数据结构课件_复习-4
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数据结构复习四
1、已知无向连通网的邻接矩阵如下所示，试画出该无向连通网以及所对应的最小生成树。
2、对于给定的5个字符w ={a 、b 、c 、d 、e} ，它们出现的频率分别为 0.15 ， 0.25，0.20，0.05， 0.35请求出：①构造出赫夫曼树。
②WPL 值。
带权路径长度WPL=0.15*3+0.05*3+0.2*2+0.25*2+0.35*2=2.2 0.2 0.60 0.4 0.05 0.150.20.25 0.35 1.00 0 0 1 111 0 e b c ad 1、数据的逻辑结构被形式地定义为B=（K ，R ），其中K 是数据元素的有限集合，R是K上的（D）有限集合。
A、操作B、映像C、存储D、关系2、数据结构在计算机内存中的表示是指（ A ）A、数据的存储结构B、数据结构C、数据的逻辑结构D、数据元素之间的关系3、在数据结构中，与所使用的计算机无关的是数据的（ A ）结构。
A、逻辑B、存储C、逻辑和存储D、物理4、在数据结构中，从逻辑上可以把数据结构分成（ C ）A、动态结构和静态结构B、紧凑结构和非紧凑结构C、线性结构和非线性结构D、内部结构和外部结构5、数据结构在计算机内存中的表示是指（ A ）A、数据的存储结构B、数据结构C、数据的逻辑结构D、数据元素之间的关系6、在存储数据时，通常不仅要存储各数据元素的值，而且还要存储（ C ）。
A、数据的处理方法B、数据元素的类型C、数据元素之间的关系D、数据的存储方法7、数据结构是一门研究非数值计算的程序设计问题中计算机的数据元素的方法以及它们之间的（ B ）和运算等的学科。
A、结构B、关系C、运算D、算法8、数据的（B）包括集合、线性、树形和图状结构四种基本类型。
A、存储结构B、逻辑结构C、基本运算D、算法描述9、算法的计算量的大小称为计算的（ B ）A、效率B、复杂性C、现实性D、难度10、下面关于算法说法错误的是（ D ）A、算法最终必须由计算机程序实现B、为解决某问题的算法同为该问题编写的程序含义是相同的C、算法的可行性是指指令不能有二义性D、以上几个都是错误的11、以下数据结构中，（ A ）是非线性数据结构A、树B、字符串C、队D、栈12、连续存储设计时，存储单元的地址（ A ）A、一定连续B、一定不连续C、不一定连续D、部分连续，部分不连续13、以下数据结构中（ A ）是线性结构。
数据结构第4章数组和串
1
● 教学目的：理解抽象数据类型数组的概念， 掌握数组的不同存储结构的实现及应用，了 解广义表的相关概念，掌握串的逻辑结构、 存储结构及其基本运算。
● 教学重点：数作在不同 存储结构上的实现。 ● 教学难点：带状矩阵的压缩存储；稀疏矩 阵的三元组表实现及其转置算法，堆结构的 串操作实现；串的模式匹配算法。
矩阵的压缩存储
printf("Array a:\n"); k=0; for(i=0;i<N;i++)//输出矩阵A { for(j=0;j<N;j++) if(i<j)printf("%5d",sa[M-1]); else printf("%5d",sa[i*(i+1)/2+j]); printf("\n"); } printf("Array b:\n"); k=0; for(i=0;i<N;i++)//输出矩阵B { for(j=0;j<N;j++) if(i>j)printf("%5d",sb[M-1]); else printf("%5d",sb[j*(j+1)/2+i]); printf("\n"); }}
矩阵的压缩存储
由此可见，要唯一表示一个稀疏矩阵，在存储三 元组表的同时还需存储该矩阵总的行数、列数及非 零元个数。 练习：写出图4-9(a)所示稀疏矩阵的三元组表。
三元组表（也是线性表）的存储方式主要有两种： 顺序存储和链式存储，从而可引出稀疏矩阵的两种 压缩存储方法：三元组顺序表和十字链表。 3、三元组顺序表
矩阵的压缩存储
● 教学目的：理解抽象数据类型数组的概念， 掌握数组的不同存储结构的实现及应用，了 解广义表的相关概念，掌握串的逻辑结构、 存储结构及其基本运算。
● 教学重点：数作在不同 存储结构上的实现。 ● 教学难点：带状矩阵的压缩存储；稀疏矩 阵的三元组表实现及其转置算法，堆结构的 串操作实现；串的模式匹配算法。
