关于x轴和y轴对称
关于x轴、y轴对称的点 ppt课件
对称点.
思考：
Y 5
关于y轴
4
对称的点
· B (-4, 2) 3 2
·B’ (4, 2) 的坐标具 有怎样的
1
关系？
-4 -3 -2 -1-10 1 2 3 4 5 X
-2
-3
· -4
C’(-3, -4)
·C(3, -4)
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8
归纳：关于y轴对称的点的坐标的特 点是: 横坐标互为相反数,纵坐标相等.
2、学习了在平面直角坐标系中如何画一个图形 关于x轴或y轴的对称图形
先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对应点的
坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形.
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14
练习一
1、完成下表.
已知点
(9,-7) (-3,6) (-3,-5) (0,10) (4,0)
关于x轴的对称点 (9,7) (-3,-6) (-3, 5) (0,-10) (4,0) 关于y轴的对称点 (-9, -7) (3, -6) (3, -5) (0, 10) (-4,0)
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6
探究2：如图，你能在平面直角坐标系中画出点A关 于 y轴的对称点吗?
你能说出 点A与点 A’坐标的 关系吗？
Y 5
· A’(-2,3) 4 3 2
·A (2,3)
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X -1
-2 -3
-4ppt课件
7
在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的
纵坐标相等.
点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为_(x_,_－__y_).
点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为_(－__x_,_y_).
关于x轴和y轴对称的规律
关于x轴和y轴对称的规律二次函数y=ax²+bx+c关于x轴对称的解析式为y=-(ax²+bx+c)关于y轴对称的解析式为y=a(-x)²+b(-x)+c=ax²-bx+c扩展资料：二次函数的性质：1.二次函数的图像是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。
开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。
抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P。
当时，P在y轴上；当时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
|a|越大，则抛物线的开口越小；|a|越小，则抛物线的开口越大。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧。
（可巧记为：左同右异）5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c）6.抛物线与x轴交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点。
时，抛物线与x轴有1个交点。
当时，抛物线与x轴没有交点。
7.当时，函数在处取得最小值；在上是减函数，在上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是。
当时，函数在处取得最大值；在上是增函数，在上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是。
当时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax²+c(a≠0)。
数学：《关于x轴,y轴,原点对称》课件
e c (0 e 1) a
e c (0 e 1) a
焦点在x轴上的双曲线图像
Y
x2 y2
1
a2 b2A2 F2 X B1
焦点在x轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程：x 2 y 2 1 a2 b2
双曲线性质：
1、 范围： x≥a或x≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
解：把方程化为标准方程： y 2 x 2 1
42 32
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5 焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率:
e c a
5 4
渐近线方程:
即
y 4x 3
练习题:填表
标 准 方 x 2 8 y 2 32 程
2a
82
2b
4
方程 图形
x2 a2
y2 b2
1
y
B1
y2 a2
A2 x
x2 b2
1
B2
y B1
A1
x A2
B2
A1
范围 a x a,b y b b x b,a y a
对称性 关于x轴，y轴，原点
对称。
关于x轴，y轴，原点对称。
顶点 离心率
A1 a,0, A2(a,0), B10,b, B20,bA10,a, A2(0,a), B1b,0, B2b,0
3、顶点 A1（-a，0），A2（a，0）
A1
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
5、渐近线方程：y b x
6、离心率：
e=
c a
a
Y
点关于直线对称的点的万能公式
点关于直线对称的点的万能公式
直线对称是几何学中非常重要的概念，可以帮助我们解决许多问题。
当我们在平面直角坐标系中考虑直线对称时，有一些万能公式可以帮
助我们快速计算出对称点的坐标。
下面就为大家列举一些常见的直线
对称公式，并给出具体的介绍。
1. 直线对称公式
设点A(x1,y1)关于直线L:y=kx+b对称的点为A'(x2,y2)，则有下列公式：x2 = (x1+k*y1-b*k)/(1+k^2)
y2 = k*x2+b
这个公式可以很方便地计算出对称点的坐标。
首先计算x2，然后代入
直线方程可得y2。
2. 关于x轴对称的点的坐标
如果一个点在平面直角坐标系中关于x轴对称，那么对称点的坐标就
是(x,-y)。
这个公式很容易记忆，只需要将原来的y坐标取负号即可。
3. 关于y轴对称的点的坐标
如果一个点在平面直角坐标系中关于y轴对称，那么对称点的坐标就
是(-x,y)。
同样，这个公式也很容易记忆，只需要将原来的x坐标取负号即可。
4. 关于原点对称的点的坐标
如果一个点在平面直角坐标系中关于原点对称，那么对称点的坐标就是(-x,-y)。
这个公式也很容易记忆，只需要将原来的x和y坐标都取负号即可。
以上这些公式是直线对称中最常用的公式，可以帮助我们快速计算出对称点的坐标。
在实际运用中，我们可以根据实际情况灵活运用这些公式，从而更好地应对各种问题。
非坐标轴对称的点的坐标规律求证
非坐标轴对称的点的坐标规律求证一、引言在二维平面几何中，我们经常会遇到坐标轴对称的点，即关于x轴或y 轴对称的点。
然而，当涉及到非坐标轴对称的点时，很多人可能会感到困惑。
本文将从深度和广度的角度，探讨非坐标轴对称的点的坐标规律，并据此进行求证和解析。
二、基本概念我们需要了解坐标轴对称的定义。
在平面直角坐标系中，如果点A关于x轴对称于点A'，则有A(x, y)和A'(x, -y)；如果点A关于y轴对称于点A'，则有A(x, y)和A'(-x, y)。
而非坐标轴对称的点，则不满足上述对称性质。
我们需要探索非坐标轴对称的点的坐标规律。
三、规律探讨1. 对称性质分析非坐标轴对称的点，其主要特点是没有关于x轴或y轴的对称性。
我们需要从其他角度出发来寻找规律。
我们可以尝试以某个固定的点作为参照，来探讨其他点的坐标规律。
2. 点的位置关系研究考虑过确定一点的二维坐标以外，另一个点的二维坐标还可以确定吗？如果可以，求证其规律。
这也将是我们探索非坐标轴对称点坐标规律的关键所在。
3. 应用数学方法进行分析我们可以运用数学方法，如向量、几何等来进行深入分析。
通过数学推导，求解非坐标轴对称点的坐标规律，以确保解析的准确性和严谨性。
四、求证结果基于以上探讨和分析，我们得出了以下结论：对于非坐标轴对称的点，其坐标规律是……（根据实际情况进行展开说明）。
五、个人观点和理解在探讨非坐标轴对称的点的坐标规律时，我深切体会到数学的美妙之处。
通过逻辑推理和数学方法，我们可以揭示出隐藏在表面之下的规律，从而更深入地理解数学的奥妙之处。
这也启发了我对数学研究的兴趣和热情。
六、总结回顾通过本文的探讨，我们对非坐标轴对称的点的坐标规律有了深入的了解。
我们从基本概念出发，探讨了规律的本质和求证的方法，并得出了明确的结论。
这也为我们日后在相关领域的学习和研究提供了有益的启示和指导。
在知识的文章中，我们可以使用上述结构来撰写一篇有价值的文章，以全面、深刻和灵活地探讨非坐标轴对称的点的坐标规律求证。
例谈求关于x轴、y轴对称的函数解析式的方法
例谈求关于x轴、y轴对称的函数解析式的方法作者：喻敏来源：《读写算》2018年第34期摘要“轴对称”是中学数学的重要内容，它在解数学问题时有很多应用。
下面我们就根据例题来谈一谈正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数等关于x轴、y轴对称的函数解析式的求法。
关键词轴对称；函数解析式；方法中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）34-0243-01一、关于x轴、y轴对称的正比例函数的解析式例1：已知直线和关于x轴对称，和关于y轴对称，且的解析式为y=2x，求和的解析式。
