2021届高考高三模拟考试数学试题
2021届辽宁省大连市高考一模数学试题(含答案)
注意事项：2021年大连市高三第一次模拟考试数学1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效。
2.本试卷分第｜卷〈选择题）和第川卷（非选择题〉两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
l己知集合A ={x jx 2 -4x <o}, B = {x ii x I ＜斗则AU E =A .(0,2)B .(-2,4)c.（叫2)U(4，叫D .（叫－2)U (O ,+oo)/,l 2.己知复数z ＝乒－：( i为虚数单位〉，则lzl=l +l A. 1 B . "2 C . 2 D. 2"23.己知两条不重合的直线m 、刀和平面α，则ml/n 的一个充分不必要条件是A.m CZ.α，n cαB .m II α，n/1αC.mJ_α，n J_α D.ml!α，n cα4.娟的概念是由德国物理学家克劳修斯于1865年所提出，它用来表示任何一种能量在空间中分布的均匀程度，能量分布得越均匀，；脑就越大．它在控制论、概率论、天体物理、生命科学等领域都有重要应用．，在数学中，利用烟：可以解决如下问题：有.n 个互不相等的数，需要比较「(log 2n!) l 次C n ！表示n 的阶乘：「斗表示的是向上取整函数，如「2.11=.3）就可以将这些数从小到大排序现有6个互不相等的数，将这－些数从小到大排序，需要比较的次数为A . 8 : B. �， ..‘二C .l O·< ·: D. jJ 5若双曲线C ：三－l =l 的右焦点到它的一条渐近线的距离是·�Ji ，则c 的离心率为9 bL. 血’A A.2B.JiC.i D .」主3 3 6.我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液：“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、直肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件A 表示选出的两种中有一药，事件B 表示选出的两种中有一方，则P (B I A )=A._!_B.三C.l D . i 10 5 4第1页2021年大连市高三第一次模拟考试数学参考答案一、 选择题1.B2.B3.C4.C5.A6.D7.A8.B二、 选择题9.AC 10.ABD 11.AD 12.BCD三、 填空题13.10 14. 3 15. [12,24]四、 解答题17.解：（Ⅰ）选用测角仪和米尺，如图所示2分(1) 选择一条水平基线HG (图1)，使H ，G ，B 三点在同一条直线上4分 (2)在H ，G 两点用测角仪测得A 的仰角分别为α，β，CD a =，测得测角仪器的高是h6分 (3)经计算得建筑物sin sin sin()a AB h αβαβ=+− (也可以为tan tan tan tan a h αβαβ+−)8分 （Ⅱ）（1）测量工具问题（2）两次测量时位置的间距差（3）用身高代替测角仪的高度10分 注：如果有其它的合理测量方法，相应给分；第二问中，写出以上三种原因中之一即可.18. （Ⅰ）证明：在三棱台ABC DEF −中，DE AB ∥，因为BE AD =所以四边形ABED 为等腰梯形因为1BE DE ==，2AB = 所以可得3ABE π∠=2分第18题图第2页在ABE中，由余弦定理可得AE =222BE AE AB +=所以AE BE ⊥4分 因为平面ABED ⊥平面BCFE 且平面ABED 平面BCFE BE =，AE ⊂平面ABED所以AE ⊥平面BEFC6分（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）可知AE ⊥平面BEFC ，因为BC ⊂平面BCFE 所以AE BC ⊥，又BA BC ⊥，且AE ，BC ⊂平面ABEDBC ⊥平面ABED ，又BC ⊂平面ABC所以平面ABC ⊥平面ABED在平面ABED 内过B 作BH ⊥BA则BH ⊥平面ABC8分 以B 为坐标原点，BC ，BA ，BH 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系由题意可得(0,2,0)A，1(0,2E ，(000)B ，，，(3,0,0)C，3(0,2D 因为13(,0,0)22EF BC == 所以31(,22F 所以3(,1,0)2DF =−，333(,,)222AF =−， 设平面AEF 一个法向量为n 000(,,)=x y z 则00003023330222EF x AF x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=−+=⎪⎩nn ，所以00000330x x y =⎧⎪⎨−=⎪⎩ 取01y =，则得0z =所以n= 10分 设直线DF 与平面AEF 成角为θ则sin |cos ,|||||DF DF DF θ⋅=<>=⋅nn n== 直线DF 与平面AEF . 12分 法二：由(1)可知BC ⊥平面ABEDy第3页因为EF BC ∥，所以EF ⊥平面ABED又EF ⊂平面AEF所以平面AEF ⊥平面ABED过D 作DG AE ⊥，垂足为G ，连接GF又平面AEF 平面ABED AE =所以DG ⊥平面AEF所以DF 在平面AEF 内的射影为GF所以DFG ∠为直线DF 与平面AEF 所成的角10分 在ADE 中，1sin 302DG DE =⨯=，又12FD AC ==在RtDGF中，1sin 13DG DFG DF ∠=== 直线DF 与平面AEF. 12分19. 证明：（Ⅰ）因为24(1)n n S a =+①，所以当2n 时，有2114(1)n n S a −−=+② 所以①−②，得221(1)(1)n n a a −−=+2分 所以有12n n a a −−=或10n n a a −+=又因为{}n a 是正项数列所以12n n a a −−=所以数列{}n a 是公差为2的等差数列4分又因为1n =时，有2114(1)a a =+，解得11a =所以21n a n =−6分 （Ⅱ）法一： 由（Ⅰ）可得2(121)2n n n S n +−==7分 所以21n b n = 所以222111123n T n=++++ 当1n =时，161136T =<，当2n =时，2156114436T =+=<， 当3n =时，31149611493636T =++=<9分当4n 时，因为21111(2)(1)1n n n n n n <=−−−第18题图第4页所以1111111114934451n T n n <+++−+−++−−611613636n =−< 综上对任意*n N ∈，有6136n T <12分 法二：由（Ⅰ）可得2(121)2n n n Sn +−== 7分 所以21n b n = 所以222111123n T n=++++ 当1n =时，161136T=<，当2n =时，2156114436T =+=<， 9分 当3n 时，因为2211111()(2)1211n n n n n <=−−−+ 所以111111115111111()()4224351142231n T n n n n <++−+−++−=++−−−++5111561()321336n n =−+<<+ 综上对任意*n N ∈，有6136n T < 12分20.解（Ⅰ）①设甲向前跳的步数为Y ，乙向前跳的步数为Z 所以1(2)(2)4p Y p Z ==== 1(3)(3)2p Y p Z ====1(4)(4)4p Y p Z ====所以111115()()2442416p Y Z >=⨯+⨯+= 3分 ②由①知X 的所有可能取值为4,5,6,7,8所以1(4)16p X ==,1(5)4p X ==,3(6)8p X ==,1(7)4p X ==,1(8)16p X == 所以X 的分布列为5分第5页所以X 的数学期望11311()4567861648416E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=6分 （Ⅱ）法一由题知1213,24p p == 当3n ≥时，121122n n n p p p −−=+8分 211223211111()()()()()2422n n n n n n n n p p p p p p p p −−−−−−−=−−=−==−−=− 所以11()2n n n p p −=+− 1132211111()()()()()22222n n n n n p p −−−=+−+−==+−+−++− 所以112()323n n p =−+（3n ≥） 因为1213,24p p ==所以112()323n n p =−+ 11分 当n 为奇数时23n p <，当n 为偶数时23n p >且数列{}n p 为递减数列 所以n p 的最大值为234p = 12分 法二 由题知1213,24p p ==当3n ≥时，121122n n n p p p −−=+ 8分 1121()2n n n n p p p p −−−−=−−，所以11212n n n n p p p p −−−−=−− 所以1{}n n p p −−是首项为14，公比为12−的等比数列 所以11()2n n n p p −−=−， 所以112211()()()n n n n n p p p p p p p p −−−=−+−++−+121111()()()2222n n −=−+−++−+111[1()]111242()123231()2n n −−−=+=−+−−11分 当n 为奇数时23n p <，当n 为偶数时23n p >且数列{}n p 为递减数列 所以n p 的最大值为234p =12分21解：（Ⅰ）方法一：设半焦距为c ，因为221PF F F ⊥，所以1c =所以1(1,0)F −，2(1,0)F 所以1253||||422PF PF +=+=2分 所以24a =，2a =所以2223b a c =−=所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=4分方法二：设半焦距为c ，因为221PF F F ⊥，所以1c = 由题意得222219141a b a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，2分 解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.4分 解（Ⅱ）方法一：设直线:(1)l y k x =−，1122(,),(,)M x y N x y ，00(,)Q x y 由题知(2,0),(2,0)A B −联立22(1)3412y k x x y =−⎧⎨+=⎩，消y 整理得2222(34)84120k x k x k +−+−= 所以2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩6分由,,A M Q 三点共线可得010122y y x x =++ 由,,B N Q 三点共线可得020222y y x x =−− 所以222012222021(2)(2)(2)(2)x y x x y x −−=++ 因为2222112233(4),(4)44y x y x =−=− 所以2012121220121212(2)(2)(2)42()(2)(2)(2)42()x x x x x x x x x x x x x x −−−−++==++++++9分 所以222220222022164124(2)1343416412(2)943434k k x k k k k x k k −−+−++==−+++++由题可知02x > 所以002123x x −=+解得04x =11分 所以点Q 在直线4x =上12分 方法二：设直线:1l x ty =+，1122(,),(,)M x y N x y ，00(,)Q x y由题知(2,0),(2,0)A B −联立2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，消x 整理得22(34)690t y ty ++−= 所以122122634934ty y t y y t −⎧+=⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩6分 所以有12123()2y y y y t =+由,,A M Q 三点共线可得010122y yx x =++由,,B N Q 三点共线可得020222y y x x =−−8分 所以01212121021211222(2)(1)2(2)(3)3x y x y ty ty y y x y x y ty ty y y −−−−===++++因为12123()2y y y y t=+ 所以121001223()212323()32y y y x x y y y +−−==+++10分 解得04x =11分 所以点Q 在直线4x =上12分 22.（Ⅰ）解：因为()ln f x x x ax a =−+(0)x >所以()ln 1f x x a '=+−由()0f x '>得1a x e −>由()0f x '<得10a x e −<<所以()f x 的单调递减区间为1(0,)a e−，单调递增区间为1(,)a e −+∞2分 所以函数()f x 有极小值点1a x e −=，无极大值点4分 （Ⅱ）证法一：证明：由（1）可知当1a =时，()0f x所以ln 1x x x −，当且仅当1x =时取等号5分 又因为1111(1)(1)1x x x x x e x e e −−−−−−−−= 当01x <<时110,10x x e −−<−<，所以11(1)(1)0x x x e e −−−−> 当1x =时，11(1)(1)0x x x e e−−−−= 当1x >时，110,10x x e −−>−>，所以11(1)(1)0x x x e e −−−−> 所以0x >时111x x x e−−−，当且仅当1x =时取等号 所以11ln x x x x e −−成立，当且仅当1x =时取等号7分令()()h x g x x =−，则1()ln x x m h x x x e −+'=− 因为1m − 所以111e e x x x x m −−−+ 所以()0h x ' 因为函数()h x 在(0,)+∞的任意子区间内不恒为零 所以()h x 在(0,)+∞为增函数10分不妨设120x x >>则12()()h x h x >所以1122()()g x x g x x −>− 所以1212()()1g x g x x x −>−12分 证法二：证明:不妨设120x x >> 若证1212()()1g x g x x x −>−成立 只需证1122()()g x x g x x −>−成立令()()h x g x x =−即证12()()h x h x >5分 只需证()h x 在(0,)+∞为增函数因为函数()h x 在(0,)+∞的任意子区间内不恒为零所以只需证()0h x ' 由题有1()ln x x m h x x x e−+'=− 即证1ln x x m x x e−+7分 因为1m −只需证11ln x x x x e−−8分 由（1）可知当1a =时，()0f x所以ln 1x x x −，当且仅当1x =时取等号10分 又因为1111(1)(1)1x x x x x e x e e−−−−−−−−= 当01x <<时110,10x x e −−<−<，所以11(1)(1)0x x x e e −−−−> 当1x =时，11(1)(1)0x x x e e−−−−= 当1x >时，110,10x x e −−>−>，所以11(1)(1)0x x x e e −−−−> 所以0x >时111x x x e−−−，当且仅当1x =时取等号 所以11ln x x x x e −−成立，当且仅当1x =时取等号 所以1212()()1g x g x x x −>−成立.12分2021年高三第一次模拟考试数学试题注意事项：］.答卷前，考生务必将自己的的：名、准考证号填写；（E答屈卡上。
江西省南昌市2021届高三第一次模拟考试理科数学试题(含答案解析)
NCS20210607项目第一次模拟测试卷理科数学2021.3本试卷共4页，23小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码.2. 作答选择题时.选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应逸目的答案信息涂朋：如 需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3. 非选择题必须用黑色水笔作答，答宰必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改 动，先划掉原来答案，然后再写上新答案.不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4. 考生必须保证答题卡整洁.考试结束后，将试港和答题卡一并交回.一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.I. 2.3.己知集合 J = {x| x 2-2x > 0}, B = {y |y = sinx}» 则（：力小〃= A. [-1,0] B. [-1,1]复数z 满足zi = 2 + 3i,则|z|= A. B. VTo 已知椭饲3* +4y2 = 12的左顶点为A , A. y/3C. [0,2] D [0,1] B. 2 C. V13上顶点为则\AB\= D. 3^2 C. 44.如图，E,F,G,H 分别是菱形ABCD 的辺月3,〃C,CD,D4上的点，K BE = 2AE ,DH = 2HA t CF = 2FB,CG = 2GD ，现将MBD 沿8D 折起，得到空间四边形ABCD ・在折起过程中.下列说法正确的是A. 11线EF,HG £可能平行B. 直线—定异面C. 直线—定相交，II 交点一定在直线/C 上D. 直线—定相交，但交点不一定在直线AC±5. AABC 中，角A,B,C 所对的边分别为・满足a = 2x/3 , B = 45°, C = 75°,贝忆= A. 2 B. >/6 • c. 2V26.如图，将框图输出的y 看成输入的x 的函数.得到函数y = /(x), Mv= /(x)的图象A.关于直线X = 1対称B.关于直线X = -l 对称C.关于y 轴对称D.关于点(0,0)对称 /输"/ F<d2>a i7. 已知直线/的方程是2.v +y + 7n = 0,则“原点。
唐山市2021届高三下学期第三次模拟演练数学试题