矩阵的压缩存储
printf("Array a:\n"); k=0; for(i=0;i<N;i++)//输出矩阵A { for(j=0;j<N;j++) if(i<j)printf("%5d",sa[M-1]); else printf("%5d",sa[i*(i+1)/2+j]); printf("\n"); } printf("Array b:\n"); k=0; for(i=0;i<N;i++)//输出矩阵B { for(j=0;j<N;j++) if(i>j)printf("%5d",sb[M-1]); else printf("%5d",sb[j*(j+1)/2+i]); printf("\n"); }}
矩阵的压缩存储
由此可见，要唯一表示一个稀疏矩阵，在存储三 元组表的同时还需存储该矩阵总的行数、列数及非 零元个数。 练习：写出图4-9(a)所示稀疏矩阵的三元组表。
三元组表（也是线性表）的存储方式主要有两种： 顺序存储和链式存储，从而可引出稀疏矩阵的两种 压缩存储方法：三元组顺序表和十字链表。 3、三元组顺序表
矩阵的压缩存储
《复习提纲数据结构》课件
数据结构组成
数据结构由数据元素和它们之间的 关系组成，这些关系决定了数据元 素之间的逻辑关系。
数据结构分类
数据结构可以根据不同的分类标准 进行分类，如线性结构和非线性结 构、静态结构和动态结构等。
数据结构的重要性
01
02
03
提高数据处理效率
合理的数据结构能够提高 数据处理的速度和效率， 使得数据处理更加高效。
图的应用
图在计算机科学中有着广泛的应用， 如社交网络、路由算法、搜索引擎等 。
哈希表
哈希表的概念
哈希表是一种通过哈希函数将键映射到 桶中的数据结构，用于快速查找和存储
键值对。
哈希冲突的处理
当两个不同的键被映射到同一个桶时 ，会发生哈希冲突。常见的处理方式
有链地址法和开放地址法。
哈希表的性能分析
哈希表的查找、插入、删除等操作的 时间复杂度主要由哈希函数的设计和 哈希表的负载因子决定。
链式插入
在链式存储结构中，插入操作需要定位到插入位置的节点 ，并在其后插入新节点，同时修改指针。
AVL树的插入
在AVL树中，插入操作需要先找到合适的空位，然后将新 节点插入到该位置，并调整树的结构以保持平衡。
删除操作
顺序删除
在顺序存储结构的线性表中，删除操作需要定位到要删除的元素，然 后将其后一位元素覆盖到要删除的位置，并减少数组长度。
06
数据结构性能分析
时间复杂度分析
时间复杂度概念
时间复杂度是衡量算法执行时间随输入规模 增长而增长的量度，通常用大O表示法表示 。
时间复杂度分类
根据算法的时间复杂度，可以将算法分为线性时间 复杂度、多项式时间复杂度和指数时间复杂度。
时间复杂度分析方法
西安电子科技大学数据结构课件复习
for (i=1; i <=n; i++) { s=0; for (j=1; j <=n; j++) s=s+i×j; if (s%2) print(s) } 西安电子科技大学
①n ② n2 ③ n
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数据结构
– Data Structures
第二章 线性表
本章内容：
2.1 线性表的类型定义 2.2 线性表的顺序表示和实现 2.3 线性表的链式表示与实现 2.3.1 线性链表 2.3.2 循环链表 2.3.3 双向链表 2.4 一元多项式的表示及相加
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数据结构
– Data Structures
数据结构 Data Structures
期末复习
数据结构
– Data Structures
课程⺫目目录
第1章 概论 第2章 线性表 第3章 栈和队列 第4章 串 第5章 数组和干广广义表 第6章 树和二二叉树 第7章 图 第9章 查找 第10章 内部排序
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数据结构
– Data Structures
第三章 栈和队列
本章内容：
3.1 栈 3.1.1 栈的定义 3.1.2 栈的表示和实现 3.2 栈的应用举例 3.3 栈与递归 3.4 队列 3.4.1 队列的定义 3.4.2 链队列 3.4.3 循环队列
A0,0 A1,0 A1,1
. . .
