41＋k 21＋4k 2－m 21＋4k 2， 又因为m 2＝k 2＋1，所以|AB |＝43|k |k 2＋11＋4k 2≤2(3k 2＋k 2＋1)1＋4k 2＝2，当且仅当3|k |＝k 2＋1，即k ＝±22时等号成立．综上所述，|AB |的最大值为2．…12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝ 1x ＋1＋2ax ＝2ax 2＋2ax ＋1x ＋1，x ＞－1．令g (x )＝2ax 2＋2ax ＋1，Δ＝4a 2－8a ＝4a (a －2)．若Δ＜0，即0＜a ＜2，则g (x )＞0，当x ∈(－1，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．若Δ＝0，即a ＝2，则g (x )≥0，仅当x ＝－ 12时，等号成立，当x ∈(－1，＋∞)时，f '(x )≥0，f (x )单调递增．若Δ＞0，即a ＞2，则g (x )有两个零点x 1＝－a －a (a －2)2a ，x 2＝－a ＋a (a －2)2a ．由g (－1)＝g (0)＝1＞0，g (－1 2)＜0得－1＜x 1＜－ 12＜x 2＜0． 当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f '(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f '(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f '(x )＞0，f (x )单调递增． 综上所述，当0＜a ≤2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当a ＞2时，f (x )在(－1，－a －a (a －2)2a )和(－a ＋a (a －2)2a ，＋∞)上单调递增，在(－a －a (a －2)2a ，－a ＋a (a －2)2a)上单调递减．…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）及f (0)＝0可知：仅当极大值等于零，即f (x 1)＝0时，符合要求． 此时，x 1就是函数f (x )在区间(－1，0)的唯一零点x 0． 所以2ax 02＋2ax 0＋1＝0，从而有a ＝－12x 0(x 0＋1)． 又因为f (x 0)＝ln(x 0＋1)＋ax 02＝0，所以ln(x 0＋1)－x 02(x 0＋1)＝0． 令x 0＋1＝t ，则ln t －t －12t＝0．设h (t )＝ln t ＋12t － 12，则h '(t )＝2t －12t2．再由（Ⅰ）知：0＜t ＜ 12，h '(t )＜0，h (t )单调递减．又因为h (e －2)＝e 2－52＞0，h (e －1)＝e －32＜0，所以e －2＜t ＜e －1，即e －2＜x 0＋1＜e －1．…12分（22）解：（Ⅰ）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ．设Q (ρ，θ)，则P (ρ，θ－ π 2)，则有ρ＝4cos (θ－ π2)＝4sin θ．所以，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ． …5分（Ⅱ）M 到射线θ＝ π 3的距离为d ＝2sin π3＝3，|AB |＝ρB －ρA ＝4(sin π 3－cos π3)＝2(3－1)，则S ＝ 12|AB |×d ＝3－3． …10分（23）解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋2|＋|x －1|,所以f (x )表示数轴上的点x 到－2和1的距离之和， 因为x ＝－3或2时f (x )＝5，依据绝对值的几何意义可得f (x )≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}． …5分（Ⅱ）g (a )＝| 1 a ＋2a |＋| 1a－1|，当a ＜0时，g (a )＝－ 2a－2a ＋1≥5，等号当且仅当a ＝－1时成立，所以g (a )≤4无解；当0＜a ≤1时，g (a )＝ 2a＋2a －1，由g (a )≤4得2a 2－5a ＋2≤0，解得 1 2≤a ≤2，又因为0＜a ≤1，所以 12≤a ≤1；当a ＞1时，g (a )＝2a ＋1≤4，解得1＜a ≤ 32，综上，a 的取值范围是[ 1 2， 32]． …10分。