2021年河北省唐山市高考数学第三次模拟演练试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3} 2．已知i是虚数单位，a∈R，若复数为纯虚数，则a＝（）A．﹣2B．2C．﹣D．3．已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣1，﹣2），则sin2α+sin2α＝（）A．B．C．D．4．已知log212＝m，则log312＝（）A．B．C．D．5．已知双曲线C：x2﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为（）A．3B．6C．9D．186．（1+ax）10（其中a≠0）的展开式的常数项与其各项系数之和相等，则其展开式中x2的系数为（）A．﹣45B．45C．﹣180D．1807．赤道式日晷（guǐ）是利用日影变化规律制成的天文记时仪器（图1），“日”指“太阳”，“晷”表示“影子”，“日晷”的意思为“太阳的影子”．晷针在晷面上的日影自西向东慢慢移动，晷面的刻度（图2）是均匀的，移动的晷针日影犹如现代钟表的指针，日影落在晷面相应的刻度上便可读取时间．晷面上刻有十二个时辰，用十二地支表示，每个时辰大约2小时，正子时表示凌晨0点左右，则图2表示的时间大约是几点钟？若再过31个小时大约是哪个时辰？（）A．4点，戌时B．5点，亥时C．9点，申时D．10点，酉时8．已知函数f（x）＝，则不等式f（x）+f（x2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．已知函数f（x）＝x+（x＞0），若f（a）＝f（b），且a＜b，则下列不等式成立的有（）A．ab＝1B．a2+b2＞2C．+≥2D．log a b＜log b a10．下列说法正确的是（）A．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为B．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为C．已知随机变量X的分布列为P（X＝i）＝（i＝1，2，3），则P（X＝2）＝D．若随机变量η～N（2，σ2），且δ＝3η+1，则P（η＜2）＝0.5，E（δ）＝6 11．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，如图所示，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则（）A．AC与EF所成的角为45°B．EF⊥BCC．过EF且与BD平行的平面截四面体A﹣BCD所得截面的面积为D．四面体A﹣BCD的外接球的表面积为8π12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线Γ：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P（，1）射入，经过Γ上的点A（x1，y1）反射后，再经Γ上另一点B（x2，y2）反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则（）A．y1y2＝﹣1B．|AB|＝C．PB平分∠ABQD．延长AO交直线x＝﹣于点C，则C，B，Q三点共线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三高考模拟考试数学(理)试题
{}{}1|,02|2-==<-=x y x N x x x M 冠县武训高中xx 届高三高考模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式：柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.圆柱的侧面积公式：，其中c 是圆柱的底面周长，是圆柱的母线长.球的体积公式V=, 其中R 是球的半径.球的表面积公式：S=4π,其中R 是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式 .如果事件互斥，那么.2021年高三高考模拟考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知实数集R ， ， 则（ ）A ．B ．C ．D ．2．i 为虚数单位，则复数的虚部是（ ）A ．B ．C ．2D ．—23．设随机变量服从正态分布，若，则的值为A ．B ．C ．5D ．34．已知函数，则的最小值为 （ ）A ．B ．C ．D ．5．设、是两条不同直线，、是两个不同平面，则下列命题错误的是 （ ）A ．若，，则B ．若，，,则C ．若，，,则D ．若，，则6．若把函数的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（）A．B．C．D．7．如图,若程序框图输出的S是126,则判断框①中应为（）A．B．C．D．8．的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．D．9．已知数列满足且，则的值是（）A．B．C．5D．10．函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积（）A．3 B．C．D．411．已知双曲线的方程为，过左焦点F1作斜率为的直线交双曲线的右支于点P，且轴平分线段F1P，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．12．已知分别是函数的两个极值点，且,,则的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．）13．关于的二项式展开式中的常数项是。
四川内江市2021届高三数学(理)上学期高考一模试卷附答案解析
数 学 (理科 )
1。 本试卷 包括 第 I卷 (选 择题 )和 第 Ⅱ卷 (非 选择题 )两 部分 ,共 4页 。全卷满分 150分 , 考试时间 120分钟。
2.答 第 I卷 时,用 2B铅 笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑,如 需改动 ,用 橡皮擦 干 净后 ,再 选涂其它答案标号;答 第 Ⅱ卷时,用 0.5毫 米的黑色签字笔在答题卡规定的区域 内作
１９ ３０
１ ３
１ ３０
分 １２
解：（） （） 分 １８．
１ ｆ′ ｘ
＝
ａ ｘ
－ ２ｂｘ
２
∵
函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝
１
处与直线ｙ ＝
－
１ ２
相切，
（） ｆ′ １ ＝ ０
，即 ， 分 ∴
{ （） { ｆ １
）∞ ．
（） ， ｆ′ ｘ ＝ １ － ｘ ＝ １ － ｘ２
ｘ
ｘ
令（） ，得 ，令（） ，得 分 ｆ′ ｘ ＞ ０ ０ ＜ ｘ ＜ １ ｆ′ ｘ ＜ ０ ｘ ＞ １． ８
∴ ｆ（ｘ）在（１ｅ ，１）上单调递增，在（１，ｅ）上单调递减， １０ 分
∴
D。 -7,3j
3.已 知随机变量 X服 从正态分布 Ⅳ(G,4),且 P(X>1)〓 0.5,P(X>2)=0。 3,则
P(X<0)=
A。 0.2
B。 0.3
C。 0.7
D。 0.8
4.为 了解户籍性别对生育二胎选择倾 向的影响,某 地从育龄人群 中随机抽取 了容量为 1∞ 的调查样本 ,其 中城镇户籍与农村户籍各 sO人 ;男 性 ω 人 ,女 性 们 人 ,绘制不同群体中倾 向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数 比例图(如 图所示 ),其 中阴影部分表示倾 向选
2021届高考高三模拟考试数学试题
2021届高考高三模拟考试数学试题1、已知集合A={x|-2≤x<4}，B={x|-5<x≤3}，则A∩B=（）A、{x|-5<x<4}B、{x|-5<x≤-2}C、{x|-2≤x≤3}D、{x|3≤x<4}答案：C2、“a>1”是“(a-1)(a-2)<0”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件答案：B3、已知变量x，y之间的一组数据如下表：若y关于x的线性回归方程为ŷ=ax+b，则a=（）x。
y3.2.54.35.46.4.5A、0.1B、0.2C、0.35D、0.45答案：D4、已知a，b为不同直线，α,β为不同平面，则下列结论正确的是（）A、XXX⊥α，b⊥a，则b//αB、若a,b∥α，a//β,b//β，则α//βC、若a//α,b⊥β,a//b，则α⊥βD、若α∩β=b,XXXα,a⊥b，则α⊥β答案：C5、高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（）A、15种B、90种C、120种D、180种答案：B6、已知α∈(π,π)，tanα=-3，则sin(α-π/4)等于（）A、-5/24πB、-3/5C、3/5D、5/24π答案：B7、随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益。
假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N（单位：XXX）与时间t（单位：天）满足函数关系N(t)=P(t)P，其中P为t=0时该放射性同位素的含量。
已知t=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为-10ln2，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为（）A、20天B、30天C、45天D、60天答案：C8、定义运算⊕：①对∀m∈R，m⊕m=m；②对∀m,n,p∈R，(m⊕n)⊕p=p⊕(mn)+m⊕p+n⊕p。
安徽省黄山市2021届高三第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