A7,0 A8,0 A7,1 A8,1
数据结构第4章PPT课件
• (12)StrReplace(S,T,pos,len)：串替换操作。当1≤pos≤StrLength(S)且0≤len≤StrLength(S)pos+1时，用串T替换串S中从第pos个字符开始的len个字符。
• (13)StrDestroy(S)：串销毁操作。销毁串S。
10
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4.2 串的存储结构
4.1 串的定义及基本操作
• 串即字符串，计算机处理的对象分为数值数据和非数值数据，字符串是最基本的非数值数据。 • 字符串的应用非常广泛，它是许多软件系统(如字符编辑、情报检索、词法分析、符号处理、自然语言翻译
等系统)的操作对象。 • 在事务处理程序中，顾客的姓名和地址以及货物的名称、产地和规格等一般也是作为字符串处理的。字符
• 线性表的顺序和链式存储结构对于串都是适用的。但任何一种存储结构对于串的不同运 算并非都是十分有效的。
• 对于串的插入和删除操作，顺序存储结构是不方便的，而链式存储结构则显得方便些。 如果访问串中单个字符，对链表来说是不困难的；当要访问一组连续的字符时，用链式 存储结构要比用顺序存储结构麻烦。
11
9
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串的基本操作
• (10)SubString(Sub,S,pos,len)：求子串操作。若存在位置1≤pos≤StrLength(S)且 1≤len≤StrLength(S)-pos+1，则用Sub返回串S的第pos个字符起长度为len的子串。
• (11)StrIndex(S,T)：串定位操作。若串S中存在和串T相同的子串，则返回它在串S中第一次出现的位 置；否则返回0。
•
同样存储S=＂
String Structure＂，用
紧凑格式一个地址能存四
• (13)StrDestroy(S)：串销毁操作。销毁串S。
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4.2 串的存储结构
4.1 串的定义及基本操作
• 串即字符串，计算机处理的对象分为数值数据和非数值数据，字符串是最基本的非数值数据。 • 字符串的应用非常广泛，它是许多软件系统(如字符编辑、情报检索、词法分析、符号处理、自然语言翻译
等系统)的操作对象。 • 在事务处理程序中，顾客的姓名和地址以及货物的名称、产地和规格等一般也是作为字符串处理的。字符
• 线性表的顺序和链式存储结构对于串都是适用的。但任何一种存储结构对于串的不同运 算并非都是十分有效的。
• 对于串的插入和删除操作，顺序存储结构是不方便的，而链式存储结构则显得方便些。 如果访问串中单个字符，对链表来说是不困难的；当要访问一组连续的字符时，用链式 存储结构要比用顺序存储结构麻烦。
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串的基本操作
• (10)SubString(Sub,S,pos,len)：求子串操作。若存在位置1≤pos≤StrLength(S)且 1≤len≤StrLength(S)-pos+1，则用Sub返回串S的第pos个字符起长度为len的子串。
• (11)StrIndex(S,T)：串定位操作。若串S中存在和串T相同的子串，则返回它在串S中第一次出现的位 置；否则返回0。
•
同样存储S=＂
String Structure＂，用
紧凑格式一个地址能存四
数据结构第四篇考前辅导导学资料.ppt
算法的5个重要特性： 有穷性、确定性、可行性、输入、输出
要会计算时空复杂度。
第2章 线性表
1.线性结构的特点。 2.线性结构既可以用顺序结构表示，又可以
用链式结构表示。 3.线性表:n个数据元素的有限序列.
线性表是有限序列,可以为空. 4.单链表插入、删除结点时的具体操作。
举例
例：数据的逻辑结构中非线性结构有（）
例5: 已知一棵二叉树
中序和后序序列为分 别为: 和
画出这棵二叉树。
7.哈夫曼树构造方法:
1. 根据给定的n个权值{w1,w2,…wn}构成n棵二 叉树的集合F={T1,T2,..,Tn}，其中每棵二叉树Ti 中只有一个带权wi的根结点，左右子树均空。
2. 在F中选择两棵根结点权值最小的树作为左右子 树构造一棵新的二叉树，且置新的二叉树的根结 点的权值为其左右子树上根结点的权值之和。
7.无向图的邻接矩阵是对称矩阵 。
8. n个顶点的连通图的生成树有n-1条边.
9.在一个有n个顶点的无向图中，有n(n-1)/2条边的 图称为完全图。
10.一个强连通图的连通分量不只有一个。
11.图的遍历:从图中某一顶点出发访遍图中其余顶 点,且使每一个顶点仅被访问一次.