河北省唐山市2009高三第三次模拟考试(理科综合)
乙甲时间 河北省唐山市2008—2009学年度高三第三次模拟考试理科综合能力测试说明：1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
2．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
2．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原做题擦干净，再涂选其它答案标号。
3．所有题目的解答均应在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
以下数据可供解题时参考：相对原子质量（原子量）：H 1 C 12 N 14 O 16 Cu 64第Ⅰ卷本卷共21小题，每小题6分，共126分。
一、选择题（本题包括13小题，每小题只有一个选项符合题意）1．某同学为了研究酵母菌呼吸作用的类型，设计了如图实验装置。
甲、乙中加等量的经煮沸后冷却的葡萄糖溶液，并加等量的酵母菌，乙内用液体石蜡隔绝空气。
对该实验分析，错误．．的是（ A ．该实验不能以有无CO 2的产生来判断酵母 菌的呼吸作用类型B ．将葡萄糖溶液煮沸可以防止杂菌污染，以免影响实验结果C ．乙和甲比较，说明酵母菌在不同的条件下有不同的呼吸作用类型D ．乙为甲的空白对照实验，以排除无关因素对酵母菌呼吸作用的影响2．下列关于微生物的叙述，正确的是 （ ）A ．能将N 2转化为NH 3的微生物是生态系统中的生产者B ．酵母菌和根瘤菌的线粒体、核糖体上均可发生碱基互补配对C ．大肠杆菌转移RNA 与氨基酸的结合不在细胞器中进行D ．酿脓链球菌可引发人体患免疫缺陷病3．科学家通过基因工程的方法，能使马铃薯块茎含有人奶主要蛋白。
以下有关叙述正确的是 （ ）A ．受体细胞应是马铃薯块茎细胞，而不是叶肉细胞B ．该马铃薯含有人奶主要蛋白的变异属于基因重组C ．为获得重组质粒，必须用不同的限制酶切目的基因和质粒D ．人体细胞中人奶主要蛋白基因编码区的碱基对数等于人奶主要蛋白氨基酸数的3倍4．右图表示在烧杯中加入一定量的枯草浸出液，烧杯 中的枯草杆菌以其中的有机物为食。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
唐山市2009-2010学年度高三年级第三次模拟考试
理科数学试卷（B 卷）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求）
1．已知i
z +-11=2+i ，则复数z=C A ．2―3i B ．4―3i C ．2+3i D ．4+3i
2． 抛物线y =2x 2的焦点坐标为D
A ．（21，0）
B ．（41，0）
C ．（0，41）
D ． （0，8
1） 3． 曲线y=x 3―2x 在点（1，―1）处的切线在y 轴上的截距为A
A ．―2
B ．―1
C ．1
D ．2
4．若向量a 、b 满足|a |=|b |=2，a 与b 的夹角为，a •（ a +b ）=B
A ．4
B ．6
C ．2+3
D ．4+23
5．若函数y =f （x ）的图象与函数y =x +1的图象关于y =x 对称，则满足f （x ）=C
A ．（x ―1）2 （x ≥0）
B ．（x +1）2 （x ≥0）
C ．（x ―1）2 （x ≥1）
D ．（x +1）2 （x ≥1）
6． 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为4π，则球的表面积为C
A ． 5π
B ．17π
C ．20π
D ．68π
7． θ
θθθθcos sin 22cos 2sin 2sin 2+++=A A ．tan θ B ．tan2θ C ．cot θ D ．cot2θ
8．函数y =)23(log 2x x a -（0＜a ＜1）的定义域为D
A ．),1[]21,(+∞⋃-∞
B ．[2
1，1] C ．（0，21）∪（1，23） D ． )2
3,1[]21,0(⋃ 9．过点（0，1）引x 2+y 2－4x +3=0的两条切线，这两条切线夹角的余弦值为D
A ．32
B ．31
C ．54
D ． 5
3 10．设2
32ππ
<≤-x ，且x 2sin 1+=sin x +cos x ，则B A ．0≤x ≤π B ．―
4π≤x ≤43π C ．4π≤x ≤45π D ． ―2π≤x ≤―4