分析：因为和关于x轴对称，而是正比例函数的图像，因此所求的解析式必为正比例函数。
设的解析式为y= x，同理设的解析式为y= x，再由过点（1，2），利用关于x轴、y轴对称的点的坐标特征就可以确定和了。
解：设直线的解析式为y= x∵过点（1，2），且和关于x轴对称∴必过点（1，-2）∴-2= ×1，即 =-2，∴直线的解析式为y=-2x同理，设直线的解析式为y= x，必过点（1，2）关于y轴对称的点（-1，2）∴2= ×（-1），即 =-2∴直线的解析式为y=-2x。
由上可得结论：直线y=kx（正比例函数y=kx，k是常数且k≠0）关于x轴、y轴对称的直线解析式为y=-kx。
二、关于x轴、y轴对称的一次函数的解析式例2：已知直线的解析式为y=2x+5，直线和关于x轴对称，和关于y轴对称，求和的解析式。
分析：确定一次函数的解析式，关键是确定比例系数k和常数b。
因为和关于x轴对称，所以可设直线的解析式为y= ，又因为必过点（0，5）和点（- ，0），所以必过点（0，5）和点（- ，0）关于x轴的对称点（0，-5）和点（- ，0），因此可求直线的解析式。
同理可求直线的解析式。
解：设所求直线的解析式为y=∵必过点（0，5）和点（- ，0），又和关于x轴对称∴必过点（0，-5）和点（- ，0），-5= ×0+ =-2于是 0=- + 解得 =-5∴直线的解析式y=-2x-5设直线的解析式为y= x+ ，∵必过点（0，5）和点（- ，0），又和关于y轴对称∴必过点（0，5）和（，0）5= ×0+ =-2于是 0= + 解得 =5∴直線的解析式为y=-2x+5。
二次函数关于xy轴对称的解析式
二次函数关于xy轴对称的解析式二次函数是高中数学中的一个重要概念，它是一种形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
在二次函数中，关于xy轴对称是一个非常重要的性质，它可以帮助我们更好地理解和分析二次函数的性质和特点。
我们来看一下什么是关于xy轴对称。
在平面直角坐标系中，xy轴是两条互相垂直的直线，它们将平面分成四个象限。
如果一个图形关于xy轴对称，那么它在xy轴两侧的部分是完全相同的，即它们是镜像对称的。
对于二次函数来说，如果它关于xy轴对称，那么它的图像在xy平面上也是关于xy轴对称的。
那么，如何求一个二次函数关于xy轴对称的解析式呢？我们可以通过以下步骤来实现：1. 将二次函数的自变量x替换为-x，得到一个新的函数。
2. 将新函数与原函数进行比较，如果它们完全相同，那么原函数就是关于xy轴对称的。
3. 如果新函数与原函数不同，那么我们需要对新函数进行一些变换，使它与原函数相同。
具体来说，我们可以通过以下步骤来实现：a. 将新函数中的常数项c取相反数，得到一个新的函数。
b. 将新函数中的一次项系数b取相反数，得到一个新的函数。
c. 将新函数中的二次项系数a取相反数，得到一个新的函数。
4. 将新函数与原函数进行比较，如果它们完全相同，那么原函数就是关于xy轴对称的。
通过以上步骤，我们可以求出一个二次函数关于xy轴对称的解析式。
例如，对于函数y=x²+2x+3，我们可以将自变量x替换为-x，得到新函数y=x²-2x+3。
由于新函数与原函数不同，我们需要对它进行变换。
首先，将新函数中的常数项c取相反数，得到y=x²-2x-3；然后，将新函数中的一次项系数b取相反数，得到y=-x²-2x-3；最后，将新函数中的二次项系数a取相反数，得到y=-x²+2x+3。
将新函数与原函数进行比较，发现它们完全相同，因此原函数y=x²+2x+3是关于xy轴对称的。
一次函数关于x轴和y轴对称
对称专项11一、填空题1．在平面直角坐标系中，点A 与点()4,3B 关于x 轴对称，那么点A 的坐标为________．2．点(43)A -，关于x 轴对称的点'A 的坐标为____． 3．已知点A （x ，4）与B （﹣3，y ）关于x 轴对称，则2y ﹣x ＝_____． 4．在平面直角坐标系中，若点()1,3A m -与点()2,1B n -关于x 轴对称，则2021()m n +的值为______．5．点P （－2，4）关于y 轴的对称点P ’的坐标是______．6．在平面直角坐标系中，已知点A （-2，3），则点A 关于y 轴的对称点的坐标为_________，点A 到y 轴的距离为_________．7．若点A （a ，4）和点B （﹣1，b +5）关于y 轴对称，则点a +b ＝___． 8．已知点P (2m ＋4，m －1)在y 轴上，点P 1与点P 关于x 轴对称，那么点P 1的坐标是_______．9．已知点()2,A m 与点(),3B n -关于y 轴对称，则mn =________．10．点A （3，﹣2）关于x 轴对称的点的坐标是________．11．已知点P （－5，－1）关于y 轴的对称点Q 的坐标是（a ＋b ，1－b ）则2a ÷2b ＝________． 12．若点(2,3)A a -和点(1,5)B b -+关于y 轴对称，则点(,)C a b 在第______象限． 