12.两条遍历图的途径:深度优先搜索,
3. 在F中删除这两棵树，并将新的二叉树加入F中。 4. 重复前两步（2和3），直到F中只含有一棵树为
止。该树即为哈夫曼树
例7判断对错 满二叉树也是完全二叉树。 （正确）
例8若采用孩子兄弟链表作为树的存储结构，则 树的先根遍历应采用二叉树的_____。
()
A、层次遍历
B、先序遍历
C、中序遍历
D、后序遍历
重点章节
数据结构复习资料 第4章
第4章栈和队列一、复习要点本章主要讨论3种线性结构：栈、队列与优先级队列。
这3种结构都是顺序存取的表，而且都是限制存取点的表。
栈限定只能在表的一端（栈顶）插入与删除，其特点是先进后出。
队列和优先级队列限定只能在表的一端（队尾）插入在另一端（队头）删除，不过优先级队列在插入和删除时需要根据数据对象的优先级做适当的调整，令优先级最高的对象调整到队头，其特点是优先级高的先出。
而队列不调整，其特点是先进先出。
这几种结构在开发各种软件时非常有用。
本章复习的要点：1、基本知识点要求理解栈的定义和特点，栈的抽象数据类型和在递归和表达式计算中的使用，在栈式铁路调车线上当进栈序列为1, 2, 3, , n时，可能的出栈序列计数，栈的顺序存储表示和链接存储表示，特别要注意，链式栈的栈顶应在链头，插入与删除都在链头进行。
另外，需要理解队列的定义和特点，队列的抽象数据类型和在分层处理中的使用，队列的顺序存储表示（循环队列）和链接存储表示，需要注意的是，链式队列的队头应在链头，队尾应在链尾。
还需要理解优先级队列的定义和特点。
优先级队列的最佳存储表示是堆（heap），本章介绍的表示看懂即可。
2、算法设计➢栈的5种操作（进栈、退栈、取栈顶元素、判栈空、置空栈）的在顺序存储表示下的实现，以及在链接存储表示下的实现。
➢使用栈的后缀表达式计算算法➢循环队列的进队列、出队列、取队头元素、判队列空、置空队列操作的实现➢链式队列的进队列、出队列、取队头元素、判队列空、置空队列操作的实现二、难点和重点1、栈：栈的特性、栈的基本运算➢栈的数组实现、栈的链表实现➢栈满及栈空条件、抽象数据类型中的先决条件与后置条件2、栈的应用：用后缀表示计算表达式，中缀表示改后缀表示3、队列：队列的特性、队列的基本运算➢队列的数组实现：循环队列中队头与队尾指针的表示，队满及队空条件➢队列的链表实现：链式队列中的队头与队尾指针的表示、三、习题的解析4-2 铁路进行列车调度时, 常把站台设计成栈式结构的站台，如右图所示。
第四章串、数组和广义表PPT课件
第14页/共68页
4.1.4 串的存储结构
• 串的链式存储表示 串的链式存储结构和线性表的串的链式存储结构类似，采用单链表来存储串，结
点的构成是：
• data域：存放字符，data域可存放的字符个数称为结点的大小； • next域：存放指向下一结点的指针。
first
a
b
g∧
• 若每个结点仅存放一个字符，则结点的指针域就非常多，造成系统空间浪费，为
基本思想：从主串S的第一个字符开始和模式T 的第一个字符进行比较，若相等，则继续比较两者的后续字符； 否则，从主串S的第二个字符开始和模式T 的第一个字符进行比较，重复上述过程，直到T 中的字符全部比 较完毕，则说明本趟匹配成功；或S中字符全部比较完，则说明匹配失败。
• 模式匹配问题的特点： • ⑴ 算法的一次执行时间不容忽视：问题规模通常很大，常常需要在大量信息中进行匹配； • ⑵ 算法改进所取得的积累效益不容忽视：模式匹配操作经常被调用，执行频率高。
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4.1.4 匹配模式——BP算法
例：主串S="ababcabcacbab"，模式T="abcac"
i
第 ababcabcacbab
5
趟
abcac
j
i=5，j=1失败； i“回溯”到6，j回溯到1
第27页/共68页
4.1.4 匹配模式——BP算法
例：主串S="ababcabcacbab"，模式T="abcac"
• 定长顺序存储表示：将串定义成字符数组，利用串名可以直接访问串 值。用这种表示方式，串的存储空间在编译时确定，其大小不能改变。
• 堆分配存储方式：仍然用一组地址连续的存储单元来依次存储串中的 字符序列，但串的存储空间是在程序运行时根据串的实际长度动态分 配的。
4.1.4 串的存储结构
• 串的链式存储表示 串的链式存储结构和线性表的串的链式存储结构类似，采用单链表来存储串，结
点的构成是：
• data域：存放字符，data域可存放的字符个数称为结点的大小； • next域：存放指向下一结点的指针。
first
a
b
g∧
• 若每个结点仅存放一个字符，则结点的指针域就非常多，造成系统空间浪费，为
基本思想：从主串S的第一个字符开始和模式T 的第一个字符进行比较，若相等，则继续比较两者的后续字符； 否则，从主串S的第二个字符开始和模式T 的第一个字符进行比较，重复上述过程，直到T 中的字符全部比 较完毕，则说明本趟匹配成功；或S中字符全部比较完，则说明匹配失败。