2021年安徽省黄山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）“复数（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于其次象限”是“a＜﹣1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：复数的代数表示法及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的推断．【专题】：计算题．【分析】：复数的在与分母同乘分母的共轭复数化简为a+bi的形式，通过对应的点位于其次象限在其次象限，求出a的范围，即可推断它与a＜﹣1的充要条件关系．【解析】：解：复数==，由于复数（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于其次象限，所以，解得a，所以“复数（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于其次象限”是“a＜﹣1”的必要而不充分条件．故选B．【点评】：本题考查复数的代数形式的混合运算，考查充要条件的应用，考查计算力量．2．（5分）已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的标准方程；抛物线的简洁性质；双曲线的简洁性质．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：先依据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，依据离心率进而求得长半轴，最终依据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．【解析】：解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），双曲线的方程为故选D 【点评】：本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了对圆锥曲线基础学问的综合运用．3．（5分）已知是其次象限角，则=（）A．B．C．D．【考点】：两角和与差的正切函数．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由诱导公式化简可得，由平方关系和条件求出sinα，由商的关系求出tanα，利用两角和的正切函数求出的值．【解析】：解：由得，，由于α是其次象限角，所以sinα==，则=，所以====，故选：A．【点评】：本题考查两角和的正切函数，诱导公式，以及同角三角函数的基本关系的应用，留意三角函数值的符号，属于中档题．4．（5分）已知向量与的夹角为若，则实数m=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】：平面对量数量积的运算．【专题】：平面对量及应用．【分析】：求出=3×=3，化简开放（3）•（m）=0，代入||=3，||=2，即可得出42m=87，求出m即可．【解析】：解：∵向量与的夹角为，||=3，||=2，∴=3×=3，∵=3，=m ，⊥，∴（3）•（m）=0即3m||2+（5m﹣9）﹣15||2=0，42m=87m=．故选：A【点评】：本题考查了平面对量的运算，娴熟运用公式，计算精确，难度不大，关键是依据数量积运算，结合运算法则，运用好向量运算的特殊性．5．（5分）已知Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，A是由直线y=0，x=a（0＜a≤1）和曲线y=x3围成的曲边三角形的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A 内的概率是，则a的值为（）A．B．C．D．【考点】：几何概型．【分析】：依据题意，易得区域Ω的面积，由定积分公式，计算可得区域A的面积，又由题意，结合几何概型公式，可得=，解可得答案．【解析】：解：依据题意，区域Ω即边长为1的正方形的面积为1×1=1，区域A即曲边三角形的面积为∫0a x3dx=x4|0a =a4，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A 内的概率是，则有=，解可得，a=，故选D．【点评】：本题考查几何概型的计算，涉及定积分的计算，关键是用a表示出区域A的面积．6．（5分）下列四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ听从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣l＜ξ＜0）=﹣p；④在回归直线方程y=0．lx+10中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，其中正确的命题个数是（）A．．1个B．2个C．．3个D．．4个【考点】：命题的真假推断与应用．【专题】：概率与统计；简易规律．【分析】：①这样的抽样是系统抽样，即可推断正误；②利用方差的计算公式及其性质，即可推断正误；③利用正态分布的对称性可得：P（﹣l＜ξ＜0）=，即可推断正误；④利用斜率的意义，即可推断正误．【解析】：解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，因此不正确；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，正确；③设随机变量ξ听从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣l＜ξ＜0）==﹣p，正确；④在回归直线方程y=0.1x+10中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，正确．其中正确的命题个数是3．故选：C．【点评】：本题考查了概率统计的有关学问、简易规律的判定方法，考查了推理力量，属于中档题．7．（5分）在平面直角坐标系内，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，直线l 的参数方程是为参数）．若M，N分别为曲线C与直线l上的动点，则|MN|的最小值为（）A．+1 B．3﹣1 C．﹣1 D．3﹣2【考点】：参数方程化成一般方程．【专题】：直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】：将ρ=2cosθ转化为一般方程，将直线l的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线的距离公式求出圆心（2，0）到直线l的距离，由直线与圆的位置关系求出|MN|的最小值．【解析】：解：由ρ=2cosθ得，ρ2=2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程x2+y2=2x，即x2+y2﹣2x=0，则曲线C是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，由得，x﹣y+5=0，所以直线l的直角坐标方程是x﹣y+5=0，则圆心（2，0）到直线l的距离d==＞1，由于M，N分别为曲线C与直线l上的动点，所以|MN|的最小值为﹣1，故选：B．【点评】：本题考查圆的极坐标方程，直线的参数方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，考查运算求解力量，化归与转化思想，属于中档题．8．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四周体ABCD的顶点坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1）（0，0，0），则该四周体的正视图的面积不行能为（）A．B．C．D．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中的点的坐标．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由题意画出几何体的直观图，可知直观图为连接棱长是1的正方体的四个顶点组成的正四周体，其最大正投影面为边长是1的正方形，由此断定其正视图的面积不会超过1，则答案可求．【解析】：解：一个四周体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是：（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是以正方体的顶点为顶点的一个正四周体，其正视图的最大投影面是在x﹣O﹣y或x﹣O﹣z或y﹣O﹣z面上，投影面是边长为1的正方形，∴正视图的最大面积为1，∴不行能为，故选：D．【点评】：本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图等学问，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象力量、推理论证力量和运算求解力量，是中档题．9．（5分）某人设计一项单人玩耍，规章如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，假如掷出的点数为i（i=1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，始终循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的全部不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．36种【考点】：排列、组合的实际应用．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的1，5，6；2，4，6；3，3，6；5，5，2；4，4，4，共有4种组合，前四种组合又可以排列出A33种结果，得到结果．【解析】：解：由题意知正方形ABCD（边长为3个单位）的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6种组合，前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出A33=6种结果，3，3，6；5，5，2；有6种结果，4，4，4；有1种结果．