π或43π≤x ＜23π 11． 在矩形ABCD 中，AB =1，BC =2，沿对角线AC 折成直二面角，则折后异面直线AB 与CD 所成的角为A
A ．arccos 51
B ．arcsin 51
C ．arccos 52
D ． arccos 5
4 12．7张卡片上分别写有数字1，1，2，2，3，4，5，从中取4张排成一排，可以组成不同的4位奇数的个数为B
A ．198
B ．156
C ．145
D ．142
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填写在题中横线上）
13．（1－x ）（1+x ）7的展开式中x 5的系数为 ．―14
14．不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+20030
x y x y x 表示的平面区域的面积为 ．10
15．在1与6中间插入10个数，使这12个数成等差数列，则这个数列的第6
项为 ．11
36 16．在△ABC 中，∠A =15°，∠B =105°，若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ．则该椭圆的离心率e = ．2
2 三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足sin C =3（1―cos C ）=2sin2A+sin （A ―B ）． 求A 的大小．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是边长为23的菱形，∠BAD =60°，侧面VAD ⊥底面ABCD ，VA =VD ，E 为AD 的中点．
（Ⅰ）求证：平面VBE ⊥平面VBC ；
（Ⅱ）当直线VB 与平面ABCD 所成的角为30°时，求面VBE 与面VCD 所成锐二面角的大小．
E A V C D B
19．（本小题满分12分）
有甲、乙两箱产品，甲箱共装8件，其中一等品5件，二等品3件；乙箱共装4件，其中一等品3件，二等品1件．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两箱中共抽取产品3件．
（Ⅰ）求抽取的3件产品全部是一等品的概率；
（Ⅱ）用ξ抽取的3件产品中为二等品的件数，求ξ的分布列和数学期望．
20．（本小题满分12分）
已知数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且S n =2―2a n ，T n =3―b n ―221-n ．
（I ）求数列{a n }、{b n }的通项公式；
（II ）求lim ∞→n （a 1b 1+ a 2b 2+ a 3b 3+…+ a n b n ）．
21．（本小题满分12分） A 、B 是双曲线3
2
x ―y 2=1上两点，M 为该双曲线右准线上一点，且AM =MB ． （Ⅰ）求||的取值范围（O 为坐标原点）；
（Ⅱ）求|AB |的最小值．
解：（Ⅰ）解法一：双曲线的右准线方程为x =23，记M （2
3，m ），并设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由=，知M 为AB 的中点，则直线AB 的斜率k 存在，且k ≠0，于是直线AB 的方程为y =k （x ―2
3）+m ，代入双曲线方程，并整理得 （1―3k 2）x 2+3k （3k ―2m ）x ―4
3（3k ―2m ）2―3=0 因为 1―3k 2≠0，x 1+x 2=3，
所以 2
31)23(3k m k k ---=3，km =21， △=9 k 2（3k ―2m ）2+3（1―3k 2）[（3k ―2m ）2―3]
=222)31)(1(3k
k k -+ 由△＞0，得 0＜k 2＜31，所以m 2＞4
3． 因为 ||=22)2
3(m +＞3， 故 ||的取值范围为（3，+∞）．
（Ⅱ）||2=（1+k 2）（x 1―x 2）2
=（1+k 2）2
31k -∆ =)
31()1(3
2222k k k -+ 因为4k 2（1―3k 2）≤（231422k k -+）2=4
)1(22+k 所以|AB |2≥2
222)1()1(48++k k =48，当且仅当k 2=71时取“=”号． 故当k =±
77时，||取得最小值43．
22．（本小题满分12分）
已知函数f （x ）=lnx －ax 2+x ，（a ＞0）
（I ）求a 的最大值，使函数f （x ）在（0，+∞）内是单调函数；
（II ）若对于任意的x ∈（0，+∞），总有f （x ）≤0，求a 的取值范围．。