• 模式匹配问题的特点： • ⑴ 算法的一次执行时间不容忽视：问题规模通常很大，常常需要在大量信息中进行匹配； • ⑵ 算法改进所取得的积累效益不容忽视：模式匹配操作经常被调用，执行频率高。
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4.1.4 匹配模式——BP算法
例：主串S="ababcabcacbab"，模式T="abcac"
i
第 ababcabcacbab
5
趟
abcac
j
i=5，j=1失败； i“回溯”到6，j回溯到1
第27页/共68页
4.1.4 匹配模式——BP算法
例：主串S="ababcabcacbab"，模式T="abcac"
• 定长顺序存储表示：将串定义成字符数组，利用串名可以直接访问串 值。用这种表示方式，串的存储空间在编译时确定，其大小不能改变。
• 堆分配存储方式：仍然用一组地址连续的存储单元来依次存储串中的 字符序列，但串的存储空间是在程序运行时根据串的实际长度动态分 配的。
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数据结构与算法
任课教师：文江川 北京信息科技大学 信息与通信工程学院 电子信息工程系
2014年5月27日
第7 章
图
7.1 图的定义和术语 7.2 图的存储结构 7.3 图的遍历
7.4 图的连通性问题
7.5 有向无环图及其应用
7.6 最短路径
第7章
图
图(Graph)是一种比线性表和树更为复杂的数据 结构。
无向图中的极大连通子图称之为连通分量。
① ③ ④
②
左图：连通图 下图：非连通图，但有 三个连通分量
⑤
(13)强连通图/强连通分量
在有向图 G 中，若对于每一对vi、vj∈V，
vi≠vj，从 vi 到 vj 和从 vj 到 vi 都存在路径，
则称 G 是强连通图。
有向图中的极大强连通子图称作有向图的强
③ ④
(a)
⑤
③
(b)
④
(9)顶点v的度(Degree)
是和v相关联的边的数目，记为 TD（v）。 顶点的入度/出度 以顶点 v 为头的弧的数目称 v 的入度，记为 ID(v)；以顶点 v 为尾的弧的数目称 v 的出度， 记为 OD(v)。 顶点 v 的度 TD（v）=ID（v）＋OD（v）
① ③ ④
用邻接表实现图的深度优先搜索
v1 v2 v5 v4 v8 v6 v7
v3
1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 1 2 2 3 3 4
3^ 4 6 8^ 8^ 7^ 6^ 5^ 7^
5^
分析：
在遍历图时，对图中每个顶点至多调用一次
DFS函数，因为一旦某个顶点被标志成已被访问，
就不再从它出发进行搜索。
线性结构：是研究数据元素之间的一对一关系。在这
种结构中，除第一个和最后一个元素外，任何一个元 素都有唯一的一个直接前驱和直接后继。
树结构：是研究数据元素之间的一对多的关系。在这
种结构中，每个元素对下(层)可以有0个或多个元素相 联系，对上(层)只有唯一的一个元素相关，数据元素 之间有明显的层次关系。
v3
1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 1 2 2 3 3 4
3^ 4 6 8^ 8^ 7^ 6^ 5^ 7^
5^
广度优先搜索(BFS)分析： 每个顶点至多进一次队列。遍历图的过程实 质上是通过边或弧找邻接点的过程，因此广度优 先搜索遍历图的时间复杂度和深度优先搜索遍历 相同，两者不同之处仅仅在于对顶点访问的顺序 不同。
若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一 个未曾被访问的顶点作起始点； 重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到 为止。
例：从顶点v1出发，BFS下图。
v1
v2 v5 v4 v8 v6 v7 v3
顶点访问序列为：v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8
用邻接表实现图的广度优先搜索
v1 v2 v5 v4 v8 v6 v7
假设有两个图 G=（V，{ VR }）和 G’=
（V’，{ VR’ }），若 V’ 是 V 的子集，且
VR’ 是 VR 的子集，则称 G’ 为 G 的子图。
G1 的 子 图 G2 的 子 图
(6)完全图
假设用 n 表示图中顶点的数目，用 e 表示 边或弧的数目。忽略自身弧/边，即若﹤vi,vj﹥ ∈VR，则 vi≠vj。
连通分量。
①
②
①
②
③
④
③
④
非强连通图
两个强连通分量
(14)生成树 一个连通图的生成树是一个极小连通子图， 它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的 n-1条边。 如果在一棵生成树上添加一条边，必定构成 一个环，因为这条边使得它依附的那两个顶点之 间有了第二条路径。