依据分类计数原理知共有24+1=25种结果，故选C．【点评】：排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的挨次则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有肯定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．10．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对任意x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【考点】：根的存在性及根的个数推断．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】：由题意可推断函数f（x）是定义在R上的，周期为2的偶函数，令g（x）=log a（x+1），画出f （x）与g（x）在时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g（x）=log a（x+1），则f（x）与g（x）在[0，+∞）的部分图象如下图y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点可化为f（x）与g（x）的图象在（0，+∞）上至少有三个交点，g（x）在（0，+∞）上单调递减，则，解得：0＜a ＜，故选A．【点评】：本题考查了数形结合的思想，同时考查了同学的作图力量与转化力量，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置上）11．（5分）已知（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n（n∈N，n＞4）若2a2+a n一3=0，则n=8．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：由二项开放式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r，可得a n=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣3=0，由此可解得自然数n的值．【解析】：解：由题意得，该二项开放式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r，∴其系数a n=（﹣1）r•，∵2a2+a n﹣3=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣3=0，∴2×﹣=0，∴n﹣2=6．∴n=8．故答案为：8【点评】：本体考察二项式定理的应用，着重考察二项式系数的概念与应用，由二项开放式的通项公式得到系数a n=（﹣1）r•是关键，属于中档题．12．（5分）设x，y满足，则z=x+y的最小值为2．【考点】：简洁线性规划的应用．【专题】：计算题；数形结合．【分析】：本题考查的学问点是简洁线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值．【解析】：解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2．故答案为：2．【点评】：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．13．（5分）某调查机构对本市学校生课业负担状况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x分钟．有1000名学校生参与了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的同学的频率是0.32．【考点】：循环结构；分布的意义和作用．【专题】：图表型．【分析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的挨次，可知：该程序的作用是统计1000名中同学中，平均每天做作业的时间在0～60分钟内的同学的人数．【解析】：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的挨次，可知：该程序的作用是统计1000名中同学中，平均每天做作业的时间不在0～60分钟内的同学的人数．由输出结果为680则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的同学的人数为1000﹣680=320故平均每天做作业的时间在0～60分钟内的同学的频率P==0.32故答案为：0.32【点评】：本题考查的学问点是程序框图和分层抽样，依据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型．14．（5分）已知函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n），n∈N*，若数列{a n}是单调递增数列，则的取值范围是．【考点】：数列的函数特性．【专题】：函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】：函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n），n∈N *，若数列{a n}是单调递增数列，可得，解得2≤a ＜3．=a+1++1，令a+1=t∈[3，4），f（t）=t++1，利用导数争辩其单调性即可得出．【解析】：解：∵函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n），n ∈N*，若数列{a n}是单调递增数列，∴，解得2≤a ＜3．∴=a+1++1，令a+1=t∈[3，4），f（t）=t++1，f′（t）=1﹣=＞0，∴f（t）在t∈[3，4）单调递增；∴f（3）≤f（t）＜f（4），可得．∴的取值范围是．故答案为：．【点评】：本题考查了数列的函数性质、利用导数争辩函数的单调性、一次函数与指数函数的单调性，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．15．（5分）已知集合A={a1，a2，…，a n}中的元素都是正整数，且a l＜a2＜…＜a n，集合A具有性质P：对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥．给出下列命题：①集合{1，2，3，4}不具有性质P；②；③不等式i（n﹣i）＜25对于i=1，2，…，n﹣1均成立；④A中最多可以有10个元素．其中正确命题的序号是②③（将全部正确命题的序号都填上）【考点】：命题的真假推断与应用；元素与集合关系的推断．【专题】：压轴题．【分析】：①利用性质对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥，代入即可推断；②依题意有|a i﹣a i+1|≥（i=1，2，n﹣1），又a1＜a2＜…＜a n，因此a i+1﹣a i≥（i=1，2，n﹣1）．由此能够证明；③由＞，a≥1可得1＞，因此n＜26．同理，由a i≥i即可得推断；④由③，结合不等式可推导出n≤9．【解析】：解：①由于|1﹣2|，|1﹣3|，|1﹣4|，|2﹣3|，|2﹣4|，|3﹣4|，∴集合{1，2，3，4}具有性质P，故不正确；②依题意有|a i﹣a i+1|≥（i=1，2，n﹣1），又a1＜a2＜…＜a n，因此a i+1﹣a i ≥（i=1，2，n﹣1）．所以（i=1，2，n﹣1）；所以++…+，即，故正确；③由＞，a≥1可得1＞，因此n＜26．同理，可知，又a i≥i ，可得，所以不等式i（n﹣i）＜25对于i=1，2，…，n﹣1均成立，故正确；④由③，当n≥10时，取i=5，则i（n﹣i）=5（n﹣5）≥25，从而n＜10，而又当n≤9时，i（n﹣i）≤=＜25，所以n≤9，故不正确；故答案为：②③．【点评】：本题考查数列的性质的综合运用，解题时要认真审题，留意公式的合理运用，合理地进行等价转化．三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内．）16．（12分）已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．【考点】：余弦定理；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】：计算题；解三角形．【分析】：（1）利用正弦定理与余弦定理可求得cosC的值，即可求得C的值；（2）化简函数，利用周期确定ω，进而可得函数的解析式，即可求f（A）的取值范围．【解析】：解：（1）∵sin2C=2sinAsinB，∴由正弦定理有：c2=2ab，由余弦定理有：a2+b2=c2+2abcosC=c2（1+cosC）①又a2+b2=6abcosC=3c2cosC②由①②得1+cosC=3cosC，∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（2）=sin（ωx ﹣）∵f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，∴T=π∴∴ω=2∴f（x）=sin（2x ﹣）∴f（A）=sin（2A ﹣）∵＜A ＜，∴0＜2A ﹣＜∴0＜sin（2A ﹣）≤1∴0＜f（A）≤．【点评】：本题考查正弦定理与余弦定理，考查三角函数的图象与性质，考查同学的计算力量，属于中档题．17．