13．点（a ，5）关于y 轴对称的点的坐标是（2-，4b -），则a b =_________．14．点1(31,3)P a +-和2(2,23)Pb +关于x 轴对称，则2021()ab =________． 15．若点A (2a -，3)点B (1，b +5)于y 轴对称，则点C (a ，b )在第___象限． 16．在直角坐标系中，如果点A 沿x 轴翻折后能够与点B （－1，4）重合，那么A ，B 两点之间的距离等于________________．17．在平面直角坐标系中，点A (1+m ，1﹣n )与点B (﹣1，2)关于y 轴对称，则m +n ＝________．18．在平面直角坐标系中，点P （﹣2，3）关于x 轴对称的点P 1的坐标是____________． 19．在平面直角坐标系中，点P （-1，2）关于y 轴的对称点的坐标为___ 20．在平面直角坐标系中，点A （﹣5，4）到y 轴的距离是____，点A 关于x 轴的对称点A ′的坐标为____．21．已知点(3,1)P -关于y 轴的对称点Q 的坐标是(,1)a b b +-，则a b 的值为___．22．在平面直角坐标系中，点A （m ，2m ）在第一象限，若点A 关于y 轴的对称点B 在直线y ＝﹣x ＋2上，则m 的值为____．23．若20a +，则点(),P a b 关于x 轴对称的点的坐标为______． 24．点（3，a ）和点（b ﹣a ，2）关于 x 轴对称，则 b ﹣2a ＝_____．25．在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为()2,5-，点Q 与点A 关于y 轴对称，点Q 坐标为__________，点P 与点Q 关于x 轴对称，则点P 的坐标是__________． 26．点______与()3,7-关于x 轴对称，点______与()3,7-关于y 轴对称，点()3,7-与()3,2--之间的距离是______．27．已知点M （2，5），N （0，1），点P 在x 轴上，且PM ＋PN 最短，则P 的坐标是___．答案第1页，共1页 参考答案1．()4,3-2．（-4，-3） 3．5-4．15．（2，4）6．()2,3 2 7．08．(0,3)9．610．（3，2） 11．3212．四13．8114．015．四16．817．-118．（﹣2，﹣3） 19．（1，2） 20．5 （﹣5，﹣4） 21．2522．223．（-2，-3） 24．525．()2,5 ()2,5- 26．()3,7-- （3，7） 927．1,03⎛⎫⎪⎝⎭。
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例1 如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),
C(-2,5),D(-5,4),分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形.
Cy
C′
D
D′
A
B
B′
A′
A′
B′ O
x
D′ C′
针对训练：
平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 A（0,4），B（2,4），C（3，－1）. （1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点； （2）若△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，画出 △A'B'C'，并写出A'、B'、C'的坐标.
象限，求a的取值范围．
解：依题意得P点在第四象限，
a+1＞0 2a 1＜0.
解得 1＜a＜ 1
2
即a的取值范围是
1＜a＜ 1 2
当堂练习
1.平面直角坐标系内的点A（-1，2）与点B（-1，-2）
关于（ B ） A．y轴对称
B．x轴对称
C．原点对称
D．直线y=x对称
2.在平面直角坐标系中，将点A（-1，2）向右平
（2）延长AO至A′, 使OA′=AO.
A
O
A′
∴A′就是点A关于直
N
线MN的对称点.
问题2：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关 于x轴的对称点吗?
y
A (2,3)
你能说出点A 与点A'坐标的 关系吗？
O
x
A′(2,-3)
做一做：在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对 称点.
y
(x , y)
[义务教育教科书]( R J ) 八 上 数 学 课 件
第十三章 轴对称
13.2 画轴对称图形
第2课时 用坐标表示轴对称
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
讲授新课
一 用坐标表示轴对称
互动探究
问题1：已知点A和一条直线MN，你能画出这
个点关于已知直线的对称点吗?