(15)生成森林 如果一个有向图恰有一个顶点的入度为 0，
其余顶点的入度均为 1，则是一棵有向树。一个 有向图的生成森林由若干棵有向树组成，含有图 中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有 向树的弧。
1.图的数组(邻接矩阵)存储表示
邻接矩阵是用于描述图中顶点之间关系(即弧 或边的权)的矩阵。
假设图中顶点数为n，则邻接矩阵An×n：
1 A[i][j]= 0 反之 若Vi和Vj之间有弧或边
以便求出每一个顶点的入度。有向图的逆邻接表
与邻接表类似，只是它是从入度考虑结点，而不 是从出度考虑结点。
1
4 ∧ ∧
V1
V3 逆邻接表
2 3
V2
V4
1 ∧
2 3 ∧
4
3.有向图的十字链表存储表示
十字链表是有向图的另一种链式存储结构。 可以理解成有向图的邻接表和逆邻接表的结合， 在十字链表中，有两种结点结构： 弧结点
7.3 图的遍历
从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且 使每一个顶点仅被访问一次。这一过程就叫做图 的遍历。 图的遍历算法是求解图的连通性问题、拓扑 排序和求关键路径等算法的基础。 通常有两条遍历图的路径：
深度优先搜索
广度优先搜索
1.深度优先搜索(DFS)
基本思想： 从图中某顶点V0出发，访问此顶点，然后依次 从V0的各个未被访问的邻接点出发深度优先搜索遍
生成树：某连通分量的极小连通子图； 生成森林：非连通图的各个连通分量的极小连
通子图构成的集合。
例：求下图的深度优先生成树和广度优先生成树。
v1
v2 v5 v4 v8 v6 v7 v3
小结
1.理解并掌握图的深度优先搜索和广度优先搜索 两种遍历算法及其性能分析；以及两种遍历所使 用的辅助数据结构（栈或队列）在遍历过程中所 起的作用，能够确定两种遍历所得到的顶点访问
(a)
②
①
②
⑤
③
(b)
④
(10)路径(Path) 无向图G=(V,{E})中，从顶点v到v’的路径是顶 点序列(v=vi0,vi1,„,vim=v’)，其中(vij-1 ,vij)∈E ，1≤j≤m。
若G是有向图，则路径也是有向的，顶点序列应 满足：<vij-1 ,vij>∈E ，1≤j≤m。
① ②
反之
8 3 5 4 5 7 5 1 9 6
V3
V5
2.图的邻接表存储表示
类似树的孩子链表。即对图中的每个顶点vi建立一个 单链表，表中结点表示依附于该顶点vi的边或弧。
A B C
A B C
D
A B C D A
0 1 1 1 A= 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
A B
C D
B
C
A B C
0 1 1 B= 0 0 1 0 1 0
网的邻接矩阵
权值 A[i][j]= 若Vi和Vj之间有弧或边
∞
5 V1 3 V6 1 7 9 6 5 5 V4 8 V2 4
尾域 tailvex 头域 headvex 链域 hlink 链ta 链域 firstin 链域 firstout
第7 章
7.1 图的定义和术语
7.2 图的存储结构
图
7.3 图的遍历
7.4 图的连通性问题
7.5 有向无环图及其应用
7.6 最短路径
第7 章
7.1 图的定义和术语
7.2 图的存储结构
图
7.3 图的遍历
7.4 图的连通性问题
7.5 有向无环图及其应用
7.6 最短路径
7.4 图的连通性问题
1）无向图的连通分量和生成树
2）最小生成树
3）普里姆算法
4）克鲁斯卡尔算法
1.无向图的连通分量和生成树
基本概念
连通分量的顶点集：即从该连通分量的某一顶 点出发进行搜索所得到的顶点访问序列；
因此，遍历图的过程实质上是对每个顶点查
找其邻接点的过程。其耗费的时间则取决于所采
用的存储结构。
2.广度优先搜索(BFS)
基本思想： 从图中某个顶点V0出发，并在访问此顶点后依 次访问V0的所有未被访问过的邻接点，之后按这些 顶点被访问的先后次序依次访问它们的邻接点，直
至图中所有和V0有路径相通的顶点都被访问到；
7.4 图的连通性问题
1）无向图的连通分量和生成树
2）最小生成树
3）普里姆算法
4）克鲁斯卡尔算法
3.普里姆（Prim）算法
基本思想：
(1)假设 G=(V,{E}) 是一个具有 n 个顶点的连通 网络，T=(U，{TE})是 G 的最小生成树，其中 U 是 T 的顶点集，TE 是 T 的边集，U 和 TE
2）最小生成树
3）普里姆算法
4）克鲁斯卡尔算法
0
例：图及其生成树
① 3
6 5
1 5
5 ③ 2
② 6
④ 6
4 ⑤
0
0
0
6 ① 5 ② 6 ④ 4 ⑤ 5 ③
① 3 6 ④
1 ③ ② 4 ⑤ 2
1 ① 3 ④ 5 ② 4 ⑤ ③ 2