（12分）在斜三棱柱ABC﹣A1B1C l中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，A1C=CA=AB=a，AA1=a，AB⊥AC，D为AA1的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB1A l（Ⅱ）在侧棱BB1上确定一点E，使得二面角E﹣A1C1一A 的大小为．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】：（Ⅰ）通过线面垂直的判定定理及等腰三角形的性质可得结论；（Ⅱ）以点C为原点，以CA、CA1分别为x、z轴建立坐标系，则平面A1C1A的一个法向量与平面EA1C1的一个法向量的夹角的余弦值的确定值为，计算即可．【解析】：（Ⅰ）证明：侧面A1ACC1⊥底面ABC，AB⊥AC，平面A1ACC1∩底面ABC=AC，∴AB⊥平面A1ACC1，又CD⊂平面A1ACC1，∴CD⊥AB，又∵AC=A1C，D为AA1的中点，∴CD⊥AA1，∴CD⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）解：已知A1C⊥平面ABC，如图所示，以点C为原点，以CA、CA1分别为x、z轴建立坐标系，则有A（a，0，0），B（a，a，0），A1（0，0，a），B1（0，a，a），C1（﹣a，0，a），设=λ（0≤λ≤1），则点E的坐标为（（1﹣λ）a，a，λa）．由题意得平面A1C1A 的一个法向量为=（0，1，0），设平面EA1C1的一个法向量为=（x，y，z），=（﹣a，0，0），=（（1﹣λ）a，a，（λ﹣1）a），由，得，令y=1，则有=（0，1，），∴==，解得λ=1﹣，∴当=（1﹣）时，二面角E﹣A1C1一A 的大小为．【点评】：本题考查空间几何图形中线面关系的平行或垂直的证明及空间角的计算，考查空间想象力量，留意解题方法的积累，属于中档题．18．（12分）深圳市某校中同学篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）求其次次训练时恰好取到一个新球的概率．【考点】：离散型随机变量的期望与方差．【分析】：（1）ξ的全部可能取值为0，1，2，设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为大事A i（i=0，1，2），求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望；（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为大事B，则“其次次训练时恰好取到一个新球”就是大事A0B+A1B+A2B．而大事A0B、A1B、A2B互斥，由此可得结论．【解析】：解：（1）ξ的全部可能取值为0，1，2设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为大事A i（i=0，1，2）．由于集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以P（A0）=P（ξ=0）==；P（A1）=P（ξ=1）==；P（A2）=P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=1（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为大事B，则“其次次训练时恰好取到一个新球”就是大事A0B+A1B+A2B，而大事A0B、A1B、A2B互斥，所以P（A0B+A1B+A2B）=P（A0B）+P（A1B）+P（A2B）=++==．【点评】：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出概率是关键．19．（12分）己知椭圆的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：y=一1上，且椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点直线AM交直线，于点C，N为线段BC 的中点，求的值．【考点】：椭圆的简洁性质；平面对量数量积的运算．【专题】：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）通过点B在直线l：y=一1上，得b=1，再依据=及a、c与b之间的关系，易得a2=4，从而可得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P（x0，y0），x0≠0，则点P满足椭圆方程，依据题意，易得M （，y0）、N （，﹣1），计算即可•【解析】：解：（Ⅰ）∵且点B在直线l：y=一1上，∴b=1，又∵=，a2﹣c2=b2=1∴a2=4，∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设P（x0，y0），x0≠0，则Q（0，y0），且，∵M为线段PQ的中点，∴M （，y0），∵A（0，1），∴直线AM 的方程为：，令y=﹣1，得C （，﹣1），∵B（0，﹣1），N为线段BC的中点，∴N （，﹣1），∵=（﹣，y0+1），=（，y0），∴=（﹣）+y0（y0+1）==﹣+y0=1﹣（1+y0）+y0=0•【点评】：本题考查椭圆方程，中点坐标公式，向量数量积的运算，留意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）设函数f（x）=lnx﹣p（x﹣1），p∈R．（1）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=xf（x）+P（2x2﹣x﹣1），对任意x≥1都有g（x）≤0成立，求P的取值范围．【考点】：利用导数争辩函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）求导函数，利用导数大于0，求函数的单调增区间，导数小于0，求函数的单调减区间；（2）对于任意实数x≥1，g（x）≤0恒成立，等价于xlnx+p（x2﹣1）≤0，设g（x）=xlnx+p（x2﹣1），由于g （1）=0，故只须g（x）=xlnx+p（x2﹣1）在x≥1时是减函数，再分别参数p，问题转化为求函数的最小值．【解析】：解：（1）当p=1时，f（x）=ln x﹣（x﹣1），f′（x）=﹣1，令f′（x）＞0，∴x∈（0，1），故函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；令f′（x）＜0，得x∈（1，+∞），故函数f（x）的单调减区间为（1，+∞）；（2）由题意函数g（x）=xf（x）+p（2x2﹣x﹣1）=xlnx+p（x2﹣1），则xlnx+p（x2﹣1）≤0，设g（x）=xlnx+p（x2﹣1），由于g（1）=0，故只须g（x）=xlnx+p（x2﹣1）在x≥1时是减函数即可，又由于g′（x）=lnx+2px+1，故lnx+2px+1≤0在x≥1时恒成立，即p在x≥1时恒成立，由于时，x=1，得当x=1时，取最小值﹣，∴p≤﹣．【点评】：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求函数的单调区间，同时考查了函数最值的运用，有肯定的综合性．21．（14分）己知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n =是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出全部的m，n的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）令c n =，记数列{c n}的前n项和为S n，其中n∈N*，求S n的取值范围．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（I）由a n+12=2a n2+a n a n+1，可得（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）=0，由于各项均为正数的数列{a n}，可得a n+1=2a n，再利用a2+a4=2a3+4，及等比数列的通项公式即可得出．（II）b n ==，假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n 成等比数列，则，化为=，由＞0，解出m的范围，再依据正整数m，n（1＜m＜n）即可得出．（III）c n ==，利用等比数列的前n项和公式、“裂项求和”方法可得S n，再利用数列的单调性即可得出．【解析】：解：（I）由a n+12=2a n2+a n a n+1，可得（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）=0，∵各项均为正数的数列{a n}，∴a n+1=2a n，∴数列{a n}是以2为公比的等比数列．∵a2+a4=2a3+4，∴=+4，解得a1=2．∴．（II）b n ==，假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列，则，化为=，由＞0，解得，又正整数m，n（1＜m＜n），∴m=2，此时n=12．因此当且仅当m=2，n=12时，使得b1，b m，b n成等比数列．（III）c n ====，∴S n =++…+=+=，∵数列即单调递减，∴0＜≤=．∴≤＜．∴S n 的取值范围是．【点评】：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了变形力量，考查了推理力量与计算力量，属于难题．。
2021届新高考全国100所名校高考模拟示范卷(一)数学试题(word版,含解析)