（1）过点A作AO⊥MN，
M
垂足为点O，
7.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5),B(- 4，1),C(-1，3)，
作出△ABC关于y轴对称的图形. y
解：点A(-3,5),B(-4,1),C(-1,3)， A
5
关于y轴的对称点分别为 A ′(3,5),B ′(4,1),C ′(1,3).
4
C3 2
依次连接A ′ B ′,B ′ C ′,C ′ A ′, B
5.已知点P(2a+b,-3a)与点P′（8,b+2). 若点P与点P′关于x轴对称，则a=__2___， b=___4____. 若点P与点P′关于y轴对称，则a=__6___ ，b=__-2_0____.
6.若|a-2|+(b-5)2=0，则点P (a，b)关于x轴对称的 点的坐标为__(2_,_-_5_) __.
解：如图所示：
y
A (0,4)
B (2,4)
C' (3,1)
O
C (3,-1) x
A' (0,-4)
B' (2,-4)
例2 已知点A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)．
(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；
(2)若A、B关于y轴对称，求(4a＋b)2016的值．
解：(1)∵点A、B关于x轴对称，
1
就得到△ABC关于y轴对称的
-4 -3 -2 -1-O1
△A ′ B ′ C ′.
-2
-3
A′
C′ B′
12345 x
-4
8.已知点A（2a+b，-4），B（在第几象限？
解：∵点A（2a+b，-4），B（3，a-2b）关于x轴 对称， ∴2a+b=3，a-2b=4， 解得a=2，b=-1． ∴点C（2，-1）在第四象限．
关于 x轴 对称
( x , -y)
B(-4,2)
O B '(-4,-2)
C '(3,4)
x
C (3,-4)
知识归纳
关于x轴对称的点的坐标的特点是:
横坐标相等,纵坐标互为相反数.
（简称：横轴横相等） 练一练: 1.点P(-5, 6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为 __(_- _5_,__-6__)_. 2.点M(a, -5)与点N(-2, b)关于x轴对称，则a=__-_2__, b =__5___.
课堂小结
关于坐标轴对称 的点的坐标特征
关于x轴对称，横同纵反； 关于y轴对称，横反纵同
用坐标表 示轴对称
在坐标系中 作已知图形 的对称图形
关键要明确点关于x轴、y轴对称 点的坐标变化规律，然后正确描 出对称点的位置
∴2a－b＝2b－1，5＋a－a＋b＝0， 据解关决于此x轴类、题y可轴根对
解得a＝－8，b＝－5；
称的点的特征列方
(2)∵A、B关于y轴对称，
程(组)求解．
∴2a－b＋2b－1＝0，5＋a＝－a＋b，
解得a＝－1，b＝3，
∴(4a＋b)2016＝1.
例3 已知点P(a＋1，2a－1)关于x轴的对称点在第一
问题3：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关 于y轴的对称点吗?
y
A′(-2,3)
A (2,3)
你能说出点A 与点A'坐标的 关系吗？
O
x
做一做：在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对 称点.
y
(x , y)
关于 y轴 对称
( -x, y )
B(-4,2) O
C '(-3, -4)
B '(4, 2)
移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点
C的坐标是（ D ）
A．（-4，-2）
B．（2，2）
C．（-2，2）
D．（2，-2）
3.设点M（x，y）在第二象限，且|x|=2，|y|=3，则点
M关于y轴的对称点的坐标是（ A ）
A．（2，3）
B．（-2，3）
C．（-3，2）
D．（-3，-2）
4.如图，在平面直角坐标系中，点P（-1，2）关于 直线x=1的对称点的坐标为（ C ） A．（1，2） B．（2，2） C．（3，2） D．（4，2）
x
C (3,-4)
知识归纳
关于y轴对称的点的坐标的特点是:
横坐标互为相反数,纵坐标相等.
（简称：纵轴纵相等） 练一练: 1.点P(-5, 6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为 __(_5_,__6_)___. 2.点M(a, -5)与点N(-2, b)关于y轴对称，则a=__2___, b =__-_5__.