对于带权的连通图(连通网)G，其生成树也 是带权的，将权最小的生成树称为最小生成树。
指示与顶点vi邻接的点在图中的位置
邻接点域
链域
数据域
表结点
指示下一条边或弧的结点 指向链表第一个结点
存储和边或弧相关的信息
数据域
链域
表头结点
存储顶点vi和其他有关信息
例如：
1
V1
V3
3 ∧
2 3
4 ∧
4 ∧ 1 ∧
V2
V4
4
V1
V3
1 2 3
2 1 1 ∧
3 4 ∧
4 ∧
V2
V4
4
1
2 ∧
为此，我们必须另外建立有向图的逆邻接表，
任课教师：文江川 北京信息科技大学 信息与通信工程学院 电子信息工程系
2014年5月27日
第7 章
图
7.1 图的定义和术语 7.2 图的存储结构 7.3 图的遍历
7.4 图的连通性问题
7.5 有向无环图及其应用
7.6 最短路径
第7章
图
图(Graph)是一种比线性表和树更为复杂的数据 结构。
无向图中的极大连通子图称之为连通分量。
① ③ ④
②
左图：连通图 下图：非连通图，但有 三个连通分量
⑤
(13)强连通图/强连通分量
在有向图 G 中，若对于每一对vi、vj∈V，
vi≠vj，从 vi 到 vj 和从 vj 到 vi 都存在路径，
则称 G 是强连通图。
有向图中的极大强连通子图称作有向图的强
③ ④
(a)
⑤
③
(b)
④
(9)顶点v的度(Degree)
是和v相关联的边的数目，记为 TD（v）。 顶点的入度/出度 以顶点 v 为头的弧的数目称 v 的入度，记为 ID(v)；以顶点 v 为尾的弧的数目称 v 的出度， 记为 OD(v)。 顶点 v 的度 TD（v）=ID（v）＋OD（v）
① ③ ④
用邻接表实现图的深度优先搜索
v1 v2 v5 v4 v8 v6 v7
v3
1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 1 2 2 3 3 4
3^ 4 6 8^ 8^ 7^ 6^ 5^ 7^
5^
分析：
在遍历图时，对图中每个顶点至多调用一次
DFS函数，因为一旦某个顶点被标志成已被访问，
就不再从它出发进行搜索。
线性结构：是研究数据元素之间的一对一关系。在这
种结构中，除第一个和最后一个元素外，任何一个元 素都有唯一的一个直接前驱和直接后继。
树结构：是研究数据元素之间的一对多的关系。在这
种结构中，每个元素对下(层)可以有0个或多个元素相 联系，对上(层)只有唯一的一个元素相关，数据元素 之间有明显的层次关系。
v3
1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 1 2 2 3 3 4
3^ 4 6 8^ 8^ 7^ 6^ 5^ 7^
5^
广度优先搜索(BFS)分析： 每个顶点至多进一次队列。遍历图的过程实 质上是通过边或弧找邻接点的过程，因此广度优 先搜索遍历图的时间复杂度和深度优先搜索遍历 相同，两者不同之处仅仅在于对顶点访问的顺序 不同。
若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一 个未曾被访问的顶点作起始点； 重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到 为止。
例：从顶点v1出发，BFS下图。
v1
v2 v5 v4 v8 v6 v7 v3
顶点访问序列为：v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8
用邻接表实现图的广度优先搜索
v1 v2 v5 v4 v8 v6 v7
假设有两个图 G=（V，{ VR }）和 G’=
（V’，{ VR’ }），若 V’ 是 V 的子集，且
VR’ 是 VR 的子集，则称 G’ 为 G 的子图。
G1 的 子 图 G2 的 子 图
(6)完全图
假设用 n 表示图中顶点的数目，用 e 表示 边或弧的数目。忽略自身弧/边，即若﹤vi,vj﹥ ∈VR，则 vi≠vj。
连通分量。
①
②
①
②
③
④
③
④
非强连通图
两个强连通分量
(14)生成树 一个连通图的生成树是一个极小连通子图， 它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的 n-1条边。 如果在一棵生成树上添加一条边，必定构成 一个环，因为这条边使得它依附的那两个顶点之 间有了第二条路径。
(15)生成森林 如果一个有向图恰有一个顶点的入度为 0，
其余顶点的入度均为 1，则是一棵有向树。一个 有向图的生成森林由若干棵有向树组成，含有图 中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有 向树的弧。
1.图的数组(邻接矩阵)存储表示
邻接矩阵是用于描述图中顶点之间关系(即弧 或边的权)的矩阵。
假设图中顶点数为n，则邻接矩阵An×n：
1 A[i][j]= 0 反之 若Vi和Vj之间有弧或边
以便求出每一个顶点的入度。有向图的逆邻接表