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试一､选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.若,2z i i =-+则z= A.2-iB.1-2iC.-1+2iD.-2+i 2.已知集合2{|30},{2,2}A x x x a B =-+==-,若A∩B={2},则A ∪B=A.{-2,1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,3,2}D.{-2,2}3.62()x x-的展开式的常数项为 A.-120 B.-60 C.120 D.604.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗,并在500名志愿者身上进行了人体注射实验,发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答｡若这些志愿者的某免疫反应蛋白M 的数值X(单位:mg/L)近似服从正态分布2(15,),N σ且X 在区间(10,20)内的人数占总人数的19,25则这些志愿者中免疫反应蛋白M 的数值X 不低于20的人数大约为A.30B.60C.70D.140 5.天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念｡星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,它的光就越暗｡到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念｡天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述｡两颗星的星等与亮度满足12212.5(lg lg )m m E E -=-,其中星等为i m 的星星的亮度为(1,2).i E i =已知"角宿一"的星等是0.97,"水委一"的星等是0.47.“水委一”的亮度是"角宿一"亮度的r 倍,则与r 最接近的是(当|x|较小时,2101 2.3 2.7x x x ≈++)A.1.56B.1.57C.1.58D.1.596.已知圆C:22(3)(3)9x y -++=,直线l:(m+1)x+(2-m)y-3m=0,则当圆心C 到直线l 的距离最大时,直线l 被圆C 所截得的弦长为A.4 .25B .23C .27D7.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,底面ABCD 是梯形,2//,,43AB CD BCD AB π∠==,PD=BC=CD=2,则四棱锥P-ABCD 的外接球的表面积为A.16πB.18πC.20πD.24π8.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F(1,0),准线为l,过焦点F 的直线交抛物线C 于点A ､B(A 在x 轴上方),且点A 的横坐标为3,D 是y 轴正半轴上一点,O 为坐标原点,∠ODA 的角平分线过AF 的中点,则点D 的坐标为A.(0,2) 53.(0,)2B C.(0,3) .(0,33)D二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡9.已知曲线C:221.x y a b+= A.若C 是双曲线,则ab<0B.若a>0,C 是离心率为2的双曲线,则3b a =- C.若ab>0,则C 是椭圆D.若C 是离心率为12的椭圆,则34b a = 10.已知()cos()(0,0,0)f x A x B A ωϕωϕπ=++>><<,其部分图象如图所示,M ､N 分别为最高点､最低点,则A.A=7B.B=29 .4C πϕ= D.f(11)=32.511.如图,平面α∩平面β=直线l,点A,C ∈α,点B,D ∈β,且A ､B ､C ､D ∉l,点M ､N 分别是线段AB ､CD 的中点｡A.当直线AC 与BD 相交时,交点一定在直线l 上B.当直线AB 与CD 异面时,MN 可能与l 平行C.当A ､B ､C ､D 四点共面且AC//l 时,BD//lD.当M 、N 两点重合时,直线AC 与l 不可能相交12.已知数列{}n a 的通项公式是2,n n a =1a 和2a 之间插入1个数11,x 使1112,,a x a 成等差数列;在2a 和3a 之间插入2个数2122,x x ,使221223,,,a x x a 成等差数列;…;在n a 和1n a +之间插入n 个数12,,,n n n n x x x ,使121,,,,,n nn n n n a x x x a +成等差数列｡这样得到新数列{}:n b 1112212233132334,,,,,,,,,a x a x x a x x x a …,记数列{}n b 的前n 项和为,n S 则836.A a b =B.112132n n n n n n n a x x x a n -++++++=⋅ 38.320C b = 45.6401D S =三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡把答案填在答题卡中的横线上｡13.若向量a =(1,2),b -a =(-2,1),则a ·b =____.14.若函数21()7ln 2f x x x a x =-++在x=2处取极值,则a=____ ,f(x)的极大值为____.15.已知正实数a,b,c 满足22243,a b c +=则2c c a b +的最小值为____. 16.如图,在△ABC 中,,3BAC A π∠=B=3,AC=2,点D 为边BC 上一个动点,将△ABD 沿AD 翻折,使得点B到达B '的位置,且平面AB D '⊥平面ACD.当CD=_____时,B C '到最小值｡四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡17.(本小题满分10分)在3210,9,3a S b ==<-①②③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中｡设n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,满足____2,36nn n a a S b +=+是否存在实数b,使得数列{}n a 成为等差数列?若存在,求出b 和数列{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由｡(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)18.(本小题满分12分)第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查,普查标准时点是2020年11月1日零时,将彻查人口出生变动情况以及房屋情况｡普查对象是普查标准时点在中华人民共和国境内的自然人以及在中华人民共和国境外但未定居的中国公民,不包括在中华人民共和国境内短期停留的境外人员｡普查主要调查人口和住户的基本情况,内容包括:姓名､公民身份证号码､性别､年龄､民族､受教育程度､行业､职业､迁移流动､婚姻生育､死亡､住房情况等｡普查登记方式全程电子化方式普查,由普查员使用手机上门入户登记或由普查对象通过互联网自主填报｡某机构调查了100位居名的普查登记方式,数据统计如下表,部分数据缺失 普查员使用手机上门入户登记 通过互联网自主填报 年龄不超过40岁10 a 年龄超过40岁b 15已知从调查的居民中任取一人,其年龄不超过40岁的概率比其年龄超过40岁的概率大110. (1)求a,b 的值；(2)是否有99%的把握认为年龄与普查登记方式有关?附:22()()()()()n ad bc a b c K d a c b d -=++++其中n=a+b+c+d.P(K 2≥k 0) 0.050 0.010 0.001K 0 3.841 6.635 10.82819.(本小题满分12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知28sin 72cos2.2B C A -+-=(1)求A;(2)若7,a =b+c=5,求BC 边上的高.20.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,∠ACB=90°,1,.AC BC AB AA ==D ､E 分别是1CC 、1BB 的中点.(1)证明:1C E ⊥平面ACB 1；(2)求二面角1C AB D --的余弦值.21.(本小题满分12分)已知12F F 、分别为椭圆C:22184x y +=的左､右焦点,点M 是椭圆C 上异于左､右顶点的一点,过点1F 作12F MF ∠的外角平分线的垂线交2F M 的延长线于P 点.(1)当M 点在椭圆C.上运动时,求P 点的轨迹方程E.(2)设点N(t,0)(t≠0),过点N 作一条斜率存在且不为0的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,点B 关于x 轴的对称点为B '直线AB '交x 轴于点T,O 是坐标原点,求证:|ON|·|OT|为定值.22.(本小题满分12分)已知函数2()ln 1.f x x x =-+(1)求曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若方程f(x)=b 有两个实数根12,,x x 且12,x x <证明:2112.x x b -<-。
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高考高三模拟考试
一、单选题
1、已知集合}|{42<≤-=x x A ，}|{35≤<-=x x B ，则B A = （ ）