与邻接表类似，只是它是从入度考虑结点，而不 是从出度考虑结点。
1
4 ∧ ∧
V1
V3 逆邻接表
2 3
V2
V4
1 ∧
2 3 ∧
4
3.有向图的十字链表存储表示
十字链表是有向图的另一种链式存储结构。 可以理解成有向图的邻接表和逆邻接表的结合， 在十字链表中，有两种结点结构： 弧结点
7.3 图的遍历
从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且 使每一个顶点仅被访问一次。这一过程就叫做图 的遍历。 图的遍历算法是求解图的连通性问题、拓扑 排序和求关键路径等算法的基础。 通常有两条遍历图的路径：
深度优先搜索
广度优先搜索
1.深度优先搜索(DFS)
基本思想： 从图中某顶点V0出发，访问此顶点，然后依次 从V0的各个未被访问的邻接点出发深度优先搜索遍
生成树：某连通分量的极小连通子图； 生成森林：非连通图的各个连通分量的极小连
通子图构成的集合。
例：求下图的深度优先生成树和广度优先生成树。
v1
v2 v5 v4 v8 v6 v7 v3
小结
1.理解并掌握图的深度优先搜索和广度优先搜索 两种遍历算法及其性能分析；以及两种遍历所使 用的辅助数据结构（栈或队列）在遍历过程中所 起的作用，能够确定两种遍历所得到的顶点访问
(a)
②
①
②
⑤
③
(b)
④
(10)路径(Path) 无向图G=(V,{E})中，从顶点v到v’的路径是顶 点序列(v=vi0,vi1,„,vim=v’)，其中(vij-1 ,vij)∈E ，1≤j≤m。
若G是有向图，则路径也是有向的，顶点序列应 满足：<vij-1 ,vij>∈E ，1≤j≤m。
① ②
反之
8 3 5 4 5 7 5 1 9 6
V3
V5
2.图的邻接表存储表示
类似树的孩子链表。即对图中的每个顶点vi建立一个 单链表，表中结点表示依附于该顶点vi的边或弧。
A B C
A B C
D
A B C D A
0 1 1 1 A= 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
A B
C D
B
C
A B C
0 1 1 B= 0 0 1 0 1 0
网的邻接矩阵
权值 A[i][j]= 若Vi和Vj之间有弧或边
∞
5 V1 3 V6 1 7 9 6 5 5 V4 8 V2 4
尾域 tailvex 头域 headvex 链域 hlink 链ta 链域 firstin 链域 firstout
第7 章
7.1 图的定义和术语
7.2 图的存储结构
图
7.3 图的遍历
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7.5 有向无环图及其应用
7.6 最短路径
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7.1 图的定义和术语
7.2 图的存储结构
图
7.3 图的遍历
7.4 图的连通性问题
7.5 有向无环图及其应用
7.6 最短路径
7.4 图的连通性问题
1）无向图的连通分量和生成树
2）最小生成树
3）普里姆算法
4）克鲁斯卡尔算法
1.无向图的连通分量和生成树
基本概念
连通分量的顶点集：即从该连通分量的某一顶 点出发进行搜索所得到的顶点访问序列；
因此，遍历图的过程实质上是对每个顶点查
找其邻接点的过程。其耗费的时间则取决于所采
用的存储结构。
2.广度优先搜索(BFS)
基本思想： 从图中某个顶点V0出发，并在访问此顶点后依 次访问V0的所有未被访问过的邻接点，之后按这些 顶点被访问的先后次序依次访问它们的邻接点，直
至图中所有和V0有路径相通的顶点都被访问到；
7.4 图的连通性问题
1）无向图的连通分量和生成树
2）最小生成树
3）普里姆算法
4）克鲁斯卡尔算法
3.普里姆（Prim）算法
基本思想：
(1)假设 G=(V,{E}) 是一个具有 n 个顶点的连通 网络，T=(U，{TE})是 G 的最小生成树，其中 U 是 T 的顶点集，TE 是 T 的边集，U 和 TE
2）最小生成树
3）普里姆算法
4）克鲁斯卡尔算法
0
例：图及其生成树
① 3
6 5
1 5
5 ③ 2
② 6
④ 6
4 ⑤
0
0
0
6 ① 5 ② 6 ④ 4 ⑤ 5 ③
① 3 6 ④
1 ③ ② 4 ⑤ 2
1 ① 3 ④ 5 ② 4 ⑤ ③ 2
对于带权的连通图(连通网)G，其生成树也 是带权的，将权最小的生成树称为最小生成树。
指示与顶点vi邻接的点在图中的位置
邻接点域
链域
数据域
表结点
指示下一条边或弧的结点 指向链表第一个结点
存储和边或弧相关的信息
数据域
链域
表头结点
存储顶点vi和其他有关信息
例如：
1
V1
V3
3 ∧
2 3
4 ∧
4 ∧ 1 ∧
V2
V4
4
V1
V3
1 2 3
2 1 1 ∧
3 4 ∧
4 ∧
V2
V4
4
1
2 ∧
为此，我们必须另外建立有向图的逆邻接表，