A 、}|{45<<-x x
B 、}|{25-≤<-x x
C 、}|{32≤≤-x x
D 、}|{43<≤x x
2、“1>a ”是“021<--))((a a ”的 （ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
3、已知变量x ，y 之间的一组数据如下表：若y 关于x 的线性回归方程为a x y
ˆ.ˆ+=70，则a
ˆ= （ ）
A 、0.1
B 、0.2
C 、0.35
D 、0.45
4、已知a ，b 为不同直线，βα,为不同平面，则下列结论正确的是 （ ）
A 、若α⊥a ，a b ⊥，则α//b
B 、若α⊂b a ,，ββ//,//b a ，则βα//
C 、若b a b a //,,//βα⊥，则βα⊥
D 、若b a a b ⊥⊂=,,αβα ，则βα⊥ 5、高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有 （ ） A 、15种 B 、90种 C 、120种 D 、180种 6、已知),(
ππ
α2∈，3-=αtan ，则)sin(4
π
α-等于 （ ）
A 、
55 B 、552 C 、53 D 、5
3
7、随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益。
假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系30
02
t P t P -=)(，其中0P 为t=0时该放射性同位素的含量。
已知
t=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为10
2
23ln -，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为 （ ）
A 、20天
B 、30天
C 、45天
D 、60天 8
、
定
义
运
算
⊗
：①对
m
m m R m =⊗=⊗∈∀00,；②对
p n p m mn p p n m R p n m ⊗+⊗+⊗=⊗⊗∈∀)()(,,,。
若x
x e e x f --⊗=11)(，则有（ ） A 、函数)(x f y =的图象关于x=1对称 B 、函数)(x f 在R 上单调递增
C 、函数)(x f 的最小值为2
D 、)()(2
33
222f f > 二、多选
9、中国的华为公司是全球领先的ICT （信息与通信）基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界。
其中华为的5G 智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌。
为了研究某城市甲、乙两个华为5G 智能手机专卖店的销售状况，统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如下的折线图，则下列说法正确的是 （ ） A 、根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在[31,32]内 B 、根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势 C 、根据甲、乙两店的营业额折线图可知，乙店的月营业额极差比甲店小 D 、根据甲、乙两店的营业额折线图可知7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少
10、若非零实数x ，y 满足y x >，则以下判断正确的是 （ ）
A 、
y x 11< B 、33y x > C 、y x )()(2
1
21> D 、01>++)ln(y x 11、已知函数),)(cos()(2
00π
ϕωϕω<<>+=x x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称
轴为125π
=
x ，则 （ ） A 、3
π
ϕ=
B 、函数)(x f y =的图象可由x y 2sin =的图象向左平移
3
π
个单位长度得到 C 、函数)(x f 在],
[2
0π
上的值域为],
[2
31- D 、函数)(x f 在区间],[2
π
π-
-上单调递减
12、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧
>-≤≤--=1
11
02
142x x af x x x f ),(|,|)(，其中R a ∈，下列关于函数)(x f 的判断正确的为 （ ） A 、当a=2时，42
3=)(f
B 、当1<||a 时，函数)(x f 的值域],[22-
C 、当a=2且)](,[*
N n n n x ∈-∈1时，|)|()(2
1
24221
--
-=-n x x f n
D 、当0>a 时，不等式2
12-
≤x a x f )(在),[+∞0上恒成立
三、填空题
13、52
2)(x
x +的展开式中4
x 的系数为 。
14、若一直角三角形的面积为50，则该直角三角形的斜边的最小值为 。
15、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，满足)()(x f x f +=-11。
若11=)(f ，则
)()()()(2021321f f f f ++++ = 。
16、已知菱形ABCD 边长为3，
60=∠BAD ，E 为对角线AG 上一点，AC=6AE ，将△ABD 沿BD 翻折到BD A '∆的位置，E 记为E '且二面角C BD A --'的大小为
120，则三棱锥
BCD A -'的外接球的半径为 ；过E '作平面α与该外接球相交，所得截面面积的
最小值为 。
四、解答题
17、（10分）已知正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为2，点E ，F 分别为棱1CC 与11B A 的中点。
（1）求证：直线BC A EF 1平面//
（2）若该正三棱柱的体积为62，求直线EF 与平面ABC 所成角的余弦值
18、（12分）在①2
B
A b
B c +=sin
sin ，②721=B cos ，③a B c C b =+sin cos 这三
个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答。
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
问题：△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3
π
=A ，D 是边AB 上的一点，AD=5，
CD=7，且 ，试判断AD 和DB 的大小关系
19、（12分）已知函数c bx x x x f ++-=332
3
)(在x=0处取得极大值1
（1）求函数)(x f y =的图象在x=1处切线的方程
（2）若函数)(x f 在],[2+t t 上不单调，求实数t 的取值范围
20、（12分）四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD //，
90=∠ABC ，AB=2BC=2CD=4，侧面PAD ⊥面ABCD ，PA=PD=2 （1）求证：BD ⊥PA
（2）已知平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，在l 上是否存在点N ，使二面角P -DC -N 的余弦值为
3
1
？若存在，请确定N 点位置，若不存在，请说明理由
21、（12分）2020年10月16日，是第40个世界粮食日，中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC -801测产，亩产超过848.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入。
某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为m （],[10070 m ），其质量指标等级划分如下表： 质量指标值m
),[7570 ),[8075 ),[8580 ),[9085 ],[10090
质量指标等级 良好
优秀
良好
合格
废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产。
现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m 的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：
C
P
A B
D
（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A ，求事件A 发生的概率
（2）若从质量指标值85≥m 的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值),[9590∈m 的件数X 的分布列及数学期望 （3）若每件产品的质量指标值m 与利润y （单位：元）的关系如下表（41<<t ）：
试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t 为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：615702.ln ,.ln ≈≈）
22、（12分）
已知函数)(ln )(x x a xe x f x
+-=
（1）当a>0时，求)(x f 的最小值
（2）若对任意0>x 恒有不等式1≥)(x f 成立
①求实数a 的值
②证明：x x x e x x
sin ln )(222++>。